2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)

2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入：

)

平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内

的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e +λ22

e

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

yj xi a += (1)

1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作

（

),(y x a = (2)

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○

2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .

特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b

a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --=

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=

；

（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1)

（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=

三、讲解范例：

例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.

例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)

当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2，

5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3

F 的坐标.

解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2，

5)+(x ， y)=(0， 0)

即：??

?=+-=++054023y x ∴???=-=1

5

y x ∴3F (5，1)

四、课堂练习：

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 2

1

=

MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB

2BC = .

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.

五、小结（略）

&

六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：

@

:

2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

课前预习学案

一、复习回顾：

平面向量基本定理：

；

理解：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ; (2) 基底不惟一，关键是 ；

(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a

，1e ，2e 唯一确定的数量 二、提出疑惑：

如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低，向量分解情况又会如何呢

课内探究学案

一、探究学习

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得

yj xi a +=…………○

1 我们把),(y x 叫做 ，记作 ),(y x a =…………○

2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做 与．a 相．

等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(y x .

特别地，i= , j= , 0= .

如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.

—

设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标)

,(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

2．平面向量的坐标运算

（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a += ，

b a -= .

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a += ，同理可得b a -= . （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= .

（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.

)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=

二、讲解范例：

例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.

例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

，

例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， 5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3

F 的坐标.

三、课堂练习：

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 2

1

=

MP MN ， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB

2= .

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.

&

五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略）

课后练习与提高

1、在平面直角坐标系中，已知点A 时坐标为（2，3），点B 的坐标为（6，5），则

OA =_______________，OB =__________________。

2、已知向量=||4a ,的方向与x 轴的正方向的夹角是30°，则a 的坐标为_____________。

3、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是（ ）

A ．==-(0,0),(1,2)a b

B ．=-=(1,2),(5,7)a b

C ．==(3,5)

(6,10)a b D ．=-=-(2,3)

(4,6)a b 4、已知向量=-=-(2,4) (1,2)a b 则a 与b 的关系是（ ）

A ．不共线

B ．相等

C ．同向

D ．反向

5、已知点A （2，2） B （-2，2） C （4，6） D （-5，6） E （-2，-2） F （-5，-6） 在平面直角坐标系中，分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。