三角形角平分线专题讲解
二 由角平分线想到的辅助线
口诀：
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等
几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地
去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段
的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法
图1-1
B
图
1-2
D
B
C
来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。
例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
练习 1．
已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=
2∠C ，求证：AB+BD=AC
2．
已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，
求证：AE=2CE
3．
已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。
求证：BM-CM>AB-AC
A
B
C
图1-4
A
B
C
4． 已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、
DC 。求证：BD+CD>AB+AC 。
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180
分析：可由C 向∠BAD 的两边作垂线。近而证∠ADC 与∠B 之和为平角。
例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。 求证：BC=AB+AD
分析：过D 作DE ⊥BC 于E ，则AD=DE=CE ，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。
例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。
分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。
练习：
1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥OA ，
如果PC=4，则PD=（ ）
A 4
B 3
C 2
D 1
图2-1
B
C
图
2-2
A
B
C
图2-3
A
B
C 图
2-4
O
A
D
2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。 3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，
AE=21
（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。
4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，
F 为BC
上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。 5．
已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE
平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。
（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=
2
1
（AB-AC ） 分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。
例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠AB C 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角
B
D
图
2-6
E
C
D
图2-7
D
B
A
B
图3-2
B
C
形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长
交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。求证：AM=
2
1
（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△AB D 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=
2
1
EC ，另外由求证的结果AM=2
1
（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可
尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=C F 即可。
练习： 1．
已知：在△ABC 中，AB=5，AC=3，D 是BC 中点，AE 是∠BAC 的平分
线，且CE ⊥AE 于E ，连接DE ，求DE 。
2．
已知BE 、BF 分别是△ABC 的∠ABC 的内角与外角的平分线，AF ⊥BF
于F ，AE ⊥BE 于E ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证MN=
2
1BC （四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线
有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。
图3-3
E
图4-2
图4-1
A
B
C
B
I G
例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。
例5 如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。
例6 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。 练习：
1. 已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。求证：△ABC 是直角三角形。
1 2
A
C
D
B
B
D
C
A
A
B E
C D
2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC
3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD
4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD
三 由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
C
A
B
A
B
C
D
A
E
B
D A
B
D
C
1 2
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）
将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN>MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ；（2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ；（3） 由（1）+（2）+（3）得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）
延长BD 交AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：
AB+AF>BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边） (1)
GF+FC>GE+CE （同上）（2） DG+GE>DE （同上）（3） 由（1）+（2）+（3）得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。
二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内
A
B
C
D
E
N M 1
1-图A
B
C
D
E
F G
2
1-图A
B
C
D E F
G
1
2-图
角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。
因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；
证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， ∴∠BDC>∠DEC ，同理∠DEC>∠BAC ，∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD ，并廷长交BC 于F ，这时∠BDF 是△ABD 的 外角，∴∠BDF>∠BAD ，同理，∠CDF>∠CAD ，∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD ，即：∠BDC>∠BAC 。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：
BE+CF>EF 。
BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE ，CF ，EF 移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，
∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN ，FN ，EF 移到同个三角形中。
证明：在DN 上截取DN=DB ，连接NE ，NF ，则DN=DC ， 在△DBE 和△NDE 中： DN=DB （辅助线作法）
∠1=∠2（已知） ED=ED （公共边） ∴△DBE ≌△NDE （SAS ）
A B C
D E
F
N
1
3 图123
4
∴BE=NE （全等三角形对应边相等） 同理可得：CF=NF
在△EFN 中EN+FN>EF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF 。
注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
四、 截长补短法作辅助线。
例如：已知如图6-1：在△ABC 中，AB>AC ，∠1=∠2，P 为AD 上任一点
求证：AB-AC>PB-PC 。
