函数与导数专题
一. 函数定义域
1. (08
湖北)函数1
()f x x
=
的定义域为( D ) A. (,4][2,)-∞-+∞U B. (4,0)(0.1)-U C. [-4,0)(0,1]U D. [4,0)(0,1)-U
2. 已知函数()14lg 55x x x m ?=
??++ ?
??
的定义域R,则实数m 的取值范围是(A )
A. ()-3+∞,
B. ()--3∞,
C. ()-4+∞,
D. ()--2∞,
二. 函数解析式
1. (08湖北)已知函数2
()2f x x x a =++,2
()962f bx x x =-+,其中x R ∈,,a b 为常数,则方程()0f ax b +=的解集为 . ? 2.
已知函数()0)f x x =
>,定义函数1()(),f x f x =2()(()),f x f f x =???
()((())),n n f
f x f f f f x =???1442443个若()n f x 的反函数为1()n f x -,
则1f f -?= 19
三. 函数值域
1. (08江西)若函数()y f x =的值域是1
[,3]2,则函数1
()()()
F x f x f x =+的值域是( B ) A .1[,3]2
B .10[2,
]3 C .510[,]23 D .10[3,]3 2. 已知函数222()22
x x f x x x -=-+的值域A ,函数()22(x
g x x =-≤0)的值域是B ,则
( C )
A .A
B ? B .B A ?
C .A ∩B =?
D .A ∩B ={1}
3 已知方程()()10x a x b --+=(a
4. 设函数()(01)1x
x
a f x a a a =>≠+且,[]m 表示不超过实数m 的最大整数, 则函数11
[()][()]22
f x f x -+--的值域是( A )
A. {}1,0-
B. [-1,0]
C. [0,1]
D. {}0,1
四. 函数求值
1.(08浙江)已知t 为常数,函数t x x y --=22在区间[0,3]上的最大值为2,则t=___。1
2.已知动点(,)P x y 满足2
2
0x y x y +--=,O 为坐标原点,则PO 的取值范围是
{
}0U
3. 设()f x 是定义在R 上的函数,且对任意x R ∈,都有1(1)2
f x +=又1
(1)2f -=,则(2007)
f 的值为 ______________
4. ()(1)(*)n f x nx x n N =-∈在1
[0,]2
上的最大值是____________最小值是
____________1
,01n n n +??
?+??
5. 设集合{}12345I =、
、、、,选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,
则不同的选择方法共有( D )
A、50种 B、49种 C、48种 D、47种 6. 关于x 的不等式22(1)40ax a x -++>的解集随着变量a 的变化而变化,若该不等式的解集为
{}2,x x <则所对应的a 的取值范围是( A )
A、0a =
B、0a <
C、01a <≤
D、1a >
7. 若函数???++=x b e x f ax 2sin 1)( 0
≥ ( A ) A .4 B .2 C .-4 D .-2 8. 函数()x f =2008 x ,则1 2007'12008f ?????? ??????? =( B ) A 0 B 1 C2020 D 2020 9. 函数f (x ) =x x 2 ln -的零点所在的大致区间是 ( B ) A .(1, 2) B .(2,e ) C .(e ,3) D .(e ,+∞) 10. 已知二次函数2()2f x ax x c =++的值域是[0,)+∞,那么2 2 1 1 c a a c +++ 的最小值是 ( B ) A .1 2 B .1 C .2 D .3 11. 定义在R 上的函数()()()()(),2 1 5,11,00x f x f x f x f f x f = ?? ? ??=-+=满足且当1021≤<≤x x 时,()()21x f x f ≤.则?? ? ??20071f 等于 ( C ) A. 21 B. 161 C. 32 1 D. 641 12. 记满足下列条件的函数f (x )的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f (x 1)-f (x 2)|≤4|x 1 -x 2|.若有函数g (x )=x 2 +2x -1, 则g (x )与M 的关系是 ( B ) A .g (x )?M B .g (x )∈M C .g (x )?M D .不能确定 13. 若关于x 的方程21 (1)10(01)x x a a a a m +++=>≠,有解,则m 的取值范围是( A ) A .1[0)3-, B .1[0)(01]3-U ,, C .1(]3-∞-, D .[1 )+∞, 14. 设663)(2 3 -+-=x x x x f ,且5)(,1)(-==b f a f ,则a b +=( D ) A .2- B .0 C .1 D .2 15. 若函数)(x f 满足||log )| |2 ( 2x x x x f =+∴,则=)3(f ( B ) A .3log 2 B .3log 2- C .32- D .2 3- 16. 已知对任意实数x ,二次函数2 ()f x ax bx c =++恒非负,若a b <,则a b c b a ++-的最 小值为 。3 17. 设集合{ }{ } 2 2 0,20M x x ax N x x x =-<=--<,若M N ?,则a 的取值范围是( B ) A. (-1,2) B. [-1,2] C. [1,0)(0,2]-U D. (1,0)(0,2)-U 18. 若非空数集{}{} 2135,322A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤,则使A B ?成立的所有a 值集合是(B ) A. {} 19a a ≤≤ B. {}69a a ≤≤ C. {} 9a a ≤ D. φ 五. 函数性质(周期性、奇偶性、对称性、单调性) 1. 由映射 表示的函数的奇偶性是( B ). A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 2. (08全国Ⅰ)设奇函数()f x 在(0)+∞,上为增函数,且(1)0f =,则不等式 ()() 0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞U , , B .(1)(01)-∞-U ,, C .(1)(1)-∞-+∞U , , D .(10)(01)-U ,, 3.(08北京)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不 必要条件 4. 设命题:431p x -≤,命题2 :(21)(1)0q x a x a a -+++≤.若非p 是非q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 1[0,]2 5.(08北京)已知函数2 ()cos f x x x =-,对于ππ22 ??