平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
考点一：平面向量的坐标表示
1.平面向量的正交分解：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊的形式，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2.已知起点和终点求向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a＝x i＋y j.我们把有序数对（x，
y）叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a
＝(x，y)叫做向量的坐标表示.
显然：i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
例1：如图，分别用基底i,j(i,j分别为x轴，y轴正方向的单位向量)表示a,b,并求它们的坐标。
变式1：⑴如图，已知A(4,2),B(1,4),试求
→
AB的坐标。
⑵已知直角坐标系x0y中，向量a,b,c的模分别为2，3，4，
方向如图所示，分别求它们的坐标。
⑶已知O是坐标原点，点A在第一象限，∣OA∣=43，
∠x0A=60°,求向量
→
OA的坐标。
⑷在平面直角坐标系x0y中，向量a的模为3，方向如图所
示，求a的坐标。
考点二：相等向量的坐标表示
例2：向量a=(x+3,x2－3x－4)与
→
AB相等，其中A(1,2),B(3,2),则x=______.
变式2：⑴已知向量a=(x2+3x，2)，b(2x,y-4),且a=b,则
x=_______,y=_______.
⑵已知向量a=(5,2),b=(x2+y2，xy)，且a=b,则
x=_______,y=_______.
⑶已知向量i=(1,0),j=(0,1)，a=(3i+3j),则a的坐标是
______.
⑷在平面直角坐标系中，已知O(0,0),A(1,2),B(-3,4),则
向量
→
OA的坐标是______,向量
→
OB的坐标是______,向量
→
AB
的坐标是______.
⑸已知O是坐标原点，点M在第二象限，∣OM∣=4，
∠M0y=30°,则向量
→
OM的坐标是_______.
⑹已知向量
→
AB=(22
246,3
m m n
-+-),向量→CD
=(22,3n+7),向量
→
EF=(m,n),且
→
AB=
→
CD，求向量
→
EF的坐标。
例3：在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，
分别求下列位移向量的坐标。
⑴向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度。
⑵向量b表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度。
⑶向量c表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度。
变式3：已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),
F(-5,-6),M(2,-2),N(4,-6),求向量
→
AC，
→
BD，
→
EF，
→
MN的坐标。
考点三：平面向量的坐标运算
1.若)
,
(
1
1
y
x
a=，)
,
(
2
2
y
x
b=，则b
a
?
?
+)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x+
+
=，b
a
?
?
-)
,
(
2
1
2
1
y
y
x
x-
-
=
2.λa
ρ
＝(λx1，λy1).
3.已知点A(x1, y1),B(x2, y2)，则AB=(2121
,
x x y y
--)
例4:已知a
ρ
=(2,1), b
ρ
=(－3,4),求a
ρ
＋b
ρ
，a
ρ
－b
ρ
，3a
ρ
＋4b
ρ
的坐标.
解：a
ρ
＋b
ρ
＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，
a
ρ
－b
ρ
＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，
3a
ρ
＋4b
ρ
＝3（2,1）+4（-3,4）= （6,3）+（-12,16）=(－6，19).
变式4：⑴已知(3,2)
a=
r
，(0,1)
b=-
r
，求24
a b
-+
r r
，
43
a b
+
r r
的坐标；
⑵已知A（-1，5）和向量a
ρ
=(2,3)，若AB=3a
ρ
，则点B
的坐标为__________。
⑶已知
→
a+
→
b=(2,-8),
→
a－
→
b=(－8,16),求
→
a和
→
b.
⑷已知点(1,1)
A，(1,5)
