八年级数学上册 立方根教案 北师大版

本节内容需一课时讲授；它和平方根合起来构成了初中数学方根运算的一个整体.教师从“某化工厂要建造一个新的球形储气罐”这个实际问题引入立方根的概念，说明学习数的立方根的意义，同时又体现了立方根的计算有着广泛的应用.通过“做一做”，让学生体会一个数的立方根的唯一性.通过“议一议”，既突出平方根与立方根的对比，又加深对“做一做”的感受.教材安排的两个例题也是分步到位：“例1”采用语言叙述和符号表示互为补充的做

法，着眼于让学生理解立方根的概念，在此基础上引出基本规律()a

a

a

a=

=33

3

3,，“例

2”着眼于符号表示的立方根的计算，是今后求开方运算的书写格式.

教学目标

（一）知识与技能

1．叙述立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2．能用立方运算求某些数的立方根，明确开立方与立方互为逆运算.

3．掌握立方根的性质.

4．区分立方根与平方根的不同.

（二）过程与方法

1．在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.

2．发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.

（三）情感、态度与价值观

当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.

教学重点

立方根的概念.

教学难点

1．正确理解立方根的概念.

2．会求一个数的立方根.

3．区分立方根与平方根的不同之处.

教学方法

类比学习法.

教具准备

投影片两张.

教学安排

1课时.

教学过程

Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=±a.

若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？

Ⅱ.新课讲解

1．［师］请大家先回忆平方根的定义.

［生］若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.

［师］在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.

［生］因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.

［师］当x4=a时，x叫a的什么根呢？

［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.

［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？

［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±2a，读作x等于正、负

二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±3a，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.

［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.

［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=±a，x3=a时，x=±a也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？

［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.

［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cube root；也叫三次方根）如2是8的立方

根，记为x=3a，读作x等于三次根号a.

开立方的定义

［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.

［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.

（2）立方根的性质

［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？

［生］2的立方等于8，（－2）3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.

［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？

［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.

［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？

［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.

［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.

［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.

（3）平方根与立方根的区别与联系.

［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.

［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.

［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.

［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为±a，立方根表示为

3a.

［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.

2．例题讲解

［例1］求下列各数的立方根：

（1）－27；（2）1258

；（3）0.216；（4）－5.

解：（1）因为（－3）3

=－27，所以－27的立方根是－3，即327-=－3；

（2）因为（52）3

=1258，所以1258的立方根是52，即3

1258=52；

（3）因为0.63

=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即3216.0=0.6；

（4）－5的立方根是3

5-.

［师］请大家思考下列问题.

3

a 表示a 的立方根，则（3a ）3等于什么？33a 等于什么？

大家可以先举例后找规律.

［生］∵23=8，∴38=2，（38）3

=8；

∵（－2）3

=－8，

∴38-=－2；（38-）3

=－8；

∵（31）3

=271

，

∴271)

271(;3

1271333

=； ∵（－31）3

=－271，

∴

271)271(,31271333

-=--=-

.

∴（3a ）3

=a.

［师］若x 3=a ，则x=3a ，∴x 3=（3a ）3

=a.

∴（3a ）3

=a.

又∵a 3是a 的立方，所以a 3

的立方根就是a ，所以33

a =a.下面就这两个式子进行练习.

［例2］求下列各式的值：

（1）38-；（2）3064.0；（3）－3

1258

；（4）（39）3

解：（1）3

8-=3

3)2(-=－2；

（2）3

064.0=

4.0)4.0(33=； （3）3

1258=

52)52(33-

=-；

（4）（39）3

=9.

Ⅲ.课堂练习 （一）随堂练习 1．求下列各式的值：

333333

)16(;5;64;125.0-.

解：5.05.0125.03

3

3

==；

.

16)16(;

55;4)4(64333

3333==-=-=-

2．一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？

解：设正方体的棱长是x 厘米，得 x 3

=8×33

∴x 3=216 ∴x=6（厘米）

答：这个正方体的棱长是6厘米. （二）补充练习

1．求下列各数的立方根：

0，1，－8127，6，－1000125

，0.001

2．求下列各式的值：

32333333

33

)278(;)2(;)2(;16463;1251;1;027.0------

3．下列说法对不对？ －4没有立方根； 1的立方根是±1；

361的立方根是61；

－5的立方根是－3

5；

64的算术平方根是8. 答案：

1．解：因为03

=0，所以0的立方根为0.

即3

0=0；

因为13

=1，所以1的立方根为1.

即3

1=1；

因为

31,318127-

-=-的立方根为331-. 即

33

31

8127-=-

；

6的立方根为3

6；

∵－81)21(,811000

1253-

=--=的立方根为－21，即2181100012533-=-=-； ∵0.13

=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即3001.0=0.1.

2．解：

3.03.0027.03

33

==； ;

2)2(;

2)2(;41)41(64116463;5

1)51(1251;1)1(1333

33333

333

333

-=--=--=-=-=--=-=--=-=-

94)32(])32[(])32[()278(23323233

2===-=-

.

3．答案：错.因为负数也有立方根； 错.因为1的立方根是1；

错.361的立方根是3

361，平方根是±61；

对.－5的立方根是35-，－3

355-=；

对. Ⅳ.议一议

1．某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？

解：设原来的球形储气罐的半径为r 1，后来的储气罐的半径为r 2，由球体积公式V=34

πr

3

得

8×34πr 13=34

πr 23

∴8r 13

=r 23

∴（2r 1）3

=r 23

∴r 2=2r 1

即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.

2．一个正方体的体积变为原来的n 倍，它的棱长变为原来的多少倍？ 解：设原正方体的棱长为a ，后来的正方体的棱长为b ，得

na 3=b 3

∴33

33n a b =

∴b=a n n a 3

33

=.

即后来的棱长变为原来的3

n 倍.

Ⅴ.课时小结

本节课学了如下内容： 1．立方根的定义. 2．立方根的性质. 3．开立方的定义.

4．平方根与立方根的区别与联系. 5．会求一个数的立方根. Ⅵ.课后作业 习题2.5. Ⅶ.活动与探究 1．求下列各式中的x. （1）8x 3

+27=0；

（2）（x －1）3

－0.343=0； （3）81（x+1）4=16； （4）32x 5

－1=0.

分析：先把每一个式子都化成x 3

=a b 的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，

解：（1）由8x 3

+27=0.∴8x 3

=－27

∴x 3=827-

∴x=

23)23(8278273333-

=-=-=-； （2）由（x －1）3

－0.343=0 ∴（x －1）3

=0.343

∴x－1=3

33

)7.0(343.0==0.7

∴x=1.7；

（3）由81（x+1）4

=16

∴（x+1）4

=8116

∴x+1=±32)32(81

16444

±

=±=

∴x=±32－1∴x=－35或x=－31；

（4）由32x 5

－1=0

∴x 5

=321

∴x=21)21(32

1555

=

=. 2．求满足3

1-x +1=x 的x 的值.

解：3

1-x =x －1

∴x－1=－1或x －1=0或x －1=1 ∴x=0或x=1或x=2 3．计算

（1）－2

3

)5(27---；

（2）

162511

1125643

-+-

.

解：（1）

2535)3(25)3()5(273323-=-=---=---=----；

（2）

456

54162536)54(162511112564333

-+-=-+-=-+-

=－518

.

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