博弈论基础作业及答案
博弈论基础作业
一、名词解释
纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡
贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识
见PPT
二、问答题
1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。
囚徒困境的例子：军备竞赛；中小学生减负；几个大企业之间的争相杀价等等；
以中小学生减负为例：在当前的高考制度下，给定其他学校对学生进行减负，一个学校最好不减负，因为这样做，可以带来比其他学校更高的升学率。给定其他学校不减负，这个学校的最佳应对也是不减负。否则自己的升学率就比其他学校低。因此，不论其他学校如何选择，这个学校的最佳选择都是不减负。每个学校都这样想，所以每个学校的最佳选择都是不减负，因此学生的负担越来越重。
请用同样的方法分析其他例子。
智猪博弈的例子：大企业开发新产品；小企业模仿；股市中，大户搜集分析信息，散户跟随大户的操作策略
以股市为例：给定散户搜集资料进行分析，大户的最佳选择是跟随。而给定散户跟随，大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。但是不论大户是选择分析还是跟随，散户的最佳选择都是跟随。因此如果大户和散户是聪明的，并且大户知道散户也是聪明的，那么大户就会预见到散户会跟随，而给定散户跟随，大户只有自己分析。
请用同样的方法分析其他例子。
2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。
破釜沉舟是一个承诺行动。目的是要断绝自己的退路，让自己无路可退，让自己决一死战变得可以置信。也就是说与敌人对决时，只有决一死战，这样才可以取得胜利。否则，如果不破釜沉舟，那么遇到困难时，就很有可能退却，也就无法取得胜利。穷寇勿追就是要给对方一个退路，由于有退路，对方就不会殊死抵抗。否则，对方退无可退，只有坚决抵抗一条路，因而必然决一死战。自己也会付出更大的代价。
3.当求职者向企业声明自己能力强时，企业未必相信。但如果求职者拿出自己的各种获奖证书时，却能在一定程度上传递自己能力强的信息。这是为什么？
由于口头声明几乎没有成本，因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。当然能力强的人也会声明自己的能力强。也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出同样的声明。这样口头声明就不能有效的传递信息，因此企业不会轻易相信。而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。由于获得证书是要付出代价的，但代价却引人而异。能力强的个人可以相对轻易获得证书，而能力弱的个人却很难获得证书，以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书，从而获得企业的职位是不划算的，因此干脆就不要获奖证书。因此获奖证书就成为个人能力的信号。
4.五个海盗抢得100颗钻石,他们为分赃发生了争议,最后达成协议,由抓阄确定出分赃顺序，然后按照民主程序进行分赃。首先由1号海盗提出分赃方案,五人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按1号提出的方案分赃,否则1号将被扔到海里喂鲨鱼。接着由2号提出方案, 四人共同举手表决。若赞成的占一半以上（不包括一半的情况）,就按2号提出的方案分赃,否则2号将被扔到海里喂鲨鱼,依此类推。如果你是1号海盗,你该提什么样的方案?说明理由。
假设（1）五个强盗都很聪明，而且大家知道大家很聪明，大家知道大家知道大家很聪明，如此等等。
（2）每个海盗都很贪婪，希望获得尽可能多的钻石，但是又不想为了钻石丢掉性命。
（3）给定一个方案，只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时，海盗才选择赞成。
第一个海盗的提议应该是：五个海盗分别获得的钻石数目为97，0，1，0，2，或者97，0，1，2，0。
具体理由自己思考，方法是倒推法。
三、计算题
1.试计算表1中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡。
表1 一个战略式表述博弈
B
A U M
D
对B 而言，战略M 严格劣于R ；（因为1<4, 1<6,0<8），因此剔除B 的战略M ；构成新的博弈如下
B
A U M
D
在新的博弈中，
对于A 而言，战略U 严格劣于D(因为1<3,2<7)，因此剔除A 的战略U ，构成新的博弈如下：
B
A
M D
对于新的博弈中，已经没有严格的劣战略，因此没有严格的劣战略可以剔除。所以该博弈不是重复剔除严格劣战略可解的。
但是存在弱劣战略。对于B 而言，战略L 弱劣于R （因为6=6，1<8）,因此剔除B 的弱劣战略L ，构成新的博弈如下：
B
A
M
D 在新的博弈中，对于A 而言，战略（因为2<7）,因此剔除A 的战略M ，构成新的博弈如下：
B
A
D
因此，重复剔除（弱）劣战略均衡为（D ，R ）
（ps: 如果同学们用划线的方法求纳什均衡，就可以发现纯战略nash 均衡有两个：（M,L ）和（D,R ）但采用剔除弱劣战略的方法，把其中一个纳什均衡剔除掉了）
2. 试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。
2
1
U
D 给定1选择U ，2给定1选择D ，2的最佳选择是L （因为4>2），在相应位置划线 给定2选择L ，1的最佳选择是D （理由自己写），在相应位置划线 给定2选择R ，1的最佳选择是U （理由自己写），在相应位置划线 找两个数字下都划线的，显然有两个纯战略纳什均衡：),(R U 和),(L D 据Wilson 的奇数定理，可能有一个混合战略均衡。 设1选U 的概率为θ，那么选D 的概率为θ-1 设2选L 的概率为γ，那么选R 的概率为γ-1，
如果存在混合战略，那么2选战略L 和R 的期望收益应该应该相等，因此应有)1(23)1(42θθθθ-+==-+=R L U U
?=θ 自己求解 （2分） 同样，1选战略U 和D 的期望收益应该应该相等
)1(14)1(32γγγγ-+==-+=D U U U
?=γ 得混合均衡：?