-???? ,上的任意12x x ,,有如下条件: ①12x x >; ②22 12x x >; ③12x x >.其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号 是 . ② 6. 函数|1||2||2009|y x x x =-+-++-L ( D ) A .图象无对称轴,且在R 上不单调 B .图象无对称轴,且在R 上单调递增 C .图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调 D .图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增 7. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数,且在(0,1]上单调递增,则不等式 2(1)(1)f x f x -<-的解集是( C ) A .(2,1)- B .2] C .(0,1) ∪2] D .不能确定 8. 已知函数)12 1 (+=x f y 是定义在R 上的奇函数,函数)(x g y =的图象与函数) (x f y = 的图象关于直线0=+y x 对称,则)()(x g x g -+的值为( B ) A .2 B .-2 C .1 D .不能确定 9. 正实数x 1、x 2及函数()f x 满足) (1) (14x f x f x -+= 且1)()(21=+x f x f ,则)(21x x f +的 最小值为( C ) A .4 B .2 C. 54 D .4 1 10. 函数f (x )是定义在()+∞,0上的非负可导函数,且满足()()0/ ≤+x f x xf ,对任意正数a 、b ,若a< b,则必有( C ) A .()()b f a af ≤ B .()()a f b bf ≤ C .()()a bf b af ≤ D .()()b af a bf ≤ 11. 设1 ||2)(+= x x x f ,],[b a M =,}),(|{M x x f y y N ∈==,则使M=N 成立的实数 对),(b a 有(C ) A .1个 B .2个 C .3个 D .以上均不对 12. 已知函数()y f x =的图像与函数(0,1)x y a a a =>≠的图像关于y x =对称,记 ()()[()(2)1]g x f x f x f =+-.若()y g x =在区间1 [,2]2 上是增函数,则实数a 取值范围 为 。3[,1)(1,)2 +∞U 六. 反函数 1. (08陕西)已知函数3()2x f x +=,1()f x -是()f x 的反函数,若16mn =(m n ∈+ R ,),则1 1()()f m f n --+的值为( A ) A .2- B .1 C .4 D .10 2. (南二信息)设)(x f 有反函数)(1 x f -,将)32(-=x f y 的图象向左平移2个单位,再 关于x 轴对称后所得函数的反函数是(A )A .21)(1--=-x f y B .2) (11x f y --=- C .2)(11x f y --= D .2 1 )(1-=-x f y 七. 函数图像 1. 10.若集合A =2 {(,)|2,x y y x x =∈R },集合B ={(,)|2,x x y y x =∈R },则集合A ∩B 的真子 集的个数是( D ) A .4 B .5 C .6 D .7 2. (07广东)客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发.经过乙地, 最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中,正确的是( B ) (下为第12题图) A. B. C. D. A D C B 3. 若关于x lg()x a -有正数解,则实数a 的取值范围是 . (10,0]- 4. 已知函数2()2(0),()0f x x x a a f m =++><则( C ). A. 1()0x f m x ++< B. 1()0x f m x ++≤ C.1()0x f m x ++> D.1()0x f m x ++≥ 5.()y f x =是定义在R 上的单调函数,实数122 1 12,1,,11x x x x x x λλλαβλλ ++≠≠-= =++若 12()()()()f x f x f f αβ-<-,则(A ) A. 0λ< B. 0λ= C. 01λ<< D. 1λ≥ 6. 1x 是lg 2006x x =的根,2x 是方程102006x x =的根,则 12x x ?=( A ) A 、2020 B C 、1003 D 、不能确定 7. 不等式413 a x +≤+的解集是[-4,0],则a 的取值范围是 (A ) A. (],5-∞- B. 5,3??+∞???? C. ()5,5,3??-∞+∞????U D. (),0-∞ 8. 已知二次函数 2()5f x x ax =++对任意t 都有()(4)f t f t =--,且在闭区间[],0m 上 有最大值5最小值1,则m 的取值范围是 (B ) A. 2m ≤- B. 42m -≤≤- C. 20m -≤≤ D. 40m -≤≤ 9. 设数集32,43M x m x m N x n x n ????=≤≤+=-≤≤???????? ,且M,N 都是集合{}01x x ≤≤的子集,如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤ 的“长度”,那么集合M N ?的“长度”的最小值是 (D ) A. 112 B. 23 C. 13 D. 512 10. 若,[,]x y e x a b =∈的值域为2 [1,],e 则点(,)a b 的轨迹是图中的( C )(图在11题右边) A 、线段A B 和OA B、线段AB 和O C C、线段AB 和BC D、点A 和C 11. 图中阴影部分的面积S 是h 的函数)0(H h ≤≤,则该函数的大致图象是( B ) 12. 已知可导函数)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线为)(:x g y l = )()()(x g x f x F -=,则( B ) A .)(,0)(00x F x x x F 是=='的极大值点 B .)(,0)(00x F x x x F 是=='的极小值 点 C .)(,0)(00x F x x x F 不是=≠'的极值点 D .)(,0)(00x F x x x F 是=≠'的极值点 13. 已知函数f (x )= 1-(x -1)2 , 若0 A .f(x 1)x 1 > f(x 2)x 2 B .f(x 1)x 1 = f(x 2)x 2 C .f(x 1)x 1 < f(x 2)x 2 D .前三个判断 都不正确 14. 如图,现有一个计时沙漏,开始时盛满沙子,沙子从上部均匀下漏,经过5分钟漏完, H 是该沙漏中沙面下降的高度,则H 与下漏时间分(t )的函数关系用图象表示应该是 ( B ) 15. 方程010962 3 =-+-x x x 的实根个数是( C ) A .3 B .2 C .1 D .0 16. 如图,上面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止。