海淀区2015,2014,2013年高一下册期中考试数学试卷

海淀区高一年级第二学期期中练习

数 学 2015.4

学校班级姓名 成绩

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

1.cos45cos15sin 45sin15-

=

A ．

B

C ．12-

D ．12

2. 已知1

tan 3

α=，则tan 2α=

A.34

B.3

8 C.1 D.12 3. 下列等式中恒成立的是A

A.ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-

B.π1tan tan(+)41tan α

αα

-=+

C. πsin()sin cos 4

ααα+=+ D.sin cos sin ααα=

4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则

A. 数列{}n a 不是等比数列

B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列

C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列

D. 数列{}n a 是公比为1

2

的等比数列

5.在△ABC 中，∠B ＝60°，c ＝2，b C ＝ A. 45° B. 135° C. 45°或135°

D. 无解

6.1135(21)n -+++++-= A A.21n -

B. 2(1)n -

C. 2n

D. 2(1)n +

7. 已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则cos ABC ∠=

A ．

3

10B ．25

C ．35

D ．45

8.已知钝角．．三角形ABC 的三边的边长,8,a b （a b <）成等差数列，则该等差数列的公差d 的取值范围是 A.02d << B. 2d > C.24d << D. 4d >

1

sin10-

= A ．2B ．2-C ．4D ．4-

10.已知数列{}n a 的通项公式2n a n =，数列{}n b 的通项公式2n n b =,则数列n n a b ??

????

A.既有最大值，也有最小值

B.仅有最大值，而无最小值

C.既无最大值，也无最小值

D. 仅有最小值，而无最大值 二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.

11.若等差数列{}n a 的通项公式12n a n =-，则其公差d =_______.

12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________.

13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++= _________. 14.已知数列{}n a 满足

1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且31

3

a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.

15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________.

16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.

三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）

已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；

若不存在，请说明理由.

18.（本小题共12分）

已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π

[0,]4

上的值域.

19. （本小题共11分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()

*n ∈N . （Ⅰ）求1a ；

（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；

（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20. （本小题共10分）

如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.

解1：

步骤1：还需要直接测量的线段为 步骤2：计算线段 计算步骤：

步骤3：计算线段 计算步骤：

步骤4：计算线段 计算步骤：

A γ

α

β

海淀区高一年级第二学期期中练习

数 学 2014.4

学校班级姓名 成绩

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

1.若1和a 的等差中项是2，则a 的值为 （ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 4-

2.计算2

2cos 151?-的结果为 （ ）

A. B. 12 C. 2

D. 3.在△ABC 中，7a =，5b =，3c =，则cos A 等于 （ ）

A. 12-

B. 12

C. 2

D. 2

4.已知函数1

()cos 22

f x x x =+在0x 处取得最大值，则0x 可能是 （ ） A.

6π B. 4π C. 3π D. 2

π

5.等比数列{}n a 的首项为1，其前n 项和为n S ，如果

4

2

3S S =，则5a 的值为 （ ）

A. 2

B. 2或2-

C. 4

D. 4或4-

6.数列{}n a 的通项公式为21

n a n n

=

+，其前n 项和为n S ，则10S 的值为 （ ） A. 910 B. 1011 C. 1112 D. 1213

7.等差数列{}n a 满足n a N *∈，且前10项和10280S =，则9a 最大值是 （ ） A. 28 B. 49 C. 50 D. 52 8.若在△ABC 中，有sin

cos 2

C

A =，则△ABC 一定是 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

9.在△ABC 中，AB =1AC =，30A ∠=?，则△ABC 的面积为.

10.若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α=，tan()4

π

α+=.

11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =-，且

3

113

S S -=，则{}n a 的公差是， n S 的最小值为.

12.已知在△ABC 中，有0CB CA <

，则下列说法中：

①△ABC 为钝角三角形； ②2

2

2

c a b >+； ③cos cos sin sinB A B A >. 正确说法的序号是.（填上所有正确说法的序号） 13.设数列{}n a 满足1231,1,2a a a ===，若321

(,4)n n n n a a

n N n a a *---=∈≥，则5a =， 数列{}n a 的前10项和10S =.

14.已知101a ≤≤，定义112,02

121,2

n n n n n a a a a a +?

≤

??.

（I ）如果23a a =，则2a =；（II ）如果13a a <，则1a 的取值范围是.

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分10分）

已知函数2

()(sin cos )cos2f x x x x =++. （I ）求()4

f π

值；

（II ）求()f x 的最小值正周期； （III ）求()f x 的单调递增区间.

16. （本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足112

n n a a n ++=+. （I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）求{}n a 的前n 项和n S ；

（III ）若13,,m m a a a 成等比数列，求m 的值.