B-及
1
2
AC AB
=
u u u r u u u r
，2
AD AB
=
u u u r u u u r
，
1
2
AE AB
=-
u u u r u u u r
，求点C、D、E的坐标。
例5：已知
→
a=(－1,2)，
→
b=(1,－1),
→
c=(3,－2),且有
→
c=p
→
a+q
→
b,试求实数p,q的值。
变式5：⑴已知→a =(2,1)，→b =(1,－3),→c =(3,5)，把→a ，→
b 作为一组基底，试用→a ，→b 表示→
c 。
⑵若点A ，B ，C 三点的坐标分别为(2,－4),(0,6),(-8,10),
则2AB BC +u u u r u u u r 的坐标为______.12
BC AC -u u u r u u u r
的坐标为
______.
⑶已知点A(－2,4),B(3,－1),C(－3,－4),且3CM CA =u u u u r u u u r
，2CN CB =u u u r u u u r
，且M,N 及MN u u u u r 的坐标。
⑷下列说法正确的有（ ）个 ①向量的坐标即此向量终点的坐标 ②位置不同的向量其坐标可能相同
③一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 ④相等的向量坐标一定相同 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
考点四：向量共线的坐标表示
1.设a ρ
=(x 1, y 1),b ρ=(x 2, y 2)（ b ρ≠0）,其中b ρ≠a ρ,由a ρ=λb ρ，(x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ???==?21
21y y x x λλ 消去λ：
x 1y 2－x 2y 1=0
2.结论：a ρ∥b ρ (b ρ
≠0)?x 1y 2-x 2y 1=0
注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ρ
≠0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0.
2?充要条件不能写成2
211x y
x y = ∵x 1, x 2有可能为0.
3?从而向量共线的充要条件有两种形式：a ρ∥b ρ (b ρ≠0)?12210
a b x y x y λ?=?
?-=??r r
.
例6:已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r
，且//a b r r ，求y ． 解：∵//a b r r
，∴4260y -?=．∴3y =．
变式6：⑴已知向量a ρ=(1, 4),b ρ=(-2, -8),→c =(3,6),试找出
其中共线的向量。
⑵下列各组向量中，共线的一组是( )
A.a ρ=(-2, 3),b ρ=(4, 6)
B.a ρ
=(2, 3),b ρ=(3, 2)
C.a ρ=(1,2),b ρ=(7, 14)
D.a ρ
=(-3, 2),b ρ=(6, -14)
⑶已知向量a ρ=(1, 2),b ρ=(λ, 1),若(a ρ+2b ρ)//(2a ρ-2b ρ),则λ的值等于( )
⑷已知向量a ρ=(1, 2),b ρ=(λ, 1),若(a ρ+2b ρ)与(2a ρ-b ρ
)共线,则λ的值等于( )
考点五：三点共线问题
例7: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．
证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=u u u r
，又26340?-?=，∴//AB AC u u u r u u u r .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线。
变式7：
⑴O 是坐标原点，→
OA =(k,12),(4,5)OB =u u u r ,(10,)OC k =u u u r ,
当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？
⑵若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为
_________.
⑶已知三点A (1，-3)，B (8，1
2
)，C (9，1)，证明：A 、B 、C 三点共线。
⑷证明下列各组点共线
①A=(1,2),(3,4)B =-,(2,1.5)C = ②P=(-1,2),(0.5,0)Q =,(5,6)R =-
⑸已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D(5,-3),判断AB u u u r
与CD uuu r
是否共线？如果共线，是同向还是反向？
⑹已知A (4，5)，B (1，2)，C (12，1)，D11,6),求直线AC 与直线BD 的交点P 的坐标。
考点六：平面向量共线的坐标运算的应用
例8：已知向量a ρ=(1, 2),b ρ=(1, 0),→
c =(3,4),若λ为实数，(a b λ+r r )//c r ,则λ=( )
变式8：⑴已知向量a ρ
=(1, 1),b ρ=(2,x),若a b +r r 与42b a
-r r 平行，则实数x 的值为（ ）
⑵已知三点A (4，2)，B (-6，-4)，C (x ，15
4
-
)三点共线，且AC CB λ=u u u r u u u r
，求λ及x 的值。
⑶已知ΔABC 中，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M 、N 、D 分别是AB 、AC 、BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，
求DF u u u r
向量。
⑷已知如图，点(4,0)A ，B(4,4)，(2,6)C ，求AC 和BO 的交点P 的坐标。
例9：已知平面上的三点(2,1)A -，B(1,3)-，(3,4)C ，求点D 的坐标，使得四个点构成平行四边形的四个顶点。
变式9：⑴已知四点(5,1)A ，B(3,4)，(1,3)C ，
(5,3)D -，求证：四边形ABCD 是梯形。
⑵在平行四边形□ABCD 中，(6,7)AD =--u u u r
，
(2,3)AB =-u u u r
，若□ABCD 的对称中心为E ，则CE u u u r 的坐
标为( ) ⑶已知四边形ABCD 是正方形，BE//AC ，AC=CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于F ，证明：AF=AE 。
⑷已知四边形ABCD 是正方形，P 为对角线BD 上的一点，四边形PECF 是矩形，用向量的方法证明PA=EF 。
考点七：线段的定比分点
1.定义：设12,p p 是直线l 上两点，点P 是l 上不同于12,p p 的任意一点，则存在一个实数λ，使12p p pp λ=u u u u r u u u r
，λ
叫做P 分有向线段12p p u u u u r 所成的比，P 点叫做有向线段12p p u u u u r
的以定比为λ的定比分点。
2.线段的定比分点坐标公式：
设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是平面内两个定点，点P 0（x 0，y 0）分有向线段12PP u u u u r
所成的比为λ，则有： ???
