《高等数学》高阶导数

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为

记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为

高数导数的应用习题及答案

一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

高阶偏导数(教案)

高阶偏导数 韩桂玲 教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义 2.会求二元函数的二阶偏导数 3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明 教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义 2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数 教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明 教学方法： 讲授法 教学过程： 引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈?),( x y x f y x x f y x f x z x x ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) y y x f y y x f y x f y z y y ?-?+='=??→?),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义 若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f x z x '=??与),(y x f y z y '=??则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。若它们关于x 与y 的偏导数存在，即 ),()(22y x f x z x z x xx ''=??=????x y x f y x x f x x x ?'-?+'=→?),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=???=????y y x f y y x f x x y ?'-?+'=→?),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=???=????x y x f y x x f y y x ?'-?+'=→?),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f y z y z y yy ''=??=????y y x f y y x f y y y ?'-?+'=→?),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出 则称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。 2.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数：二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数 例如符号k k n n y x z ???-或),()(y x f n y x k k n -表示),(y x f z =的n 阶偏导数（先对x 求k n -阶偏导数，再对y 求k 阶偏导数） 3.高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

最新(高等数学)第四章导数的应用

(高等数学)第四章导 数的应用

第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...?

高考数学 导数及其应用的典型例题

第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ?= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 ) (1 )(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1= 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 34 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αααααα)1()2()1()()( (2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln() (1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

(完整word版)高数辅导之专题十：高阶导数

专题十 基础知识 关于高阶导数，有： （1）几个常见的高阶导数公式 )2sin()(sin )(π?+=n x x n ，)2 cos()(cos )(π ?+=n x x n 1)(!)1()1(+-=n n n x n x ，1)1(!)1()(ln ++-=n n n x n x )1()!(!)()(n k x k n n x k n k n ≤≤-=-，)(0)()(n k x k n >= （2）分段函数在分段点处的二阶导数 （3）莱布尼兹公式：设函数u ，v 皆n 阶可导，则 )()1(1)()()1(1)()()(n n n n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u C v u uv +'++++'+=----ΛΛ )()(0k k n n k k n v u C -=∑= （实际上就是二项式定理） （4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及） 例题 1. 设?????=≠=0 ,10,sin )(x x x x x f ，求)0(f ''。 解：x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ x x x x 1sin lim 0-=→ 20sin lim x x x x -=→ x x x 21cos lim 0-=→ x x x 221lim 20-=→

0= 故 ?????=≠-='0 ,00,sin cos )(2x x x x x x x f 于是 x f x f f x )0()(lim )0(0'-'=''→ x x x x x x 0sin cos lim 20--=→ 30sin cos lim x x x x x -=→ 203cos sin cos lim x x x x x x --=→ 203sin lim x x x x -=→ 3 1-= 2. 已知x x f 2cos )(=，求)0()2(n f 。 解：由)22cos(2)()(π ?+=n x x f n n 知 n n n n n f 4)1()2 20cos(2)0(2)2(?-=?+=π 3. 已知2 31)(2+-=x x x f ，求)3()(n f 。 解：1121)2)(1()2()1(2 31)(2---=-----=+-=x x x x x x x x x f 由公式1)(!)1()1(+-=n n n x n x 知 )()()1 121()(n n x x x f ---= )()()11()21(n n x x ---= 1 1)1(!)1()2(!)1(++-----=n n n n x n x n ])1(1)2(1[ !)1(11++----=n n n x x n 故

高等数学中导数的求解及应用

高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”

第8讲-高阶偏导数与极值

第8讲 高阶导数与二元函数极值 讲授内容 一、高阶偏导数 由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形： ),(22 y x f x z x x z xx =?? ? ??????=??， ).,(22 y x f y z y y z yy =???? ??????=?? ),,(2 y x f x z y y x z xy =?? ? ??????=??? ),(2y x f y z x x y z yx =??? ? ??????=??? 例1 求函数x y z arctan =的所有二阶偏导数. 解： () 2 2 22222 2y x xy y x y x x z +=??? ? ??+-??=??， () .22 222222 y x xy y x x y y z +-=??? ? ??+??= ?? (),222222 22 y x y x y x y y y x z +--=???? ??+-??=??? () ,2 222 2222y x y x y x x x x y z +--=??? ? ??+??=??? 注意：从上面例子看到， 关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.

