概率例题及习题

概率复习题（包括所有的例题和习题）

1.2

例4已知,5.0)(=A P ,2.

0)(=B A P 4.0)(=B P , 求

(1) )(AB P ; (2) )(B A P -; (3) )(B A P Y ; (4) )(B A P .

解 (1) 因为,B B A AB =+ 且AB 与B A 是不相容的, 故有)()()(B P B A P AB P =+ 于是)(AB P )()(B A P B P -=2.04.0-=;2.0=

(2) )(A P )(1A P -=5.01-=,5.0=

)(B A P -)()(AB P A P -=2.05.0-=;3.0=

(3) )(B A P Y )()()(AB P B P A p -+=2.04.05.0-+=;7.0=

(4) )(B A P )(B A P Y =)(1B A P Y -=.3.0=

习题4

1.3

例2 一个袋子中装有10个大小相同的球, 其中3个黑球, 7个白球, 求 (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的概率;

(2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一个黑球的概率以及两个球全是黑球的概率.

解 (1) 10个球中任取一个, 共有101

10

=C 种. 从而根据古典概率计算, 事件A ：“取到的球为黑球”的概率为)(A P 1101

3C C =.10

3

=

(2) 10球中任取两球的取法有210C 种, 其中刚好一个白球, 一个黑球的取法有1

713C C ?种取法, 两个球均是黑球的取法有2

3C 种, 记B 为事件“刚好取到一个白球一个黑球”, C 为事件

“两个球均为黑球”, 则

)(B P 2101713C C C =4521=,157=)(C P 210

2

3C C =453=.151

=

例4 在1~2000的整数中随机地取一个数, 问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?

解 设A 为事件 “取到的数能被6整除”, B 为事件 “取到的数能被8整除”, 则所求概率为

)(B A P )(B A P Y =)(1B A P Y -=)}.()()({1AB P B P A P -+-=

由于<33362000,334< 故得 .2000

333

)(=A P 由于

,25082000= 故得 .2000

250)(=B P 又由于一个数同时能被6与8整除, 就相当于能被24整除. 因此, 由8424200083<<

.2000

83

)(=AB P 于是所求概率为

P ??? ??-+-=200083200025020003331.43=

习题1

1.4

例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 解 记i A 为事件“第i 次取到的是黑球” ).2,1(=i

(1) 在已知1A 发生, 即第一次取到的是黑球的条件下, 第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个, 根据古典概率计算, 取到黑球的概率为2/9, 即有

.9/2)|(12=A A P

(2) 在已知2A 发生, 即第二次取到的是黑球的条件下, 求第一次取到黑球的概率. 但第一次取球发生在第二次取球之前, 故问题的结构不像(1)那么直观.

我们可按定义计算)|(21A A P 更方便一些. 由)(21A A P 210

2

3P P =,151=

10

3

)(2=A P )|(21A A P )()(221A P A A P =.92=

例6 有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑共4个球,3号装有2红2黑共4个球.如下图. 某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.

解 记 i B ={球取自 i 号罐},i =1, 2, 3; A ={取得红球}.

因为A 发生总是伴随着 1B ,2B ,3B 之一同时发生, 1B ,2B ,3B 是样本空间的一个划分．

∑==3

1

)|()()(i i i B A P B P A P 由全概率公式得

依题意: P (A |1B )=2/3, P (A |2B )=3/4, P (A |3B )=1/2,

31)()()(321===B P B P B P ,

代入数据计算得：P (A )≈ 0.639 .

例7 对于例6，若取出的一球是红球，试求该红球是从第一个罐中取出的概率. 解 仍然用例6的记号.要求)|(1A B P ,由贝叶斯公式知

)

()|()()|()()|()

()|()|(332211111B P B A P B P B A P B P B A P B P B A P A B P ++=

.348.0)

()

()|(11≈=

A P

B P B A P

习题2

习题3

习题7

习题8

1.5

例4 某型号高炮, 每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6, 现若干门炮同时 各射一发,

(1) 问: 欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮?

(2) 现有3门炮, 欲以99%的把握击中一架来犯的敌机, 问:每门炮的命中率应提高到多少?

