模型参考自适应控制—MIT法
一原理及方法
模型参考自适应系统，是用理想模型代表过程期望的动态特征，可使被控系统的特征与 理想模型相一致。一般模型参考自适应控制系统的结构如图
1所示。
其工作原理为，当外界条件发生变化或出现干扰时，被控对象的特征也会产生相应的变 化，通过检测出实际系统与理想模型之间的误差，
由自适应机构对可调系统的参数进行调整，
补偿外界环境或其他干扰对系统的影响，逐步使性能指标达到最小值。
基于这种结构的模型参考自适应控制有很多种方案，其中由麻省理工学院科研人员首先 利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律， 简称为MIT 自适
应控制，其结构如图2所示。
图2 MIT 控制结构图
系统中，理想模型Km 为常数，由期望动态特性所得，被控系统中的增益 Kp 在外界环
境发生变化或有其他干扰出现时可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离。 而Kp 的变化是不可测量的，但这种特性的变化会体现在广义误差 e 上，为了消除或降低由
于Kp 的变化造成的影响，在系统中增加一个可调增益 Kc ,来补偿Kp 的变化，自适应机构
的任务即是依据误差最小指标及时调整
Kc ,使得Kc 与Kp 的乘积始终与理想的Km 一致，
这里使用的优化方法为最优梯度法，自适应律为：
t
Kc(t) Kc(0) B o e y m d
MIT 方法的优点在于理论简单，实施方便，动态过程总偏差小，偏差消除的速率快，而
且用模拟元件就可以实现；缺点是不能保证过程的稳定性，换言之，被控对象可能会发散
Ym
R
图1 一般的模型参考自适应控制系统
对象及参考模型
该实验中我们使用的对象为：
G p(s)
K p q(S)
P(s)
2 s22s 1
参考模型为：
G m(s)K q(s)
K m
p(s)
1
s22s 1
用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，设可调增益的初值Kc(0)=0.2 ,给定值r(t)为单位阶跃信号，即r(t)=A x 1(t)。A取1。
三自适应过程
将对象及参考模型离散化，采样时间取0.1s,进而可得对象及参考模型的差分方程分别为：y m(k) 1.8079 y (k 1) 0.8187y(k 2) 0.0047r(k 1) 0.0044r(k 2)
y p(k) 1.8097y p(k 1) 0.8187y p(k 2) 0.0094u(k 1) 0.0088u(k 2)
其中u为经过可调增益控制器后的信号。编程进行仿真，经大量实验发现，取修正常数B为0.3，可得较好的动态过度过程，如下图3所示：
input and output change af Kc change of error2
14 r
1讨1.3r-
1.2 -
km
0.2r
□ 18
1.2 -丨沖卜
11.1 --
□ IE
1
1 -
d-
a u -
\1□ 12 -一
□ 8 ?■□ 9 -
0.1■
0.6 -■0.8 --
□.oe-
07 -
0.4 -1 -□ 06-
06 --a 04■
0.2-
1
05 -102? A -
oL
0.4 ■-0 -
0 50 □50 0 50
time/seco nd tiirie/second time/so CDrd
图3仿真结果
由图3中第一个图形可以看出，在阶跃扰动后，经过一段时间对象的输出完全跟踪上了
理想模型的值，系统最终趋于稳定；由第二个图可以看出，当系统稳定后，Kp*Kc等于Km，
说明补偿环节达到了期望的补偿效果，这与系统设计的目标一致；由第三个图可以看出，在 控制的动态过程中，偏差的总和是比较小的，而且偏差的消除是很快的，这是由于所选用的 优化方法为最有梯度法的结果。
在1中我们已经得到一个能使对象得到较好控制的参数
B=0.3，在此情况下，我们将Kp
取为1,对应于实际中即指对象增益发生漂移，再做仿真，结果如图
4所示
图4对象增益变化后的仿真图
由图4我们可以看出，在一个适当的修真参数 B 下，当对象的特性参数Kp 发生漂移后， 控制器依然能很好的控制对象，这也证明了
MIT 方法的自适应特性。而且我们发现，当 Kp
由2变为1后，控制器的控制效果更好了，具体表现为振荡减弱，过渡过程有所加快，关于 导致这一现象发生的原因，我们会在第四部分中做详细的分析与说明。 四研究分析
1对于一个被控过程，系统能稳定运行是设计与控制的首要指标，然而如前所述，依据最优 控制的原则
设计出来的MIT 自适应控制器却可能会使得系统不稳定，输出发散，以下我们对 此做一研究，以期找出其中的相关信息。
我们设某连续二阶对象为：
K p q(s) Kp
p(s) b 2s 2 bis 1
则有:
n AC —
change of error 2
0.4
-
01.35 - - 0.3 -
a.26 - - 0.2 - - □ 15 - - 0.1 -
-
■
L
n _
60
change af Kc
tiire/second
tiime/socond
b ?y p dy p y p K p U K p K
c R
b 2y m b i y m
y m
K m R
e y m y p
控制律为:
Kc Bey m
R 为一阶跃信号，即R(t)=A x 1(t)，则偏差的动态方程为：
2
b|e e BK p K m A e 0
得知，对于该连续系统，当BK p K m A 2
试验中 Kp=2，Km=1，A=1， b 1
统将会等幅振荡。现取B=1，得仿真曲线如图5所示。
图5显示，当B 为1的时候系统发散，另取原使系统稳定的 B=0.3,计算出此时可使系 统振荡的阶跃幅值A=sqrt(1/0.3)做仿真，结果如图6所示：图6显示结果与图5 一样，系统 也发散。
