高中立体几何模拟题(附答案)

高中立体几何模拟题

一．选择题（共9小题）

1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）

①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；

②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；

③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；

④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．

A．3 B．2 C．1 D．0

2．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）

A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）3．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）

A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4

4．已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）

A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）

5．若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1

6．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）

A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）7．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）

A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）

A．B．C．D．

二．填空题（共3小题）

10．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．

11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．

12．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，

点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．

三．解答题（共18小题）

13．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请

说明理由．

14．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．

（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C∥平面AB1D．

15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

16．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；

（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．

17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：

（1）PA∥平面BDE；

（2）BD⊥平面PAC．

18．如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

（1）证明：AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．

（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．

20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC 于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．

（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；

（Ⅱ）求证：BD⊥FG．

21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．

（I）求证：CA1⊥C1P；

（II）若四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．

22．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．

（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；

（2）求点D1到面BDE的距离．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA ⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．

（Ⅰ）求证：PB⊥DM；

（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．

24．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．

（1）求证：AB∥平面DEG；

（2）求证：BD⊥EG；

（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．

25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

26．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；

（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．

27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．

（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；

（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M

﹣BQ﹣C的大小．

28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．

（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；

（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

29．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；

（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；

（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

30．如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；

（Ⅱ）求二面角A﹣PF﹣E的正切值．

2017年03月25日1879804507的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（2016春?孝感期末）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）

①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；

②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；

③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；

④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．

A．3 B．2 C．1 D．0

【解答】解：P关于x轴的对称点为P1（x，﹣y，﹣z）；

关于yOz平面的对称点为P2（﹣x，y，z）；

关于y轴的对称点为P3（﹣x，y，﹣z）；

点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．

故①②③错误．

故选C．

2．（2015秋?石家庄校级期末）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）

A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，

∴=，，=．

∴=﹣

=

=[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]

=

=（﹣2，﹣3，﹣3）．

故选：B．

3．（2015?邹城市校级模拟）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）

A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．4

【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，

∵α∥β，由题意可得，

∴k=4．

故选：D．

4．（2014秋?越城区校级期末）已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）

A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）

【解答】解：∵与的夹角为钝角，

∴cos＜，＞＜0．且与不共线

∴?＜0．且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣1，x﹣1，1）

∴﹣3﹣2（x﹣1）﹣3＜0．且x≠

∴x的取值范围是（﹣2，）∪（，+∞）．

故选B．

5．（2014秋?从化市校级期末）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）

A．17或﹣1 B．﹣17或1 C．﹣1 D．1

【解答】解：∵，，，cos60°=．∴，化为λ2+16λ﹣17=0，解得λ＝﹣17或1．

故选B．

6．（2015春?济南校级期中）设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）

A．（﹣1，﹣2，5） B．（﹣1，1，﹣1） C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）【解答】解：∵（﹣1，1，﹣1）?（1，2，1）=﹣1+2﹣1=0，（﹣1，1，﹣1）?（﹣1，1，2）=1+1﹣2=0，

∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．

故选B．

7．（2016秋?兴庆区校级期末）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）

A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）【解答】解：∵（2，﹣4，4）=2（1，﹣2，2），

∴向量（2，﹣4，4）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．

故选C．

8．（2015?株洲一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）

A．B．C．D．

【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）

∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．

∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为

故答案为D．

9．（2015?广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）

A．B．C．D．

【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．

因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．

过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．

因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以

∠FBG=∠BCA=．

故选A．

二．填空题（共3小题）

10．（2016秋?碑林区校级期末）设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=4．

【解答】解：∵α∥β，∴∥，

∴存在实数λ使得．

∴，解得k=4．

故答案为：4．

11．（2009?安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，﹣1，0）．【解答】解：设M（0，y，0）

