数学建模案例――最佳捕鱼方案.(优选)

最佳捕鱼方案

摘要：

本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121

111i i i i i i i i W w p s q m =====?-?∑∑∑。

由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一． 问题重述

一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。 承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？

二． 模型假设

1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕

捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。

2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每

天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。

3．在水库自然放水的21内将草鱼捕完。

4．在草鱼日供应量未达饱和的之前，市场供应量等于销售量。

5．每天草鱼的捕捞成本随着每天水位的降低呈等差数列递增分布。

6．随着水库水位的下降，草鱼的种群密度逐渐变大，存在着对空间、食物、氧

气的竞争，种群死亡率逐渐升高。题设中给定草鱼死亡及捕捞损失率随着水位的降低而升高，在这里我们假设草鱼损失率是一个统计学概念，即已经综合了因自然死亡和捕捞等其他原因共同造成的损失。

7．草鱼损失率与水库水位成反比关系，每天捕捞量的损失率与当天池塘总鱼量

的损失率是一致的，以每次捕捞时池塘总鱼数为当次基数。

8．捕捞上的草鱼中的死鱼将另行处理，不会放回水库也不会与活鱼一起出售。

9．日供应量在1000---1500公斤时，我们假定草鱼价格为20元每公斤这一常数。

总体价格随供应量变化关系，如图五所示：

图一

三． 问题的分析

1. 在符合题意并且与实际情况较吻合的情况下，我们应寻求对最优解的精确求

解以及依据草鱼捕捞的可行性方案来捕捞使得承包人获益(W)最大。=p ?-?收益(W)销售额(s )成本(q m)

2. 我们在追求收益最大的同时，需要求出草鱼捕捞的天数以及每天的捕鱼量，

这是一个单目标线性规划问题，原题中给定的草鱼日供应量不同的情况下草鱼的单价也不一样，这样每天的草鱼出售价格均取决于当日的草鱼供应量，于是在模型求解过程中我们采用“0-1整数规划”来解决这个问题，并运用数学软件LINGO 来求解，最后对所得的解进行讨论和分析。

四． 模型的建立及求解

1. 符号的说明：

i l ——第i 天水库水位（米）； i s ——第i 天供应量（公斤）；

i r ——第i 天草鱼的损失率； i m ——第i 天草鱼捕捞成本(元/公斤）； i w ——第i 天草鱼销售收益（元)； W ——捕捞期内草鱼销售总收益（元）； i q ——第i 天的捕捞量（公斤）； i p ——第i 天的售价(元）；

2. 模型的建立

根据假设5，随着水位自然地下降，草鱼的捕捞成本呈等差数列递减分布，第一天捕捞时水位仍然维持在15m ，共需21天。故每公斤草鱼捕捞成本为:

60.15(1);(121,)i m i i i N =-?-≤≤∈

根据假设7，损失率与水位成反比： 212110%50.5i i r l c

c r l ?==?=?=

第i 天草鱼的损失率为（如图三散点图所示）： []0.5/15(1)0.5i r i =--?

图二

图三

第i 天的捕捞量与供应量之间的关系式是： (1)i i i s q r =?-

收益=销售额-成本

即我们的目标函数： 212121

111i i i i i i i i W w p s q m =====?-?∑∑∑

又根据已知条件可得以下5个约束条件：

A) 总的捕鱼量不大于总鱼量 21

125000i i q =≤∑

B) 由日供应量到1500公斤达到饱和则 1500i s ≤

C) 再根据题意的三个在不同的供应量之间的价格的不同可得到如下关系

式：

50030

100025150020

i i i i i i s p s p s p ≤≤=≤≤=≤≤=当0时，当500时，当1000时， 3. 模型的求解

根据上述解题思路，我们用数学软件LINGO 对模型进行求解，根据模型的约束条件和软件的特点，我们采用引入0－1变量的方法编写解题程序：

1050025001000310001500i i i q j q q ≤≤??=<≤??<≤?

——————

ij y ——0,1变量引入，使得 3

1

1,01ij ij j y y ===∑或.

上述式子需改动为: 2121321311111(1)

ij ij i i ij ij ij ij ij i

i i j i j s q r W w y p s y q m ======?-==??-??∑∑∑∑∑

约束条件：

213

11

3

1

1233

1

12325000

1500

05005001000

100015001,0130,25,20ij ij i j ij ij j i i i ij ij j i i i q y s y s s s y y p p p ====??≤????≤???≤

∑∑∑∑或 由程序运行结果得到，21天内草鱼捕捞总收益W =441291.4元.

每天草鱼的具体捕捞策略见表一：

表一

五． 结果分析和检验

1. max min 1666.6671034.48363

2.184q q -=-=（公斤），且大部分捕捞量集中在

1000－1100 之间，说明每天的捕捞量基本相对稳定。

图四

2. 由附录一得，除了23j j y y 及外，其他变量的Reduced Cost 全部为零，即变量

的微小变化对结果没有影响，而23j j y y 及只能取0，1整数，本身没有微小变化，说明我们的模型稳健性比较好。

3. 根据捕捞量和损失率我们可以得到销售量在前16天为1000公斤，而后5天为

1500公斤（见表二），而这两个点刚好是价格曲线中的两个间断点的右端点，也就是在同样价格下的选取最大允许销售量，从定性角度分析，这样的结果使剩余草鱼种群总量降低，相应地后续天数的草鱼损失量会减少，这样也符