要证：AB-AC>PB-PC ，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为
欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC ，故可在AB 上截取AN 等于AC ，得AB-AC=BN ，再连接PN ，则PC=PN ，又在△PNB 中，PB-PN 即：AB-AC>PB-PC 。 证明：（截长法） 在AB 上截取AN=AC 连接PN,在△APN 和△APC 中 AN=AC （辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP （公共边） ∴△APN ≌△APC （SAS ）,∴ PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN 中，有PB-PN A B C D N M P 1 6 图12 延长AC 至M ，使AM=AB ，连接PM ， 在△ABP 和△AMP 中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2（已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP ≌△AMP （SAS ） ∴PB=PM （全等三角形对应边相等） 又∵在△PCM 中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC 。 例1．如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 。 例2如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ， 求证：∠ADC+∠B=180o 例3已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。 求证：BC=AB+DC 。 D A E C B A E B C D C 例4如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB 于M ，且AM=MB 。求证：CD=21 DB 。 1．如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE ，求证：AD=AB+CD 。 2.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧， BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E 。求证：BD=DE+CE 四 由中点想到的辅助线 口诀： 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 （一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图1，AD 是ΔABC 的中线，则S ΔABD =S ΔACD =S ΔABC （因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的）。 M B D C A E D C B A 例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE 的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。 解：因为AD是ΔABC的中线，所以S ΔACD =S ΔABC =×2=1，又因CD是ΔAC E的中线，故S ΔCDE =S ΔACD =1， 因DF是ΔCDE的中线，所以S ΔCDF =S ΔCDE =×1=。 ∴ΔCDF的面积为。 （二）、由中点应想到利用三角形的中位线 例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ∵ME是ΔBCD的中位线， ∴ME CD，∴∠MEF=∠CHE， ∵MF是ΔABD的中位线， ∴MF AB，∴∠MFE=∠BGE， ∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE， 从而∠BGE=∠CHE。 （三）、由中线应想到延长中线 例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。 解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。 在ΔACD和ΔEBD中， ∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD， ∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE， 从而BE=AC=3。 在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°， ∴BD===，故BC=2BD=2。 例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。 证明：延长AD到E，使DE=AD。 仿例3可证： ΔBED≌ΔCAD， 故EB=AC，∠E=∠2， 又∠1=∠2， ∴∠1=∠E， ∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。 （四）、直角三角形斜边中线的性质 例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。 证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC 斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。 ∵AB//DC， ∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2， ∴∠1=∠2， 在ΔADE和ΔBCE中， ∵DE=CE ，∠1=∠2，AE=BE ， ∴ΔADE ≌ΔBCE ，∴AD=BC ，从而梯形ABCD 是等腰梯形，因此AC=BD 。 （五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线 例6．如图7，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE 。 证明：延长BA ，CE 交于点F ，在ΔBEF 和ΔBEC 中， ∵∠1=∠2，BE=BE ，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF ≌ΔBEC ，∴EF=EC ，从而CF=2CE 。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD 和ΔACF 中，∵∠1=∠3，AB=AC ，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD ≌ΔACF ，∴BD=CF ，∴BD=2CE 。 注：此例中BE 是等腰ΔBCF 的底边CF 的中线。 （六）中线延长 口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。 题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。 例一：如图4-1：AD 为△ABC 的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF 。 证明：廷长ED 至M ，使DM=DE ，连接CM ，MF 。在△BDE 和△CDM 中， BD=CD （中点定义） ∠1=∠5（对顶角相等） ED=MD （辅助线作法） ∴△BDE ≌△CDM （SAS ） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知） 1 4 图A B C D E F M 123 4 ∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF=90° 在△EDF 和△MDF 中 ED=MD （辅助线作法） ∠EDF=∠FDM （已证） DF=DF （公共边） ∴△EDF ≌△MDF （SAS ） ∴EF=MF （全等三角形对应边相等） ∵在△CMF 中，CF+CM>MF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CF>EF 上题也可加倍FD ，证法同上。 当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。 例二：如图5-1：AD 为△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD 。 分析：要证AB+AC>2AD ，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD ，所以有AB+AC+BD +CD>AD+AD=2AD ，左边比要证结论多BD+CD ，故不能直接证出此题，而由2AD 想到要构造2AD ，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连接BE ，CE ∵AD 为△ABC 的中线（已知） ∴BD=CD （中线定义） 在△ACD 和△EBD 中 BD=CD （已证） ∠1=∠2（对顶角相等） AD=ED （辅助线作法） ∴△ACD ≌△ EBD （SAS ） ∴BE=CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ABE 中有：AB+BE>AE （三角形两边之和大于第三边） A B C D E 15 图 ∴AB+AC>2AD 。 练习： 1 如图，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，求AD 的取值范围。 2 如图，AB=CD ，E 为BC 的中点，∠BAC=∠BCA ，求证：AD=2AE 。 3 如图，AB=AC ，AD=AE ，M 为BE 中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM ⊥DC 。 4，已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD 。 5．已知：如图AD 为△ABC 的中线，AE=EF ，求证：BF=AC A B D A C B E C D A B C D E F 25 图 A B D C E F 角平分线、等腰三角形性质及判定的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题） 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，若DC＝4，则DE＝（）A．3B．5C．4D．