解 (1) 设需配置n 门炮. 因为n 门炮是各自独立发射的, 因此该问题可以看作n 重伯努利试验. 设A 表示 “高炮击中飞机”, ,6.0)(=A P B 表示“敌机被击落”, 问题归结为求满足下面不等式的.n

99.04

.06.0)(1

≥=

-=∑k n k n

k k n C

B P

由,99.04.01)(1)(≥-=-=n B P B P 或,01.04.0≤n 解得,03.54

.0lg 01

.0lg ≈≥n 故至少应配置6门炮才能达到要求.

(2) 设命中率为,p 由,99.0)(33

1

3

≥=

-=∑k k k k q p C

B P 得.99.013≥-q

解此不等式得,215.0≤q 从而得,785.0≥p 即每门炮的命中率至少应为0.785.

注: 对于给定一事件的概率求某个参数的逆问题, 应先求出事件的概率(含所求参数),

从而得到所求参数满足的方程或不等式, 再解之.

习题

4

2.2

例4 某人进行射击, 设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率.

解 将一次射击看成是一次试验. 设击中的次数为X , 则).02.0,400(~b X X 的分布律为 ,)

98.0()02.0(400}{400k

k k k X P -???

? ??== .400,,1,0Λ=k 于是所求概率为

}1{}0{1}2{=-=-=≥X P X P X P 399400)98.0)(02.0(400)98.0(1--=.9972.0=

例5 某一城市每天发生火灾的次数X 服从参数8.0=λ的泊松分布, 求该城市一天内发

生3次或3次以上火灾的概率.

解 由概率的性质, 得

}3{1}3{<-=≥X P X P }2{}1{}0{1=-=-=-=X P X P X P

???

? ??++-=-!28.0!18.0!08.012108

.0e

.0474.0≈

习题9纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率. 解答：以X 记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4, 应用泊松定理，所求概率为：

P{0≤X≤2}=P{?0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005) ≈∑k=02P(k;4)=e -4(1+41!+422!)≈0.2381.

2.3

例2 设随机变量X 的分布律为 ,2

/16/13/12

1

i p X

求)(x F .

解 }{)(x X P x F ≤=

当0

1}0{}{)(===≤=X P x X P x F 当21<≤x 时, 2

16131}1{}0{)(=+=

=+==X P X P x F 当2≥x 时，1}2{}1{}0{)(==+=+==X P X P X P x F 故 ,2,

121,2/110,3/10,

0)(????

??

?≥<≤<≤<=x x x x x F

)(x F 的图形是阶梯状的图形, 在2,1,0=x 处有跳跃, 其跃度分别等于

},0{=X P },1{=X P }.2{=X P

习题5设X 的分布函数为

F(X)={0, X<0; {X/2， 0≤x<1; { X —1/2, 1≤x<1.5; {1, x ≥1.5, 求P{0.40.5},P{1.7

解答：P{0.40.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75, P{1.7

2.4

例1 设随机变量X 的分布函数为

??

?

??<≤<≤=x x x x x F 1,110,0,

0)(2,

求 (1) 概率}7.03.0{<

X 的密度函数为

)()(x F x f '=??

?

??≤<<≤=x x x x 1,010,20,

0.,010,2??

?<<=其它x x

例 3 某元件的寿命X 服从指数分布, 已知其参数,1000/1=λ 求3个这样的元件使用1000小时, 至少已有一个损坏的概率.

解 由题设知, X 的分布函数为

.0,00,1)(1000??

???<≥-=-

x x e x F x

由此得到

}1000{1}1000{≤-=>X P X P .)1000(11-=-=e F

各元件的寿命是否超过1000小时是独立的, 用Y 表示三个元件中使用1000小时损坏的元件数, 则).1,3(~1--e b Y 所求概率为

}0{1}1{=-=≥Y P Y P .1)()1(1331010

3

----=--=e e e C

例4 设)4,1(~N X , 求 .}2|1{|},6.10{),5(≤-≤

???≤-=≤=2

1}5{)5(X P X P F ???-215)2(215Φ=???

??-Φ=查表得 0.9772, ??

?

??-Φ-??? ??-Φ=≤<210216.1}6.10{X P )5.0()3.0(-Φ-Φ=

)]5.0(1[6179.0Φ--=;3094.0)6915.01(6179.0=--=

}31{}2|1{|≤≤-=≤-X P X P ?