由12+y2+4=1+（y+3）2+1

可得y=﹣1

故M（0，﹣1，0）

故答案为：（0，﹣1，0）．

12．（2016秋?临沂期末）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．

由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，

则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．

∴=（0，﹣1，1），=（2，0，2）．

∴===．

∴异面直线EF和BC1的夹角为．

故答案为：．

三．解答题（共18小题）

13．（2015?重庆校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC 的中点．

（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请

说明理由．

【解答】（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵G为对角线AC的中点，

∴GM∥AD，且GM=AD，

又∵FE∥AD，

∴GM∥FE且GM=FE．

∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．

又∵EG?平面ABF，FM?平面ABF，

∴EG∥平面ABF．…（4分）

（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高．

∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，

∴△AEF是正三角形．

∴∠AEF=60°，

由EF∥AD知∠EAD=60°，

∴EN=AE?sin60°＝．

∴三棱锥B﹣AEG的体积为

．…（8分）

（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：

∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴CD⊥平面AFED，

∴CD⊥AE．

∵四边形AFED为梯形，FE∥AD，且∠AFE=60°，

∴∠FAD=120°．

又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，

由余弦定理，得ED=．

∴EA2+ED2=AD2，

∴ED⊥AE．

又∵ED∩CD=D，

∴AE⊥平面DCE，

又AE?面BAE，

∴平面BAE⊥平面DCE．…（12分）

14．（2014?南昌模拟）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；

（2）求证：A1C∥平面AB1D．

【解答】证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD?平面ABC，

所以AD⊥B1B （2分）

因为D为正△ABC中BC的中点，

所以AD⊥BD （2分）

又B1B∩BC=B，

所以AD⊥平面B1BCC1（4分）

又AD?平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1（6分）

（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （7分）

因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点（8分）

又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，

所以DE∥A1C （10分）

又DE?平面AB1D，

所以A1C∥平面AB1D （12分）

15．（2011?陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；

（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．

【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，

又DB∩DC=D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD?平面ABD．

∴平面ADB⊥平面BDC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA⊥DB，DB⊥DC，DC⊥DA，

∵DB=DA=DC=1，∴AB=BC=CA=，

从而

所以三棱锥D﹣ABC的表面积为：

16．（2016?徐汇区一模）三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．

（1）证明：SC⊥BC；

（2）求三棱锥的体积V S﹣ABC．

【解答】解：（1）∵SA⊥AB SA⊥AC AB∩AC=A

∴SA⊥平面ABC，∴AC为SC在平面ABC内的射影，

又∵BC⊥AC，由三垂线定理得：SC⊥BC

（2）在△ABC中，AC⊥BC，AC=2，BC=，∴AB==，

∵SA⊥AB，∴△SAB为Rt△，SB=，∴SA==2，

∵SA⊥平面ABC，∴SA为棱锥的高，

∴V S﹣ABC=××AC×BC×SA=×2××=．

17．（2016秋?咸阳期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：

（1）PA∥平面BDE；

（2）BD⊥平面PAC．

【解答】证明（1）连接OE，

在△CAP中，CO=OA，CE=EP，

∴PA∥EO，

又∵PA?平面BDE，EO?平面BDE，

∴PA∥平面BDE．

（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥PO

又∵四边形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC

∵AC∩PO=O，AC，PO?平面PAC

∴BD⊥平面PAC

高中数学立体几何教学研究

高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.

高中立体几何试题(答案)

高中立体几何试题 1. 在正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角111C BD A --的大小． 解析：如图9-43，在平面B C D 11内作11BD E C ⊥，交1BD 于E ．连结E A 1，设正方体棱长为a ，在△11BD A 和△11BD C 中，a D C D A ==1111，a B C B A 211==，11 BD BD = a 3=，∴ △11BD A ≌△11BD C ，∵ 11BD E C ⊥，∴ 11BD E A ⊥，∴ 11EC A ∠ 二面角111C BD A --的平面角．在Rt△11D BC 中，?=∠9011B C D ，∴ 111112121BD E C BC D C ?=?，∴ a a a a E C 32321=?=,在△11EC A 中，= =E C E A 11 a 32，a C A 211=，213 2322)2(3232cos 22211-=?-???? ??+???? ??=∠a a a a a EC A ，110 EC A ∠?＜ ?180＜，?=∠∴120 11EC A 2. 如图9-50，点A 在锐二面角??-MN -??的棱MN 上，在面??内引射线AP ，使AP 与MN 所成的∠PAM 为45°，与面??所成的角为30°，求二面角??-MN -??的大小．

解析：如图答9-44，取AP 上一点B ，作BH ⊥??于H ，连结AH ，则∠BAH 为射线AP 与平面??所成的角，∴ ∠BAH =30°，再作BQ ⊥MN ，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面??内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ ⊥MN ，∴ ∠BQH 为二面角??-MN -??的平面角． 图答9-44 设BQ =a ，在Rt△BAQ 中，∠BQA =90°，∠BAM =45°，∴ a AB 2=，在Rt△BAH 中∠BHA =90°，∠BAH =30°，∴ a BH 22= ．在Rt△BHQ 中，∠BHQ =90°，BQ =a ，a BH 2 2=，∵ ∠BQH 是锐角，∴ ∠BQH =45 即二面角??-MN -??等于45°． 3. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB ＝2 1CD ，侧棱PB⊥底面ABCD ，PC ＝5，BC ＝3，ΔPAB 的面积等于6，若平面DPA 与平面CPB 所成的二面角为α，求α. 解析：平面DPA 与平面CPB 有一公共点P ，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA 和CB 的延长线的交点E 是它们的另一公共点.由公理二，PE 就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根. 解 延长DA 交CB 的延长线于E ，连PE ，则PE 就是平面DPA 和平面CPB 的交线. ∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD. ∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE. 作CF⊥PE 于F ，连DF 由三垂线定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α. ∵AB＝ 2 1CD ，PC ＝5，BC ＝3，∴PB＝4. S ΔPAB ＝6，∴AB＝3，CD ＝6，DC AB ＝EC EB ＝21.