????++=++=λλλ
λ112
10210y y y x x x （λ≠－1） 而 01012020
x x y y x x y y λ--==--.
特别地，当点P 0为内分点或者与点P 1重合时，恒有λ≥0，当点P 为外分点时，恒有λ＜0（λ≠－1） 3.P 点位置与λ的取值范围：（0p 为12p p 的中点） P 点位置
21p p 延长线上 与1p 重合 10p p 之间
与0p 重合
02p p 之间
与2p 重合
12p p 延长线上 λ的范围
10λ-p p 0λ= 01λp p
1λ=
1λf
λ不存在
1λ-p
外分点 内分点 外分点
例10.如果(1,1)P ，(2,3)A ，(8,3)B -，
且C ，D 顺次为AB u u u r
的三等分点，求PC uuu r 和PD u u u r
的坐标。
变式10：已知1(2,1)P -，2(0,5)P ，点P 在12p p 的延长线上，且122p p PP =u u u u r u u u r
，求点P 的坐标。
例11：已知点(3,3)A ，(1,5)B -，一次函数
1y kx =+的图像与线段AB 有公共点，求实数k 的取值范围。 变式11：已知点(2,1)A ，(3,1)B -及直线l ：45y x =-，
直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB u u u r
的比λ。
定比分点专项练习
一、选择题
1.若点P 分AB 所成的比为5
3，则A 分BP 所成的比是（ ）
A.8
3
B.3
8
C.－3
8
D.－8
3
2.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为3、6、10，则点A 分BC 所得的比为
（ ）
A.4
3
B.－4
7
C.－7
3
D.－3
7
3.设P 1（2，－1），P 2（0，5），P 在P 1P 2延长线上，使|p p 1|=2|2pp |，则点P 的坐标为（ ）
A.（－2，11）
B.（4
3，3） C.（3
2，3）
D.（2，7）
4.已知A （m ，－n )，B (－m ，n )，点C 分AB 的比为－2，那么点C 的坐标为（ ）
A.（－m ，n )
B.(－3m ，3n )
C.(3m ，－3n )
D.(m ，n ) 5.已知A （－1，－1），B （0，1），则下列各点在直线AB 上的是（ ）
A.（0，3）
B.（1，1）
C.（2，4）
D.（2，5） 6.已知P （4，－9），Q （－2，3），y 轴与线段PQ 的交点为M ，则M 分PQ 所成的比为（ ）
A.3
1
B.2
1 C.2
D.3
二、填空题
7.点M （2，1）关于点N （－3，5）的对称点坐标是 . 8.△ABC 的顶点分别是A （7，－5），B （x ，2），C （－5，y ），重心为G （2，1），则x = ，y = . 9.已知A （－1，－2），B （4，8），C （5，x ）三点共线，则点C 分有向线段AB 所成的比λ= ，x = . 10.已知两点P 1（3，－5），P 2（－1，－2），在P 1P 2的延长线上有一点P ，使得|P P 1|=15， 则P 点坐标为 . 11.已知△ABC 三个顶点为A （4，5），B （－2，－1），C （7，2），M 、N 分BA 、AC 所成的比均为1∶2，则S △AMN ∶S △ABC = . 三、解答题
12.已知A （－1，－4），B （5，2），线段AB 上的三等分点依次为P 1、P 2，求P 1、P 2点的坐标.