6 第1题第2题第3题第4题 2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（）A．6B．5C．4D．3 3．如图，OC平分∠AOB，CM⊥OB于点M，CM＝3，则点C到射线OA的距离为（） A．5B．4C．3D．2 4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定 5．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20B．12C．10D．8 第5题第6题第7题第8题第9题 6．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是（） A．4B．5C．10D．20 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，CD＝4，则△ABD的面积为（） A．20B．24C．42D．48 8．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝，则OF长度是（）A．2B．C．3D．2 9．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝6，那么PD＝（） A．3B．6C．8D．10 10．如图，已知点P到△ABC三边的距离相等，DE∥AC，AB＝8.1cm，BC＝6cm，△BDE的周长为（）cm．A．12B．14.1C．16.2D．7.05 第10题第11题第12题 二．填空题（共8小题） 11．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝30°，则∠B＝． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是° 13．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝． 【关键字】精品 二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是笔直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 解析三角形中两条角平分线组成的角 当同学们学完三角形的角平分线后，利用角平分线来解决相关几何题就应运而生。这儿作者只是给大家归纳了几种利用三角形两条角平分线组成的角的解析方法，以便大家在平时的作业时可简便计算。 一、三角形两内角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o 又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=21∠ABC+2 1∠ACB =2 1(∠ABC+∠ACB) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o －n o ) =90o －21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o － 21 n o ) =180o －90o + 21 n o =90o +2 1 n o 即：∠BOC=90o +2 1 ∠A 通过上述解题过程不难发现，其实三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。 二、三角形两外角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o C 又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵∠ABC+∠CBD=180o ∠ACB+∠BCE=180o ∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB) =360o －180o +n o =180o +n o ∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠CBD ∠OCB =2 1∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=21∠CBD+2 1∠BCE =2 1(∠CBD+∠BCE) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o +n o ) =90o +21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o + 2 1 n o ) =180o －90o －2 1 n o =90o －2 1 n o 即：∠BOC=90o －21 ∠A 由此我们可发现三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。 三、三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：∵∠ACD 为△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACD 的角平分线 ∴∠OBC=2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACD =21(∠A+∠ABC) A E 二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B 上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C 三角形内外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有及三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下． 命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90° +∠A． 证明：如图１： ∵∠1＝∠，∠２＝∠， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠D=180°② ①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠D③ 由②得： ∠1＋∠2=180°－∠D④ 把③代入④得： ∴180°－∠D＋∠A＝∠D ∠D=90°+∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明. 命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A． 证明：如图２： ∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线， ∴∠D=180°－∠1－∠2 =180°－（∠DBE+∠DCF） =180°－（∠A+∠4+∠A+∠3） =180°－（∠A+180°） =180°－∠A－90° =90°－∠A； 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明. 命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线及一个外角平分线的交点，则∠E=∠A． 证明：如图3： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得： ∠E=∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和，很容易证明. 命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE及一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线. 证明：如图3： ∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线． 点评利用角平分线的性质和判定能够证明． 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看． 例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60° 三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高： 2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC= ∠ = ° 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）． 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、 作出下列三角形三边上的中线 2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = = 2 1 ， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。 练习二：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中________上的中线； 知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三角的角平分线： 2、AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ = 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的内心。 练习三：如图，已知∠1= 2 1 ∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 . 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、综合练习 A C B A C B A C B A C B A C B A C B .. 三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C .. 应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交 与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形 状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点， BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ， =∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于 点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______． 