第一章复习题解答
1.某科技馆在某一星期里(7天)曾接待过3位专家来访?求这3位专家在同一天来访的概
率?
C 1
解:A = “三位专家同一天来访”,则P(A) C 7 0.0204 。
73
2?设A,B 是两随机事件,且 P(A B) 0.3 ,
(1 )若A,B 互不相容,求 P(A); (2) 若 A,B 独立,P(B) 0.1,求 P(A); (3) 若 P(B | A) 0.4,求 P(A); (4) 若 P(A B) 0.7,求 P(B).
解:(1)P(A B) P(A) P(AB)
因为A 、B 互不相容,所以 P(AB) 0,P(A) P(A B) 0.3
(2)因为 A, B 独立,所以 P(AB) P(A)P(B).
0.3 P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)
所以,P(A)
3?设某地区成年居民中肥胖者占 10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压
的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10%,瘦者患高血压病的概率为 5%.
(1) 求该地区居民患高血压病的概率;
P(A) P(A) 0.1 0.9P(A)
(3) 0.4 P(B| A)
P(AB) P(A B) P(A) P(A) P(A)
P(A B) 0.4
03 0.75 0.4
(4) 0.7 P(A B) P(B) P(AB) P(B) P(A B)
P(B) 0.7 P(A B)
0.7 0.3 0.4
(2)现知该地区某一成年居民患有高血压病,求其是肥胖者的概率
解:(1 )设A , A2, A3分别表示该地区居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者,B表示该地区居民患高血压病?
据全概率公式知:
P(B) P(B|A)P(A) P(B|")P(A) P(B|A3)P(A3)
0.2 0.1 0.1 0.82 0.05 0.08 0.106
(2)据贝叶斯公式知:
P(A|B) P(AB)/P(B) [P(B| A)P(AJ]/P(B) [0.2 0.1]/0.106 10/53
第二章复习题解答
x , 1 x 0
1.随机变量X?f (x) As in x , 0 x
2
0 ,其他
求:(1)A (2) X 的分布函数F(x) (3)P(0 X -)
0 - 解:(1)1-1(-x)dx 021
Asin xdx,求得A .
2
⑵X 的分布函数F(x)
解:当x 1时, F(x) P(X x) x f (t)dt 0
当1 x 0时, F(x) P(X x) x f (t)dt x
1(
t)dt 1x2
2 2
当0 F(x) P(X x) x 0 t)dt x sint . , cosx
x 时,
2
f(t)dt 1( dt 1 -
0 2 2
x 0 /2
sint ‘
当_
2 x 时,F(x) P(X x) f(t)dt 1( t)dt 0 dt 1
2
7
x 1
1 x2
— -------- 1 x 0
2 2
因此:F(x)
1cosx ,0 x __
2 2
(3) P(0 X -) F( —) F(0) 1
-
4 4
2 4
2
2.某地考生高考总成绩 X ?N(400,100 ),现在要从20000名考生中择优录取 1000 人.
当地考生若能被录取其成绩至少为多少分 ((1.64) 0.95)。
解:设当地考生若能被录取其成绩至少为
1000 2 P(X a)
,由于 X ?N(400,1002
),则
20000 P(X a) 1 P(X a) 1
(
a 400
) -
1000, (-a 400
) 0.95
100 20000 100
又因为(1.64)
0.95,所以 a 400
1.64,a 564.
100
3.在某公共汽车站甲、 乙、丙三人分别独立的等 1, 2,3路汽车。设每个人等车时间 X (单
位:分钟)均服从[0,5]上的均匀分布。求三人中至少有两人等车时间不超过两分钟的概率。 解:设Y 表示甲、乙、丙三人中等车时间不超过
2分钟的人数,则 Y ?B(3, p).其中p 表
所求概率
解:随机变量Y 的分布函数
0时,F Y W) 0
X ,Y 的联合概率分布如下表
1.已知随机变量
a 分,则
示每个人等车时间不超过
2分钟的概率,则
P P{ X 2}
2
1
dx 0.4 0
5
P{Y 2} c ; 0.42
0.6 C ; 0.43
0.352
4.随机变量 X ?N(0,1) ,Y e
,求随机变量 Y 的概率密度函数
f Y (y).
