自动控制原理 超精细心得体会

[ωn之类的标号中n为下标，不是乘以n；菜单关系从大到小:【1】＞(1)＞1)＞(a)]
【1】求系统传递函数：
(1)梅逊公式(Mason formula)：
P=ΣPk△k/△

P：系统总增益（总传递函数）
k：前向通路数
Pk：第k条前向通路总增益
△：信号流图特征式，它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的行列式。
在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益，其分母总是△，变化的只是其分子。
△=1-ΣL(1)+ΣL(2)-ΣL(3)+…+(-1)^mΣL(m)
L(1):所有不同回路增益乘积之和；
L(2):所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
…
L(m):所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
△k:为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的 值，称为第k条前向通路特征式的余因子。

(2)梅逊公式里△k去除前向通路的线后，剩余的回路不包括含有去除掉在前向通路经过点的回路。

(3)梅逊公式求误差传递函数E(s)[其位置一般是最左端の相加点的输出]，E(s)=分子/分母；其中分母为△，分子为R(s)乘以[从R(s)开始到E(s)直发节点所有回路积の和]加上D(s)乘以[从D(s)直指节点到E(s)直发节点所有回路积の和],这里的R(s)为给定输入(输入/)，D(s)为扰动输入(扰动/Disturbance)，有时候扰动也记作N(s);
(P·S)
对于没有D(s)的系统，E(s)=R(s)-Y(s),也可用此法求E(s);E(s)可以拆成两部分，详见稳态误差心得部分。

(4)总增益P大多数情况下为闭环传递系数;
(5)杂谈：关于输入用R，输出用C，反馈用F，一说是入(ru)，出(chu)，反馈(fan)，取声母……

【2】拉氏变换(Laplace Transform)相关心得：
(1)ε(t)在自控中记作1(t),变换之后为1/s;
(2)时变t-t0，变换后加一个乘项e^(-t0s)，类似F变换;
(3)e^at,变换后为1/(s-a),变号；另外最后尽量化成整数格式，例如e^(-0.2t)，直接套公式是1/(s+0.2)，应化为5/(5s+1);
(4)求limx(t)，可以转换成求limX(s)·s,但要注意t与s是倒数关系；比如求x(0),就相当于求X(∞)·s,s→∞;

(5)(反L变换の法/Inverse Laplace Transform)L变换得出的Y(s)分子因式分解,然后待定系数法确定对应分母因子的分子值（相求谁就用谁的分母乘以Y(s),并令极限s→能使它分母等于零的值,此法即为留数定理/Residue);
具体操作：把分母因式分解,确定所有因子,然后裂项用待定系数法分解为各因子单独作分母然后相加の形式;例如X(s)=(s+2)/[s(s+3)(s+1)^2],X(s)=c1/(s+1)+c2/(s+1)^2+c3/s+c4/(s+3),c4=lim(s→-3)(s+3)X(s)=1/12,类似地，可求得c3=2/3,c2=-1/2,对c1的求解需要这么做：c1=lim(s→-1)(d/ds)[(s+1)^2 X(s)]=-3/4，∴x(t)=-e^(-t)(t+2/3)+2/3+e^(-3t)/12

(6)对于含初值的微分方程的拉氏变换，需要减去对应微分项的初值，并且2阶需要减去两个（零阶&一阶），比如dy^2(t)/dt^2变换后应该是s^

2Y(s)-sy(0)-y'(0)，首先是直接按L变换公式写出s^2Y(s)，然后消1个s作为零阶系数，消2个s作为一阶系数;
【多用于解微分方程or差分方程求系统传函】

(7)L变换中容抗为1/Cs，而容抗一般为1/jωC，这反应了s与jω均为微分算子的特性，在L与F中s←→jω；
(8)

【3】传递函数(Transfer function):
(1)定义：G(s)=C(s)/R(s)，即输出/输入(自控里的r是输入，信号里的r是响应，正好相反)；
对微分方程式进行拉普拉斯变换可得；
(2)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况(零状态解);

(3)对于非零初始条件的响应，可用叠加原理进行处理,即有R(s)还有D(s)(扰动输入)的系统，可以分别令D(s)和R(s)为零，求出分别对力作用时的响应Cr(s)与Cd(s),系统响应C(s)=Cr(s)+Cd(s);

(4)性质(properties)：
1)传递函数是一种数模，与系统的微分方程(differential equation)相对应；
2)传递函数只适用于线性定常系统；
3)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关；
4)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系；
5)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况(零状态解/Zero-state roots);
6)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，并且所有的系数均为实数；
7)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系；

(5)线性系统(Linear system)，当输入是单位脉冲函数时，其输出象函数与传递函数相同；
(6)

【4】开环/闭环传递系数的区别：
(1)开环(Open loop)控制(例如扰动输入)：控制量与被控量之间只有顺向作用而没有反向联系；给定一个输入，有相应的一个输出；在系统方框图中，作用信号是单方向传递的，形成开环；输出不影响输入；

(2)闭环(Closed loop)控制(例如带反馈的参考输入)：系统输出信号对控制作用有直接影响；控制作用不是直接来自给定输入，而是系统的偏差信号，由偏差产生对系统被控量的控制；系统被控量的反馈信息又反过来影响系统的偏差信号，即影响控制作用的大小；这种自成循环的控制作用，使信息的传递路径形成了一个闭合的环路，称为闭环；

(3)闭环传递系数就是用梅逊公式求出的系统传递系数；
(4)开环传递系数(开环传函)为去掉反馈回路的所有单元系数之积；
(5)单回路闭环传递函数公式：闭环传递函数=前向通道传递函数/(1±开环传递函数)，式中负反馈时取正，正反馈时取负;
(6)单回路闭环传递中G(s)为前向通道传函,H(s)为反馈通道传函,H(s)=1为单位反馈系统，G(s)H(s)为

开环传函;

(7)为了提高闭环系统的稳定性(stability)，可以采用复合控制方式；复合控制实质上是在闭环控制回路的基础上，附加一个输入信号（给定或扰动）的顺馈通路，对该信号实行加强或补偿，以达到精确的控制效果；常见的方式有以下两种：附加给定输入补偿与附加扰动输入补偿；