用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系,其中不正确的有( ) 八. 分段函数 1. (08山东) 设函数2 211()21x x f x x x x ?-?=?+->??, ,,, ≤则1(2)f f ?? ???的值为( A ) A .1516 B .2716- C .89 D .18 2. (08天津)已知函数2,0()2,0 x x f x x x +≤?=?-+>?,则不等式2 ()f x x ≥的解集为 ( A ) A. [-1,1] B. [-2,2] C. [-2,1] D. [-1,2] 九. 指数函数与对数函数 1. (08全国Ⅱ)若1 3(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a 2.(08北京)若0.5 2a =,πlog 3b =,22πlog sin 5 c =,则( A ) A .a b c >> B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 3. (07天津)设c b a ,,均为正数,且a a 2 1log 2=,b b 21log 21=??? ??,c c 2log 21=??? ??.则 ( A ) A.c b a << B. a b c << C. b a c << D. c a b << 4. (07安徽)设1a >,且)2(log ),1(log )1(log 2 a p a n a m a a a =-=+=,则p n m ,,的大 小关系为( B ) (A) n >m >p (B) m >p >n (C) m >n >p (D) p >m >n 十. 导数 1. (08全国Ⅰ)设曲线1 1 x y x += -在点(32), 处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =t t t h h h h o o o o (1) (2) (3) (4) ( D ) A .2 B . 12 C .1 2 - D .2- 2. (08广东)设a ∈R ,若函数3ax y e x =+,x ∈R 有大于零的极值点,则( B ) A .3a >- B .3a <- C .13a >- D .1 3 a <- 3. (08辽宁)设P 为曲线C :2 23y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取 值范围为04π?? ????,,则点P 横坐标的取值范围为( A ) A .112??--????, B .[]10-, C .[]01, D .112?????? , 4.(08江苏)()3 31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立,则a = .4 5. 已知函数(1,0]()(0,1)ax b x f x x b x x a +∈-?? =-?∈?-?,其中0,0a b >>,若0lim ()x f x →存在,且() f x 在(1,1)-上有最大值,则b 的取值范围是( B ) A. 1b > B. 01b <≤ C. 1b ≥ D. 1 12 b <≤ 6. 12ln lim 1 x x e x e x →+-=- (其中e 是自然对数的底数)e+2 7. 曲线3 y x x =-过点(-2,6)的切线的斜率为( C ) A. -2 B. -11 C. -2或-11 D. 2或-11 8. 对于{}1,2,3,,n ???和它的每个非空子集,我们定义“交替和”如下:把子集中的所有数按从大到小的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数(例如: {}1993,7,10,2007,1,21的交替和是2020-1993+21-10+7-1=31,而{}5的交替和是5). 那 么,当n=7时,所有这些交替和的总和是 .448 十一. 创新题 1. (08江西)已知函数2 ()22(4)1f x mx m x =--+,()g x mx =,若对于任一实数x ,()f x 与()g x 至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( B ) A . (0,2) B .(0,8) C .(2,8) D . (,0)-∞ 2. (07湖南)设集合{ }6,5,4,3,2,1=M ,k S S S ,,,21Λ都是M 的含有两个元素的子集,且满足:对任意的{}i i i b a S ,=、{} j j j b a S ,=({ }k j i j i ,,3,2,1,,Λ∈≠)都有?? ? ???????≠??????j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min , ({}y x ,m in 表示两个数y x ,中的较小者),则k 的最 大值是( B ) A.10 B.11 C.12 D.13 3. 设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的,a b S ∈,对于有序元素对(),a b ,在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应),若对任意的,a b S ∈,有*(*)a b a b =,则对任意的,a b S ∈,下列不等式中不恒成立的是( A ) A. ()**a b a a = B. ()()****a b a a b a =???? C. ()**b b b b = D. ()()****a b b a b b =???? 4. 若,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,则222()a b a b x y x y ++≥+,当且仅当a b x y =时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数29()12f x x x =+ -(1 (0,)2 x ∈)的最小值为 25 ,取最小值时x 的值为 1 5 5. 已知集合A={一1,0,1,2,3,22+1},B={1,2,3,4,5, 9},映射f :A →B 的对应法则为f 2 :22x y x x →=-+.设集合M={m B m ∈在集合A 中存在原象},集合N={B n ∈在集合A 中不存在原象},若从集合M 、N 中备取一个元素组成一个对数b a log ,则组成的不同对数b a log 值的总个数为( D ) (A)60 (B)36 (C)13 (D)9 高考中数学导数的解法 1、导数的背景: (1)切线的斜率;(2)瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为_____(答:5米/秒) 2、导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(a,b )内可导,对于开区间(a,b )内的每一个0x ,都对应着一个导数 ()0f x ' ,这样()f x 在开区间(a,b )内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(a,b )内的导函数, 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?, 导函数也简称为导数。 