销

售

量

（

公

斤

）

1

s

2

s

3

s

4

s

5

s

6

s

7

s 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 8

s

9

s

10

s

11

s

12

s

13

s

14

s 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 15

s

16

s

17

s

18

s

19

s

20

s

21

s 1000 1000 1500 1500 1500 1500 1500 4.在最大利润的方案下，每天的捕捞量持续缓慢上升，但第17天出现一个跳跃

点。因为前15天水位高度还能够基本满足鱼群正常生长的需求，适当控制捕捞量以获得较优的售价，而后几天水位较低，鱼群因空间、食物、生长竞争激烈，损失率会急剧升高，因此要加大捕鱼量，适当降低鱼群密度，来减少鱼群基数便于降低鱼群损失。这也可以看出前16天我们捕鱼的决定因素是成本，而后5天的主要影响因素是损失率，且从总体来看，前16的总收益大于后5天的总收益。因此我们认为成本较损失率对收益的影响较大。

六．优化方向

1.上述模型中价格相对于供应量是分段常函数，这是一种较为简化和粗糙的假

设。商品价格应围绕价值上下波动，价格对供应量应比原假设更敏感，如设为连续函数可能更接近市场实际情况，再由于市场本身的特点控制着价格的上限我们由计算机模拟出价格的定性曲线（如图五所示）。

图五

2.随着水位下降，损失率增加，模型假设中我们设它们为反比例函数，由于水

位的下降，草鱼的密度增加，损失的速率不断加快，在损失率的曲线上表示

为斜率的加快，但实际中可能更为复杂，每个生态系统具体情况也不同，最好根据本池塘或相似生态系统中一定的实验结果统计出池塘中草鱼损失率与水位的关系曲线并模拟成式子后计算得到。

3.有结果分析可得，前15天我们捕鱼的决定因素是成本，而后5天的主要影

响因素是损失率。因此我们考虑在钱其降低捕鱼成本，可以选择人工加快放水来代替自然放水方式以达到降低成本的途径。例如，可以在某一天使水位急剧降低到某一个定值l,然后再让水位再自然放水状态下捕捞，抑或者在每天放水量不一的情况下捕捞，通过人工调节水位，都有可能时的最后的收益变得更大。

4.在第9条假设中，在草鱼供应量在1000～1500公斤时，我们将草鱼售价取

定位20元/公斤。现在做一下修正，由于草鱼价格不会有大幅度降低，大体应该在15～20元/公斤之间分布，于是我们另外分别在15，16，17，18，19元/公斤的售价下进行最优化求解，得到结果列成表格，如表三所示：

表三

由表三可以看出，除了单价在16元/公斤时，捕鱼策略稍有变动，第二天捕捞量S2=500公斤,第15天S15=1500公斤之外，其他天数的捕捞量都与单价在20元/公斤时的捕鱼量相同。这从另一个侧面说明我们的第9条假设是合理的。

参考文献：

[1]谢金星薛毅编著《优化建模与LINDO/LINGO软件》清华大学出版社2005年7月第一版第八章目标规划模型

[2]卢向南，李俊杰寿涌毅编著《应用运筹学》浙江大学出版社2005年2月第一版第四章整数规划第三节整数规划的应用

附录一：程序及结果

源程序：

model:

Title最优捕捞模型;

sets:

Day/1..21/:r,m,l,q1,q2,q3,y1,y2,y3;

Price/1,2,3/:p;

endsets

data:

p=30,25,20;

l=15,14.5,14,13.5,13,12.5,12,11.5,11,10.5,10,9.5,9,8.5,8,7.5,7,6.5,6, 5.5,5;

m=6,5.85,5.7,5.55,5.4,5.25,5.1,4.95,4.8,4.65,4.5,4.35,4.2,4.05,3.9,3. 75,3.6 3.45,3.3,3.15,3;

enddata

[OBJ]max=@sum(Day(i):y1(i)*q1(i)*((1-r(i))*p(1)-m(i))+y2(i)*q2(i)*((1 -r(i))*p(2)-m(i))+y3(i)*q3(i)*((1-r(i))*p(3)-m(i)););

@for(Day(i):l(i)*r(i)=0.5;);

y1(1)*q1(1)+y2(1)*q2(1)+y3(1)*q3(1)+

y1(2)*q1(2)+y2(2)*q2(2)+y3(2)*q3(2)+

y1(3)*q1(3)+y2(3)*q2(3)+y3(3)*q3(3)+

y1(4)*q1(4)+y2(4)*q2(4)+y3(4)*q3(4)+

y1(5)*q1(5)+y2(5)*q2(5)+y3(5)*q3(5)+

y1(6)*q1(6)+y2(6)*q2(6)+y3(6)*q3(6)+

y1(7)*q1(7)+y2(7)*q2(7)+y3(7)*q3(7)+

y1(8)*q1(8)+y2(8)*q2(8)+y3(8)*q3(8)+

y1(9)*q1(9)+y2(9)*q2(9)+y3(9)*q3(9)+

y1(10)*q1(10)+y2(10)*q2(10)+y3(10)*q3(10)+

y1(11)*q1(11)+y2(11)*q2(11)+y3(11)*q3(11)+

y1(12)*q1(12)+y2(12)*q2(12)+y3(12)*q3(12)+

y1(13)*q1(13)+y2(13)*q2(13)+y3(13)*q3(13)+

y1(14)*q1(14)+y2(14)*q2(14)+y3(14)*q3(14)+

y1(15)*q1(15)+y2(15)*q2(15)+y3(15)*q3(15)+

y1(16)*q1(16)+y2(16)*q2(16)+y3(16)*q3(16)+

y1(17)*q1(17)+y2(17)*q2(17)+y3(17)*q3(17)+

y1(18)*q1(18)+y2(18)*q2(18)+y3(18)*q3(18)+

y1(19)*q1(19)+y2(19)*q2(19)+y3(19)*q3(19)+

y1(20)*q1(20)+y2(20)*q2(20)+y3(20)*q3(20)+

y1(21)*q1(21)+y2(21)*q2(21)+y3(21)*q3(21)<=25000;