(8)同一系统R(s)与D(s)的开环传函相等；
(9)开环增益(Open loop gain)Kv与开环传函G(s)的关系：
1)因子连乘形式：
将开环传函分子分母所有因子均化作Ts+1形式(单独的s项可无视),开环增益为分子与分母常系数之比； (eg)G(s)=10/[s(5s+2)]=5/[s(2.5s+1)],所以开环增益为5/1=5；
2)多项式形式（仅适用于二阶系统）：
开环增益Kv=分子系数/分母中s一次项系数；

(10)

【5】典型环节(共六种)：
(1)比例(Proportional)环节(杠杆，齿轮系，电位器，变压器，运放等)
运动方程式 c(t) = K·r(t)
传递函数 G(s) = K
单位阶跃响应 C(s) = G(s)R(s) = K/s
c(t) = K·1(t)
可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化;

(2)惯性(Inertial)环节(RC回路、RL回路等)
微分方程式 Tdc(t)/dt+c(t)=r(t)
传递函数 G(s)=1/(Ts+1)
式中T是惯性环节时间常数；惯性环节的传递函数有一个负实极点 p =-1/T，无零点；
单位阶跃响应 C(s)=(1/s)/(Ts+1)=1/s-1/(s+1/T)
c(t)=1-e^(-t/T),t＞=0
阶跃响应曲线是按指数上升的曲线;

(3)积分(Integral)环节(电动机的角位移与转速、加热器的温度与电功率、水箱的水位与水流量等)
微分方程式 c(t)=∫r(τ)dτ/T,∫为0~t
传递函数 G(s)=1/Ts
单位阶跃响应 C(s)=1/(Ts·s)
c(t)=t/T
当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能;

(4)微分(Derivation)环节(PD调节器等)
微分方程式 c(t)=Tdr(t)/dt
传递函数 G(s)=Ts
单位阶跃响应 C(s)=Ts/s=T
c(t)=Tδ(t)
由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变，其他时刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响应只在t = 0时刻产生一个响应脉冲；

(5)振荡(Oscillation)环节(RLC振荡回路等)
微分方程式 T^2d^2c(t)/dt^2+2ξTdr(t)/dt+c(t)=
r(t)
传递函数 G(s)=1/(T^2s^2+2ξωns+ωn^2) 或
ωn^2/(T^2s^2+2ξωns+ωn^2)
式中，T>0，0<ξ<1，ωn=1/T，T称为振荡环节的时间常数， ξ为阻尼比，ωn为无阻尼振荡频率；振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：s1,2=-ξωn±jωn√1-ξ^2,有时候用ωd表示√1-ξ^2
单位阶跃响应 c(t)=1-(1/√1-ξ^2)e^(-ξωnt)sin(ωdt+β),式中β=cos^(-1)ξ,响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节;

(6)延迟(Delayed)环节
微分方程式 c(t)=r(t-τ)
传递函数

G(s)=e^(-τs)
单位阶跃响应 C(s)=e^(-τs)/s
c(t)=1(t-τ)
纯延迟环节对系统的稳定性产生不利影响：e^(-τs)≈1-τs=1/(1+τs)
【6】劳斯判据(Routh Criterion)：
(1)劳思表(Routh array)：
s列为从系统特征方程多项式从最高次到s0项(即行数为s最高次+1)；前两行为系统特征方程多项式各次系数，排列顺序从高次到低次，按照matlab列计数规律排布(右移一位降两阶)；其余行系数计算符合如下6条规律：
1)劳思行列第一列不动;
2)次对角线减主对角线;
3)每两行个数相等;
4)分母总是上一行第一个元素;
5)一行可同乘以或同除以某正数;
6)第一列出现零元素时，用正无穷小量ε代替(这里不是零行，零行是整个一行全是零，第一列出现零元素只是第一列是零，其余列不为零);

(2)稳定性判断：
1)系统稳定的必要条件:特征方程各项系数均大于零!
2)系统稳定的充分条件:劳思表第一列元素不变号!
3)劳思表第一列元素若变号系统不稳定!变号的次数为特征根在s右半平面的个数!

(3)劳斯表出现零行：
1)有大小相等符号相反的特征根时会出现零行；
2)出现零行的话由零行的上一行构成辅助方程，对其求导得零行元素系数，然后继续计算劳斯表；
3)解辅助方程可以求得对称根；
4)出现零行系统必然不稳定！

【7】拉氏变换解题相关：
(1)列写微分方程式时，一般按以下几点来写：
1)输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；
2)左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；
3)方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否；
4)方程的系数均为实常数,是由物理系统自身参数决定的;
(2)用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：
1)对微分方程两边进行拉氏变换；
2)求解代数方程，得到微分方程在s域的解；
3)求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解;

(3)常用L变换：
1)δ(t) →1
2) 1(t) →1/s
3) t →1/s^2
4)t^n/n! →1/s^(n+1)
5)e^(-at) →1/(s+a)
6)te^(-at) →1/(s+a)^2
7)1-e^(-at) →a/s(s+a)
8)e^(-at)-e^(-bt)→(b-a)/[(s+a)(s+b)]
9)sinωt →ω/(s^2+ω^2)
10)cosωt →s/(s^2+ω^2)
11)e^(-at)sinωt →ω/[(s+a)^2+ω^2]
12)e^(-at)cosωt →(s+a)/[(s+a)^2+ω^2]

【8】系统分析方法：
(1)线性系统(Linear system)：
1)时域(Time domain)分析法:
要点：
(a)建立数模(微分方程式，传递函数);
(b)选择合适的输入函数(典型信号),取决于系统常见工作状态，同时，在所有的可能的输入信号中，选取最不利的信号作为系统的典型输入信号;
(c)求出系统输出随时间变化的关系:C(s)=G(s)R(s)
c(t)=L^-1[C(s)];
(d)根据时间响应确