3.市场里有两个企业1和2。每个企业的成本都为0。市场的逆需求函数为P=16-Q 。其中P 是市场价格，Q 为市场总产量。
（1）求古诺（Cournot ）均衡产量和利润。
（2）求斯坦克尔伯格（Stackelberg ）均衡产量和利润。
(1)设两个企业的产量分别为1q ，2q ，有21q q Q +=，因此利润函数分别为：
21211121116)16(q q q q q q q --=--=π
212
22221216)16(q q q q q q q --=--=π
利润最大化的一阶条件分别为：
0216211
1
=--=??q q q π 0216122
2
=--=??q q q π 因此企业1和企业2的反应函数分别为：
2162
1q q -=
2
161
2q q -=
联立，得到?21==q q 。自己求解
（2）设企业1先行，企业2跟进。两个企业的产量分别为1q ，2q ，因此利润函数分别为：
21211121116)16(q q q q q q q --=--=π
21222221216)16(q q q q q q q --=--=π
由逆向归纳法，在第二阶段，企业2在已知企业1的产量的情况下，最优化自己的产量，从而得到企业2的反应函数：
0216122
2
=--=??q q q π 因此企业2的反应函数为：2
161
2q q -=
在第一阶段，企业1考虑到企业2的反应，从而自己的利润函数为：
)2
16(
1616)16(1
1211212111211q q q q q q q q q q q ---=--=--=π （2分） 要使企业1的利润最大，应满足一阶条件：
01
1
=??q π 得到?1=q 。
所以?2=q 。
（PS: 古诺模型是完全信息静态博弈，求的是纳什均衡；斯坦伯格模型是完全信息动态博弈，求的是子博弈精炼纳什均衡）
4.（1）试给出图1中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结果。
（2）倘若2告诉1：2的战略是),,(j i c ，问此时1的最优战略是什么？（3）在（2）中，1和2的战略组合构成一个纳什均衡吗？均衡结果是什么？（4）（3）中的纳什均衡不是子博弈精炼的，原因是什么？
答： （1）
由逆向归纳法，子博弈精炼均衡为)],,(),,[(l e c g b ，均衡结果为（4，6）。 （2）若2的战略为),,(j i c ，则1的最优战略为),(f b 。
（3）给定2的战略为),,(j i c ，1的最优战略为),(f b ；反之，给定1的战略
),(f b ，战略),,(j i c 是2的一个最优战略。所以它们构成一个纳什均衡，均衡结
果为（6,3）。
（4）因为2的战略),,(j i c 中含有不可置信的威胁i ，使1在f 和g 之间不敢选g 。当博弈进行到2在l 与i 之间进行选择的时候，2必会选l ，给定如此，1选g 而不是f ，此时2会选e ，这就是子博弈精炼均衡。
5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。
1 R
(1,2)
当“2”看见“1”未选R 时，设他认为“1”选L 的概率为P ， “1”选L '的概率为1－P ，则“2”选l 的期望支付为：
P P P 31)1(14+=-?+
“2”选r 的期望支付为
P P P -=-+?2)1(21
当P P ->+231，即4
1
>
P 时，“2”选l ，而给定“2”选l ，“1”选L 收益为2，选L '的收益为3，选R 的收益为1，因此“1”会选L '。而给定“1”
选L '，“2”认为410<=P （注意：P 是“1”选L 的概率），与4
1
>P 矛盾。故
4
1
>P 不会有均衡；
当P P -≤+231，即41
≤P 时，“2”选r ，给定“2”选r ，“1”选L 收益
为0，选L '的收益为7，选R 的收益为1，因此“1”会选L '。而给定“1”选L '，
“2”认为0=P ，与41
≤P 吻合。于是，得到均衡战略：{}r P L ,0,='，即“1”
在第一阶段选择L '，“2”虽然看不到“1”的选择，但“2”认为“1”选择L 的概率为0，所以“2”在第二阶段选择r ，这样的战略构成了一个贝叶斯精炼
纳什均衡。均衡结果为（7，2）。