??-≤

-=2

1

1X P 2?

??≤1 1)1(2)1()1(-Φ=-Φ-Φ=.6826.018413.02=-?=

习题3设连续型随机变量X 的分布函数为 F(x)={A+Be-2x,x>0

{0, x≤0 ,试求：(1)A,B 的值；

(2)P{-1

解答：(1)∵F(+∞)=lim（x→+∞）(A+Be-2x)=1, ∴A=1; 又 ∵limx→0+(A+Be -2x)=F(0)=0, ∴B=-1. (2) P{-10

{0, x≤0.

习题5设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.

解答：设X 为每位乘客的候车时间，则X 服从[0,5]上的均匀分布. 设Y 表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y 服从二项分布，其参数

n=10,p=P{X≥4}=15=0.2, 所以 P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.

习题10设顾客排队等待服务的时间X(以分钟计)服从λ=1/5 的指数分布,某顾客等待服务,

若超过10分钟,他就离开.他一个月要去等待服务5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数,试求Y 的概率分布和

P(Y>=1)

2.5

例1 设随机变量X 具有以下的分布律, 试求2)1(-=X Y 的分布律.

4

.01.03.02.02

101i p X -

解 Y 所有可能的取值0,1,4,由

,

2.0}1{}4{,7.0}2{}0{}1{,

1.0}1{}0)1{(}0{2=-=====+=======-==X P Y P X P X P Y P X P X P Y P

既得Y 的分布律为

Y 0 1 4 i P 2.07.01.0

例2 设随机变量,),1,0(~X e Y N X =求Y 的概率密度函数.

解 设)(),(y f y F Y Y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数. 则当0≤y 时, 有}{)(y Y P y F Y ≤=}{y e

P X

≤=}{Φ=P .0=

当0>y 时, 因为x

e x g =)(是x 的严格单调增函数, 所以有},ln {}{y X y e X

≤=≤

因而}{)(y Y P y F Y ≤=}{y e

P X

≤=}ln {y X P ≤=.21ln 2

2?

∞

--

=

y

x dx e

π

再由,)()('y F y f Y Y = 得.0

,00,21)(2)(ln 2

??

???≤>=-y y e y f y Y π乘以1/y

例3 设，其它?

??<<=,04

0,8/)(~x x x f X X 求82+=X Y 的概率密度.

解 设Y 的分布函数为),(y F Y 则

}82{}{)(y X P y Y P y F Y ≤+=≤=]2/)8[(}2/)8({-=-≤=y F y X P X

于是Y 的密度函数2

1

28)()(???? ??-==

y f dy y dF y f X Y Y 注意到40<

28-=

??? ??-y y f X 故 .,016

8,32/)8()(?

?

?<<-=其它y y y f Y

习题5

3.1

例2 设随机变量X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在

1~X 中等可能地取一整数值，试求),(Y X 的分布律.

解 由乘法公式容易求得),(Y X 的分布律. 易知},{j Y i X ==的取值情况是: ,4,3,2,1=i 取不大于i 的正整数, 且

}{}|{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======,4

11?=i ,4,3,2,1=i i j ≤

于是),(Y X 的分布律为

例2 把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X 为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求),(Y X 的概率分布及),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.

解 ),(Y X 可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)

,8/1)2/1(}3,0{3====Y X P ,8/3)2/1(3}1,1{3====Y X P

,8/3}1,2{===Y X P ,8/1}3,3{===Y X P 故),(Y X 的概率分布如右表.

从概率分布表不难求得),(Y X 关于Y X ,的边缘分布.

,8/1}0{==X P ,8/3}1{==X P ,8/3}2{==X P ,8/1}3{==X P ,8/68/38/3}1{=+==Y P ,8/28/18/1}3{=+==Y P

从而得右表

3.2

例2设X 与Y 的联合概率分布为

(1) 求0=Y 时, X 的条件概率分布; (2) 判断X 与Y 是否相互独立?