@for(Day(i):q1(i)*(1-r(i))<=501);

@for(Day(i):q2(i)*(1-r(i))>=500);

@for(Day(i):q2(i)*(1-r(i))<=1000);

@for(Day(i):q3(i)*(1-r(i))>=1001);

@for(Day(i):q3(i)*(1-r(i))<=1500);

@for(Day(i):y1(i)+y2(i)+y3(i)=1;);

@for(Day(i):y1(i)+y2(i)+y3(i)=1;);

@for(Day(i):@bin(y1(i)););

@for(Day(i):@bin(y2(i)););

@for(Day(i):@bin(y3(i)););

END

程序运行结果：

Local optimal solution found at iteration: 2746 Objective value: 441291.4

Model Title: 最优捕捞模型

Variable Value Reduced Cost Q1( 1) 0.000000 0.000000

Q1( 2) 0.000000 0.000000

Q1( 3) 0.000000 0.000000

Q1( 4) 0.000000 0.000000

Q1( 5) 0.000000 0.000000

Q1( 6) 0.000000 0.000000

Q1( 7) 0.000000 0.000000

Q1( 8) 0.000000 0.000000

Q1( 9) 0.000000 0.000000

Q1( 10) 0.000000 0.000000

Q1( 11) 0.000000 0.000000

Q1( 12) 0.000000 0.000000

Q1( 13) 0.000000 0.000000

Q1( 14) 0.000000 0.000000

Q1( 15) 0.000000 0.000000

Q1( 16) 0.000000 0.000000

Q1( 17) 0.000000 0.000000

Q1( 18) 0.000000 0.000000

Q1( 19) 0.000000 0.000000

Q1( 20) 0.000000 0.000000

Q1( 21) 0.000000 0.000000

Q2( 1) 1034.483 0.000000

Q2( 2) 1035.714 0.000000

Q2( 3) 1037.037 0.000000

Q2( 4) 1038.462 0.000000

Q2( 5) 1040.000 0.000000

Q2( 6) 1041.667 0.000000

Q2( 7) 1043.478 0.000000

Q2( 9) 1047.619 0.000000 Q2( 10) 1050.000 0.000000 Q2( 11) 1052.632 0.000000 Q2( 12) 1055.556 0.000000 Q2( 13) 1058.824 0.000000 Q2( 14) 1062.500 0.000000 Q2( 15) 1066.667 0.000000 Q2( 16) 1071.429 0.000000 Q2( 17) 538.4615 0.000000 Q2( 18) 541.6667 0.000000 Q2( 19) 545.4545 0.000000 Q2( 20) 550.0000 0.000000 Q2( 21) 555.5556 0.000000 Q3( 1) 1035.517 0.000000 Q3( 2) 1036.750 0.000000 Q3( 3) 1038.074 0.000000 Q3( 4) 1039.500 0.000000 Q3( 5) 1041.040 0.000000 Q3( 6) 1042.708 0.000000 Q3( 7) 1044.522 0.000000 Q3( 8) 1046.500 0.000000 Q3( 9) 1048.667 0.000000 Q3( 10) 1051.050 0.000000 Q3( 11) 1578.947 0.000000 Q3( 12) 1583.333 0.000000 Q3( 13) 1588.235 0.000000 Q3( 14) 1593.750 0.000000 Q3( 15) 1600.000 0.000000 Q3( 16) 1607.143 0.000000 Q3( 17) 1615.385 0.000000 Q3( 18) 1625.000 0.000000 Q3( 19) 1636.364 0.000000 Q3( 20) 1650.000 0.000000 Q3( 21) 1666.667 0.000000 Y1( 1) 0.000000 0.000000 Y1( 2) 0.000000 0.000000 Y1( 3) 0.000000 0.000000 Y1( 4) 0.000000 0.000000 Y1( 5) 0.000000 0.000000 Y1( 6) 0.000000 0.000000 Y1( 7) 0.000000 0.000000 Y1( 8) 0.000000 0.000000 Y1( 9) 0.000000 0.000000

