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《平面向量》综合测试题
班级 ___________ 姓名 ____________ 学号 ____________ 得分 ____________
一、选择题 ( 本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 )
1. 若 A （2，-1），B （ -1，3），则 AB 的坐标是
(
)
A. （1， 2）
B.（ -3， 4）
C. （ 3， -4）
D. 以上都不对
2.与 a =（ 4，5）垂直的向量是
(
)
A. （ -5k,4k ）
B. (-10 ， 2）
C.(5
,
4 ) D.（ 5k, -4k ）
k
k
3. △ ABC 中 , BC =a , AC =b ,则 AB 等于
(
)
A. a+b
B.-( a+b )
C.a-b
D.b-a
2 (a －b )－ 1
2 (2a +1
3 b )的结果是
(
)
4.化简
(2a +4b )+
5
3
15
A. 1
a
1 b B. 0
C. 1
a + 1
b
D. 1
a － 1
b
5
5
5
5
5
5
5.已知 |p |= 2 2 ,|q |=3, p 与 q 的夹角为
,则以 a =5p +2q ,b =p － 3q 为邻边的平行四边形的一条
4
对角线长为
(
)
A.15
B. 15
C. 16
D.14
6.已知 A(2,-2), B(4,3), 向量 p 的坐标为 (2k-1,7) 且 p ∥ AB ,则 k 的值为
(
)
9
9
19
19
A.
B.
C.
D.
10
10
10 10
7. 已知△ ABC 的三个顶点， A 、 B 、 C 及平面内一点
P 满足 PA PB PC
AB ，则点 P 与
△ ABC 的关系是
(
)
A. P 在△ ABC 的内部
B. P 在△ ABC 的外部
C. P 是 AB 边上的一个三等分点
D. P 是 AC 边上的一个三等分点
8.已知△ ABC 的三个顶点， A (1,5)，B(-2,4) ，C(-6,-4) ，M 是 BC 边上一点 ,且△ ABM 的面积
是△ ABC 面积的
1
,则线段 AM 的长度是
(
)
4
A.5
B. 85
5
85
C.
D.
2
2
1
2 是夹角为 450
的两个单位向量 ,且 a =e 1
2
1 2
(
)
9.设 e ,e
+2e ,b =2e +e ,,则 |a +b |的值 A.3 2
B.9
C. 18 9 2
D.3 2
2
10.若 b ⊥则与
b
的夹角为
() |a|=1,|b|= 2 ,(a- )a, a
A.30 0
B.450
C.600
D.75 0
11. 把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为
3
y=sin( x+)-2,则原函数的解析式为() 6
A. y=sinx
B.y=cosx
C.y=sinx+2
D.y= -cosx
12.在△ ABC 中， AB =c,BC =a, CA =b,则下列推导中错误的是()
A. 若a·b<0,则△ ABC 为钝角三角形
B. 若a·b=0,则△ ABC 为直角三角形
C.若 a·b=b·c,则△ABC为等腰三角形
D. 若c·( a+b+c)=0,则△ ABC 为等腰三角形
二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分，把答案填在题中的横线上)
13.在△ ABC 中，已知AB AC4,且AB AC8, 则这个三角形的形状是.
14.一艘船从A点出发以2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
2km/ h ，则船实际航行的速度的大小和方向是.
15. 若向量 a(3, 2), b(2,1), c(7, 4) ,现用a、b表示c,则c=.
16.给出下列命题 :①若a2+b2 =0,则a=b=0;
②已知 A ( x1 , y1 ), B (x2 , y2 ) ,则1AB( x
1
x
2 ,
y
1
y
2 );
222
③已知 a,b,c 是三个非零向量,若 a+b=0,则|a·c|=|b·c|
④已知
10,
2
012是一组基底 ,a=λ1 1+λ2 2则a与e1不共线 ,a与e2也不共线 ;
,e ,e e e
⑤若 a 与 b 共线,则 a·b=|a|·|b|.其中正确命题的序号是.