0时,F Y (y) P{Y
y} P{e X
y} P(X In y)
In y
1
2 e
T
dx
对上两式两端对 y 求导,可得f Y (y)
(ln y)2
2
1 y 、
2 e
第3章 复习题解答
-1
1
(1)写出X与Y的边缘概率分布?
(2)X,Y是否相互独立为什么
⑶写出XY, X Y的分布
解:(1) X与Y的边缘概率分布为:
(2)不相互独立?因为
P(X 1,Y 0) 0.04, P(X 1)P(Y 0) 0.51 0.09 0.0459 所以,P(X 1,Y 0) P(X 1)P(Y 0)
根据随机变量的独立的定义? X ,Y不独立.
(3) X Y的分布为:
(1 )求X与Y的边缘密度f X(x)及f Y(y)
(2)判断X与Y是否相互独立,为什么
解:(1 )求X与Y的边缘密度f x(x)及f y(y)
因此
f Y (y) 3e 3y
(1)写出随机变量x 的密度函数f x (x)与丫的密度函数f,y)
(2)写出随机向量 x,Y 的联合密度函数 f(x,y); ⑶ P x 1,Y
5
(2 )由x 、Y 独立,(X,Y)的联合概率密度为
0 ,
其他
(1)求 (X,Y)的联合分布列; (2)说明X,Y 是否相互独立
x 0时, f x (X) f (x, y)dy 0dy 0 x 0时,
f x (X)
f(x, y)dy
6e
(2x3y)
dy 2e 2x
因此
f x (X)
2x
2e
y 0时,
f y (y)
f (x, y)dx 0dx
y 0时,
f v (y)
f(x,y)dy
6e
(2x 3y) 3y
dx 3e
(2)因为 f x (x) f Y (y)
f(x,y),因此 X 与丫相互独立.
3.设随机变量X 服从[1 , 2]上的均匀分布, 丫服从N(5,4),且X 与Y 相互独立。
解:(1) f x (x)
1, 1 x 2
0,其他’
f Y
(y)
1
(y 5
)2
1
8
2
苜° f (x, y) f x (x) J(y)
1 2、2一° (y-5) 2
(3)P(X 1,Y 5) P(X 4.设随机变量Z~U[ 2,2],随机变量
5 5、、
1 1
1)P(Y 5) 1 [1
(2 )] 1 2 2
0, Z
1
0, Z 1
X
丫
1, Z 1,
1, Z 1
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是: S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是: S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则A= ;B:数点大于2,则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A:第一次出现正面,则A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C都不发生表示为: .(2)A与B都发生,而C不发生表示为: . (3)A与B都不发生,而C发生表示为: .(4)A、B、C中最多二个发生表示为: . (5)A、B、C中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为: . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S:则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
(1)=?B A ,(2)=AB ,(3) =B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随 机地抽一个签,说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计 一、填空题 1.已知()()() ,5.0,4.0,3.0===B A P B P A P 则() =B A B P ( 0.25 ) 2.已知在10只产品中有2只次品,在其中任取一只,作不放回抽样,则两只都是正品的概率为( 28/45 ) 3.理论上,泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当n →0,p →∞,且np →λ(常数 )时,有关系式lim ∞ →n C m n p m m n q -=e m m λ λ-! 成立。 4.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是( 0.6 ) 5.若事件A,B 为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6.写出随机变量X 服从参数为λ(正常数)的泊松分布的概率公式 {}==k X P ( ! k e k λ λ-) 7.当随机变量R.V. ξ~N (μ,σ2 )时,有P{a<ξ≤b}=(F (b )-F (a )) 8.写出样本k 阶中心矩公式=k B ( () ∑==-n i k i k X X n 1 ,3,2,1 ) 9.已知()()(),2 1 ,31,41=== B A P A B P A P 则()=B A P ( 1/3 ) 10.设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球,则至少有一只蓝球的概率是( 5/9 ) 11.已知在10只产品中有2只次品,在其中任取一只,作不放回抽样,则正品次品各有一只的概率为( 16/45 ) 二、判断题 1、 对立事件一定是互斥事件。( ) 2、 明天下雨是随机事件。( ) 3、 若事件A 和事件B 相互独立,则P(AB)=P(A)+P(B). ( ) 4、 设随机变量X 的概率密度为a, 则E (X +1)=1 。( )
《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.9 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤=- 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F =
概率论与数理统计复习题 一.事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件,试写出下列事件的表达式: (1) ,,A B C 都不发生;(2),,A B C 不都发生;(3),,A B C 至少有一个发生;(4),,A B C 至多有一个发生。 解:(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解:()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=; ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥,()0.5P A =,()0.9P A B ?=,求(),()P B P A B -。 解:()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===,求(),()P A B P AB ?。 解:()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解:()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球,6个白球,在袋中任取两球,求 (1) 取到两个黄球的概率; (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解:(1) 24210215C P C ==;(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字,求三个数字中最大数为5的概率。 解:12153 101 12 C C P C ==。