Y1( 11) 0.000000 0.000000 Y1( 12) 0.000000 0.000000 Y1( 13) 0.000000 0.000000 Y1( 14) 0.000000 0.000000 Y1( 15) 0.000000 0.000000 Y1( 16) 0.000000 0.000000 Y1( 17) 0.000000 0.000000 Y1( 18) 0.000000 0.000000 Y1( 19) 0.000000 0.000000 Y1( 20) 0.000000 0.000000 Y1( 21) 0.000000 0.000000 Y2( 1) 1.000000 -18793.10 Y2( 2) 1.000000 -18941.07 Y2( 3) 1.000000 -19088.89 Y2( 4) 1.000000 -19236.54 Y2( 5) 1.000000 -19384.00 Y2( 6) 1.000000 -19531.25 Y2( 7) 1.000000 -19678.26 Y2( 8) 1.000000 -19825.00 Y2( 9) 1.000000 -19971.43 Y2( 10) 1.000000 -20117.50 Y2( 11) 1.000000 -20263.16 Y2( 12) 1.000000 -20408.33 Y2( 13) 1.000000 -20552.94 Y2( 14) 1.000000 -20696.88 Y2( 15) 1.000000 -20840.00 Y2( 16) 1.000000 -20982.14 Y2( 17) 0.000000 -21123.08 Y2( 18) 0.000000 -21262.50 Y2( 19) 0.000000 -21400.00 Y2( 20) 0.000000 -21535.00 Y2( 21) 0.000000 -21666.67 Y3( 1) 0.000000 -20689.66 Y3( 2) 0.000000 -20911.61 Y3( 3) 0.000000 -21133.33 Y3( 4) 0.000000 -21354.81 Y3( 5) 0.000000 -21576.00 Y3( 6) 0.000000 -21796.88 Y3( 7) 0.000000 -22017.39 Y3( 8) 0.000000 -22237.50 Y3( 9) 0.000000 -22457.14 Y3( 10) 0.000000 -22676.25 Y3( 11) 0.000000 -22894.74

Y3( 13) 0.000000 -23329.41 Y3( 14) 0.000000 -23545.31 Y3( 15) 0.000000 -23760.00 Y3( 16) 0.000000 -23973.22 Y3( 17) 1.000000 -24184.62 Y3( 18) 1.000000 -24393.75 Y3( 19) 1.000000 -24600.00 Y3( 20) 1.000000 -24802.50 Y3( 21) 1.000000 -25000.00 P( 1) 30.00000 0.000000 P( 2) 25.00000 0.000000 P( 3) 20.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 441291.4 1.000000

2 0.000000 -424.2961

3 0.000000 -428.8632

4 0.000000 -433.7574

5 0.000000 -439.0415

6 0.000000 -444.7641

7 0.000000 -450.9818

8 0.000000 -457.7619

9 0.000000 -465.1840

10 0.000000 -473.3726

11 0.000000 -482.3566

12 0.000000 -498.6126

13 0.000000 -510.1826

14 0.000000 -523.1807

15 0.000000 -537.8877

16 0.000000 -554.6635

17 0.000000 -573.9762

18 0.000000 -882.3433

19 0.000000 -921.0218

20 0.000000 -967.2727

21 0.000000 -1023.459

22 0.000000 -1093.370

23 25.06504 0.000000

24 501.0000 0.000000

25 501.0000 0.000000

26 501.0000 0.000000

27 501.0000 0.000000

28 501.0000 0.000000

29 501.0000 0.000000

31 501.0000 0.000000

32 501.0000 0.000000

33 501.0000 0.000000

34 501.0000 0.000000

35 501.0000 0.000000

36 501.0000 0.000000

37 501.0000 0.000000

38 501.0000 0.000000

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40 501.0000 0.000000

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61 0.000000 0.000000

63 0.000000 0.000000

64 0.000000 0.000000

65 0.000000 0.000000

66 0.000000 18.79310

67 0.000000 18.94107

68 0.000000 19.08889

69 0.000000 19.23654

70 0.000000 19.38400

71 0.000000 19.53125

72 0.000000 19.67826

73 0.000000 19.82500

74 0.000000 19.97143

76 0.000000 20.26316

77 0.000000 20.40833

78 0.000000 20.55294

79 0.000000 20.69687

80 0.000000 20.84000

81 0.000000 20.98214

82 500.0000 0.2107117E-04

83 500.0000 0.2118759E-04

84 500.0000 0.2130400E-04

85 500.0000 0.2153683E-04

86 500.0000 0.2165325E-04

87 499.0000 0.000000

88 499.0000 0.000000

89 499.0000 0.000000

90 499.0000 0.000000

91 499.0000 0.000000

92 499.0000 0.000000

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95 499.0000 0.000000

96 499.0000 0.000000

97 499.0000 0.000000

98 499.0000 0.1381462E-04

99 499.0000 0.1389223E-04 100 499.0000 0.1404745E-04 101 499.0000 0.1420267E-04 102 499.0000 0.1435789E-04 103 499.0000 0.1451311E-04 104 499.0000 0.1466833E-04 105 499.0000 0.1482355E-04 106 499.0000 0.1490116E-04 107 499.0000 0.1513399E-04 108 0.000000 0.1521160E-04 109 0.000000 0.1536682E-04 110 0.000000 0.1552204E-04 111 0.000000 0.1567726E-04 112 0.000000 0.1583248E-04 113 0.000000 0.1591009E-04 114 0.000000 16.12308

115 0.000000 16.26250

116 0.000000 16.40000

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128 0.000000 16.66667

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数学建模经典案例：最优截断切割问题复习进程

数学建模经典案例：最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题 一、 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 二、 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 三、 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工. 由此准则,只需考虑 P 6622290!!! ??=种切割方式.即在求最少加工费用时，只 需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.