三、解答题 (本大题共 6 小题， 17-21 题每小题12 分， 22 题 14 分，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 如图 ,ABCD是一个梯形 , AB // CD, AB 2 CD, M、N 分别是DC, AB 的中点,已知AB a, AD b,试用 a、 b 表示DC , BC和MN .M
C
D
A B
N
18.设两个非零向量
1、e2 不共线.如果AB =e1 2 BC12CD 1 2 e+e ,2e +8e ,=3( e -e )
⑴求证 :A、B、D 共线 ;
⑵试确定实数k,使 k e1+e2和e1+k e2共线 .
19.已知△ ABC 中 ,A(2,4),B(-1,-2), C(4,3), BC 边上的高为AD .⑴求证 :AB⊥ AC;⑵求点 D 与向量AD 的坐标 .
20.已知△ ABC 的三个顶点为
取一点 P,使过 P 且平行与
A(1,2),B(4,1), C(3,4). ⑴求 AB 边上的中线CM 的长 ;⑵在 AB 上BC 的直线 PQ 把ABC 的面积分成4:5两部分,求P点的坐标.
21.已知a、b是两个非零向量，证明：当 b 与 a+λb(λ∈R)垂直时， a+λb 的模取得最小值.
1
22.已知二次函数f(x) 对任意 x∈ R，都有 f (1- x)=f (1+ x)成立，设向量a=(sin x,2), b=(2sin x,),
2 c=(cos2x,1),d=(1,2)。
（1）分别求a·b和c·d的取值范围；
（2）当 x∈ [0, π]时，求不等式 f(a·b)>f(c·d)的解集。
答案
一、 BCDBA ； DDADB ； BD
二、13.等边三角形； 14.大小是 4km/h,方向与水流方向的夹角为
60
－
; 15. a 2b ; 16.①③④
三、 17.∵ | AB |=2| CD |∴ AB 2DC ∴ DC
1
AB
1 a , BC b － 1 a , MN = 1 a － b
2
2
2
4
18.⑴∵ BD BC CD 5e 1+5e 2= 5 AB
, ∴ AB // BD 又有公共点 B,∴A 、B 、D 共线
⑵设存在实数 λ使
k e 1
2
1
2
∴ k =λ且 k λ =1
∴k=
1
+e =λ(e +k e )
19.⑴由 AB AC 0 可知 AB
AC 即 AB ⊥ AC
⑵设 D （x,y ） ,∴ AD
(x
2, y 4), BC
(5,5), BD (x 1, y
2)
∵AD BC
∴ 5(x-2)+5( y-4)=0
7
x
∵ BD// BC
∴ 5(x+1) － 5(y+2)=0∴
2 5
y
2
∴D( 7,5
)AD
(3, 3
) 2 2
2
2
20.⑴ M (5 , 3
) CM (
1 , 5
),| CM |
26 2 2 2
2
2
⑵设 P （ x,y ）
S APQ 4 S APQ 4 |AP|
2 2 S BPQC
5
S ABC
,
|AB|
AP
AB
9 3
3
( x 1, y
2)
2 1) 4
(3,
P(3, )
3
3
a b
21. 当 b 与 a +λb (λ∈ R) 垂直时， b ·(a +λb )=0, ∴ λ= - b 2
| a +λb |=
2 2
2
2
a b 2
a 2
a b 2
b 2 a b a
= b (
2
)
( 2 )
b
b
a b
当 λ= -
时， | a +λb |取得最小值 .
∴当 b 与 a +λb ( λ∈ R)垂直时， a +λb 的模取得最小值 .
22. (1 ） a ·b =2sin 2x+1 1 c ·d =2cos 2x+1 1
（ 2）∵ f(1- x)=f(1+ x)∴ f( x)图象关于 x=1 对称 当二次项系数 m>0 时 , f(x) 在（ 1，
）内单调递增，
由 f(a ·b )>f(c ·d )a ·b > c ·d, 即 2sin 2x+1>2cos 2x+1
又∵ x ∈ [0, π] ∴ x ∈ ( , 3
)
4 4
当二次项系数 m<0 时 ,f(x)在（ 1， ）内单调递减，
由 f(a·b)>f(c·d)a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1
又∵ x ∈ [0, π] ∴ x ∈ [0,
) (3
, ] 、
4
4
故当 m>0 时不等式的解集为
( 3
) ;当 m<0 时不等式的解集为 [0, )
3 , ( ,]、
4 4
4
4