图5、6过程中所取参数均为由劳斯判据所得临界值，然而系统并未做等幅振荡，而是发 散，这似乎使得理论计算与仿真结果不符。但稍作分析我们就会发现，问题在于我们仿真时 用的是离散化的模型，而所用参数为由连续系统计算所得。我们知道用连续系统分析的结论 是不完全适用于离散系统的，这是因为随着采样时间取不同的值，同一对象的连续特性和离 散特性会不同。因而对于离散系统，我们对其做稳定性分析时还需考虑采样时间的影响。正 确的做法应是：将连续开环对象做 Z 变换，进而得到闭环的Z 域特征方程，对此方程做双线 性变化，然后对所得w 域方程列出其劳斯阵列，应用劳斯稳定判据即可得到使离散系统做等 幅振荡的相关参数。本实验中广义偏差方程为三阶系统，在应用采样系统的劳斯稳定判据时 需要求解含有参变量的三解方程的解析解，运算量较大，因而这里未做相应的求解。只是对 其做一些定性的分析，指出对于同一对象，使得连续系统和离散系统做等幅振荡的参数 B 是
不一样的，因而仿真的结果并没有问题。
在对离散系统进行大量的仿真实验后发现当 B 取0.8367左右的时候，离散系统会发生等
幅振荡。如图7所示:
b 2e 根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式:
3
s 2 s
b i
b 2
b
bBK p K m A 2 3 1
1 BK p K m A 2
b i /b 2时会不稳定。
2, b 2 1，因而对于连续系统，可求得当 B=1
时，系
图5 B=1时的仿真结果
图6 A=sqrt(1/0.3)时的仿真
input and output
timo/second
time/second
change of error 2
time/second time/se 匚 oncl
li irie/second
图7离散系统等幅振荡
2为了更进一步的了解该实验的相关特征，我们设计以下实验，来分别研究该仿真中
Kc 的
初始值、阶跃信号的幅值对实验的影响。
(1)我们得知当B=0.3时原系统是稳定的，这里我们逐步改变阶跃信号的幅值，使A 分别取1、 1.3、1.6、1.9、2.3来观察其结果，如图8所示：
图8 A 取不同值的过渡过程
timei/second
1.6
0.6
CJ.
5 0.4
km
Kp*kc
change of Ku
1.81—— -----------------
tima/second
change of error 2
50
50
t ii me/se condi
由图8可以看出，当A由小逐渐增大时，系统将由稳定转向发散，因为在设计实验或真实过程中，该扰动的幅值不可太大，否则将使得系统发散。其原因已在1中做过说明。
⑵在原系统稳定的情况下，我们改变修改常数Kc的初始值，分别取Kc=-5、-0.5、-0.2、
0、0.2、0.5、5来进行观测，结果如图9所示：
W -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 5
图9取不同Kc初始值的仿真
由实验我们得到Kc的最终稳定值为0.49921,有图可以看出，当Kc的初始值取得离此稳态值越远的话，过程的初始超调越大，但最终过程都能趋于稳定。因而在设计实验的时候，Kc的初始值应根据先验知识或粗略计算去一个与其稳定值较为相近的值为宜。
五结论：
由以上的推导及仿真结果可以看出，依据最优控制的方法设计出的MIT控制律并不能保证控制器在任何情况下都能很好的工作，换言之，对于连续系统当BK p K m A2 b〃b2时系统
会不稳定。对于离散系统随未给出准确的解析表达式，但从定性的角度来说，各参数的影响是相似的。因而在实验设计中为避免系统发散，阶跃信号的幅值不可选择太大。同时由此式可以看出，当Kp减小后，对应使系统振荡的B将增大，这就说明了第三部分中我们在没有改变B的情况下将Kp由2变为1后系统的性能为什么会得到提高。
参考文献
[1] 韩曾晋?自适应控制[M].北京：清华大学出版社，1995: 148-151
[2] 厉玉鸣,等.自动控制原理[M]. 北京：化学工业出版社，2005: 279-280
附程序
clc
clear
ts=0.1;B=0.8367;ei=0; % 临界值B=0.836 Kp=2;Km=1;Kc(1)=0.2;
num1=[Km];den1=[1 2 1]; % 参考模型sys1=tf(num1，den1);
dsys1=c2d(sys1，ts，'z') [num11，den11]=tfdata(dsys1，'v');
num2=[Kp];den2=[1 2 1]; % 对象模型sys2=tf(num2，den2);
dsys2=c2d(sys2，ts，'z') [num22，den22]=tfdata(dsys2，'v');
ym_1=0;ym_2=0;r_1=0;r_2=0;
yp_1=0;yp_2=0;u_1=0;u_2=0;
for i=1:1:500
time(i)=i*ts;
rin(i)=1;
r(i)=rin(i);
u(i)=Kc(i)*rin(i);
ym(i)=-den11(2)*ym_1-den11(3)*ym_2+num11(2)*r_1+num11(3)*r_2; yp(i)=-den22(2)*yp_1-den22(3)*yp_2+num22(2)*u_1+num22(3)*u_2; error(i)=ym(i)-yp(i);
Err(i)=error(i)A2;
gain(i)=Kc(i)*Kp;
ei=ei+error(i)*ym(i)*ts;
Kc(i+1)=Kc(1)+B*ei;
ym_2=ym_1;ym_1=ym(i);r_2=r_1;r_1=r(i); yp_2=yp_1;yp_1=yp(i);u_2=u_1;u_1=u(i);
end
subplot(1,3,1) plot(time,rin,'r',time,ym,'g',time,yp,'b') legend('R','ym','yp',4) title('input and output') xlabel('time/second') subplot(1,3,2) plot(time,Km,'r',time,gain,'b') legend('Km','Kp*Kc') title('change of Kc') xlabel('time/second')
subplot(1,3,3) plot(time,Err)
title('cha nge of error A2') xlabel('time/second')