定系统的性能,包括稳定性快速性和准确性等方面指标，看这些指标是否符合生产工艺的要求;

(e)线性定常系统的重要性质
a)当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的导数;
(C中多个s乘项，L反变换后相当于求导)
b)零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定;
(C中多个1/s乘项，L反变换后相当于积分)

(f)一阶系统(First-order system)：
a)以RC回路为例，即滞后()电路、积分电路、低通滤波()电路那个超经典一阶系统电路；
微分方程式:Tdc(t)/dt+c(t)=r(t)
传递函数:G(s)=1/(Ts+1) (就是典型环节里的惯性环节)

b)各种响应曲线：
(i)单位阶跃响应曲线为过原点の减增函数，渐近线为c(t)=1.0;响应曲线在[0,∞的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称为非周期响应;响应曲线的初始斜率等于1/T;

(ii)其斜坡响应曲线の稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后了一个时间常数T的斜坡函数；

(iii)其脉冲响应曲线为过(0,1/T)点的减减函数曲线，渐近线为横轴；这为求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函；

(g)二阶系统：
a)闭环传函：Φ(s)=ωn^2/(s^2+2ζωns+ωn^2)
二阶系统有两个结构参数：ζ(阻尼比)与ωn(无阻尼振荡频率)；

b)以RLC回路为例:
微分方程：LCd^2c(t)/dt^2+RCdc(t)/dt+c(t)=r(t)
传递函数：Φ(s)=C(s)/R(s)|零初条件
=1/(T^2s^2+2ζTs+1)
=ωn^2/(s^2+2ζωns+ωn^2)
T=√LC ωn=1/T ζ=(R/2)√C/L
对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼振荡频率的含义是不同的;

c)二阶系统的闭环极点
二阶系统的闭环特征方程，即s^2+2ζωns+ωn^2=0,其两个特征根为s1,2=-ξωn±ωn√ξ^2-1
上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼ξ的不同取值，特征根有不同类型的值，或者说在s平面上有不同的分布规律：

(i)【过】ξ＞1时，特征根为一对不等值的负实根,位于s平面的负实轴上,使得系统的响应表现为过阻尼的;
(ii)【临界】ξ=1时,特征根为一对等值的负实根,位于s平面的负实轴上,使得系统的响应表现为临界阻尼的;
(iii)【欠】0＜ξ＜1时,特征根为一对具有负实部的共轭复根,位于s平面的左半平面上,使得系统的响应表现为欠阻尼的;
(iv)【零/无】ξ=0时,特征根为一对幅值相等的虚根,位于s平面的虚轴上,使得系统的响应表现为无阻尼的等幅振荡过程;
(v)ξ＜0时,特征根位于s平面的右半平面,使得系统的响应表现为幅值随时间增加而发散;

d)单位阶跃响应：
曲线只是ζの函

数，随着ζの增大(零阻尼→欠阻尼→临界阻尼→过阻尼)，曲线逐渐从振荡过渡到非振荡,幅度越来越小,最后小于1;
(图见王划一自控PPT3-1P27)

(i)二阶系统的动态性能指标：用tr,tp,σp ,ts四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏;
i)上升时间tr:从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的一种度量,tr越小,响应越快(对于单位阶跃响应，tr就是第一次上升到1所用の时间)；
公式：c(tr)=1;
结果：tr=(π-arccosξ)/(ωn√1-ξ^2);
ii)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间；
公式：dc(t)/dt|t=tp =0;
结果：tp=π/(ωn√1-ξ^2);
iii)超调量σp:响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示;
公式：σp=[c(tp)-c(∞)]×100%/c(∞);
结果：σp=e^(ξπ/√1-ξ^2)×100%;
σp只是ξ的函数，其大小与自然频率ωn无关；
ξ↓→σp↑；
iv)调节时间ts:响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间;
工程上，当0.1<ξ<0.9时,通常用下列二式近似计算调节时间:
公式:|c(t)-c(∞)|≤Δ×c(∞)；(t≥ts)
结果：e^(-ξωnt)/√1-ξ^2≤Δ；(t≥ts)
ts=3/ξωn,Δ=5%;ts=4/ξωn,Δ=2%;
故近似分析运算时使用这个式子：ts=3/ξωn；

(h)高阶系统
a)阶跃响应
如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的；

b)闭环主导极点
（A、B是高阶系统的二个极点，一般当极点A距离虚轴比极点B距离虚轴大于5倍时，分析系统时可忽略极点A）
(i)把系数很小的分量,远离虚轴衰减很快的分量常常忽略,高阶系统就可用低阶系统来近似估计;
(ii)对系统瞬态响应起主导作用的极点,称为主导极点;
应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现对高阶系统动态性能的近似评估；
(iii)一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共轭复数极点。找到了一对共轭复数极点，高阶系统的动态性能就可以应用二阶系统的性能指标来近似估计；
(iv)输入相同时，系统型次越高，稳态误差越小；

2)根轨迹法
(a)当系统开环传递函数中某一参数从0→∞时，闭环系统特征根在s 平面上的变化轨迹，就称作系统根轨迹；一般取开环传递系数作为可变参数；

(b)以开环传函G(s)=2K/[s(s+2)]为例，系统闭环传函Φ(s)=2K/(s^2+2s+2K):
(i)2K称为系统的开环根轨迹增益Kg;
(ii)系统の闭环特征方程为s^2+2s+2K=0，两个特征根为:
s1,2=-1±√1-2K，可见闭环特征根随着K取值变化而变化：
i)K=0：s1=0,s2=-2,是根迹的起点，用叉表示；
ii)0＜K＜0.5：s1，2均为负实数；K↑→s1↓，s2↑；s1从坐标原点开始沿负实轴左移，s2从(-2,j0)点开始沿负

实轴右移；
iii)K=0.5：s1=s2=-1，重根；
iv)K＞0.5：s1,2=-1±j√2K-1;K↑,s1沿平行正虚轴方向上移，s2沿平行负虚轴方向下移；K→∞时，s1,2类似冲激函数；