提醒:导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如(1)*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,则=a =b 解:?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b (2)*已知f(x)在x=a 处可导,且f ′(a)=b ,求下列极限: (1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?; (2)h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解:(1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→ 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查: 一是导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义; 二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题; 三是应用导数解决实际问题. 【知识梳理】 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点处的切线的,其切线方程是. 注意:函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别:. 2.导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件. f x 如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件. f x 当函数在某个区间内恒有() '=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调 f x 性. 注意:导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件. 3. 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的 . 4. 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′= ; (2)(cos x )′= ; (3)(e x )′= ; (4)(a x )′= (a >0,且a ≠1); (5)(x a )′= ; (6)(log e x )′= ; (7)(log a x )′= (a >0,且a ≠1); (8)′= ; (9)??????? ? f (x ) g (x )′= (g (x )≠0) . 高三数学函数与导数专题试卷 说明:1.本卷分第Ⅰ卷(选择题),第Ⅱ卷(填空题与解答题),第ⅠⅡ卷的答案写在答题卷的答案纸上,学生只要交答题卷. 第Ⅰ卷 一.选择题(10小题,每小题5分,共50分) (4)()f x f x +=,当(0,2)x ∈时,()2f x x =+,则(7)f =( ) A . 3 B . 3- C . D . 1- 2.设A ={x ||x |≤3},B ={y |y =-x 2+t },若A ∩B =?,则实数t 的取值范围是( ) A .t <-3 B .t ≤-3 C .t >3 D .t ≥3 3.设0.3222,0.3,log (0.3)(1)x a b c x x ===+>,则,,a b c 的大小关系是 ( ) A .a b c << B .b a c << C .c b a << D .b c a << 4.函数x x f +=11)(的图像大致是( ) 5.已知直线ln y kx y x ==是的切线,则k 的值为( ) A. e B. e - C. 1e D. 1e - 6.已知条件p :x 2+x-2>0,条件q :a x >,若q 是p 的充分不必要条件,则a 的取值范围可以是( ) A .1≥a B .1≤a C .1-≥a D.3-≤a 7.函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数,则a 的取值范围是( ) A. [3,)+∞ B. [3,)-+∞ C. (3,)-+∞ D. (,3)-∞- 8. 已知函数f (x )=log 2(x 2-2x -3),则使f (x )为减函数的区间是( ) A .(-∞,-1) B .(-1,0) C .(1,2) D .(-3,-1) 导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围. 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0 江苏省2015年高考一轮复习备考试题 导数及其应用 一、填空题 1、(2014年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线),(y 2为常数b a x b ax +=过点)5,2(P -,且该曲线在点P 处的切线与直线0327x =++y 平行,则b a +的值是 ▲ . 2、(2013年江苏高考)抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部与边界)。若点),(y x P 是区域D 内的任意一点,则y x 2+的取值范围是 。 3、(2015届江苏苏州高三9月调研)函数()321122132 f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限的充要条件是 ▲ 4、(南京市2014届高三第三次模拟)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数)的导函数为f′(x ).对 任意x ∈R ,不等式f (x )≥f′(x )恒成立,则b 2 a 2+c 2的最大值为 ▲ 5、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))直线y = kx 与曲线2e x y =相切,则实数k = ▲ 6、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))设函数f (x )=ax +sin x +cos x .若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y =f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为 ▲ 7、(江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考)已知R 上的可导函数)(x f 的导函数)(x f '满足:)(x f '+)(x f 0>,且1)1(=f 则不等式>)(x f 11 -x e 的解是 . 