13.已知A （5，－1），B （－1，7），C （1，2），求△ABC 中，∠A 的平分线AD 的长.
14.已知两点P 1（1，3），P 2（－2，6），求直线P 1P 2上满足|P P 1|=2|2PP |的点P 的坐标.
答案
一、1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C
二、7.（－8，9） 8.4 6 9.－6 10 10.（－9，4） 11.2∶9
三、12.解：由题意，P 1分AB 所成的比λ1=2
1 设P 1（x 1，y 1)，则x 1=2115211+?+-=1 y 1=2
112
214+?+-=－2，即
P 1（1，－2） P 2分AB 所成的比λ2=2，设P 2（x 2，y 2）则x 2=
2
1521+?+-=3，y 2=2
11224+?+-=0 即P 2（3，0）.
13.解：|AB |=22)71()15(--++=10，|AC |=5，由题意
|
||||
|||DC BD AC AB =
=2，则D 分BC 所成的比 λ=2，
设D （x ，y )，则x =
21121+?+-=31，y =21227+?+=311，即D （31，311），∴|AD |=22)3
11
1()315(--+-=3142.
14.解：设P （x ，y ）由题意P P 1=22PP 或P P 1=－22PP ，则P 分21P P 所成的比λ=2或－2
①若λ=2，则x =
21)2(21+-?+=－1，y =2
1623+?+=5，此时点P 的坐标为（－1，5） ②若λ＝－2，则x =
21)2()2(1--?-+=－5，y =2
16
)2(3-?-+=9，即P(－5，9）.
2.3.4平面向量共线的坐标表示
平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 一、教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法： 通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观： 学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。 三、教学重点与难点 教学重点：平面向量的坐标运算。 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 四、教学设想 （一）导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现 思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗 ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗标出点P 后,你能总结出什么结论 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
平面向量共线的坐标表示
课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示 层级一 学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12 ，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12 e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( ) A ．－23 B.32 C.23 D ．－32 解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)， ∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23 ，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8) 解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8) 与(1,2)平行且方向相反． 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6. 5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝? ???1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示 教学目标： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入： ， 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22 e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ` ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○ 2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= @ （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1) （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例： 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标. 例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学： 如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。 因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则
a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。 例题分析： 例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。 例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。 例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。 练习：见学案 小结： 作业：见作业纸
人教版高中数学B版必修4练习 向量的正交分解与向量坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、基础过关 1． 已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3 2 b 等于 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 2． 已知a －1 2 b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于 ( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2) 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为 ( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 4． 已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12 MN → ，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B.????1，32 C.? ???－1，－3 2 D ．(8，－1) 5． 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC → 的坐标是________． 6． 已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD → ，则x ＋y ＝________. 7． 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的 有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d . 8． 已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 二、能力提升 9． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD → 等于 ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)
(完整版)向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案 教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。 教学过程 一、新知导入 （一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入 已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数
二、新知探究 思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？ 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a 。 由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？ （不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0） （2）能不能写成2 211x y x y = ？ （不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 变式练习1： 2．证明三点共线问题： 例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。 变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线． 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
复习回顾 1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ） A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值. 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 一、基本概念
1．平面向量的坐标表示 （1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。 (3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝ 下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。 (4). . 向量的坐标运算 ①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________; b a -=__________________ ; a λ=___________________. (5). 向量平行的坐标表示:b a // ?______________________ . （6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ . 二． 典例分析 例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求 的坐标.