(iii)二阶系统有两个特征根，它的轨迹有两条分支,因此：
i)n阶系统有n条分支;
ii)每条分支的起点(K=0)位于开环极点处;
iii)各分支的终点(K→∞)或为开环零点处或为无限点;
iv)(-1，j0)点有重根,称为分离点;

(c)根轨迹与系统性能
(i)稳定性
i)当K从0→∞时,根轨迹不会越过虚轴进入s右半平面，则称系统对所有的K值都是稳定的；
ii)如果高阶系统的根轨迹有可能进入s右半平面，此时根迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益Kg*;
iii)当K＜Kg*时，系统稳定；

(ii)稳态性能
i)开环系统在坐标原点有一个极点，系统属于1型系统，因而根迹上的K值就是静态速度误差系数Kv；
ii)如果给定系统ess的要求,则由根迹图可以确定闭环极点位置的容许范围;

(iii)动态性能
还以G(s)=2K/[s(s+2)]为例：
(根据二阶系统标准特征根s1,2=-ξωn±ωn√ξ^2-1来分析，易得：两虚根时欠阻尼,等实根时临界阻尼，不等实根时过阻尼)
i)当0ii)当K=0.5时,闭环两个实极点重合,系统为临界阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程;
iii)当K>0.5时,闭环极点为一对共轭复数极点,系统为欠阻尼系统,单位阶跃响应为阻尼振荡过程;
K↑→ξ↓→σp%↑,但ts不变；

(d)根轨迹方程
以标准负反馈系统方框图为例:
(i)闭环传函Φ(s)=G(s)/[1+G(s)H(s)]

(ii)特征方程D(s)=1+G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=-1
上式称之为系统的根轨迹方程；

(iii)开环传函G(s)H(s)可写成如下形式：
G(s)H(s)=KgM(s)/N(s)=KgΠ(s-zi)/[Π(s-pj)],Π为连乘符号，范围i,j=1~m,n；Kg为系统的根迹增益， zi为系统的开环零点，pj为系统的开环极点；此时称为常规(180°)根轨迹,根轨迹方程又可写为Π(s-zi)/[Π(s-pj)]=-1/Kg

(iv)根轨迹的幅值方程:Π(s-zi)/[Π(s-pj)]=1/Kg

(v)根轨迹的相角方程:Σ(s-zi)-Σ(s-pj)=(2k+1)π,Σ为i,j=1~m,n，k=0,±1,±2,…(全部整数)；
根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上对应的Kg值；相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件；

(e)绘制根轨迹的基本法则
a)绘制180°根轨迹的基本法则（8大法则）
[实轴为σ,虚轴为jω][具体操作请看【X】(7)]


(i)法则1 根轨迹的起点(Kg= 0)和终点(Kg→∞):根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点;

(ii)法则2 根轨迹的分支数和对称性:系统根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n

中的大者相等,根轨迹是连续的并且对称于实轴;

(iii)法则3 根轨迹的渐近线:当开环传函中mφa=(2k+1)π/(n-m)，k=0,1,…,n-m-1
σa=(Σpj-Σzi)/(n-m),Σ为i,j=1~m,n

(iv)法则4 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区域,若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数,则该区域必是根轨迹;(反之,则在左边);

(v)法则5 根轨迹分离点(会合点):两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点,称为根轨迹的分离点(会合点);分离点的坐标d是下列方程的解:
Σ1/(d-zi)=Σ1/(d-pj),Σ为i,j=1~m,n
式中,zi,pj是系统的有限开环零点和开环极点;

特性:
i)分离点是系统闭环重根;
ii)由于根轨迹是对称的,所以分离点或位于实轴上,或以共轭形式成对出现在复平面上;
iii)位于两实数开环零(极)点之间若有根轨迹,则必有一个分离点;
iv)在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹,或无分离点或多个分离点;

(vi)法则6 根轨迹的出射角与入射角:根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角,称为出射角(起始角),以θpx标志;根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角,称为入射角(终止角),以φzx标志;
θpx=180°+Σ∠(px-zi)-Σ∠(px-pj)
第一个Σ为i=1~m,第二个Σ为j=1,j≠x~n
φzx=180°-Σ∠(zx-zi)-Σ∠(zx-pj)
第一个Σ为i=1,i≠x~m,第二个Σ为j=1~n

(vii)法则7 根轨迹与虚轴交点:若根轨迹与虚轴相交,则交点上的坐标可按下述两种方法求出：
i)方法一:在系统的闭环特征方程D(s)=0中,令s=jω,D(jω)=0的解即是交点坐标;
ii)方法二:由劳斯稳定判据求出;

(viii)法则8 闭环极点的和：若开环传函分母阶次n比分子阶次m高2次或2次以上，即n-m≥2，则系统闭环极点之和等于其开环极点之和；
i)根的分量之和是一个与Kg无关的常熟；
ii)各分支要保持总和平衡，走向左右对称；
【此法用于验算，不单独列出】
b)绘制0°根轨迹的基本法则
【参见王划一PPT 4-1 P69~73】
根轨迹总结：
【参见王划一PPT 4-1 P83~85】

3)频率法
(a)频率特性：
a)频率特性：
指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用G(jω)表示。
物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力：
同频，变幅，相移；
b)幅频特性:
稳态输出与输入振幅之比,用A(ω)表示:
A(ω) = |G(jω)|;
c)相频特性：
稳态输出与输入相位差,用φ(ω)表示:
φ(ω)= ∠G(jω)
d)实频特性:G(jω)的实部,用Re(ω)表示;
e)虚频特性:G(jω)的虚部,用Im(ω)表示;
G(jω)= A(ω)e^[jφ(ω)]=Re(ω)+jIm(ω)