最优投资方案数学模型

项目投资的最优问题 摘要 本文主要讨论项目投资的最优化问题。首先对该问题进行分析，建立相应的数学模型，以使得投资获得的总利润达到最大值。这是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，以资金总额加上各种投资项目的限制为约束条件。再用lingo软件对问题进行求解，得到比较理想的结果。在本文最后我们对项目投资最优的建模方法做了评价，对其算法进行综合考虑并做了简要分析 关键字：线性规划；LINGO软件；优化模型； 0-1规划

一、问题的重述与分析 随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行盈利已成为许多公司取得利润的主要途径，但盈利的多少与项目的选择息息相关，所以有时需要对项目进行选择性投资。本题就是针对这样一个问题建立数学优化模型，用数学的眼光看待及解决这个问题。项目j 所需投资额和预期收益分别为：aj 、cj(j=1,2,...,n) （1）若选择项目1，就必须选择项目2，反之不一定；（2）项目3和4中至少选择一个；（3）项目5、6、7中恰好选择两个。 问题：在各项目只可进行单次投资（模型一）和可重复投资（模型二）两种情况下分别建立一个数学优化模型，如何选择投资项目使投资收益最大化。 二、模型假设 1.无交易费和投资费用等的费用开支； 2.投资期间市场发展基本稳定； 3.投资期间社会政策无较大变化； 4.公司的经济发展对投资无较大影响； 三、符号说明 j a :项目j 所需投资金额； c j :项目j 的预期收益金额； x j :投资项目的决策变量（x j =0,1）； z:投资的最大收益 ij a ：项目j 投资i 次所需投资金额； ij c ：项目j 投资i 次的预期收益金额； 四、模型建立 （1）模型一： 各项目只可进行单次投资,通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型一。 目标函数为： ).....4,3,2,1(max 1n j c x z n j j j ==∑=

建立数学建模案例分析

§15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5） 其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件： 条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。

数学建模之土地拍卖方案

课程设计报告 课程设计题目：拍卖土地方案 姓名1：孙宏山学号：1020420201 姓名2：钟丽学号：1020420216 姓名3：朱诗悦学号：1020420210 专业通信工程 班级通信2班（10204202） 指导教师樊继秋 2011年10月20日

摘要 “拍卖土地问题”主要是探讨如何能够在满足投标人的购买兴趣的前提下获取最大福利。由题目我们知道拍卖的土地有五块，投标人有三个，经初步分析，本次问题有排列组合和最大值问题两部分。我们就是要分析，在哪种组合的情况下，政府能够获得最大的利益。因此我们就常常会需要用到数学当中数学建模来解决这个实际中的问题了，利用数学中的方法来找到一个最佳最优最完好拍卖方案。选择最优化来实现总福利最多是拍卖方案中最常见的问题，也是最有实际意义的问题。我们所要解决的就是在多种方案中，计算出最佳拍卖方案。 所以在解决此类经济学问题的时候，我们需要应用数学知识，借助数学模型来得到具体的组合方案并结合经济学的观点进行综合性的分析。在解决最优问题时，我们也会需要应用线性规划法来确定最优组合方案的决策。在具体计算中，我们也常常借助于lingo软件来计算，希望能够得到比较精确的数据，进行更有实际意义的经济揣摩，从而指导实际当中的工作。 通过精确计算所得到的数据，便于我们结合经济知识去分析和找出多种商品组合中的最优组合方案，并分析其最优方案时所需的成本。在实际经济应用中，能做到有效的节约成本，对我们是具有指导性意义的. 关键词：土地拍卖投标人出售土地最大化社会福利

一、问题重述与分析 问题：假设某国政府准备将5块土地A,B,C,D,E对外拍卖，采用在规定日期前 投标人提交投标书的方式进行，最后收到了3个投标人的投标书。每个投标人对 其中的若干块土地有购买兴趣，分别以两个组合包的形式投标，但每个投标人最 多只能购买其中1个组合包，投标价格如下表所示。如果政府希望最大化社会福利，这5块土地应该如何售出？ 投标组合包投标人1 投标人1 投标人2 投标人2 投标人3 投标人3 包含的土地ABD CDE BE AD BDE CE 投标价格95 80 60 82 90 71 分析：通过对题目的分析，我们可以清晰看到，这样类型的题目是一个优化求 极值的问题，而且是代有线性约束优化条件的极大值问题.首先，我们要考虑土 地实际价值与投标者的投标价格之间的区别，政府希望最大化社会福利，也就是 希望5块土地以某种方案售出时投标价格总和最大（不一定每块土地的投标价格 都比真实价值高，只考虑总和最大化）。 当然，方案的制定是有条件约束的：注意到第一个限制， 5块土地都必须 以组合包的形式拍卖，而不能单独售出，投标者也想同时购得组合包中的几块土地，土地的多种组合方式造成拍卖方案的多样化；在第二个限制中，虽然每个投 标者给出两种选择方式，但最多只能购买一个组合包，这样有些组合方式也就不 能实现，问题得到简化。 这样我们就能通过一系列假设来建立如下的数学模型。 二、模型假设与符号说明 根据上述分析，我们作如下假设： 1．假设每个投标人确实是对自己的投标组中土地都有购买兴趣 2．假设每个投标人对各自提交的投标组都很感兴趣 3．假设所有投标者给出的投标价格是经过慎重考虑的，并且在提交投标书后 不再变更 4．假设投标是在公平公正的原则下进行的

数学建模案例分析--对策与决策方法建模6决策树法

§6 决策树法 对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表： 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元） 我们可以计算每种决策下利润的期望值： 实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上： 图1

图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？ 根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5