8、(江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研)若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ,且 ()11f x x =,则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是 ▲ . 9、(江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试)函数12ln y x x =+的单调减区间为__________ 10、(江苏省睢宁县菁华高级中学2014届高三12月学情调研)已知函数()f x ,()g x 满足(1)2f =,(1)1f '=,(1)1g =,(1)1g '=,则函数()(()1)()F x f x g x =-?的图象在1x =处的切线方程为 ▲ . 11、曲线2(1)1()e (0)e 2 x f f x f x x '=-+在点(1,f (1))处的切线方程为 ▲ . 函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论(需要熟记): 考点一:导数几何意义: 角度一 求切线方程 1.(2014·洛阳统考)已知函数f (x )=3x +cos 2x +sin 2x ,a =f ′? ?? ?? π4,f ′(x )是f (x ) 的导函数,则过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线方程为( ) A .3x -y -2=0 B .4x -3y +1=0 C .3x -y -2=0或3x -4y +1=0 D .3x -y -2=0或4x -3y +1=0 解析:选A 由f (x )=3x +cos 2x +sin 2x 得f ′(x )=3-2sin 2x +2cos 2x ,则a = f ′? ?? ??π4=3-2sin π2+2cos π2=1.由y =x 3得y ′=3x 2,过曲线y =x 3上一点P (a ,b )的切线的斜率k =3a 2=3×12=3.又b =a 3,则b =1,所以切点P 的坐标为(1,1),故过曲线y =x 3上的点P 的切线方程为y -1=3(x -1),即3x -y -2=0. 角度二 求切点坐标 2.(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y =3ln x +x +2在点P 0处的切线方程为4x -y -1=0,则点P 0的坐标是( ) A .(0,1) B .(1,-1) C .(1,3) D .(1,0) 解析:选C 由题意知y ′=3 x +1=4,解得x =1,此时4×1-y -1=0,解得y =3,∴点P 0的坐标是(1,3). 角度三 求参数的值 3.已知f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx +7 2(m <0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图像都相切,且与f (x )图像的切点为(1,f (1)),则m 等于( ) 2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合,考查不等式、导数的应用等知识,难度属于中等难度。 都有什么题型呢? ①应用导数求函数的单调区间,或判定函数的单调性; ②应用导数求函数的极值与最值; ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦? 导数的解题技巧还是比较固定的,一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域(最容易忽略的,请牢记); ②求方程f′(x)=0的解,这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间; ③研究各小区间上f′(x)的符号,f′(x)>0时,该区间为增区间,反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论,函数的最值可能会出现极值点处或者端点处,多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围,根据题目会有一定的变化,那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1.若题目考察的是导数的概念,则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义,注意区分导数与△y/△x 之间的区别。 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。 目录 导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227) 导数专题一、单调性问题 【知识结构】 【知识点】 一、导函数代数意义:利用导函数的正负来判断原函数单调性; 二、分类讨论求函数单调性:含参函数的单调性问题的求解,难点是如何对参数进行分类讨论, 讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤: 第一步、求函数的定义域、求导,并求导函数零点; 第二步、以导函数的零点存在性进行讨论;当导函数存在多个零点的时,讨论他们的大小关系及与 区间的位置关系(分类讨论); 第三步、画出导函数的同号函数的草图,从而判断其导函数的符号(画导图、标正负、截定义域);第四步、(列表)根据第五步的草图列出f '(x),f (x)随x 变化的情况表,并写出函数的单调区间; 第五步、综合上述讨论的情形,完整地写出函数的单调区间,写出极值点,极值与区间端点函数 值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点: 1.最高次项系数是否为0; 2.导函数是否有极值点; 3.两根的大小关系; 4.根与定义域端点讨论等。 五、求解函数单调性问题的思路: (1)已知函数在区间上单调递增或单调递减,转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立; (2)已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解参 变量的范围; (3)已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小于 零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法 (1)参变分离; (2)导函数的根与区间端点直接比较; 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、(本题满分14分) 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 (1)设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 (2)若函数()f x 有唯一的零点,求a 取值范围。 21.