(b)几何表示:
a)极坐标图(幅相频率特性曲线):
横轴是Re，纵轴是Im，把频

率ω看成参变量,当ω从0(射线|起点为原点，终点为横轴正方向上某点)→(射线绕顺时针转动)∞(射线|起点与终点重合于原点)时，将幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上;

b)Bode图(对数频率特性曲线):
包括对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线；横坐标表示频率ω,按对数分度,单位是rad/s；
说明:
(i)横轴按频率的对数lgω标尺刻度,但标出的是频率ω本身的数值,因此横轴的刻度是不均匀的;
(ii)横轴压缩了高频段,扩展了低频段;
(iii)在ω轴上,对应于频率每变化十倍,称为十倍频程(dec),例如ω从1到10、2到20、10到100等的范围都是十倍频程;所有的十倍频程在ω轴上对应的长度都相等;
(iv)对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值,均匀分度,单位是dB(分贝):L(ω) = 20lgA(ω)
(v)相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值,均匀分度,单位是度:φ(ω)= ∠G(jω)

(c)控制系统的频率特性
a)开环极坐标图(近似绘制)
(i)根据开环零-极点图确定起点(ω=0):精确求出A(0),φ(0);
(ii)确定终点(ω=∞):求出A(∞),φ(∞);
(iii)确定曲线与坐标轴的交点:
G(jω)=Re(ω)+jIm(ω)与实轴的交点：
令Im(ω)=0→求出ωx→代入Re(ωx)；
(iv)由起点出发,绘制曲线的大致形状;

b)开环Bode图
【绘制近似对数幅频曲线】
(i)在半对数坐标上标出所有的转折频率;
(ii)确定低频段的斜率和位置;
(iii)由低频段开始向高频段延伸,每经过一个转折频率,曲线的斜率发生相应的变化;

(iv)一般的近似对数幅频曲线特点：
i)最左端直线的斜率为-20NdB/dec,N是积分环节个数;
ii)在ω=1时,最左端直线或其延长线的分贝值等于20lgk;
iii)在交接频率处,曲线的斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类;例如,在惯性环节后,斜率减少20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少40dB/dec;

【绘制近似对数相频曲线】
首先确定低频段的相位角,其次确定高频段的相位角,再在中间选出一些插值点,计算出相应的相位角,将上述特征点连线即得到对数相频特性的草图;

(d)奈奎斯特稳定判据(奈氏判据)
a)辅助函数F(s):
(i)定义：F(s)=1+G(s)H(s),即辅助函数=1+开环传函；
(ii)特征:
i)其零点和极点分别是闭环和开环特征根;
ii)零点和极点个数相同;
iii)F(s)和G(s)H(s)只相差常数1；

b)幅角原理：
如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点,P个F(s)的极点,则s沿封闭曲线Γs顺时针方向转一圈时,在F(s)平面上,曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之差,即
R=P-Z,N若为负,顺时针;

c)奈氏判据:
已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P,开环奈氏曲线(ω:-∞→0→∞)包围(-1,j0)点的圈数为R,则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z,且有Z=P-R;
若Z=0,闭环系

统是稳定的;
若Z≠0,闭环系统是不稳定的;

或当开环系统稳定时,开环奈氏曲线不包围(-1,j0)点时,则闭环系统是稳定的;
当开环系统不稳定时,开环奈氏曲线包围(-1,j0)点P圈时,闭环系统是稳定的;

(i)0型系统
Γs为包围虚轴和整个右半平面;
映射关系为:
s平面Γs→F(s)
正虚轴jω(ω:0→∞)→F(jω)(ω:0→∞)
负虚轴jω(ω:-∞→0)→F(jω)(ω:-∞→0)
半径∞的半圆→(1,j0)点
这种情况下可以直接使用奈氏判据；

(ii)开环有积分环节的系统
由于开环极点因子1/s,既不在的s左半平面,也不在的s右半平面,开环系统临界稳定;在这种情况下,不能直接应用奈氏判据;如果要应用奈氏判据,可把零根视为稳定根;因此,在数学上作如下处理:在平面,，在GH平面上开环极坐标图在ω=0时,小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大,从ω=0-到ω=0+顺时针旋转N×180°的大圆弧;如此处理之后,就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了;

(iii)由奈氏判据判稳的实际方法
用奈氏判据判断系统稳定性时,一般只须绘制ω从0→∞时的开环幅相曲线,然后按其包围(-1,j0)点的圈数R(逆时针为正,顺时针为负)和开环传递函数在s右半平面根的个数P,根据公式Z=P-R来确定闭环特征方程正实部根的个数,如果Z=0,闭环系统是稳定的;否则,闭环系统是不稳定的;

如果开环传递函数包含积分环节,且假定个数为N,则绘制开环极坐标图后,应从ω=0+对应的点开始,补作一个半径为∞,逆时针方向旋转N×90°的大圆弧增补线,把它视为奈氏曲线的一部分;然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性;

(iv)Bode图稳定性判据
一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与-180°±2kπ线的正负穿越次数之差R=N+ - N-确定Z=P-2R,Z为零,闭环系统稳定;否则,不稳定;

(e)稳定裕度
根据奈氏判据,系统开环幅相曲线临界点附近的形状,对闭环稳定性影响很大;两个表征系统稳定程度的指标:相角裕度γ和幅值裕度h；
a)幅值裕度h：
令相角为-180°时对应的频率为?g （相角穿越频率），频率为?g 时对应的幅值A(?g)的倒数，定义为幅值裕度h ，即






(2)非线性系统：1)描述函数法 2)相平面法【略】
(3)采样系统：z变换法【略】
(4)多输入多输出系统：状态空间法【略】

【12】稳定裕量：
(1)系统离开稳定边界的程度说明系统的相对稳定性；
(2)频域内，用开环幅相曲线与（-1，j0）的相对位置判别稳定性；
(3)用相角裕量和幅值裕量定量确定系统的相对稳定性；

(4)穿越频率ωx：∠G(jωx)H(jωx)＝-180°时对应的频率；

(5)幅值裕量h：h=1/A(ωx),

表明在ωx上使闭环系统达到临界稳定状态须将幅值增大或缩小的倍数; 幅值裕度用分贝数表示：20lgh=-20lg A(ωg)=-20lg∣G(jωx)H(jωx)∣>0 ;