完整的数学建模-最佳捕鱼方案

会。

承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 日期：年月日

评阅记录 题目：最佳捕鱼方案 摘要 在充分理解题意的基础上，我们提出了合理的假设。通过对问题的深入分析和对草鱼损失率的不同理解，我们建立了三个模型。 模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。在这种情况下，我们进行了粗略的估算，在日供应量方面，我们让每日草鱼的供应量达到售价方面的临界值。提出了四个可行的方案。通过比较认为方案四·能使总利润达到最大值404636元，共损失草鱼量为2625kg,当且仅当第1天至第15天，日供应量为1000kg,单价为25元，第16天至19天，日供应量为1500kg，单价为20元。第20天售出1375kg，单价为20元。 在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。模型二，不考虑日供应量在1500kg以上的情况，运用LINGO解出的结果为总利润的最大值为373260.0元，草鱼的损失为7113.960kg。第1天到第14天及第16天，每天售出草鱼1000kg,第19天售出886.04kg，其余每天售出500kg。 模型三在模型二的基础上做了一些改进(如考虑日供应量在1500kg以上的情况)，建立了多目标的规划模型，求得总利润的最大值为332875元，草鱼的总死亡量为8828.493kg。第2天到第5天及第11天到16天，每天售出1000kg,其余每天售出500kg。 关键词： 0-1变量规划问题多目标 LINGO

数学建模案例分析

案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。

旅游方案设计数学建模

黄金周旅游方案设计 摘要 本文主要解决的是去安徽旅游的最佳旅游路线的设计问题。花最少的钱游览尽可能满意度高的景点是我们追求的目标。基于对此的研究，我们建立了三个模型。 针对方案一：建立了单目标最优化模型。选定10个游览景点，在约束条件下，建立0-1规划模型，以总费用最小为目标函数。使用lingo 编程，最后求得的最小费用是：755元。具体方案为：11→7→4→6→3→2→1→10→11针对方案二：建立了单目标最优化模型。巧妙地将该问题化为TSP，以满意度为目标函数，在时间的约束条件下，运用lingo 编程，最后求得满意度是：0.86。旅游路线为：11→2→4→7→9→10→11 针对方案三：建立了多目标最优化模型。基于方案一与二，以最小费用和最大满意度为目标函数，在约束条件下，采用分层求解法，运用lingo 编程，最后得出满意度是：0.83，费用为782元。推荐路线：11→2→7→6→3→10→9→11 、 关键词：多目标最优化模型 0-1规划模型 TSP lingo求解%

! 一、问题重述 1.1问题背景 安徽是全国旅游大省，每年接纳游客上千万人次。现假设黄金周期间，你在外地读书的老同学、好朋友前来看望你，并要在安徽游玩几天，请查阅相关资料，从车费，餐饮，门票，景点满意度等多方面综合考虑，建立相关数学模型，列出一个四天三夜的游玩计划。 1.2需要解决的问题 根据对题目的理解我们可以知道，需要解决的问题是在安徽游玩四天三夜，并且综合考虑车费，餐饮，门票，景点满意度等多方面因素。所以我们的目标就是在满足所有约束条件的情况下，求出最少费用。 ： 二、模型假设 假设1：旅行路线的总路程不包括在某一城市中观光旅游的路程； 假设2：旅行者在某一城市的旅游结束前往下一个目的地时，所乘坐的交通工具都是非常顺利的，不会出现被滞留等意外情况； 假设3：在乘坐交通工具的途中，不考虑除交通费用之外的其它任何费用； 假设4：任意两点之间来回路程相等； 假设5：每个景点游玩时间与满意度成正比，比例常数为k； 假设6：定义满意度为该景点客流量占总客流量的比例； 假设7：每天固定餐饮等消费为100元/天； ） 假设8：每天游玩10个小时；

数学建模经典案例：最优截断切割问题

建模案例：最优截断切割问题 一、 问 题 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少. 二、 假 设 １、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1； ２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ； ３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割. 三、 模型的建立与求解 设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工. 由此准则,只需考虑 P 6622290!!! ??=种切割方式.即在求最少加工费用时， 只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式. 1、 e=0 的情况

数学建模(公司人力资源配置方案的最优设计)

公司人力资源配置方案的最优设计 摘要 人力资源管理是一个公司进行人力资源分配的重要工作，合理地安排人力资源，能够为企业带来最大的经济效益。公司不只要对现有的人员进行任务分配，还要使公司的人力资源结构保持一个科学的比例。本模型旨在为A建筑公司提供一个良好的人员分配方案，达到公司获利最大的目的，以及怎样在以后的人员招聘中使人力资源结构保持一个良好的比例。在公司现有的情况下，通过分析各种影响因素，排除掉一些不必要的干扰因素，运用整数线性规划和分支定界法的知识建立数学模型，并使用LINGO软件进行编程求解，得出公司人员分配的最佳方案。在对本模型优缺点评价之后，根据公司可能会采取临时招聘技术人员的情况，对模型进行了改进，通过模型计算，为公司提供了一个合理的人员招聘方案。 关键字：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件

目录 一、问题重述 (1) 二、问题分析 (1) 三、问题假设 (2) 四、模型建立 (2) 五、模型求解 (4) 六、结果分析 (5) 七、模型评价 (6) 八、模型改进 (6) 九、附录 (8) 参考文献： (11)