解 (1) ,25.0005.02.0}0{=++==Y P

在0=Y 时, X 的条件概率分布为

,8.025.02

.0}0{}0,0{}0|0{========Y P Y X P Y X P

,2.025

.005

.0}0{}0,1{}0|1{========Y P Y X P Y X P

,025

.00

}0{}0,2{}0|2{======

==Y P Y X P Y X P

又,3.002.01.0}0{=++==X P 故在0=X 时， Y 的条件概率分布可类似求得

,3

1

3.01.0}0|1{===-=X Y P ,3

2

3.02.0}0|0{==

==X Y P .0}0|2{===X Y P

(2) 因,3.0}0{==X P ,55.015.03.01.0}1{=++=-=Y P

而,1.0}1,0{=-==Y X P 即}1{}0{}1,0{-==≠-==Y P X P Y X P 所以, X 与Y 不独立.

4.1

例1 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为21,X X , 它们的分布律分别为

,8.02.002101i p X 1

.03.06.02

102i p X

试评定他们的成绩的好坏.

解 我们来计算1X 的数学期望, 得8.18.022.0100)(1=?+?+?=X E (分).

这意味着, 如果甲进行很多次的射击, 那么, 所得分数的算术平均就接近1.8, 而乙所得分数的数学期望为).(5.01.023.016.00)(2分=?+?+?=X E 很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩.

例3 设随机变量X 的概率密度函数为

,,2

1)(|

|+∞<<∞-=

-x e x f x 求).(x E

解 ,212121)(00||dx xe dx xe dx xe X E x

x x ???∞+-∞-∞

+∞--+==

使用分布积分法，得到

.0)(=X E

例5 设随机变量),1,0(~N X 求).(2X E

解 ,,21)(2

2+∞<<∞-=-

x e

x f x π

,2121)(2

2

2

22x x e

xd dx e

x x E -

∞

+∞

-∞

+∞

--?

?

-

==

π

π

分部积分得 .121)(2

22==

?

∞

+∞

--x d e x E x π

例6设随机变量X 在],0[π上服从均匀分布, 求)(),(sin 2X E X E 及 .)]([2X E X E -

解 根据随机变量函数数学期望的计算公式, 有

,21

)()(0

π

π

π

=

?

=

=

?

?

+∞

∞

-dx x dx x xf X E ?

?

?

==+∞

∞

-π

π0

1

sin )(sin )(sin dx dx x xf X E ,2

|)cos (1

0π

π

π=-=

x

,3

1

)()(2

2

2

2

ππ

π

=

?

=

=

?

?

+∞

∞

-dx x dx x f x X E

2

2

2)]([??? ?

?

-=-πX E X E X E ?

???

? ??

-=

π

ππ0

2

12dx x .122π=

4.2

例1 设随机变量X 具有数学期望,)(μ=X E 方差.0)(2≠=σX D 记,*σ

μ

-=X X

则

;0])([1

)(1

)(*=-=

-=

μσ

μσ

X E X E X E

.1])[(1

])[(

)]([)()(22

2

22

2

*

2

**

==-=-=-=σ

σμσσ

μ

X E X E X E X

E X D

即σ

μ

-=

X X *的数学期望为0, 方差为1. *X 称为X 的标准化变量.

例2设随机变量X 具有)10(-分布, 其分布律为

,}1{,1}0{p X P p X P ==-==

求),(X E ).(X D

解 ,1)1(0)(p p p X E =?+-?= ,1)1(0)(222p p p X E =?+-?= 故22)]([)()(X E X E X D -=).1(2p p p p -=-=

例3设),(~λP X 求),(X E ).(X D

解 X 的分布律为,!

}{k e k X P k λ

λ-=

=,0,,2,1,0>=λΛk

则∑

∞

=-=0

!

)(k k k e X E λ

λ∑∞

=---=0

1

)!1(k k k e

λλλ

,λλλλ=?=-

e e

而

])1([)(2

X X X E X E +-=)()]1([X E X X E +-=∑∞

=-+-=

!

)

1(k k k e k k λλλ

∑∞

=--+-=2

2

2)!2(k k k e

λλλλ

,2

2λλ

λλλλ+=+=-

e e

故方差.)]([)()(22λ=-=X E X E X D

由此可知, 泊松分布的数学期望与方差相等, 都等于参数.λ因为泊松分布只含有一个参数,λ 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了.