模拟试题(一)参考答案 一.单项选择题(每小题2分,共16分) 1.设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是( ) (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立 (C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件 解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D. 2.设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为( ) (A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 3 1p - (D) 213)1(p p C - 解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为3 1p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C. 3.若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是( ) (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续 解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足 ? ∞+∞ -=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]2 1 ,31[上的均匀分布的随机变量的 概率密度 ?????≤≤=其他, 0,2131,6)(x x f 在31= x 与2 1 =x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4.若随机变量X 的概率密度为)( 21 )(4 )3(2 +∞<<-∞=+- x e x f x π,则=Y ( ))1,0(~N (A) 2 3+X (B) 2 3 +X (C) 2 3-X (D) 23 -X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令2 3 += X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选 A. 5.若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是( ) (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+) ( (C) DY DX DXY ?= (D) EY EX EXY ?= 解 因为0=ρ,故 0),cov(=?=DY DX Y X ρ, DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ?=.故本题应选C. 6.设样本n X X X ,,,21???取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则( ) (A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n (C) )(~21 2 n X n i i χ∑= (D) )1(~-n t S X
概率论试题及答案 Document number:PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
试卷一 一、填空(每小题2分,共10分) 1.设是三个随机事件,则至少发生两个可表示为______________________。 2.掷一颗骰子,表示“出现奇数点”,表示“点数不大于3”,则表示______________________。 3.已知互斥的两个事件满足,则___________。 4.设为两个随机事件,,,则___________。 5.设是三个随机事件,,,、 ,则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分,共20分) 1.从装有2只红球,2只白球的袋中任取两球,记“取到2只白球”,则()。 (A)取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2.对掷一枚硬币的试验,“出现正面”称为()。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3.设A、B为随机事件,则()。 (A)A(B)B (C)AB(D)φ 4.设和是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是()。 (A)与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5.设为两随机事件,且,则下列式子正确的是()。 (A)(B) (C)(D) 6.设相互独立,则()。 (A)(B) (C)(D) 7.设是三个随机事件,且有,则 ()。 (A)(B) (C)(D) 8.进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为()。 (A)p2(1–p)3(B)4p(1–p)3 (C)5p2(1–p)3(D)4p2(1–p)3 9.设A、B为两随机事件,且,则下列式子正确的是()。
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题(每小题4分,共20分) 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数 ) (,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则 ___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 3141===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数 ___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立,且,2σ==DY DX 则 ____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分,共40分) 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒, 求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服 从均匀分布,Y 的概率密度为?? ???≤>=-000 212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的 二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体),(~220N X 的简单随机样本,求系数
a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2 χ分布,并求其自由度。 5. 某车间生产滚珠,从长期实践知道,滚珠直径X 服从正态 分布。从某天产品里随机抽取6个,测得直径为(单位:毫米)14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值 μ的置信区间 (9610502.,./==ααz ) 三、(14分)设X,Y 相互独立,其概率密度函数分别为 ???≤≤=其他 ,,)(0101x x f X ,?? ???≤>=-000 y y e y f y Y ,,)( 求X+Y 的概率密度 四、(14 分)设 ?? ???≤<-=其它,),()(~0063θ θθx x x x f X ,且n X X ,, 1是总体 X 的简单随机样本,求 (1)θ的矩估计量θ ,(2) )(θ D 五、(12分)据以往经验,某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布,现随机地取16只,设它们的寿命是相互独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。(7881080.).(=Φ)
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3)
一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故
1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里,求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. (1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货,而,甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时,设甲、乙在24小时内随时可能到达,求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解: 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达,故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值,如右图 方形区域,记为Ω。设A 为“两船不碰面”,则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以, 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货,其供应量之比是3:1:1,且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%,若在该商场随机购买一件商品,求: (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ____学院___系___年级___专业 考试时间
《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< , 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.