(6)相角裕度γ:γ＝180°+∠G(jωc)H(jωc)
(7)稳定系统 h>1,不稳定系统h<1;
(8)最小相位系统稳定：γ>0， h>1，h（db）>0;

(9)具有良好的动态性能：γ＝40°~65°（一说30°~60°），h≥2;剪切频率处的斜率为-20db/dec。

【Y】零星心得：
(1)最小相位系统：
1)定义:
开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统为最小相位系统,否则称为非最小相位系统;
2)判断：
若系统的传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则该系统称作最小相位系统；

3)性质:
1,最小相位系统传递函数可由其对应的开环对数频率特性唯一确定，反之亦然；
2,最小相位系统的相频特性可由其对应的开环频率特性唯返航一确定，反之亦然；
3,在具有相同幅频特性的系统中,最小相位系统的相角范围最小；
3)最小相位系统开环传函与相频特性表达式对应关系：
G(s)=K(τs+1)/s(Ts+1)←→ φ(ω)=-90°+
arctanτω-arctanTω；
(注：arctan前为+的对应分子系数，为-的对应分母系数)

4)补充:
1.在具有相同的开环幅频特性的系统中,最小相位系统的相角变化范围最小;
2.最小相位系统L(ω)曲线变化趋势与φ(ω)一致;
3.最小相位系统L(ω)曲线与φ(ω)两者具有一一对应关系,因此在分析时可只画出L(ω) ;反之,在已知L(ω)曲线时,也可以确定出相应的开环传递函数;
4.最小相位系统当ω→∞时,其相角
φ(ω)|ω→∞=-90°×(n-m)
n为开环极点数,m为开环零点数;

(2)各种校正：
1)滞后校正：
(i)定义：
又称为积分校正，可用电阻、电容所组成的无源网络来实现，或由运算放大器构成的有源网络来实现；前者称为无源滞后网络，后者称为有源滞后网络。
(ii)传函特点/频率特性：
分子分母均为Ts+1或jωT+1形式，且分母的T大于分子。
(iii)Bode图：低通，即0~-20dB/dec(幅频)；0°→-90°→0°(相频)；

2)超前校正：
(i)定义：
又称为微分校正，可由无源网络组成，也可由运算放大器加入适当电路的有源网络来实现；前者称为无源超前网络，后者称为有源超前网络。
(ii)传函特点/频率特性：
分子分母均为Ts+1或jωT+1形式，且分子的T大于分母。
(iii)Bode图：高通，即20dB/dec~0(幅频)；0°→90°→0°(相频)。

3)滞后-超前校正：
(i)定义：
利用校正装置的超前部分来增大系统的相角裕度，以改善其动态性能；利用它的滞后部分改善系统的稳定性能(静态性能)；经典代表电路：一个RC并与一个RC串串联起来。
(ii)传函特点/频率特性：相当于一个滞后×一个超前。
(iii)Bode图：带阻，即0~-20dB/dec~0~20dB/dec~0(幅频

)；0°→-90°→0°→90°→0°(相频)。

(3)传递函数指的是在零初始条件下，线性定常控制系统的输出拉氏变换与输入拉氏变换之比；换言之传递函数仅仅取决于系统的结构参数，与给定输入与扰动无关；

(4)开环传函G(s)H(s)为从R(s)到C(s)一个回路上乘项系数，无视反馈正负符号；特别地，单位负反馈的开环传函在方框图上就是从R(s)到C(s)正向路径上乘项系数；

(5)改善系统精度の法有：增加积分环节、提高系统的开环增益K、引入扰动补偿，而增加微分环节对其无效；

(6)稳态误差ess求法：
(输入R(s)与扰动N(s)均存在且不为零的情况下)
1)令N(s)=0，求R(s)造成的误差传递函数E1(s)，ess1=lim s·E1(s)，这里lim为s→0；
2)令R(s)=0，求N(s)造成的误差传递函数E2(s)，ess2=lim s·E2(s)，这里lim为s→0；
3)ess=ess1+ess2；
或者ess=1/Kv,Kv为开环增益，Kv求法见【4】(9)；

(7)开环传函、开环幅频特性、开环相频特性之间对应关系：
开环传函形如：K(τs+1)/s^(k)(Ts+1)
对应开环幅频特性:将开环传函中的s换成jω，化简即可
对应开环相频特性：-90°×k+arctanτω-arctanTω

(8)判断一个闭环系统是否稳定，时域分析中用劳斯判据(Routh Criterion)，频域分析中用奈奎斯特稳定判据(Nyquist stability criterion)；

(9)系统稳定=闭环特征方程根的实部均小于0=劳斯列阵第一列均大于0；

(10)系统对某参数k的灵敏度：Sk=[dΦ(s)/Φ(s)]/[dk/k]=[dΦ(s)/dk]·[k/Φ(s)]；(这里的d在写的时候写成偏导符号，不过算法一样，都是Φ(s)对k求导)

(11)如果碰到要求闭环特征方程根的实部均小于-1的情况，可以用z-1替换掉闭环特征方程里的s，转换为新的关于z的闭环特征方程根的实部均小于0，然后列关于z的劳斯阵列令其第一列均为正数即可；

(12)开环传函G(s)中某两个参数K和T的稳定域：构造1+G(s)=0为系统的特征方程，劳斯阵列首列全正，判断出K、T的定义域，最后根据K、T关系以及自身定义域，选取其中一个为自变量，另一个为因变量作二维图；

(13)【等幅振荡】系统以频率ω=2rad/s持续振荡即闭环系统存在一对共轭纯虚根p1,2=±2j，意味着劳斯表s1行全零元，且s2行的辅助方程(s二次项行所构成的方程)解得的根即为这对共轭纯虚根p1,2=±2j；

(14)ξ与φ的关系：
φ=arctan(√1-ξ^2)/ξ，例如ξ=0.5对应60°，ξ=0.707对应45°；或者φ=arccosξ；
φ是指开环幅相曲线与（-1，j0）负半轴部分的夹角；