2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页 授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用： 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线． 通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点： 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点： 在钝角三角形中作高． 4、教学关键： 运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． （2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开． 1．如图1所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm． 图1图2 2．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（） A ．mn 3 1 B． mn 2 1 C．mn D．2mn 3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶ DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。 4．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。 5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2， 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。 3题图 D C B A z .. .. z .. .. D C B A 10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250 ，那么∠2的度数是 . 12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？说明理由． 14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ． 15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° 16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E 三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C 应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______． 1．如图1所示，在△ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，AD ＝2 cm ，则点D 到BC 的距离为________cm ． 图1 图2 2．如图2所示，在Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则ΔABD 的面积是（ ） A ． B ． C ．mn D ．2mn 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝900 ，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。 4．如图，已知BD 是∠ABC 的内角平分线，CD 是∠ACB 的外角平分线，由D 出发，作点D 到BC 、AC 和AB 的垂线DE 、DF 和DG ，垂足分别为E 、F 、G ，则DE 、DF 、DG 的关系是 。 5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠A 、∠C 的角平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE=2，则两平行线间AB 、CD 的距离等于 。 6.AD 是△BAC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下列结论中错误的是( ) A 、DE=DF B 、AE=AF C 、BD=CD D 、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） Ａ．三条中线的交点 Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点 Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC 中，∠A=80°，∠B 和∠C 的角平分线交于O 点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB 和CD ，及另一直线EF 。如果要在EF 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个。 mn 31mn 2 13题图 D C B A 三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则 BD/DC=AB/AC 应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 三角形外角平分线的性质定理： 三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明. 角平分线性质定理 角平分线的性质： 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 证明 ●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条 邻边成比例． 即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC. 证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD：S△ACD=BD：CD 又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC 所以BD/CD=AB/AC. 1.角平分线可以得到两个相等的角。 角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。 如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。 2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。 如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证： CD=BD ∵∠DCA=∠DBA ∠CAD=∠BAD AD=AD ∴△ACD≌△ABD ∴CD=BD 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD： 作BE=BD交射线AS于E，如图1： ∵BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC 又∵∠BAE=∠CAD, 第一部分：知识点回顾 角平分线的性质及判定： 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号： 例：如图 角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， ∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 等腰三角形的性质及判定： 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质和判定 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”） 判定 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”） 3.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 4.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 5.等边三角形有关判定 (1 )三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题 全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么 过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （） 1如图1所示，在△ ABC中，∠ A= 90°, BD平分∠ ABC AD= 2 Cm ,则点D到BC的距离为___________ cm. 2. 如图2所示，在Rt Δ ABC中，∠ C = 90°, BD是∠ ABC的平分线，交 AC于D,若CD = n, AB = m, 则Δ ABD的面积是（） 1 1 A . -mn B. — mn C. mn D. 2mn 3 2 3. 如图，在△ ABC中，∠ C= 900, BC= 40, AD是∠ BAC的平分线交BC于D,且DC： DB= 3 : 5,则点D到AB的距离是________ 。 4. 如图，已知BD是∠ ABC的内角平分线，CD是∠ ACB的外角平分线，由D出发，作点D到 BC3题题图和AB 的垂线DE DF和DG垂足分别为 E F、G贝U DE DF、DG的关系是__________________________ 5. _________________________________ 如图，已知AB// CD O为∠ A∠ C的角平分线的交点, 则两平行线间AB CD的 距离等于______________________________ 。 6. AD是厶BAC的角平分线，自D向AB AC两边作垂线，垂足为E、F,那么下列结论中错误的是 （） A DE=DF B 、AE=AF C、BD=CD D∠ ADE玄ADF 7. 到三角形三条边的距离都相等的点 是这个三角形的（） A.三条中线的交点 E.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 8. 已知△ ABC中，∠ A=80°,∠ B和∠ C的角平分线交于O点，则∠ BOC= ___ 。 9. 