17. （本小题满分12分）

已知△ABC 中，6c =，2

C π

∠=

,且cos sin a B b A =.

（I ）求∠B 的值；

（II ）若点E,P 分别在边AB,BC 上，且AE=4，AP ⊥CE ，求AP 的长；

18. （本小题满分10分）

已知数列{}n a 中，11a =，且有1|||1|n n a a +=+. （I ）写出3a 所有可能的值；

（II ）是否存在一个数列{}n a 满足：对于任意正整数n ，都有6n n a a +=成立？若有，请写出这个数列的前6项，若没有，说明理由；

（III ）求1210||a a a +++ 的最小值.

海淀区高一年级第二学期期中练习

数 学

2013.04

学校班级姓名 成绩

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）sin 45cos15cos 45sin15-=

( )

（A ）

12 （B

）2 （C

（D ）1 （2）数列{}n a 中，11a =，12(*)n n a a n +=+∈N ，那么8a 的值是 （ ） （A ）14- （B ）15 （C ）15-

（D ）17

（3）等比数列{}n a 中，31a =-，那么12345a a a a a 的值是 （ ）

（A ）4- （B ）5- （C ）1- （D ）1

（4）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若

22

()1a b c bc

--=，则A D的大小是 （ ）

（A ）

π6 （B ）π4 （C ）π3

（D ）2π

3

（5）在△ABC 中，若sin cos sin A B C =，则△ABC 的形状是（ ）

（A ）等腰三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）直角三角形 （6）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知9110,0S S <>，那么下列结论正确的是（ ）

（A ）910<0S S + （B ）1011+S >0S

（C ）数列{}n a 是递增数列，且前9项的和最小 （D ）数列{}n a 是递增数列，且前5项的和最小

（7）如图，为了测量河对岸,A B 两点间的距离，某课外小组的同学在岸边选取,C D 两点，测得200m CD =，105ADC

??，15BDC ??，120BCD ??，30ACD ??,则

,A B 两点间的距离是（ ）

（A

） （B

）B

A

D

C

（C ）

（D ）

1001(m

（8）在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，

30B ∠=?，6c =，记()b f a =，若函数()()g a f a k =-（k 是常数）只有一个零点，则实数k 的取值范围是 （ ）

（A ）{036}k k k

（C ）{6}k k 3 （D ）{63}k k k

?或

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上. （9）已知1

sin 2

θ=

，则cos 2θ＝______________． （10）已知等比数列1,,,8,a b - ，此数列的第7项是______________． （11）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44S a =，则

5

4

a a =. （12）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，

b ，

c ，

如果2,a c ==，30A =?，那么△ABC 的面积等于.

（13）数列{}n a 的前n 项和是n S .若22(2,*)n n S na n n

=+澄N ，22a =，则1a =；

n a =.

（14）将如图所示的三角形数阵中所有的数按从上至下、从左至右的顺序排列成数列

1121223132,,,,,a a a a a . 若所得数列构成一个等差数列，且112a =，3312a =，则

①数阵中的数ii a 可用i 表示为_____________；

②若(1)(1)(2)(2)mn m n m n a a a +++++=，则m +n 的值为____________．

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）

11212231323341424344a a a a a a a a a a

已知函数21()cos cos 2

f x x x x =

+-

. （Ⅰ）求()f x 的单调．．区间； （Ⅱ）求()f x 在区间51

[π,π]1224

-上的最大值和最小值.

(16)（本小题共11分）

已知等差数列{}n a 的前10项和1040S =-，53a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()*2n

a n n

b a n =+?N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .

(17)（本小题共11分）

在ABC ?中，角A ，B ，

C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a c o s c o s )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；π3

B =

（Ⅱ）若点D 为BC 边的中点，π

,16

CAD CD ∠==，求c 的值.

(18)（本小题共11分）

数列{}n a 的前n 项和为n S . 已知1(1)21()n n n a a n n ++-=-?Ν*. （Ⅰ）若11a =，求234a a a ，，；

（Ⅱ）若1a a =（a 为常数），求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设42

55

(*)5()

2

n n S T n n -=

∈-N ，求数列{}n T 的最大项.

海淀区高一年级第二学期期中练习答案

数 学 2015.4

学校班级姓名 成绩

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.

DAABA ACCDB

二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.

