高数积分总结
高数积分总结
标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
高数积分总结
一、不定积分
1、不定积分的概念也性质
定义1：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f(x)，即对任一I x ∈,都有
F`(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,
那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上的原函数。
定义2：在区间I 上，函数f （x ）的带有任意常数项的原函数称为f （x ）（或者f(x)dx ）在区间I 上的不定积分，记作
?dx x f )(。
性质1：设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
???+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([。
性质2：设函数f(x)的原函数存在，k 为非零常数，则
??=dx x f k dx x kf )()(。
2、换元积分法 (1)第一类换元法：
定理1：设f(u)具有原函数，)(x ?μ=可导，则有换元公式
)
(])([)(')]([x d f dx x x f ?
μμμ??=??=。
例：求?xdx 2cos 2
解 ????=?=?=μμd dx x x dx x xdx cos )'2(2cos 22cos 2cos 2 将x 2=μ代入，既得
?+=C x xdx 2sin 2cos 2
(2)第二类换元法：
定理2：设)(t x ψ=是单调的、可导的函数，并且.0)('≠t ψ又设
)(')]([t t f ψψ具有原函数，则有换元公式
,]
)(')]([[)()
(1
x t dt t t f dx x f -=??=ψ
ψψ
其中)(1
x -ψ是)(t x ψ=的反函数。
例：求?
>+)0(2
2
a a
x dx
解 ∵t t 2
2sec tan 1=+，
设
??? ??<<-=22
tan ππ
αt t x ，那么 tdt a dx t a t a t a a a x 2222222sec ,sec tan 1tan ==+=+=+，
于是
?
??==+tdt dt t a t
a a x dx sec sec sec 222 ∴C t t a
x dx ++=+?tan sec ln 2
2
∵a
a x t 2
2sec +=
，且0tan sec >+t t
∴1222
222)ln(ln C a x x C a
a x a x a x dx
+++=+???
?
??++
=+?
，a C C ln 1-=
3、分部积分法
定义：设函数)(x μμ=及)(x υυ=具有连续导数。那么，两个函数乘积的导数公式为
()'''μυυμμυ+=
移项得 υμμυμυ')'('-= 对这个等式两边求不定积分，得
??-=dx dx υμμυμυ''
此公式为分部积分公式。 例：求?
xdx x cos
解 ??-=xdx x x xdx x sin sin cos
∴?
++=C x x x xdx x cos sin cos 分部积分的顺序：反对幂三指。 4、有理函数的积分
例：求?+-+dx x x x 6
51
2
解 ∵)2)(3(652--=+-x x x x ，故设
2
36512
-+-=+-+x B
x A x x x 其中A,B 为待定系数。上式两端去分母后，得
)3()2(1-+-=+x B x A x
即 B A x B A x 32)(1--+=+ 比较上式两端同次幂的系数，既有
?
?
?-=+=+1321
B A B A 从而解得 3,4-==B A 于是
C x x dx x x dx x x x +---=??
?
??---=+-+??2ln 33ln 423346512 其他有些函数可以化做有理函数。 5、积分表的查询 二、定积分
1、定积分的定义和性质
（1）定义：设函数)(x f 在[]b a ,上有界，在[]b a ,中任意插入若干个分点
b x x x x x a n n =<<<<<=-1210
把区间[]b a ,分成n 个小区间
[][][]n n x x x x x x ,,,,,,12110-
各个小区间的长度依次为
1122011,,,--=?-=?-=?n n n x x x x x x x x x
在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i i x x ≤≤-ξξ1，作函数值
)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()n i x f i i ,,2,1)( =?ξ，并作出和
∑=?=n
i i i x f S 1
)(ξ
记{}n x x x ???=,,,m ax 21 λ，如果不论对[]b a ,怎么划分，也不论在小区间[]i i x x ,1-上点i ξ怎么选取，只要当0→λ时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极限I 为函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分
(简称积分)，记作
?
b
a
dx x f )(，即
∑?
=→?==n
i i i b
a
x f I dx x f 1
)(lim )(ξλ
其中)(x f 叫做被积函数，dx x f )(叫做被积表达式，x 叫做积分
变量，
a 叫做积分下限，
b 叫做积分上限，[]b a ,叫做积分区间。
定理1：设)(x f 在区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上可积。 定理2：设
)(x f 在区间[]b a ,上有界，且只有有限个间断点，则
)(x f 在[]b a ,上可积。
（2）性质1：[]??
?±=±b
a
b
a
b a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(
性质2：
??
=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()( (k 是常数)
性质3：设b c a <<，则
???
+=b
c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
性质4：如果在区间[]b a ,上1)(≡x f ，则
a b dx dx b
a
b a
-==?
?1
性质5：如果在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则