概率经典测试题及答案 一、选择题 1.下列说法正确的是 () A.要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用普查方式 B.一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4 C.必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1 D.若甲组数据的方差2s甲=0.128,乙组数据的方差2s乙=0.036,则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案. 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式,宜采用抽查的方式,故原说法错误; B、一组数据3,4,4,6,8,5的中位数是4.5,故此选项错误; C、必然事件的概率是100%,随机事件的概率大于0而小于1,正确; D、若甲组数据的方差s甲2=0.128,乙组数据的方差s乙2=0.036,则乙组数据更稳定,故原说法错误; 故选:C. 【点睛】 此题考查概率的意义,全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义,正确掌握相关定义是解题关键. 2.学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团,如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团,那么征征和舟舟选到同一社团的概率是() A.2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组(X,Y)中的X表示征征选择的社团,Y表示舟舟选择的社团.A,B,C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团, 于是可得到(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),共9中不同的选择结果,而征征和舟舟选到同一社团的只有(A,A),(B,B),(C,C)三种, 所以,所求概率为31 93 ,故选C.
《概率论》期末考试试题(B卷答案) 考试时间:120分钟(2005年07月) 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天,在一天中出现废品的概率分布分别如下: 求甲、乙两人生产废品的数学期望,比较甲、乙两人谁的技术高?() A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75%。从产品中任取一件为一级品的概率是多少?() A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在() A (0,1) B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P(A)=1,P(B)=0,则() A. A为必然事件,B为不可能事件 B. A为必然事件,B不是不可能事件 C. A不必为必然事件,B为不可能事件 D. A不一定是必然事件,B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件,则= A P () (B ) A. P(A)+ P(B) B. P(A)-P(B)+ P(AB) C. P(A)+ P(B)-P(AB) D. P(AB)-P(A)-P(B) 6.若已知φ A ,且已知P(A)=0,则() B = A.A与B独立 B. A与B不独立
C.不一定 D.只有当φ=A ,φ=B 时,A 、B 才独立 7.已知X ~B (n ,p ),则D (X )=( ) A.np B.p (1-p ) C.n (1-p ) D.np (1-p ) 8.设),(~2σμN X ,将X 转化为标准正态分布,转化公式Z =( ) A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ,P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2)=( ) A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题(3*8=24分) 1. 设A 、B 是两个独立随机事件,则( ) A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质( )
《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 1 21 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2Y X =的分布列.