11.2- 13.31n

-14.1-，

123

n - 15.①②③ 16. 7，2

2k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分

三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）

解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，

所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分 所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分 （Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)

1532

n n n S n -=-+?--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224

n S n n n =-=-

-----------------------------------------------------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分 法2：因为318n a n =-，

所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，

即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分 所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分 18.（本小题共12分）

解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π

{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分

（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+

2

2cos2sin cos

x x x

=+-------------------------------------------------------4分1cos2sin2

x x

=++------------------------------------------------------------8分

π

1)

4

x

=+-----------------------------------------------------------10分

因为

π

[0,]

4

x∈，所以

ππ3π

2[,]

444

x+∈，--------------------------------------------------------11分所以()

f x在区间

π

[0,]

4

上的值域为[2,1.------------------------------------------------12分19.（本小题共11分）

解：（Ⅰ）由24

n n

a S

=-()*

n∈N可得

11

24

a S

=-，即

11

24

a a

=-，-------------------1分

解得

1

4

a=-. ----------------------------------------------------------------2分

（Ⅱ）由24

n n

a S

=-()*

n∈N可得

11

24,1,

n n

a S n n

--

=->∈N，--------------------------3分

所以

11

22,1,

n n n n

a a S S n n

--

-=->∈N，即

1

22,1,

n n n

a a a n n

-

-=>∈N，----------------4分

整理得

1

2,1,

n n

a a n n

-

=>∈N，--------------------------------------5分

因为

1

40

a=-≠，

所以数列{}n a是公比为2的等比数列. ----------------------------------------------------------6分

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a是以4-为首项且公比为2的等比数列，

所以11

422

n n

n

a-+

=-?=-，----------------------------------------------------------------7分

所以21

2

222

n

n n

b a n n

+

=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b的前n项和n T是一个等比数列与等差数列的前n项和的和-----------------9分由等比数列和等差数列的前n项和公式可得

8(14)(22)

142

n

n

n n

T

--+

=+

-

----------------------------------------------------------11分2

8

(41)

3

n

n n

=+-?-.

20.（本小题共10分）

解1：

步骤1：还需要直接测量的线段为,,

AD EB BC-------------------------------------------2分

A

γ

αβ

步骤2：计算线段PC 的长.

计算步骤：在PBC ?中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分

由正弦定理可得

sin sin BC PC

BPC PBC =

∠∠， --------------------------------5分 整理可得sin sin()

BC PC β

βγ=-； ---------------------------------------------------6分

步骤3：计算线段AC 的长.

计算步骤：在PAC ?中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，

由正弦定理

sin sin AC PC

APC PAC =

∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()

sin PC AC αγα

+=； -----------------------------------------------9分

步骤4：计算线段DE 的长.

sin sin()

sin sin()

BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分

解2：

步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PB 的长.

计算步骤：在PBC ?中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分

由正弦定理可得

sin sin BC PB

BPC PCB =

∠∠， ---------------------------------5分 整理可得sin sin()

BC PB γ

βγ=-；-----------------------------------------------------6分

步骤3：计算线段AB 的长.

计算步骤：在PAB ?中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，

由正弦定理

sin sin AB PB

APB PAB =

∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()

sin PB AB αβα

+=；------------------------------------------------9分

步骤4：计算线段DE 的长.

海淀区高一年级第二学期期中练习

数学

参考答案及评分标准2014.4

一、选择题.

二、填空题.

9.4

10.1

2, 3-- 11. 1, 45-

12.

①②③

13.

527

4,

16

14.

11123

I 0)))43234

（）或1 (II)(0,(,(,

说明：12题如果填写两个选项给2分，只填一个选项不给分；其余两空题目都是每个空2分. 三、解答题

15.解

: ( I ) 2()(

cos 24222

f ππ=++= …………………….2分. ( II ) 因为22()sin 2sin cos cos cos2f x x x x x x =+++ 所以()1sin 2cos2f x x x =++ …………………….4分

所以π

())14

f x x =

++ …………………….6分

所以()f x 的最小正周期为2π2π

=

π||

2

T ?=

= …………………….8分

（Ⅲ）令πππ2π22π242k x k -

≤+≤+所以3ππππ88

k x k -≤≤+ 所以()f x 的单调递增区间为

3ππ

π,π88

k k k -+∈Z （）,…………………….10分 16.解: ( I )解法一：设{}n a 的公差为d , 因为11

2

n n a a n ++=+，

所以有1223112

1

22

a a a a ?

+=+????+=+??，两式相减得到，21d =，即12d = ………………….2分

代入得到11

2a =

………………….4分 所以11+1)222

n n

a n =-?=（ ………………….6分

解法二：设{}n a 的公差为d ,

则1+1),n a a n d =-?（11+,n a a n d +=? ………………….2分

来源学科网

所以111221)22n n a a a n d dn a d ++=+

-?=+-（

所以有11

22=2

dn a d n +-+

对*n ∈N 成立， 所以有12=1

12=2d a d ??

?-??，解得11=21=2

d a ????