解:(1)1()ln h x a x x x =-+,定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤,即22a -≤≤时()0g x ≥,()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时,由()0g x =得1x =,2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>;当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞上单调递增,在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上,当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ,2(,)x +∞单调递增,在12(,)x x 单调递减……………8分 (2)方法1:问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=,则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?,得e x 1= 函数与导数专题复习 类型一 导数的定义 运算及几何意义 例1:已知函数)(x f 的导函数为)('x f ,且满足x xf x f ln )1(2)(' +=,则=)1('f ( ) A .-e B.-1 C.1 D.e 解:x f x f 1)1(2)(''+=,1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想,利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。 变式训练1 曲线33+-=x x y 在点(1,3)处的切线方程为 类型二 利用导数求解函数的单调性 例2:d cx bx x x f +++= 233 1)(何时有两个极值,何时无极值?)(x f 恒增的条件是什么? 解:,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=?c b 时, 即c b >2时,0)('=x f 有两个异根2,1x x ,由)('x f y =的图像知,在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号,故2,1x x 是极值点,此时)(x f 有两个极值。 当c b =2时,0)('=x f 有实数根0x ,由)('x f y =的图像知,在0x 左右两侧)(' x f 同号,故0x 不是)(x f 的极值点 当c b <2时,0)(' =x f 无根,当然无极值点 综上所述,当时c b ≤2,)(x f 恒增。 【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号,②c b =2 时,根0x 不是极值点也易错。 变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(,它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式; 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 综观2007年全国各套高考数学试题,我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2007年北京卷)()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 . [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷)设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 2017年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f(x)2(a﹣2)﹣x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 2.已知函数f(x)2﹣﹣,且f(x)≥0. (1)求a; (2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 3.已知函数f(x)﹣1﹣. (1)若f(x)≥0,求a的值; (2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值. 4.已知函数f(x)321(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (2)证明:b2>3a; (3)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围.5.设函数f(x)=(1﹣x2). (1)讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≤1,求a的取值范围. 6.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥). (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围. 7.已知函数f(x)2+2,g(x)(﹣2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)(x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. ) 10.已知函数f(x)3﹣2,a∈R, (1)当2时,求曲线(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2)设函数g(x)(x)+(x﹣a)﹣,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 11.设a,b∈R,≤1.已知函数f(x)3﹣6x2﹣3a(a﹣4),g(x)(x). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数(x)和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线, (i)求证:f(x)在0处的导数等于0; ()若关于x的不等式g(x)≤在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围. 12.已知函数f(x)(﹣a)﹣a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0,求a的取值范围. 2019年高三数学重点知识:导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识:导数及其应用,以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识,轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行,则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1);(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3,直线x=1,x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案: 2.