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(讲义版)
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算 一、 考情分析 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 二、 知识梳理 1.平面向量的基本定理 如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒] 1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 三、 经典例题
人教版高中数学高一A版必修4 平面向量共线的坐标表示
主动成长 夯基达标 1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A.e 1=(0,0),e 2=(1,-2) B.e 1=(-1,2),e 2=(5,7) C.e 1=(3,5),e 2=(6,10) D.e 1=(2,-3),e 2=(21,-4 3) 解析：平面内任意两个不共线的向量都可作为所在平面内所有向量的基底. 对于A,e 1=0与任何向量共线, C 中,2e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. D 中,4 1e 1=e 2,∴e 1与e 2共线. 答案：B 2.已知a =(-1,3),b =(x,-1),且a 、b 共线,则x 等于( ) A.3 B.-3 C. 31 D.-31 解析：因为a 、b 共线,所以1=3x,∴x= 31. 答案：C 3.已知A(-1,-4),B(8, 2 1),且A 、B 、C 三点共线,则C 点的坐标为( ) A.(9,1) B.(-9,1) C.(9,-1) D.(-9,-1) 解析：设C(x,y),=(8, 21)-(-1,-4)=(9,29), =(x,y)-(8,21)=(x-8,y-2 1), =(x,y)-(-1,-4)=(x+1,y+4), ∵A 、B 、C 三点共线, ∴AB 与BC 与AC 三个向量共线. ∴??? ????+-=+--=-).1)(21()4)(8(),8(29)21(9x y y x x y 经检验x=9,y=1适合. 答案：A 4.设a =( 31,tanα),b =(cosα, 23),且a 、b 共线,则锐角α的值为( ) A.12π B.6π C.4π D.3 π 解析：∵a 、b 共线,∴31×2 3-tanα·cosα=0,
高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案 新人教A版必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 整体设计 教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j. 于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 三维目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手
《向量的分解和向量的坐标运算》习题
《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题 一、选择题 1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF → ＝( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋1 4 b D.13a ＋23 b 2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA → ，AF → ＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC → ( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不垂直 4．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP → ＝( ) A.45a ＋3 10 b B.45a ＋1310 b 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2 ＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D.6或－ 6 6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.2 3 B.43 C ．－3 D ．0 7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
平面向量的坐标表示
7.2.2平面向量的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示 课 型：新授课 课 时：1课时 一、教材分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能目标 进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件. 2、 过程与方法 在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力. 3、情感态度与价值观 通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.
向量的分解与向量的坐标运算
§2.2向量的分解与向量的坐标运算 第一课时 平面向量基本定理 一、自主学习 1、平面向量基本定理 （1）定理：如果21e e 和是一个平面内的两个 的向量，那么该平面内的 a ，存在唯一的 a 1, a 2，使a = . （2）基底与向量的分解 把 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 },{21e e 。2211e a e a +叫做向量a 关于基底},{21e e 的分解式。 2、直线的向量参数方程式 （1）向量的参数方程 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点（如上图所示），则对直线l 上 一点P ，一定存在惟一的一个实数t 与之对应，向量等式= ，反之，对每一个数值，在直线l 上都有 的一个点P 与对之对应，向量等于OP = + 叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称 。 （2）线段中点的向量表达式 在向量等式t t +-=)1(中，若t= ，则点P 是AB 的中点，且= 。 这是线段AB 的中点的向量表达式。 二、典例解析 中，M 、N 分别是边DC 、BC 的中点。 （1）求证：MN BD 21； （2）设b y a x MN b AD a AB +===且,，求x, y 的值。 三、小结 四、课后作业 1、下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底； ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量。 其中正确的是（ ） ∥
A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 2、已知b n a m c +=，要使c b a ,,的终点在一条直线上（设c b a ,,有公共起点）， ),(,R n m n m ∈需满足的条件是（ ） A 、1-=+n m B 、0=+n m C 、1=-n m D 、1=+n m 3、OC OB OA ,,的终点A ，B ，C 在一条直线上，且, 3CB AC -=设 q OB p OA ==,，r =，则以下等式成立的是（ ） A 、q p r 2 321+-= B 、q p r 2+-= C 、q p r 2123-= D 、p q r 2+-= 4、设)(3,82),5(2 2b a b a b a -=+-=+=，则共线的三点是（ ） A 、A ，B ，C B 、B ，C ，D C 、A ，B ，D D 、A ，C ，D 5、在△ABC 中，BC EF //,5 1=交AC 于F 点，设b AC a AB ==,，用b a ,表示向量BF 为 。 6、设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使31,31,31===，若b a ==,，试用b a ,将,,表示出来。 §2.2向量的分解与向量的坐标运算 第二课时 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、自主学习 1、（1）如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直。 （2）如果平面向量基底的两个基向量互相 ，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做 。 （3）在直解坐标系内，分别取与x 轴和y 轴方向 的单位向量21,e e ，对任一向量，存在唯一的有序实数对（a 1, a 2），使得2211e a e a a += ， 就