??? ………………….4分 所以11+1)222

n n

a n =

-?=（ ………………….6分 (II) 因为1(),2n n a a S n +=所以(1)4

n n n

S += ………………….9分 （Ⅲ）因为13,,m m a a a 成等比数列，所以2

13()=m m a a a ………………….10分

即213422

m m

=?

………………….11分 解得3,m =0m =(舍掉）所以3m = ………………….12分 17. 解: ( I ) 由正弦定理

sin sin a b

A B

=得到sin sin a B b A = ………………….2分 所以有sin cos a B a B = ………………….3分 所以sin cos B B =,即tan 1B = ………………….4分

因为0,)B ∈

π（, 所以π

4

B ∠=………………….5分 （II ）在ACE ?中，根据余弦定理

222=2cos CE AC AE AC AE CAE +-?∠ ………………….7分

得到2

2

2

π=424cos

4

CE +-??（ 化简得CE ………………….8分 在ACE ?中，

sin sin ACE CAE

AE CE

∠∠= ………………….9分

来源学+科+网

化简得到25

sin =

ACE ∠ ………………….10分 因为π2ACE CAP ∠+∠=

，所以cos sin 5

CAP ACE ∠=∠=

所以在Rt ACP ?中，cos =5

AC CAP AP ∠=

代入得到3102

AP =

……………….12分

18解: (I) 3a 可能取的值3,3,1,1-- ………………….2分 (II) 存在 ………………….3分

这个数列的前6项可以为1,2,1,212---，

，（或者取1,23,210---，，，） ………………….5分

（Ⅲ）1210|...|a a a +++的最小值为1 ………………….6分

解法一：因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数 因此1210,,...,a a a 中一定有5个奇数，5个偶数，

所以1210|...|a a a +++一定是奇数，所以1210|...|1a a a +++≥

令这10项分别为1,2,1,2121212----，

，，，，，（或者为 1,2,3,2101234----，，，，，，，或者为1234,3,21012----，，，，，，，）

则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分

解法二：因为111,|||1|n n a a a +==+,所以n a ∈Z ，且所有的奇数项都为奇数，偶数项为偶数

又因为2

2

1()(1)n n a a +=+所以2

2

1()()12n n n a a a +--= 所以有2

211101012a a a --=

22109912a a a --=

......

2232212a a a --= 2221112a a a --=

把上面的10个式子相加，得到2

2

1111210102(...)a a a a a --=+++ 所以有21210111

|...||11|2

a a a a +++=

- 因为离11最近的奇数的平方是 9，所以有12101

|...||911|=12

a a a +++≥

- 令这10项分别为1,2,1,2121212----，

，，，，，（或者为 1,2,3,2101234----，，，，，，，或者为1234,3,21012----，，，，，，，）

则有1210|...|=1a a a +++ ………………….10分

海淀区高一年级第二学期期中练习

数 学

参考答案及评分标准2013．04

一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）

12 （10）64 （11）3

2

（12）（13）1，1, 1,

22, 2.

n n n ì=??í

?-??? （14）2i i +，5

注：（12）题给出一个正确答案给3分，共4分；（13），（14）题每空2分.

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）21

()cos cos 2

f x x x x =

+-

1

2cos 22

x x =

+ …………………………………2分 π

sin(2)6

x =+

…………………………………3分 由πππ2π22π262k x k -??()k ?Z 得 ππ

ππ36

k x k -＃+()k ?Z .

由ππ3π

2π22π262k x k +??()k ?Z 得

π2πππ63

k x k +＃+()k ?Z . …………………………………6分

所以 ()f x 的单调递增区间为()ππ

[π,π]36

k k k -+?Z ；单调递减区间为()π2π[π,π]63

k k k ++?Z .

（Ⅱ）因为 5

1

ππ1224x -＃， 所以 2

ππ

π23

64

x

-??. …………………………………8分 所以 当ππ264x +

=，即π24x =时，()f x

；当ππ262x +=-，即π

3

x =-

时，()f x 取得最小值1-. …………………………………11分 （16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为 53a =-，1040S =-，

所以1143,1091040.2a d a d ì+=-???í′?+=-???

…………………………………3分 解得：15,2a d ==-.

所以 72n a n =-. …………………………………6分 另解：因为 53a =-，1040S =-， 所以 11010566()

105()5(3)402

a a S a a a +=

?+=-+=-.

…………………………………3分 所以 65a =-.

所以 5(5)(2)72n a a n n =+-?=-. …………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，等差数列{}n a 的首项是5，公差是-2.

所以53721212222n n n n T b b b a a a -=+++=+++++++

()()522

2125722

12

n n n

---+-?=

+

-…………………………………10分

722

128263

n

n n --=-+. …………………………………11分

（17）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）