概率论习题全部
习题一
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：
（1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件A 表示“点数之和为7”；
（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件A 表示“一分钟内呼唤次数不超过3次”；
（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件A 表示“寿命在 2 000到2 500小时之间”.
2. 投掷三枚大小相同的均匀硬币，观察它们出现的面. （1）试写出该试验的样本空间；
（2）试写出下列事件所包含的样本点：A ={至少出现一个正面}，B ={出现一正、二反}，C ={出现不多于一个正面}；
（3）如记i A ={第i 枚硬币出现正面}（i =1，2，3），试用123,,A A A 表示事件A ，B ，C .
3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A ＝{取得球的号码是偶数}，B ＝{取得球的号码是奇数}，C ={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
（1）A
B ；（2）AB ；（3）A
C ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B
C ；（7）
A C -.
4. 在区间]2,0[上任取一数，记112A x x ??=<≤????，1
34
2B x x ??=≤≤????，求下列事件的表
达式：（1）A B ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B .
5. 用事件A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件：
（1）A 出现，B ，C 都不出现； （2）A ，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现；
（4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现；
（8）三个事件中至少有二个出现.
6. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设i A 表示事件“第i 次抽到废品”，试用i A 的运算表示下列各个事件：
（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品；
（4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品.
7. 接连进行三次射击，设i A ={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试用321,,A A A 表示下述事件：
（1）A={前两次至少有一次击中目标}；
（2）B={三次射击恰好命中两次}；
（3）C={三次射击至少命中两次}；
（4）D={三次射击都未命中}.
8. 盒中放有a个白球b个黑球，从中有放回地抽取r次（每次抽一个，记录其颜色，
A={第i次抽到白球}（i＝1，2，…，r），试用然后放回盒中，再进行下一次抽取）.记
i
A}表示下述事件：
{
i
（1）A={首个白球出现在第k次}；
（2）B={抽到的r个球同色}，
≤≤.
其中1k r
*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成立：
=.
（1）ABC=A；（2）A B C A
习题二
1. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.
2. 一口袋中有5个红球及2个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求：
（1）第一次、第二次都取到红球的概率；
（2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率.
3. 一个口袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：
（1）最小号码是3的概率；（2）最大号码是3的概率.
4. 一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：
（1）2只都是合格品；
（2）1只是合格品，一只是不合格品； （3）至少有1只是合格品.
5. 从某一装配线上生产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和无缺陷的产品是等可能发生的，求至少观测到一件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.
6. 某人去银行取钱，可是他忘记密码的最后一位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选一个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.
7. 掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.
8. 把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住在不同宿舍的概率.
9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：
（1）事件A ={其中恰有一位精通英语}； （2）事件B ={其中恰有两位精通英语}； （3）事件C ={其中有人精通英语}.
10. 甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两个袋中各取一球，求两球颜色相同的概率.
11. 有一轮盘游戏，是在一个划分为10等份弧长的圆轮上旋转一个球，这些弧上依次标着0～9十个数字.球停止在那段弧对应的数字就是一轮游戏的结果.数字按下面的方式涂色：0看作非奇非偶涂为绿色，奇数涂为红色，偶数涂为黑色.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂黑色的数}.求以下事件的概率：
（1）)(A P ；（2）)(B P ；（3）()P A
B ；（4）)(AB P .
12. 设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面
积成正比，计算这质点落在直线x =
3
1
的左边的概率. 13. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6 h ，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.
14. 已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求： （1）)(),(B P A P ；（2）()P A
B ；（3）)(AB P ；（4）)(),(B A P A B P ；（5）
)(B A P .
15. 设A ，B 是两个事件，已知P （A ）=0.5，P （B ）=0.7，()P A
B =0.8，试求：P
（A -B ）与P （B -A ）.
*16. 盒中装有标号为1~r 的r 个球，今随机地抽取n 个，记录其标号后放回盒中；然后再进行第二次抽取，但此时抽取m 个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k 个标号相同的概率.
习题三
1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率
8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .
2. 一批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.
3. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
4. 罐中有m 个白球，n 个黑球，从中随机抽取一个，若不是白球则放回盒中，再随机抽取下一个；若是白球，则不放回，直接进行第二次抽取，求第二次取得黑球的概率.
5. 一个食品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:
投诉原因 擦伤 凹痕 外观 保质期内 18％ 13％ 32％ 保质期后
12％
22％
3％
如果收到一个消费者的投诉，已知投诉发生在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.
6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：
)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.
7. 已知甲袋中装有6只红球，4只白球，乙袋中装有8只红球，6只白球.求下列事件的概率：（1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球；（2）合并两只口袋，从中随机地取1只球，该球是红球.
8. 设某一工厂有A ，B ，C 三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别占该厂生产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分比分别为5％、4％、2％.如果从全厂总产品中抽取一件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C 生产的概率.
9. 某次大型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品.在使用者中，假定有90人的药物检查呈阳性，而在未使用者中也有5人检验结果显示阳性.如果一个运动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使用违禁药品的概率.
10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.
*11. 甲袋中有4个白球6个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.先从甲袋中任取2球投入乙袋，然后再从乙袋中任取2球，求从乙袋中取到的2个都是黑球的概率.
12. 设事件B A ,相互独立.证明：B A ,相互独立，B A ,相互独立.