答案:6 3.解:的定义域为. 当时,;当时,;当时,. 从而,分别在区间,单调增,在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案:6 5.答案:(1) 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义:与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心,2为半径的四分之一个圆,其面积即为(图略) 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . (Ⅰ)求a ,b 的值; (Ⅱ)设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件: (1)直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点; (2)对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明:直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< (1)求函数)(x f 的极大值; (2)若[]1,1x a a ∈-+时,恒有()a f x a '-≤≤成立(其中()f x '是函数()f x 的导函数),试确定实数a 的取值范围. 3.如图所示,A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点,且AB//x 轴,点M (1,m )(m>3)是△ABC 边AC 的中点. (1)设点B 的横坐标为t ,△ABC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式)(t f S =; (2)求函数)(t f S =的最大值,并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. (I )求)(x f 、)(x g 的表达式; (II )求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解; (III )当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值,曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--,试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0((a 为实数). (1)当1-=a 时,求函数)(x f y =的值域; (2)若函数)(x f y =在定义域上是减函数,求a 的取值范围; (3)求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. (Ⅰ)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ,使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -,且()2p f e qe e =--,其中e 是自然对数的底数. (1)求p 与q 的关系; 导数专题复习(基础精心整理)学生版 【基础知识】 1.导数定义:在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①;②;③;④; ⑤;⑥;⑦;⑧ 。 3.导数的四则运算法则: (1) (2) (3) 4.导数的应用: (1)利用导数判断函数单调性: ①是增函数;②为减函数;③为常数; (2)利用导数求极值:①求导数;②求方程的根;③列表得极值(判断零点两边的导函数的正负)。 (3)利用导数求最值:比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤:(1)求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-;(2)求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ;(3)取极限,得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是( ) A. 41- B. 2 C. 4 1 D. -2 变式1:()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→( ) A .-1 B.-2 C .-3 D .1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f 2015专题五:函数与导数 在解题中常用的有关结论(需要熟记): (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x ',切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值,则0()0f x '=。反之,不成立。 (3)对于可导函数()f x ,不等式()f x '0>0<()的解集决定函数()f x 的递增(减)区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增(减)的充要条件是:x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值,则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 (若()f x '为二次函数且I=R ,则有0?>)。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数,进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈,()f x 0>恒成立,则min ()f x 0>; 若x I ?∈,()f x 0<恒成立,则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈,使得0()f x 0>,则max ()f x 0>;若0x I ?∈,使得0()f x 0<,则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈,12()()f x g x >恒成立,则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得12()()f x g x <,则max max ()()f x g x <. (11)已知()f x 在区间1I 上的值域为A,,()g x 在区间2I 上值域为B , 若对11x I ?∈,22x I ?