一、问题重述 企业的人力资源管理是一门科学，而人力资源管理最主要的任务是如何把企业现有的人力资源安排到合适的工作岗位，以使企业能够获得更高的经济效益。尤其是在人力资源稀缺的情况下，合理的安排各人员的任务更是显得至关重要。接下来我们将要解决的就是一个企业人员分配的问题。在这个问题中，A建筑工程公司有高级工程师、工程师、助理工程师、技术员等四种不同级别的工作人员，并且公司同时承接了A、B、C、D四个不同的工程项目。公司不同级别的技术人员的工资是固定不变的，各级别技术人员的数量也是一定的，为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，在各项目的收费标准也是一定的情况下，合理的安排现有的技术人员的任务，将使公司获得一个最大的利润。那么，为了获得最大收益，A公司到底应该如何把这四种不同级别的技术人员安排到四个不同的项目中去呢？本文中，我们将重点对该问题进行分析。 二、问题分析 该问题的任务是，通过合理分配人员，使公司每天的直接收益最大。公司的主要收入来源是对各项目所收取的费用，支出主要有两项：四种不同级别的技术人员的工资和项目期间的办公费用。公司的直接收益是总收入减去总支出。A公司对各个项目的不同技术人员的收费标准都高于对应技术人员的总支出费用。我们可以得出不同项目对应不同级别技术人员的利润表如下： 注：该表中的利润值是已经减去办公费用的值 同时，技术人员的分配受到不同项目对技术人员结构要求的约束，由于公司人员有限，各项目的技术人员安排不可能同时达到所需的最大数量，我们要将现有的41名技术人员对最大55个可用岗位进行安排。

数学建模案例分析-- 插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。

数学建模最优方案

数学建模 投资最优方案问题 学院：应用工程学院 班级：应电1539 姓名：许林 学号：1504150137 2016年5月8日

投资最优方案问题 摘要 在商品经济社会中，随着生产要素的多元化，投资的内涵变得越来越丰富，无论是投资的主体和对象，还是投资的工具和方式都有极大的变化，由于投资对企业的生存和发展有着非同寻常的影响，投资已经成为每个企业力图做大做强，扩大规模，增强效益，持续发展的必要条件。 本文讨论了投资所得利润问题，针对投资问题进行全面分析，在不考虑投资项目之间相互影响的前提下，分别讨论有风险与无风险两种情况下产生的不同结果，并制定最优投资方案。 问题1是在不考虑投资风险因素为1500万资金制定投资方案，为其获得最大利润，根据题设以及隐含约束条件，列出目标函数以及线性方程，最后求出最大利润367.1万元。 问题2则是考虑投资风险因素为1500万资金制定投资方案，为其获得最大利润，则该问题则要综合考虑投资风险及所获利润大小，则各个项目投资风险所处金额达到的最小时取得的项目投资方案，即为考虑风险时所获利润最大的方案，最后求出风险损失最小值为354.35万元。 问题3拟写出清晰明确的论文，作为投资商重要的参考依据。 关键字：线性规划、投资风险、投资方案、LINGO。 1 问题重述 某私募经理集资1500万资金，准备用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择。为了分散风险，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目投资一年后所得利润经过估算大致如下表，如表1所示。 请帮该私募经理解决以下问题： 问题1：就表1提供的数据，应该投资哪些项，各项目分别投资多少钱，使得第一年所得利润最高？ 问题2:如果考虑投资风险，则应如何投资，使年总收益不低于300万，而风险尽可能小。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。 问题3:将你所求得的结果写成论文的形式，供该私募经理参考使用。

[实用参考]高中常见数学模型案例.doc

高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部20KK 年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数P 与按新价让利总额P 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 4 5=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路P （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程P 和时间t 得函数关系式P （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离Pkm 与时间th 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间th 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。 解：设小矩形长为P ，宽为P ，则由图形条件可得：l y x x =++911π ∴x l y )11(9π+-= 要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则： )44(32)442(644])11([322622 222 2ππππππ+++-+-=+-+=+=l l x x lx x xy x s

常用数学建模方法

数学建模常用方法以及常见题型 核心提示： 数学建模方法一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自 数学建模方法 一、机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型 1.比例分析法--建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。 2.代数方法--求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。 4.常微分方程--解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5.偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 二、数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型 1.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 3.回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）I=1,2,…,n，确定函数的表达式，于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 4.时序分析法--处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1.计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 ①离散系统仿真--有一组状态变量。 ②连续系统仿真--有解析达式或系统结构图。 2.因子试验法--在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。 3.人工现实法--基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 数学建模题型 赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 一、实际问题背景 1.涉及面宽--有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。 2.一般都有一个比较确切的现实问题。

数学建模最佳组队方案

数学建模论文 加权向量组合安排最佳组队方案 摘要： 在一年一度的数学建模竞赛活动中，都会有很多院校组织学生参 加数学建模竞赛，比赛规则就是3个人组成一个队，但是每个学校都会有同样的问题，那就是在挑选出来的参赛团队中如何安排组队才能使队伍实力最强，以及整个团队实力最强，即追求一种整体实力最大化，这是参赛之前每个院校必须做好的工作，组队原则是队员各方面能力能互补。 根据某院校20名参赛预选队员，学校决定从20名队员中选出18名队员参加数学建模竞赛。根据对20名队员各项（7项）衡量指标判定学生的综合素质，我们通过定义7项指标的权重得到一个正互反阵， 采用层次分析法，进行分析，并且检验是否通过一致性检验，即 0.1ci cr ri =< 则通过一致性检验，那么就可以知道每一个学生的综合 成绩，通过筛选把最差的两个学生排除，就得到安排人数及名单，经检验在问题一中各项指标分层分析都通过一致性检验，运用MATLAB 进行计算输出结果。 在问题二中采用一随机三个人进行组合，进行随机组队，然后采