13. 设事件A 与B 相互独立，且p A P =)(，q B P =)(.求下列事件的概率：
(),(),().P A B P A B P A B
14. 已知事件A 与B 相互独立，且9
1
)(=
B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P . 15. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译出的概率.
16. 设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独立的.
*17. （配对问题）房间中有n 个编号为1~n 的座位.今有n 个人（每人持有编号为1~n 的票）随机入座，求至少有一人持有的票的编号与座位号一致的概率. （提示：使用概率的性质5的推广，即对任意n 个事件12,,
,n A A A ，有
1
121
111
11
1()()(1)()(1)().)
k k n n
k k i j k i j n k k n i i n i i i n
P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤??=-+
???+-+
+-∑∑∑
*18. （波利亚（Pólya ）罐子模型）罐中有a 个白球，b 个黑球，每次从罐中随机抽取
一球，观察其颜色后，连同附加的c 个同色球一起放回罐中，再进行下一次抽取.试用数学归纳法证明：第k 次取得白球的概率为
a
a b
+（1k ≥为整数）.（提示：记{}k A k =第次取得白球，使用全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.）
19. 甲乙两人各自独立地投掷一枚均匀硬币n 次，试求：两人掷出的正面次数相等的概率.
20. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率.
21. 灯泡耐用时间在1 000 h 以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使用1 000 h 以后最多只有一个坏了的概率.
22. 某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运行的概率；
（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； （3）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率.
23. 设在三次独立试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.若已知A 至少出现一次的概率等于
27
19
，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P
.
*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个女孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中一个是男孩，求另一个也是男孩的概率.
25. 两射手轮流打靶，谁先进行第一次射击是等可能的.假设他们第一次的命中率分别为0.4及0.5，而以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击首次中靶，求是第一名射手首先进行第一次射击的概率.
26. 袋中有2n-1个白球和2n个黑球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同色的，求同为黑色的概率.
*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落入编号1~4的四个盒子，
（1）求恰有两空盒的概率；
（2）已知恰有两空盒，求有球的盒子的最小编号为2的概率.
习题四
1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由. （1）15
i i
p =
(0,1,2,3,4,5)i =； （2）6
)
5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；
（3）25
1
+=
i p i (1,2,3,4,5)i =. 2. 试确定常数C ，使i C
i X P 2)(=
=
(0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：（1）(2)P X >；（2）1
52
2P X ??<< ???；（3）(3)F （其中F （·）为X 的分布函数）.
3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这口袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.
4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，
5.从中随机地取3个，以X 表示取出的3个球中最大号码，写出X 的分布律和分布函数.
5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X 的分布律.
6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取产品.设每次抽取时，所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律：
（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2）每次取出的产品都不放回这批产品中；
（3）每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.
7. 设随机变量X ),6(~p B ，已知)5()1(===X P X P ，求p 与)2(=X P 的值. 8. 一张试卷印有十道题目，每个题目都为四个选项的选择题，四个选项中只有一项是正确的.假设某位学生在做每道题时都是随机地选择，求该位学生未能答对一道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.
9． 市120接听中心在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计算）：
求：（1）某天中午12点至下午3点没有收到紧急呼救的概率； （2）某天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼救的概率. 10． 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4=λ的泊松分布.问在月初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满足顾客的需要？
11. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.
12. 设鸡下蛋数X 服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y 为观察到的鸡蛋数，即Y 的分布与给定>0X 的条件下X 的分布相同，今求Y 的分布律.
（提示：()(0),1,2,.P Y k P X k X k ===>=对于）
13. 袋中有n 把钥匙，其中只有一把能把门打开，每次抽取一把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求首次打开门时试用钥匙次数的分布律.
14. 袋中有a 个白球、b 个黑球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到白球停止抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.
15. 据统计，某高校在2010年上海世博会上的学生志愿者有6 000名，其中女生3 500名.现从中随机抽取100名学生前往各世博地铁站作引导员，求这些学生中女生数X 的分布律.
16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ?=??
0,
x A <<其他,试求：（1）常数A ;（2）
)5.00(< 17． 设随机变量X 的密度函数为()e x f x A -=()x -∞<<+∞，求：（1）系数A ； （2）)10(< 18． 证明：函数2 2e ,0, ()0,0,x c x x f x c x -??≥=?? （c 为正的常数）可作为一个密度函数. 19. 经常往来于某两地的火车晚点的时间X （单位：min ）是一个连续型随机变量，其 密度函数为 23 (25),55,()500 0,x x f x ?--< =??? 其他. X 为负值表示火车早到了.求火车至少晚点2 min 的概率. 20. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -? =?-+? ,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P . 21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求方程012 =++Xt t 有实根的概率. 22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤， ()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果. 23. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （单位：min ）是一随机变量，它服从 51=λ的指数分布，其密度函数为5 1e ()5 0x f x -??=??? ,0, ,x >其它.某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开. （1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率； （2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务而离开的概率. 24. 以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（单位： min ），X 的分布函数是0.21e ,0, ()0, x x F x -?->=??其他. 求：（1）X 的密度函数；（2）P （至多等待2 min ）；（3）P （至少等待4 min ）； （4）P （等待2 min 至4 min 之间）；（5）P （等待至多2 min 或至少4 min ）. 25. 设随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x A B x x =+-∞<<+∞，求：（1）常数A ，B ；（2）(1)P X <；（3）随机变量X 的密度函数. 26. 设随机变量X 服从)1,0(N ，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）