五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||1 ()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<, 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计. 《概率论与数理统计》试题(1)评分标准 一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。 二 解 (1)ABC (2)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ; (3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ; (4)ABC ABC ABC ; (5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分; 三 解 设A =‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,,x y a x y --,则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<,不等式构成平面域S .------------------------------------5分 A 发生0,0,22 2 a a a x y x y a ?<<<<<+< 不等式确定S 的子域A , 分 所以 1 ()4 A P A = =的面积S 的面积
07级《概率论》期末考试试题B 卷及答案 一、 填空题(满分15分): 1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则(1)“第一卷出现在旁边”的概率为 5 2 。 5 2 !5!422=?= p 2.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P r p - 。性质 r p AB P A P AB A P B A P B A P -=-=-=-=)()()][)()( 3.设随机变量ξ的密度函数为() 0 3,其它 ?? ?>=-x ce x x ?则c= 3 . 33 )(130 =?= ==-+∞ +∞ ∞ -? ? c c dx e c dx x x ? 4. 设ξ、η为随机变量,且D (ξ+η)=7,D (ξ)=4,D (η)=1, 则Cov(ξ,η)= 1 . 1 21 472)(),cov() ,cov(2)(=--=--+=++=+ηξηξηξηξηξηξD D D D D D 5.设随机变量ξ服从两点分布) 1 ,1(B ,其分布律为 则ξ的特征函数为= )(t f ξit e 3 132+。 二、 单项选择题(满分15分): 1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件恰好一个发生”为( ②. ). ① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++ ③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.设随机变量ξ的分布函数为
00)(2 2 <≥?? ???+=-x x B Ae x F x 则其中常数为(① )。 ①A=-1,B=1 ②A=1,B=-1 ③ A=1,B=1 ④ A=-1,B =-1 B A B e A x F B B e A x F x x x x x x +=+===+==-→→- +∞ →+∞ →++2 2 22lim )(lim 0lim )(lim 1 解得1,1=-=B A 3设随机变量ξ的分布列为.,2,1,2 1 )2)1(( ==-=k k P k k k ξ则ξE ( ④ ) ①等于1. ② 等于2ln ③等于2ln - ④ 不存在 445111 =?==∑ ∞ =C C C i i ∑∑+∞=+∞ =+=?-11 1 1 4545) 1(i i i i i i i ,由调和级数是发散的知,EX 不存在 4.对于任意两个随机变量ξ与η,下面(④ )说法与0),cov(=ηξ不等价。 ①相关系数0,=Y X ρ ② )()()(ηξηξD D D +=+ ③ ηξξηE E E ?=)( ④ ξ 与η相互独立 5.设随机变量ξ服从二项分布)2 1 ,4(B ,由车贝晓夫不等式有 ( ② ). ①.31 )32(≤ ≥-ξP ②.91 )32(≤≥-ξP ③ 3 1 )32(≥<-ξP . ④ 9 1)32(≥ <-ξP 因为9 1 )32(,1,2≤≥-==ξξξP D E 三、(满分20分) (1)两人相约7点到8点在某地会面,试求一人要等另一人半小时以上的概率。 解:
概率论试题库 考试试卷分布说明:试卷共四个大题:选择题、填空题、判断题和解答题,共22个 小题。其中:选择题共5个小题(4个基础题,1个能力题),每小题4分 ,共20分;填空题共6个(5个基础题,1个能力题),每小题4分 ,共24分;判断题共6个(5个基础题,1个能力题),每小题2分 ,共12分;解答题共5个(3个基础题,1个能力题,1个提高题),3个基础题每小题8分,能力题和提高题各10,共44分。满足:基础题:能力题:提高题=7:2:1。 一、选择题40小题。(每小题4分,共5小题,共20分) 1、从四个乒乓球种子选手中选两个人代表学校出去比赛, 在比赛前采用每两个人都对决的选拔赛,则选拔赛共要举行的场数为( A ) A 、6 B 、30 C 、4 D 、3 2、下列不属于抽样调查的特点的是( D ) A 、经济性 B 、时效性 C 、广泛性 D 、客观性 3、书架上一共有3本英文书,2本法文书,5本中文书,从中任取一本,则取得的书是外文书的概率(A ) A 、0.5 B 、0.1 C 、0.2 D 、0.6 4、设某种电灯泡的寿命X 服从正态分布N(σμ2 ,),其中μ是未知的,现在随机的抽取4只这种灯泡,测得其寿命为1500,1455,1368,1649,是估计总体均值μ为( C ) A 、1500 B 、1649 C 、1493 D 、1368 5、某人从A 地到B 地要经过两个有红、黄、绿灯的交通路口,则他一路是碰绿灯的概率是( C ) A 、41 B 、21 C 、271 D 、91 6、下列表格是某随机变量ξ的分布列:则表中a 的取值是( C ) A 、0.05 B 、0.13 C 、0.14 D 、0.12 7、小明打开收音机,想听电台报时(1小时报一次时),则他等待的时间小于1刻钟的 概率是( A )