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计
《平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计 【教学设计构想】 １.体现知识的发生、发展过程；本节课的核心知识是“平面向量正交分解条件下坐标表示”,学生正确建构了向量的坐标表示，才能真正理解向量的“代数化”，进而从代数的角度理解向量的运算，所以本节课的设计,力图呈现平面向量坐标表示的发生、发展过程。 ２．将知识的数学形态转化为教学形态;教材中对本节内容的介绍只有本页之多，却内涵丰富，承前启后，不能以自己的想法代替学生的想法，不能简单地告诉学生定义、结论，通过问题的设置来引导学生操作、思考、讨论交流，推进教学的进程。 ３.教学重心前移;对于本节课的知识,如果学生记住向量坐标表示的结论,学生也能解决一系列的问题,以往的教学,是将重心放在如何强化学生的解题训练上，注重解题的方法与技巧，在题的难度上和解法技巧上进行设计，本次教学的重心放在学生对向量坐标表示的意义理解上。 ４.还学生自主学习的空间与时间；在学生的“最近发展区内”设置有思考价值的问题，形成学生认知上的冲突，才是给学生提供学习的空间；在对学生设置好探究问题后，要舍得给学生独立思考,与同伴交流的时间。 【教材内容地位】 本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”,向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础,因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解,建立坐标系才有了依据,同时,只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。 2.３节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的基本定理，２.平面向量的正交分解及坐标表示， 3.平行向量的坐标运算, 4.平面向量共线的坐标表示。本节教学的内容是本单元的第２节。 【目标与目标解析】 知识与技能: １.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求:（1)能写出给定向量的坐标;（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段; 2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1)知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标;（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。 3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。 过程与方法: 学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法,体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。 情感态度与价值观： 在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流,从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。 重点：平面向量坐标表示的定义 突破办法:渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想． 难点:对平面向量坐标表示生成过程的理解 突破办法:设置情景问题,注意过程分析与引导,力求自然、合理 【教学过程】 (一）问题情境1：倾斜角为３０度的斜面上，质量为10０kg的物体匀速下滑， 欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力,该如何对重力进行分解? 设计说明:引出课题。 回顾向量基本定理,构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。 （二）向量坐标表示的定义探究 问题１：如图所示，取与x轴、ｙ轴方向相同的两个单位向量ｉ,ｊ为基底，分别用i,j表示向量ａ、b.
数学必修四人教A版 2.3.4平面向量共线的坐标表示(教、学案)
平面向量共线的坐标表示 【教学目标】 ．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； ．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 ．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点：定比分点的理解和应用． 【教学过程】 一、〖创设情境〗 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。 二、〖新知探究〗 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得λ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？ 设(, ) (, )（≠）其中≠ 由λ，(, ) λ(, ) 消去λ：－ 结论：∥(≠) 注意：?消去λ时不能两式相除，∵, 有可能为，∵≠， ∴, 中至少有一个不为. ?充要条件不能写成∵, 有可能为. ?从而向量共线的充要条件有两种形式：∥(≠) 三、〖典型例题〗 例. 已知，，且，求． 解：∵，∴．∴． 点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练：已知平面向量，，且，则等于. 例: 已知，，，求证:、、三点共线． 证明：，， 又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练：若(，)，(，)，(，)三点共线，则的值为. 例:设点是线段上的一点，、的坐标分别是(，)，(，). (1)当点是线段的中点时，求点的坐标； (2)当点是线段的一个三等分点时，求点的坐标. 解：（）＝ 所以，点的坐标为 （）当时，可求得：点的坐标为： 当时，可求得：点的坐标为： 点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式. 变式训练：当时,点的坐标是什么？ 四、〖课堂小结〗 ．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式； ．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行； ．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 五、〖反馈测评〗 .已知，－，（－），则（） . 、、三点共线、、三点共线 . 、、三点共线. 、、三点共线 .若向量(，)与(，)共线且方向相同，则为. ．设，，，且，求角． 【板书设计】
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在
x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；