考点22: 解三角形
一. 走进学考:
1、(2011年)在ABC ?中,已知0
120=A ,1=b ,2=c ,则a 等于( ) A
B
D
2、(2015年)在ABC ?中,角A,B,C 所对边为a,b,c 且c=2a ,
21
sin =
A ,则=C sin _______。
3、(2012年)如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量A 、B 之间的距离,测量者在A 的同侧
选定一点C,测出A 、C 之间的距离是100米,105BAC ∠=o
,45ACB ∠=o ,则A 、B 两点之间
的距离为 米。
二. 知识点梳理
1、正弦和余弦定理:在△ABC 中若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,则:
2(1)S =
(h 表示边a 上的高);(2)S = = =
三、典型例题
例题 1.求解三角形:(1)2,45,30=?=?=a B A ;(2)6,5,4===c b a ;(3)
?===45,5,3C b a
例题2.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c 已知cos2A -3cos(B +C )=1 (1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S =53,b =5,求sin B sin C 的值。
A
1545
例题3.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km/h飞机先看到山顶的俯角为150,经过420s后
又看到山顶的俯角为450,求山顶的海拔高度(取2=1.4,3
=1.7).
四.巩固练习
1.已知△ABC的周长为9,且4:2:3
sin
:
sin
:
sin=
C
B
A,则cosC的值为()
A.
4
1
-B.
4
1
C.
3
2
-D.
3
2
2.设m、m+1、m+2是钝角三角形的三边长,则实数m的取值范围是( )
A.0<m<3
B.1<m<3
C.3<m<4
D.4<m<6
3.符合下列条件的三角形有且只有一个的是()
A.a=1,b=2 ,c=3 B.a=1, b=2,∠A=30°
C.a=1,b=2,∠A=100°D.b=c=1,∠B=45°
4.在ABC
?中,已知C
B
A sin
cos
sin
2=,那么ABC
?一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形
5.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为()
A.
3
400
米 B.
3
3
400
米 C. 2003米 D. 200米
9、a,b,c分别为角A,B,C的边,2a sin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=3,试判断△ABC的形状。
8.3 解三角形的应用举例(二) [学习目标] 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并激发学生的探索精神. [知识链接] “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?通过本节的学习,我们将揭开这个奥秘. [预习导引] 1.仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图. 2.高度问题 测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题. 要点一测量底部不能到达的建筑物的高度 例1 如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,求出山高CD.
解 在△ABC 中, ∠BCA =90°+β, ∠ABC =90°-α, ∠BAC =α-β,∠CAD =β. 根据正弦定理得AC sin∠ABC =BC sin∠BAC , 即 AC sin (90°-α)=BC sin (α-β) , ∴AC =BC cos αsin (α-β)=h cos α sin (α-β) . 在Rt△ACD 中,CD =AC sin∠CAD =AC sin β = h cos αsin β sin (α-β) . 即山的高度为 h cos αsin β sin (α-β) . 规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画示意图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 跟踪演练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D 处,又测得山顶的仰角为65°,则山的高度为________m(精确到1m.2≈1.4142,sin35°≈0.5736). 答案 811 解析 过点D 作DE∥AC 交BC 于E ,因为∠DAC =20°, 所以∠ADE =160°,于是∠ADB =360°-160°-65°=135°. 又∠BAD =35°-20°=15°,所以∠ABD =30°.在△ABD 中,
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
2.2.2 反证法 学习要求 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题. 知识要点 1.定义:假设原命题________,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明_________,从而证明了__________,这种证明方法叫做反证法. 2.反证法常见的矛盾类型:反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与__________矛盾,或与______矛盾,或与________________________矛盾等. 问题探究 探究点一反证法的概念 问题1王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍.一天,他 们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动,等到小朋友们摘了李子一尝,原来是苦的!他们都问王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?” ”王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述,运用了什么方法? 问题2上述方法的含义是什么? 问题3反证法证明的关键是经过推理论证,得出矛盾. 反证法引出的矛盾有几种情况? 问题4反证法主要适用于什么情形? 探究点二用反证法证明定理、性质等一些事实结论
例1已知直线a,b和平面α,如果a?α,b?α,且a∥b,求证:a∥α. 小结数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反是运用反证法的常见思路,即一个命题的结论如果难以直接证明时,可考虑用反证法. 跟踪训练1已知:a∥b,a∩平面α=A,如图.求证:直线b与平面α必相交. 探究点三用反证法证明否定性命题 例2求证:2不是有理数.