(15)解三次方程：先化成X^3+PX+Q=0的形式，再令X=U+V，UV=-P/3，解得U和V，则X可以算出来了。

(16)系统的单位阶跃响应:
就是系统的传递函数乘以1/s，然后进行反拉普拉斯变换即可；其实就是零状态响应下传递函数G(s)=C(s)/R(s),增加输入r(t)=1(t)求C(

s)=G(s)R(s)；
例：微分方式Tdc(t)/dt+c(t)=r(t)
传递函数：G(s)=1/(Ts+1)
单位阶跃响应：C(s)=(1/s)/(Ts+1)=1/s-1/(s+1/T)
∴c(t)=1-e^(-t/T),t＞=0;
(PS)斜坡响应就是G(s)/s^2.单位脉冲响应就是G(s),恰为系统的闭环传函，对应输出称为脉冲响应函数，以h(t)标志;

(17)【待验证】因式分解之特殊值法：将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式；
(eg1)
x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积(质因素个数为多项式最高次数)，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)；
(eg2)s^3+4s^2+5s+2时，令s=2，则
s^3+4s^2+5s+2=36，36=2×2×3×3，2=s+0不合适，3=s+1合适，所以将2个2合并成4=s+2，且最高次系数为1，所以s^3+4s^2+5s+2=(s+2)(s+1)^2；

(18)系统的基本要求(Basic requirements)/(performance): 稳！ 准！ 快！
1)Stability（稳定性）：先决条件【稳】
2)Accuracy（稳态性）：控制精度 【准】
3)Quickness or Rapidness（动态性）：快速反应【快】

(19)


【X】【试题精选】【更新ING】
(1)G(s)一般为开环传递系数，Φ(s)一般为闭环传递系数)已知单位负反馈系统前向传递函数为G(s)，则其开环传递系数为G(s)，闭环传递系数为G(s)/1+G(s);

(2) 单位反馈系统G(s)=0.25/[s(s+1)(4s+1)]，计算幅值裕量，分析系统的稳定性；
【解】开环频率特性
G(jω)=0.25/[jω(jω+1)(j4ω+1)]=-5/[(ω^2+1)(16ω^2+1)] + j (4ω^2-1)/[ω(ω^2+1)(16ω^2+1)]
ω＝ωx时，虚部(4ω^2-1)/[ω(ω^2+1)(16ω^2+1)]=0,ωx＝0.5 rad/s,实部-5/[(ω^2+1)(16ω^2+1)]=-0.8
h=1/A(ωx)=1/0.8=1.25>1
系统稳定，但相对稳定性差

【给定系统の开环传递系数中s用jω替换，然后分子分母有理化方式消去jω项，本题就是分子分母同乘以(jω-1)(j4ω-1),然后把G(jω)式子表示成实部+虚部的形式，令虚部=0，求出此时的ω即为ωx，把ωx代入实部求出实部大小,然后h等于1除以实部绝对值求出h看它与1的关系，小于1不稳定，大于1小于2稳定但稳定性差，大于等于2稳定性好】

(3)一单位负反馈随动系统(图略,直接给出对应的闭环传递系数)：Φ(s)=K/(Ts^2+s+K);
1)确定系统特征参数与实际参数的关系;
2)若K=16(rad/s)、T=0.25(s)，试计算系统的动态性能指标;
解：
1)系统的闭环传递函数为
Φ(s)=K/(Ts^2+s+K)=(K/T)/(s^2+s/T+K/T)
与典型二阶系统比较可得: K/T=ωn^2 1/T=2ξωn
即ωn=√K/T ξ=1/(2√KT)
2)) K = 16，T = 0.25时
ωn=√K/T=8(rad/s) ξ=1/(2√KT)=0.25
tr=(π-arccosξ)/(ωn√1-ξ^2)=0.24(s)
tp=π/(ωn√1-ξ^2)=0.41(s)
σp=e^(ξπ/√1-ξ^2)×10

0%=47%
ts=3/ξωn=1.5(s) (Δ=0.05)

【解题步骤：
(1)根据结构图或信号流图列写闭环传函公式Φ(s)；
(PS)有的题给出响应曲线，可以从图上直接读出超调量σp和峰值时间tp，然后根据其对应公式求出ωn与ξ，进而求开环传函或闭环传函；
(2)将Φ(s)整理成合理形式，使之易于与典型二阶系统闭环传函公式对应，从而确定ωn与ξ(有时候将2ξωn作为一个整体)；

(PS)二阶系统标准式:
闭环传函：Φ(s)=ωn^2/(s^2+2ζωns+ωn^2)
开环传函：G(s)=ωn^2/s(s+2ζωn)
闭环特征方程：s^2+2ζωns+ωn^2=0
闭环特征根：s1,2=-ξωn±ωn√ξ^2-1
观察可知G(s)分母比Φ(s)分母少个ωn^2项；

(3)根据题目给定值求出ξ与ωn,根据下述四个公式求出tr,tp,σp,ts：
tr=(π-arccosξ)/(ωn√1-ξ^2)
tp=π/(ωn√1-ξ^2)
σp=e^(ξπ/√1-ξ^2)×100%
ts=3/ξωn】

(4)已知闭环传函为G(s)=10/[(s+1)(s+10)]，求阶跃响应；
解：C(s)=G(s)R(s)=1/s-(10/9)/(s+1)-(1/9)/(s+10)
c(t)=1-1.1e^(-t)+0.11e^(-10t)≈1-1.1e^(-t)
主导极点是s=-1,这时系统传递函数近似为G(s)≈1/(s+1)

【系数很小的分量可忽略,比如0.11e^(-10t)】

(5)根轨迹起始于(开环极点),终止于(开环零点);

【法则1】 。
(6)典型二阶系统特征方程为s^2+2s+2=0,则该系统的单位阶跃响应曲线为(衰减振荡);
【根据特征方程易得:ωn=√2,ξ=√2/2=0.707；ξ∈(0,1),∴符合欠阻尼情况，故位阶跃响应曲线为衰减振荡曲线】

☆(7)根轨迹绘制：分别对应几个法则进行实例操作演示:
设某负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)=Kg/[s(s+1)(s+5)]