如图，已知相交直线AB和CD及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB CD距离相等的点，方 法 是___________ ,这样的点至少有________ 个，最多有___ 个。 OEL AC于E,且0E=2 1 垂直平分线和角平分线专项练习 1、如图，Rt △ABC 的斜边AB 中点为E ，ED ⊥AB 交BC 于D ，且∠CA D ︰∠BAD ＝1︰7,求∠BAC 的度数。 2、如图,在△ABC 中,DE 垂直平分AB 于E,交AC 于D,若AB ＝AC ＝32，BC ＝21，求△BCD 的周长。 3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。 4、已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。AB=15cm ，AC=13cm,试求△ADE 的周长。 5、如图，AF 平分∠BAC ，P 是AF 上任一点，过P 向AB 、AC 作垂线PD 、PE ，D 、E 分别为垂足，连结DE ，求证：AF 垂直平分DE 。 6、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B A B C D E C A B D E A B C P Q M N A B C E P D F A B C D E F 3 2 1 I E D A B C 2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线交AB 于P ，PD 交AC 于E ，求证：点P 也在AE 的垂直平分线上。 9、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ， 求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。 10、如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ １1、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，F 在AC 上，在BA 的延长线上取AE ＝AF ，求证EF ⊥BC （用多种方法） １5、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC １6、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ，求证：AC ＋CD ＝AB A B C P D E F A C B D A C B D A B C D E A E B C D A B C D Q E P 三角形单元复习与巩固 知识网络 目标认知 学习目标 1.了解三角形的边、高、中线、角平分线的定义及性质； 2.掌握三角形的内角和及多边形的内角和公式； 3.通过三角形的内角和来确定三角形的外角和以及多边形的外角和； 4.会利用多边形的内角和公式求多边形的边数、角度数、外角度数等； 5.掌握多边形内角和性质的应用. 重点 三角形的三边关系,以及三角形内角和定理的综合应用. 难点 本章的难点是镶嵌问题，它综合运用到多边形内角和以及正多边形等知识. 知识要点梳理 知识点一：三角形的有关的概念 1.三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边上的公共点叫做三角形的顶点，相邻两边所组 成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上； ③首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准. 2.三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”. 3.三角形的分类 4.三角形的三边关系 ①三边关系性质：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系. ②三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围. 注意：①这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；②三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体应用. 知识点二：三角形的高、中线、角平分线 1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 注意： ①三角形的高线是一条线段； ②锐角三角形的三条高都在三角形内，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的顶点. ③三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的垂心. 2.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线. 注意： ①三角形的中线是一条线段； ②三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形； ③三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的重心. 解三角形题目的思考 文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 常规解法及题根： （15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比率 中点性质与结论： （1）平分线段； （2）向量结论； （3）两个小三角形面积相等。 题目解法搜集： 解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解； 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7； 在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。 若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。 小专题(一) 与三角形的角平分线有关的角度计算 模型1 两个内角平分线的夹角 方法归纳：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于90°加上第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于点O ，则∠BOC＝90°＋1 2 ∠A. 1．如图，点O 是△ABC 的∠AB C 与∠ACB 两个角的平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A 的角度是________°. 2．如图所示，在△ABC 中，BO 、CO 是角平分线． (1)∠ABC＝50°，∠ACB ＝60°，求∠BOC 的度数，并说明理由； (2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB ＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC 的度数； (3)若∠A＝n °，求∠BOC 的度数． 模型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 方法归纳：三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC、∠ACE，则∠BDC＝1 2∠A. 3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，∠A ＝50°，则∠D＝________． 4．如图，在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x ，y 轴上的两个动点，∠BAO 的平分线与∠ABO 的外角平分线相交于点C ，在A ，B 的运动过程中，∠C 的度数是一个定值，这个定值为________． 5．(达州中考改编)如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的 浅议三角形角平分线的结论及应用 摘要： 一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。 关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。 关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习 一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D， 1∠Ａ。 试探究：∠D=９０°＋ 2 解：∵BD、CD为角平分线 1∠ＡＢＣ，（图1） ∴∠ＣＢＤ＝ 2 1∠ＡＣＢ。 ∠ＢＣＤ＝ 2 在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ） 1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ） ＝１８０°－ 2 1（１８０°－∠Ａ） ＝１８０°－ 2 1∠Ａ ＝９０°＋ 2 变式练习的题目有 （1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。 1∠Ａ。则∠Ａ=2∠D―180°， 解:由结论1得知，∠D=９０°＋ 2 容易得出∠Ａ=20°（图2） （2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100° ∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。 解：∵∠A+∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ+∠D=360° 又∵∠D=120°，∠A=100° ∴∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ=140° ∵BE、CE分别是ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线 ∴∠EBC+∠ECB=70°. （图3） ∴∠BEC=110°. 结论二、如图4，△ABC中，Ｄ为△ＡＢＣ的两条外角平分线的交点，试探究： 1∠A ∠D＝９０°－ 2 解：∵ＢＤ、ＣＤ为角平分线 1∠ＣＢＥ ∴∠CBD= 2 1∠ＢＣＦ（图4） ∠ＢＣＤ＝ 2角平分线、等腰三角形性质及判定的应用--学生版
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