例4设),,(~b a U X 求),(X E ).(X D

解 X 的概率密度为,,0,1)(?????<<-=其它b

x a a b x f

而?

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(?

-=

b

a dx a

b x

,2

b a +=

故所求方差为 2

2

)]([)()(X E X E X D -=?

??

?

??+--=b

a b c dx a b x 2

2

21.12)(2a b -=

例5 设随机变量X 服从指数分布, 其概率密度为

,0,

00,1)(/?????≤>=-x x e x f x θθ

其中,0>θ 求).(),(X D X E

解 ?

+∞

∞

-=dx x xf X E )()(?

+∞

-=

/1

dx e

x x θ

θ

,0/0/θθθ

=+-=?+∞

-+∞-dx e xe x x ?

+∞

∞

-=

dx x f x X E )()(22?

+∞

-=

/2

1

dx e x x θθ

?

+∞

-+∞-+

-=0

/0

/22dx xe e x x x θθ

,22θ=

于是22)]([)()(X E X E X D -=.2222θθθ=-= 即有,)(θ=X E .)(2θ=X D

【例7 设),(~p n b X , 求).(),(X D X E

解 X 表示n 重伯努利试验中 “成功” 的次数. 若设

n i i i X i ,,2,1,0,1Λ=?

??=次试验失败如第次试验成功如第

则∑==

n

i i

X

X 1

是n 次试验中 “成功” 的次数, 且i X 服从10-分布.

,}1{)(p X P X E i i ===,)(2p X E i =

故22)]([)()(i i i X E X E X D -=2p p -=)1(p p -=n i ,,2,1Λ= 由于n X X X ,,,21Λ相互独立, 于是

,)()(1

np X E X E n i i ==∑= ∑==n

i i X D X D 1

)()().1(p np -=

例8 设),,(~2σμN X 求).(),(X D X E 解 先求标准正态变量σ

μ

-=

X Z 的数学期望和方差. 因为Z 的概率密度为

)(,21)(2

/2

+∞<<-∞=

-t e t t

π?

于是?+∞

∞

--=

dt te Z E t 2

/221

)(π,0212

/2=-=

+∞

∞

--t e

π

)()(2Z E Z D =?

+∞

∞

--=

dt e t t

2

/22

21

π?

+∞

∞

---

=)(21

2

/2

t e td π

?

∞

+∞

--+∞

∞

--+

-

=dt te e t t

t 2

/2

/2

2212π

π

,12212

)2/

(=???

?

??=

?

+∞

∞

--t d e t π

其中利用泊松积分

,2

π=?

+∞

∞

--dx e x

因,Z X σμ+= 即得

,)()(μσμ=+=Z E X E

)()(Z D X D σμ+=2)]([Z E Z E σμσμ+-+=)(22Z E σ=)(22Z E σ=)(2Z D σ=.2σ=

这就是说, 正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别就是该分布的数学期望和均方差, 因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.

4.3

例1 已知离散型随机向量),(Y X 的概率分布为

求),cov(Y X .

解 容易求得X 的概率分布为,3.0}0{==X P ,45.0}1{==X P ;25.0}2{==X P Y 的概率分布为,55.0}1{=-=Y P ,25.0}0{==Y P ,2.0}2{==Y P 于是有

25.0245.013.00)(?+?+?=X E ,95.0= 2.0225.0055.0)1()(?+?+?-=Y E .15.0-=

计算得

0202.0001.0)1(0)(??+??+?-?=XY E 1.0215.0013.0)1(1??+??+?-?+

1.02200215.0)1(2??+??+?-?+ .0=

于是

)()()(),cov(Y E X E XY E Y X -=.1425.015.095.0=?=

例6设随机变量X 和Y 相互独立, 且),2,1(~N X )1,0(~N Y ,试求

32+-=Y X Z 的概率密度.