1)【法则1~4】试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布;

2)【法则5】求系统根轨迹的分离点；
【解】
1)开环极点p1=0、p2=-1、p3=-5；
系统的根轨迹有三条分支,分别起始于系统的三个有限的开环极点，当Kg→∞时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐近线在实轴上的交点；
σa=(Σpj-Σzi)/(n-m),Σ为i,j=1~m,n
=(0-1-5)/(3-0)=-2
φ(a)=(2k+1)π/3=π/3,π,5π/3 (k=0,1,2)
实轴上的根轨迹分布在(0,-1)和(-5,-∞)的实轴段上.
(作图：
实轴-5,-1,0三个点上打叉;三条渐近线交于-2点，以-2为起点作三条虚线,与实轴正方向夹角依次为π/3,π,5π/3；实轴上(0,-1)和(-5,-∞)两段描黑)

2)系统实轴上的根轨迹段(-1,0),位于两个开环极点之间,该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点;
设分离点的坐标为d,则
1/(d-0) + 1/(d+1) + 1/(d+5) = 0
3d^2+12d+5=0
d1=-0.472,d2=-3.53(舍去)
分离点上根轨迹的分离角为±90°;

(PS)如果方程的阶次高时,可用试探法确定分离点;
比如G(s)=K(s+1)/[s(s+2)(s+3)]试绘制系统的根轨迹;
【解】
σa=(Σpj-Σzi)/(n-m),Σ为i,j=1~m,n
=[0-2-3-(-1)]/(3-1)=-2
φ(a)=(2k+1)π/2=π/2,3π/2(这里可以把

结果合写为±π/2，∵3π/2与-π/2方向一致)
(作图：
实轴-3,-2,0三个点上打叉,-1画空心圆;两条渐近线交于-2点，以-2为起点作两条虚线,与实轴正方向夹角依次为π/2,-π/2；实轴上(-2,-3)和(0,-1)两段描黑,3段向量分别是-2至根轨迹与实轴交点d,-3至根轨迹与实轴交点d,0至-1)
1/(d+1)=1/d + 1/(d+2) + 1/(d+3)
d = -2.5 左= -0.67 右= -0.4
d = -2.01 左= -0.99 右= -99.49
d = -2.25 左= -0.8 右= -3.11
d = -2.47 左= -0.68 右= -0.65

【法则6】再看一例:
设负反馈系统开环传函G(s)H(s)=K(s+1.5)(s+2+j)(s+2-j)/[s(s+2.5)(s+0.5+j1.5)(s+0.5-j1.5)]试绘制出系统的根轨迹;
(作图：首先0,-2.5,-0.5-j1.5,-0.5+j1.5四点打叉,-1.5，-2-j，-2+j三点画空心圆；实轴上作两段向量-2.5至-∞与0至-1.5)
起始角与终止角
θpx=180°+Σ∠(px-zi)-Σ∠(px-pj)
第一个Σ为i=1~m,第二个Σ为j=1,j≠x~n
=180°+φ1+φ2+φ3-θ1-θ2-θ3
=180°+56.5°+19°+59°-108.5°-37°-90°
=79°

(作图：
依次连接-0.5+j1.5与三个零点,也就是三个空心圆点,作出三条线段,这三条线段与实轴正方向夹角为φ1~3；依次连接-0.5+j1.5与另外三个极点,也就是另外三个叉点,作出三条线段,这三条线段与实轴正方向夹角为θ1~3)
φzx=180°-Σ∠(zx-zi)-Σ∠(zx-pj)
第一个Σ为i=1,i≠x~m,第二个Σ为j=1~n
=180°-117°-90°+153°+63.5°+119°+121° =149.5°
(作图：类比求θpx的作图方法)

(最终作图：
第二象限中从-0.5+j1.5到-2+j画一段向量弧,起点方向角度为79°，终点方向角度为149.5°；
第三象限与第二象限图像关于实轴对称即可)
(作图：综上根轨迹有4段向量:2段向量弧，(-2.5,-∞),(0,-1.5))
【此法选取の参考点均为实轴以外第二象限的极点与零点，其在第三象限有关于实轴对称的点】

【法则7】再看一例：
求系统根轨迹与s平面虚轴的交点的交点坐标：D(s)=1+G(s)H(s)=1+Kg/[s(s+1)(s+5)]=0
方法一：s^3+6s^2+5s+Kg=0 令s=jω,则(jω)^3+6(jω)^2+5(jω)+Kg=0 则 -ω^3+5ω=0,-6ω^2+Kg=0 (实部=0且虚部=0) 解得ω=0，√5 Kg=0(舍去),Kg=30

方法二：s^3+6s^2+5s+Kg=0 劳斯表略 当Kg=30时，s1行全零，劳斯表第一列不变号，系统存在共轭虚根；共轭虚根可由s2行的辅助方程求出：6s^2+Kg=0 s=±j√5





















【作画步骤】
1P：Making试试看。
2P：引言。
·不擅长说明（←重要）
·忽略的讲座真是对不起了
·画得不咋滴可能不足以作为参考 /(^﹃^)\
总之马马虎虎吧，可以的话就凑合着瞅瞅吧。
3P：我经常用这些笔。
1、笔贴纸
主要用于线描或阴影浓密的部分，适当地调节后可用来判别细线闭合，满足满足~
2、水彩贴纸
用来伸展色彩实现颜色渐变，其他颜色立马就能上手，我认为这是普遍的
这次除了铅笔跟喷笔以外全部使用这

两种笔撸的 ^ p ^
4P：首先是草稿。吾妻也。我这个就是个合适的草稿吧，笑~用铅笔速速撸好的~
5P：用笔贴纸线描好的原始版本，这手艺咋看都觉得搞笑吧~ \(^o^)/ 西奈~ ……是镜子。镜子神马的速逃~
6P：
7P：皮肤跟眼睛就是这种感觉！！唔系苦手！！！死
8P：

1P： Making？ 使用软件：SAI（主要）
Photoshop