第一章题库(附答案) 一、选择题 1、假设事件A,B,C ,下列哪个表达式不能表示“A ,B ,C 至少有一个发生的概率”。( ) (A ))(1C B A P -; (B ))(C B A P ++; (C ))()()(C P B P A P ++ (D )) ()()()()()()(ABC P BC A P C B A P C AB P C B A P C B A P C B A P ++++++ 2、已知)()()(B P A P B A P +=+,则可以得出() (A )事件A 和B 互不相容; (B )事件A 和B 互为对立事件; (C )事件A 和B 相互独立; (D )0)(=AB P 3、以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”,则对立事件A 为 ( ) .A “甲种产品畅销, 乙种产品畅销” .B “甲、乙产品均畅销” .C “甲种产品滞销” .D “甲产品滞销或乙种产品畅销”. 4、设,A B 为两事件, 且()0,P AB = 则 ( ) .A A 与B 互斥 .B AB 是不可能事件 .C AB 未必是不可能事件 .D ()0P A =或()0.P B = 5. 设A,B 为两个随机事件,则()P A B -=( ) A. ()P A B. ()P B C. ()()P A P B - D. ()()P A P AB - 6. 设A,B 为随机事件,则()A B B -= ( ) A. A B. AB C. AB D. A B 7、设A ,B 为两个互不相容事件,则下列各式错误的是( ) A .P(AB)=0 . B.P(A ∪B)=P(A)+P(B) C .P(AB)=P(A)P(B) D. P(B-A)=P(B) 8、设事件A ,B 相互独立,且P(A)=31 ,P(B)>0,则P(A|B)=( ) A .151 B .51 C .154 D .31
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次,观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是:S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= 2.(1) 丢一颗骰子. A:出现奇数点,则 A= ;B:数点大于 2,则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次, A:第一次出现正面,则 A= ; B:两次出现同一面,则= ; C:至少有一次出现正面,则 C= ;b5E2RGbCAP ;p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件,用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A、B、C 都不发生表示为: .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为: .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为: .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为: .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为: .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为: .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}:则 (1) A ? B ? (4) A ? B = , (2) AB ? , (5) A B = , (3) A B ? 。 ,
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ,则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签,其中 2 个“中” ,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个签,说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
试卷一 一、填空(每小题2分,共10分) 1.设是三个随机事件,则至少发生两个可表示为______________________。 2. 掷一颗骰子,表示“出现奇数点”,表示“点数不大于3”,则表示______________________。 3.已知互斥的两个事件满足,则___________。 4.设为两个随机事件,,,则___________。 5.设是三个随机事件,,,、,则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分,共20分) 1. 从装有2只红球,2只白球的袋中任取两球,记“取到2只白球”,则()。 (A) 取到2只红球(B) 取到1只白球 (C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球 2.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为()。
(A) 随机事件(B) 必然事件 (C) 不可能事件(D) 样本空间 3. 设A、B为随机事件,则()。 (A) A (B) B (C) AB (D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是()。 (A) 与互斥(B) 与不互斥 (C) (D) 5. 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是()。 (A) (B) (C) (D) 6. 设相互独立,则()。 (A) (B) (C) (D)
7.设是三个随机事件,且有,则 ()。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次 的概率为()。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3 (D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件,且,则下列式子正确的是()。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时,事件C一定发生,则()。 (A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤ 1 (C) P (A) + P (B) –P (C) ≥ 1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C) 三、计算与应用题(每小题8分,共64分) 1. 袋中装有5个白球,3个黑球。从中一次任取两个。