例2 设函数()?? ???=+≠++-=.0 ,0,0 ,,222 222 2 2y x y x y x y x xy y x f 解： 它的一阶偏导数为()( )( )() ( ) ?? ???=+≠++++-=,0 ,0,0 ,4,222 22222 22222y x y x y x y x y y x y x y y x f x ()()( )()() ?? ???=+≠++-+-=,0 ,0,0 ,4,222 22222 22222y x y x y x y x x y x y x x y x f y 进而求f 在（0，0）处的混合偏导数，得 ()()() ,1lim 0,0,0lim 0,00 -=??-=?-?=→?→?y y y f y f f y x x y xy ()()() 1lim 0,00,lim 0,00 =??=?-?=→?→?x x x f x f f x y y x yx ． 由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？ 定理17.7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在点),(00y x 连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy = . 这个定理的结论对n 元函数的混合偏导数也成立。如三元函数),,(z y x f u =，若下述六个三阶混合偏导数),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f zyx yxz xzy zxy yzx xyz 在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等. 例3 1）设,,??? ? ??=y x x f z 求22x z ??， .2y x z ??? 2）设(),,y x xy f z -= 求22 x z ??，.2y x z ??? 解：这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：.,),,(y x v x u v u f z = == 由复合函数求导公式有 .1v f y u f x v v f x u u f x z ??+ ??= ????+ ????= ?? 注意，这里v f u f ????,仍是以v u ,为中间变量y x ,为自变量的复合函数．所以 ???? ????+????=??v f y u f x x 1z 22 ???? ??????+?????+?????+????=x v v f x u u v f y x v v u f x u u f 2222221,1222 2222v f y v u f y u f ??+???+??= ???? ????+????=???v f y u f y y x z 12 ???? ??????+?????+??-?????+????=y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f 22 2222211 .12 2 2 3 2 2 v f y v f y x v u f y x ??- ??- ???- = 二、中值定理

高阶导数的应用

高阶导数的应用 一、用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢 [定理1] 设f(x)在x ＝0点及其附近有直到n ＋1阶的连续导数，那么 ) (!)0(!2)0(")0(')0()()(2x R x n f x f x f f x f n n n +++++= 其中Rn(x)＝1)1()!1()(+++n n x n f ξ(ξ在0与x 之间) 上式称为函数f(x)在x ＝0点附近关于x 的泰勒展开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。 当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于n x 的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)＝O(n x )。 O(n x )称为皮亚诺余项。 这样，函数f(x)在x ＝0点附近的泰勒展开式又表示为： ) (!)0(!2)0(")0(')0()()(2n n n x O x n f x f x f f x f +++++= 一般地，函数f(x)在x ＝x0点附近泰勒展开式为： n n n x x O x x n x f x x x f x x x f x f x f )()(! )()(!2)("))((')()(000)(2 00000-+-++-+-+= 二、几个初等函数的泰勒公式 例1、求函数f(x)＝x e 在x ＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝x e ∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1

于是，x e 在x ＝0点的泰勒展开式为：) (!!212n n x x O n x x x e +++++= 在上式中，令x ＝1，可得求e 的近似公式!1 !2111n e +++ += 例2、求函数f(x)＝sin x 在x ＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cos x ，f"(x)＝-sin x ，f"'(x)＝-cos x ，f(4)(x)＝sin x ，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1，f(4)(0)＝0，… f(2n －1)(0)＝1 )1(--n ，f(2n)(0)＝0 于是，sin x 在x ＝0点的泰勒展开式为： )()!12()1(!5!3sin 2121 53n n n x O n x x x x x +--+-+-=-- 例3、求函数f(x)＝cos x 在x ＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝-sin x ，f"(x)＝-cos x ，f"'(x)＝sin x ，f(4)(x)＝cos x ，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0， f(4)(0)＝1，… f(2n －1)(0)＝0，f(2n)(0)＝n )1(- 于是，cos x 在x ＝0点的泰勒展开式为： )()!2()1(!4!21cos 12242++-+-+-=n n n x O n x x x x 例4、求函数f(x)＝ln(1＋x)在x ＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝ x +11 ，f"(x)＝- 2 )1(1x + ， f"'(x)＝ 3 )1(2 x + ，f(4)(x)＝- 4)1(6x + ，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!，f(4)(0)＝-3!，… f(n)(0)＝1 ) 1(--n (n －1)! 于是，ln(1＋x)在x ＝0点的泰勒展开式为：) (32)1ln(32n n x O n x x x x x ++-+-=+

偏导数与高阶偏导数详细解法

第二节偏导数 教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数 的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。 教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程： 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000 , 记作00y y x x y z ==??,0 0y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 .

一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。

For personal use only in study and research; not for commercial use 一阶连续偏导数和一阶偏导数连续是不一样的。 一阶连续偏导数是指某个特定的偏导数存在并连续，并且描述的对象是这个偏导数；一阶偏导数连续是指每个偏导数都存在并且连续，描述的对象是偏导数的性质。 可微分->偏导数存在 可微分->连续 偏导数存在(比如x、y方向可偏导）->x、y方向函数连续，其他方向不一定一阶偏导数连续不能说明其存在二阶偏导数，正如函数连续不能说明一阶偏导数存在 曲线积分条件：分段光滑。 光滑：有切线 请参考两类曲线积分的计算过程，思考为什么是光滑，而不是可导。 分段：（有限多段） 请比教一元积分（含广义积分）条件：有限个间断点，且分段可积，请思考为什么是有限个。

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kom merziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文