∈,使得1()f x =2()g x 成立,则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点,则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、,且极大值大 于0,极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-()③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <-> 导数及其应用 1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π,-1)处的切线方程为 A .10x y --π-= B .2210x y --π-= C .2210x y +-π+= D .10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π,即2210x y +-π+=. 故选C . 2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点(1,a e )处的切线方程为y =2x +b ,则 A .e 1a b ==-, B .a=e ,b =1 C .1e 1a b -==, D .1e a -=,1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=,1e a -∴=, 将(1,1)代入2y x b =+,得21,1b b +==-. 故选D . 3.【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ,函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x ?=?-++≥??.若函数()y f x ax b =--恰有3个零点,则 A .a <–1,b <0 B .a <–1,b >0 C .a >–1,b <0 D .a >–1,b >0 【答案】C 【解析】当x <0时,y =f (x )﹣ax ﹣b =x ﹣ax ﹣b =(1﹣a )x ﹣b =0,得x , 则y =f (x )﹣ax ﹣b 最多有一个零点; 当x ≥0时,y =f (x )﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 (a +1)x 2﹣b , 函数与导数问题解题方法探寻及典例剖析【考情分析】 【常见题型及解法】 1. 常见题型 2. 在解题中常用的有关结论(需要熟记): 【基本练习题讲练】 【例1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发 现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚 乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是( ) 【答案】 B 【解析】在选项B 中,乌龟到达终点时,兔子在同一时间的路程比乌龟短.【点评】函数图象是近年高考的热点的试题,考查函数图象的实际应用,考查学生解决问题、分析问题的能力, 在复习时应引起重视. 【例2】(山东高考题)已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若 方程 ()(0 f x m m =>在区间 [8,8 -上有四个不同的根 123,,,x x x x ,则 1234 _________.x x x x +++= A B C D 【例3】若1x 是方程lg 3x x +=的解,2x 是310=+x x 的解,则21x x +的值为( ) A . 2 3错误!未指定书签。 B . 3 2 C .3 D . 31 【例4】若函数 ()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点,则实数a 的取值范围是 . 【例 5】已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增,则满足(21)f x -<1 ()3 f 的x 取值范围是( ) (A )( 1,2) (B) [1,2) (C)(1,2) (D) [1,2) 2013届高考数学(理)一轮复习——导数及其应用 一、选择题 1、若对任意x ,有f ′(x )=4x 3,f (1)=-1,则此函数为( ) A .f (x )=x 4 B .f (x )=x 4-2 C .f (x )=x 4+1 D .f (x )=x 4+2 2、设函数x x x f 6)(2-=,则)(x f 在0=x 处的切线斜率为( ) (A )0 (B )-1 (C )3 (D )-6 3 .(2012陕西理)设函数()x f x xe =,则 ( ) A .1x =为()f x 的极大值点 B .1x =为()f x 的极小值点 C .1x =-为()f x 的极大值点 D .1x =-为()f x 的极小值点 4.(2012厦门市高三上学期期末质检)函数y =(3-x 2)e x 的单调递增区是( ) A.(-∞,0) B. (0,+∞) C. (-∞,-3)和(1,+∞) D. (-3,1) 5 .(2012新课标理)已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 6 .(2012浙江理)设a >0,b >0. ( ) A .若2223a b a b +=+,则a >b B .若2223a b a b +=+,则a b D .若2223a b a b -=-,则a A.32- B.2- C.2-或3 2- D. 不存在 8 . 6.函数1()f x x x =+的单调递减区间是( ) A.(1,1)- B.(1,0) -(0,1) C.(1,0)-,(0,1) D.(,1)-∞-,(1,)+∞ 9、已知函数(),()f x g x ''分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如图所示,设函数()()()h x f x g x =-,则( ) A .(1)(0)(1)h h h <<- B .(1)(1)(0)h h h <-< C .(0)(1)(1)h h h <-< D .(0)(1)(1)h h h <<- 10.曲线y =13x 3+x 在点? ????1,43处的切线与坐标轴围成的三 角形面积为 ( ) A.19 B.29 C.13 D.23 11、定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”,若函数 (),)1g x x x ==-3()ln(1),()1h x x x x ?=+=-的“新驻点”分别为,,αβγ,则,,αβγ的大小关系 为( ) A .αβγ>> B .βαγ>> C .γαβ>> D .βγα>> 12.函数f (x )=sin x +2xf ′(π3),f ′(x )为f (x )的导函数,令a =-12 ,b =log 32, 则下列关系正确的是( ) A .f (a )>f (b ) B .f (a )高考数学导数解法知识分享
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