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .

连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 【解析】 因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ． 在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网 由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ， 故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的

高中数学必修二立体几何入门试题精选

高中数学必修二立体几何入门试题精选 内容：空间几何体与异面直线 时间：90分钟 分值：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分?在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法不正确的是 （ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是（ ） 3. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为 （ B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中，既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为（ 4.平面六面体ABCD

5. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中厶 ABC 是 边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的 9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2，则它们的面积比为 1 : 4，类似地，在空 间内，若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面， 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上， 若AB AC AAA 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为（ )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显 示的数字，推出 “？ ”处的数字是（ : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观 图， 其平面图形的面积为（ ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为（） ?（不考虑接触 点） A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿 、填空题（本大题共5小题，每小题 4分，满分20分?把答案填在题中横线上 正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示, 俯视 侧视

高中数学必修2立体几何专题资料

专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影． 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？ 解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影. 方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置. 点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案：①②③ 点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影． 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考． 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时， 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 1 2A1B1， A1N=2ND1，A1P= 3 4A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体 积． 分析：若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积， 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出， 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解． 解：V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3．

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与 点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料

2012，山东(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE. (II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. Word资料

BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i）E F//A 1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。 （Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. （ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D （Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1

高中数学立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别为AB、PC 的中点； (1)求证：MN// 平面PAD (2)若∠ PDA=45 °，求证：MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12 分) 如图，在三棱锥P ABC中，E,F 分别为AC,BC 的中点． 1)求证：EF // 平面PAB ； 2)若平面PAC 平面ABC，且PA PC ，求 证：平面PEF 平面PBC ． ABC 90 ， A P C F B

（1）证明：连结EF , Q E、F 分别为AC 、BC的中点， EF // AB. ???????? 2 分又EF 平面PAB ，AB 平面PAB ，EF∥平面PAB. ????????5 分 （2）Q PA PC，E为AC的中点， PE AC ???????? 6 分 又Q 平面PAC 平面ABC PE 面ABC ????????8 分 PE BC ????????9 分 又因为F 为BC 的中点， EF // AB Q ABC 900, BC EF ????????10 分 Q EF I PE E BC 面PEF ????????11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ????????12 分 3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 1)求证：BC1// 平面CA1D； 2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。 4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F 分 别是AB、PC的中点． (1) 求证：EF∥平面PAD； (2) 求证：EF⊥ CD； (3) 若∠ PDA＝45°，求EF与平面ABCD 所成的角的大小．

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 ， ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱

棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 )

高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 （3）棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一．选择 10 1模 5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长； （2）若11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积． C P A B 图5 D

09 1模 如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==． （1）求证：BC ⊥平面AC A 1； （2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为 403 。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长; （3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17．（本小题满分14分） 如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积． A B C D E 图5

高中数学立体几何知识点及练习题

点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理二：不共线的三点确定一个平面。 推论一：直线与直线外一点确定一个平面。 推论二：两条相交直线确定一个平面。 推论三：两条平行直线确定一个平面。 公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。 即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。 注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：

2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜 交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。 即： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理： 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2

(完整word版)高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。 求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D； （2）平面BDF∥平面B 1D 1 H．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。 （1）求证：SB ∥平面ACM ； （2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点． （1）证明：PA∥平面EDB； （2）证明：BC⊥DE．

-2017立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

高二数学立体几何试题及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 【模拟试题】 一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。 其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（ ） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（ ） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ） 二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题 ——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。 围成多面体的各个 多边形叫做多面体的面, 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭 几何体。 其中, 这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行， 其余各面都是四边 形，并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2棱柱的分类 瓦他棱柱… ②四检杆 底血为甲行四边遊 T-trAfij 休 侧检旺亢丁底向 A-'K'tf'AlkJtt 囱向为和序 ------------------ ? ------------- - ----------------- ■ ------------------ A 长方体I 屁血为止方册.1』四棱相 傭棱打底血边怅*||簞 止方体 1.3棱柱的性质 ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 1.4长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是a 伙Y 那么： 2 2 2 cos a + cos 3 + COS 丫= 1 sin 2 a + sin 3 + siny =2 ⑶ 长方体的一条对角线 AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为 a 3 Y 则: .咬llLI 昭|1.呂出 *正棱柱 够一 ；I ；从 图1-2长方体 2 COs a 2 2 + cos 3 + COSY = 2 sin 2 a 2 2 + sin 3 + sinY =1 E' A 图图1棱柱棱柱