2016北师大版必修5高中数学2.3《解三角 形的实际应用举例》 w o r d导学案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 2.3解三角形的实际应用举 例导学案北师大版必修5 个性笔记【学习目标】 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确 定解三角形的方法; 2.搞清利用正余弦定理可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关 系. 【学习重点】 灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决实际生活中与解三 角形 有关的问题。 【使用说明】 1.规范完成导学案内容,用红笔做好疑难标记,要求在40分钟 独立完成 2.该学案分A,B,C三个层次,其中A,B层次必须每一位同学都 完成,C层次供学有余力的同学完成。 【学习过程】 (一)基础学习 【A】预备知识:1.有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内 角和定理、三角形面积公式等); 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有: 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问 题、航海问题、物理问题等; 3. 实际问题中有关术语、名称.(1)仰角和俯角:在目标视线 和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角; 在水平视线下方的角 叫俯角 (2)方位角:指正北方向顺时针转到目标方向线水平角. 【B】课前热身1. 某人朝正东方走x km后,向左转1500,然后朝新 方向走3km,结果它离出发点恰好3km,那么x等于 () A 3 B3 2 D 3 2 C 3或3 60,从甲楼 2. 甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为0 30,则甲、乙两楼的高分别是 顶望乙楼顶的俯角为0 ()
第一章 解三角形(学案) 1.已知△ABC 中,30A =,105C =,8b =,则等于( )A 4 B 2. △ABC 中,45B =,60C =,1c =,则最短边的边长等于( )A 36 B 26 C 21 D 2 3 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150° 4.△ABC ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 5.△ABC 中,60B =,2 b a c =,则△ABC 一定是 ( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 6.△ABC 中,∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( ) A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定 7. △ABC 中,8b =,16ABC S =,则A ∠等于 ( ) A o 30 B o 60 C o 30或o 150 D o 60或o 120 8.△ABC 中,若60A =, )A 2 B 21 C 3 D 2 3 ABC ,C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分,则cos A =( ) D 0 10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定 11 在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) C. 200米 12 海上有A 、B 两个小岛相距10 海里,从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角, 从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角, 则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 海里 海里 13.在△ABC 中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,那么cos C 等于 。 14.在△ABC ,150c =,30B =,则边长a = 。 15.在钝角△ABC 中,已知1a =,2b =,则最大边c 的取值范围是 。 16.三角形的一边长为14,这条边所对的角为60,另两边之比为8:5,则这个三角形的面积为 。
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率,也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1.函数的平均变化率:已知函数y =f (x ),x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx = ,Δy =y 1-y 0=f (x 1)-f (x 0)= ,则当Δx ≠0时,商x x f x x f ?-?+) ()(00=____叫做函数y =f (x )在x 0到x 0+Δx 之间 的 . 2.函数y =f (x )的平均变化率的几何意义:Δy Δx =__________ 表示函数y =f (x )图象上过两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中,我们都有这样的感觉:当山坡平缓时,步履轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁.怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢?下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题. 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度? 问题2 什么是平均变化率,平均变化率有何作用? 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 问题3 平均变化率有什么几何意义? 跟踪训练1 如图是函数y =f (x )的图象,则: (1)函数f (x )在区间[-1,1]上的平均变化率为________; (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________. 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )=x 2,分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3];(2)[1,2];(3)[1,1.1];(4)[1,1.001]. 跟踪训练2 分别求函数f (x )=1-3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
高中数学 广东省阳江第一中学高中数学 《解三角形》小结与复习导学案 必 修5 【问题导学】阅读课本P 23后回答下列问题: 2、三角形的面积公式: _____________________________________________________________ 4、在△ABC 5、在△ABC 中,0 45,30,2===C A a ,则△ABC 的面积S=__________。 【课内探究】 例1、在△ABC 中,若B c a C b cos )2(cos -=:(1) 求B 的大小; (2) 若4,7=+=c a b ,求△ABC 的面积S 。 例2、在△ABC 中,若)cos(2cos ,2C B A a +==,2=?,求角A 及b 、c 的大小。
高中数学 例3:如右图所示,在坡度一定的坡上的一点A 顶端C 对于山坡的斜度为 15,向山顶前进100米后到达B 顶端C 对于山坡的斜度为 45 ,已知建筑物高CD=50水平面倾斜角θ的余弦值。 【总结提升】 【课后作业】 1、△ABC 中,C c B b sin sin =,且C B A 222sin sin sin +=,则它是( ) 三角形 A 、 等腰 B 、直角 C 、等腰直角 D 、等腰或者直角 2、△ABC 中,6c =,0 120,30==B A ,则△ABC 的面积S=( ) A 、9 B 、18 C 、39 D 、318 3、△ABC 中,8,5a b ==,ABC ?的面积S=12,则=C 2cos ________。 4、锐角△ABC 中,A c a sin 23=:(1) 求角C 的大小; (2) 若7= c ,△ABC 的面积为,求b a +的值。 5、如图,某观测站C 在港口A 的南偏西20°方向上,在港口A 南偏东40°方向上的B 处有一艘船正向港口A 驶去,行驶了20 km 后,到达D 处,在观察站C 测得C ,B 间的距离为31 km ,C ,D 间的距离为21 km :(1)求观察站C 与港口A 之间的距离;(2)这艘船到达港口A 还需行驶多少km? A C D 200 400