用对每一个队组成的37 ?的一个矩阵这样的矩阵通过MATLAB计算有816个，那么就有816种组合方式，在矩阵中每一行表示学生的姓名，列表示学生的各项指标，为了让三个对员能够形成互补，我们采用调用函数max()方法进行搜索每一列最大值，构成一个新的数组，代表该队的各项能力水平，这样依次取出就得到816个队的各项指标的成绩，再与问题一里面的权重向量w相乘，就得到一个8161 ?的一个总体综合实力的矩阵，再通过排序筛选出最大的一个值，找到与之对应的组合队员，那么就可以确定该队实力最强。 问题三采用随机排序然后每隔3个数归为一个整体代表每一个，一共有六个，通过增加其随机次数来确定它的稳定值。 关键词： 层次分析，随机数循环，加权向量，MATLAB，一致性检验一．问题重述： 问题一： 对于问题一的得要求要在20个队员中选出最好的18个人参加比赛，通过筛选把最后的两个同学进行排就可以确定参赛队员名单。 问题二： 对于问题二，根据题目要求通过对全局组合进行筛选，这里运用问题一里面的数据，通过层次分析出来的权向量w，以及筛选出来的18个队员名单进行排列组合的所有可能性做一个全局计算，得到每种可能组队的一个总体评价分数指标，然后筛选出最大的一个分数，就可以知道该队的人员组合安排。 问题三： 对于问题三，根据题目要求筛选出来的18名队员组成的六个队需

多元线性回归 数学建模经典案例

多元线性回归 黄冈职业技术学院数学建模协会胡敏 作业： 在农作物害虫发生趋势的预报研究中,所涉及的5个自变量及因变量的10组观测数据如下,试建立y对x1-x5的回归模型，指出那些变量对y有显著的线性贡献，贡献大小顺序。 x1 x2 x3 x4 x5 y 9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.863 5.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.903 6.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.930 7.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104 编写程序如下： data ex; input x1-x5 y@@; cards; 9.200 2.732 1.471 0.332 1.138 1.155 9.100 3.732 1.820 0.112 0.828 1.146 8.600 4.882 1.872 0.383 2.131 1.841 10.233 3.968 1.587 0.181 1.349 1.356 5.600 3.732 1.841 0.297 1.815 0.863 5.367 4.236 1.873 0.063 1.352 0.903 6.133 3.146 1.987 0.280 1.647 0.114 8.200 4.646 1.615 0.379 4.565 0.898 8.800 4.378 1.543 0.744 2.073 1.930 7.600 3.864 1.599 0.342 2.423 1.104 ; proc reg; model y=x1 x2 x3 x4 x5/cli; run; 运行结果如下： （1）回归方程显著性检验. Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 5 2.25207 0.45041 11.63 0.0170 Error 4 0.15497 0.03874 Corrected Total 9 2.40704

数学建模案例分析--灰色系统方法建模2灰色预测模型GM(1-1)及其应用

§2 灰色预测模型GM(1,1)及其应用 蠕变是材料在高温下的一个重要性能。处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。 为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。 一、灰色预测模型GM （1,1） 建模步骤如下： （1）GM （1,1）代表一个白化形式的微分方程： u aX dt dX =+)1() 1( （1） 式中，u a ,是需要通过建模来求得的参数；) 1(X 是原始数据) 0(X 的累加生成（AGO ）值。 （2）将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素，这就是数据处理。表示为： ∑==k n n X k X 1 )0() 1()()( （2） 不直接采用原始数据) 0(X 建模，而是将原始的、无规律的数据进行加工处理，使之变得较有规 律，然后利用生成后的数据列来分析建模，这正是灰色系统理论的特点之一。 （3）对GM （1,1），其数据矩阵为 ???? ?? ? ? ?+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B （3） 向量T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( = （4）作最小二乘估计，求参数u a , N T T Y B B B u a 1)(?-=??? ? ??=α （4） （5）建立时间响应函数，求微分方程（1）的解为 a u e a u X t X at +-=+-))1(()1(?)0()1( （5）

数学建模最佳组队方案

数学建模论文 加权向量组合安排最佳组队方案 摘要： 在一年一度的数学建模竞赛活动中，都会有很多院校组织学生参 加数学建模竞赛，比赛规则就是3个人组成一个队，但是每个学校都会有同样的问题，那就是在挑选出来的参赛团队中如何安排组队才能使队伍实力最强，以及整个团队实力最强，即追求一种整体实力最大化，这是参赛之前每个院校必须做好的工作，组队原则是队员各方面能力能互补。 根据某院校20名参赛预选队员，学校决定从20名队员中选出18名队员参加数学建模竞赛。根据对20名队员各项（7项）衡量指标判定学生的综合素质，我们通过定义7项指标的权重得到一个正互反阵，采用层次分析法，进行分析，并且检验是否通过一致性检验，即 0.1ci cr ri =<则通过一致性检验，那么就可以知道每一个学生的综合成 绩，通过筛选把最差的两个学生排除，就得到安排人数及名单，经检验在问题一中各项指标分层分析都通过一致性检验，运用MATLAB 进行计算输出结果。 在问题二中采用一随机三个人进行组合，进行随机组队，然后采用对每一个队组成的37?的一个矩阵这样的矩阵通过MATLAB 计算有816个，那么就有816种组合方式，在矩阵中每一行表示学生的姓名，列表示学生的各项指标，为了让三个对员能够形成互补，我们采用调用函数max()方法进行搜索每一列最大值，构成一个新的数组，代表该队的各项能力水平，这样依次取出就得到816个队的各项指标的成绩，再与问题一里面的权重向量w 相乘，就得到一个8161?的一个总体综合实力的矩阵，再通过排序筛选出最大的一个值，找到与之对应的组合队员，那么就可以确定该队实力最强。 问题三采用随机排序然后每隔3个数归为一个整体代表每一个，一共有六个，通过增加其随机次数来确定它的稳定值。