解 ),1,0(~),2,1(~N Y N X 且X 与Y 独立, 故X 和Y 的联合分布为正态分布, X 和

Y 的任意线性组合是正态分布, 即

)),(),((~Z D Z E N Z

,5323)()(2)(=+=+-=Y E X E Z E ,918)()(4)(=+=+=Y D X D Z D ),3,5(~2N Z

即Z 的概率密度是.,231)(18

)5(2+∞<<∞-=--

z e

z f z Z π

习题2

习题4

习题6

概率经典测试题及答案

概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C．

概率统计练习题答案

《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C

^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。

高中概率与统计试题

概 率与统计 1. (安徽理19)． 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望 3E ξ=，标准差σξ为 2 （Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列； （Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 【解：】(1)由233,()(1),2E np np p ξσξ===-=得112p -=,从而1 6,2 n p ==， ξ的分布列为 (2)记”需要补种沙柳”为事件A,则()(3),P A P ξ=≤得 或156121 ()1(3)16432 P A P ξ++=->=-= 2. （安徽文18） 在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g ”. （Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g ”的概率。 （Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g ”的卡片不少于2张的概率。

【解：】（1）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g ”的概率为 3 10 ，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为 33327 1010101000 ??= （2）设(1,2,3)i A i =表示所抽取的三张卡片中，恰有i 张卡片带有后鼻音“g ”的事件，且其相应的概率为(),i P A 则 127323107()40C C P A C == ,3333101 ()120 C P A C == 因而所求概率为 3. （北京理17） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 【解：】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3 324541 ()40 A A P E C A ==， 即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是 1 40 ． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541 ()10 A P E C A ==， 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10 P E P E =-= ． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务， 则23 5334541 (2)4 C A P C A ξ===． 所以3 (1)1(2)4 P P ξξ==-== ，ξ的分布列是

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的

概率统计习题及答案

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8

概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】

【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2.

概率统计习题含答案

作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .

高中数学专题――概率统计专题.

专题二概率统计专题 【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题． 【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】 题型1 抽样方法 -）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999 定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（） A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对 分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样． 解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B． 点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体． 例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（） A．24B．18C．16D．12 Array 分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了． x=?=，这样一年级和二年级学生的解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380 +++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是总数是3733773803701500 64 50016 ?=．答案C． 2000 点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识． 例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， 2500,3500（元）月收入段应抽要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[) 出人．

概率经典例题与解析、近年高考题50道带答案

【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，

概率统计练习题8答案

《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，

D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。

高中数学概率与统计测试题

概率与统计 1.如果一个整数为偶数的 概率为 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ，且 a,b,c 均为整数，求 2.从 10 位同学 (其中 6 女，4 男)中随机选出 3 位参加测验，每位女同学能通过测验的概率 43 均为，每位男同学能通过测验的概率均为，求55 (1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球， 4 个红球，甲首先从中取出 3 个球，乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币， 3 个 5 角硬币， 4 个 1 角硬币，从中任取 3 个，求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片，其号码分别位 1，2，3?，10，从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率； (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球 1 的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为, ，记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后，出现红球的概率为P n

(1)求P2的值； (2)当 n∈N,n ≥2 时，求用P n 1表示P n的表达式； (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ，三张写有数字 2 ；乙盒子中有 8 张卡片，其中三张写有数字 0，两张写有数字1，三张写有数字 2 ， (1) 如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少？ (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有 1 个白球， 3 个黑球， 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或 B 是合格品并且 C 是合格 品时，甲是正品；当 A， B 都是合格品或者 C 是合格品时，乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P，这里 A ，B，C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2 是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率； (2) 求第二次取出的是二等品的概率； (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学

概率统计例题

已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ，； ，， 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ， ； ，， 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为： ?? ?<<==?∞+∞ -其他。， ； ， 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 ， ； ， 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=，所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】

高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 ２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 １、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

高中数学统计与概率测试题

高中数学统计与概率测试 题 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

高中数学统计与概率测试题一选择题 1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A． 1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 2．某班级在一次数学竞赛中为全班同学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（） A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中三等奖的总费用最高C．购买奖品的费用平均数为元 D．购买奖品的费用中位数为2元3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1,820]的人做问卷A，编号落入区间[821,1520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A． 23 B． 24 C． 25 D． 26

4．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取3名，则n＝( ) A． 13 B． 12 C． 10 D． 9 5 ,,, A B C D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车概率是 A．1 3 B． 1 2 C． 5 9 D． 2 3 6．如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 7．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

2011年七年级概率初步经典练习题

必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。

概率统计练习题答案

概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ

A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -