2019-2020学年北京市101中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含答案)

2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12

月份）

一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分 1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( ) A ．直线1x =

B ．直线1x =-

C ．直线2x =-

D ．直线2x =

2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（3分）如图，ABC ?∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ?和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ?与△A B C '''的面积的比为( )

A ．4:9

B ．9:4

C ．2:3

D ．3:2

4．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k

y k x

=>的图象上的两点，

且12y y <． 满足条件的m 值可以是( ) A ．6-

B ．1-

C ． 1

D ． 3

5．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC ∠的度数是( )

A．15?B．30?C．45?D．60?

6．（3分）如图，在ABC

AB AC

==，以点C为中心，把ABC

?逆时

∠=?，4

BAC

?中，90

针旋转45?，得到△A B C

''，则图中阴影部分的面积为()

A．2B．2πC．4D．4π

7．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(2,3)

-、(1,3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为()

A．1-B．3-C．5-D．7-

8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E

∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 ．

10．（3分）如图，把ABC ?绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 （用含α的式子表示）．

11．（3分）在反比例函数32m

y x

-=

的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 ．

12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=?，则OC 的长为 ．

13．（3分）如图，双曲线k

y x

=

与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，

3)y ，由图象可得不等式组20k

ax bx c x

<

<++的解集为 ．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ?可以看作是AOB ?经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ?得到COD ?的过程： ．

15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ?的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 步．

三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）

16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法）

17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452

-?+--+?．

18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线k

y x

=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．

（1）求k ，a ，b 的值．

（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ?的面积是6，直接写出点P 的坐标 ．

19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程． 已知：如图，在ABC ?和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠． 求证：ABC ?∽△A B C '''．

证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ． 由此得到△A DE '∽△A B C '''．

A DE

B ''∴∠=∠． B B '∠=∠， A DE B '∴∠=∠． A A '∠=∠，

∴△A DE ABC '??．ABC ∴?∽△A B C '''．

小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：

（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A DE '与 ；

（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ； （3）最后，可证得ABC ?∽△A B C '''．

20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ． （1）求证：PAF AED ??∽；

（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ?与AED ?相似，直接写出PA 的长 ．

21．（6分）如图，在ABC ?中，90C ∠=?，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，O 的切线

DE 交AC 于点E ．

（1）求证：E 是AC 中点；

（2）若10AB =，6BC =，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长．

22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217

:82

l y ax ax =--

交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ． （1）求抛物线1l ，2l 的表达式；

（2）当x 的取值范围是 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大； （3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．

23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=?，在射线AN 上取一点B ，使

6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．

（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形； （2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm

0 1 2 3 4 5 /y cm

5.2

4.4

3.8

3.5

8.1

（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）

②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的

图象；

③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt CDE

?斜边CE上的中线时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．

24．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．

（1）当O的半径为3时，在点

1(1,0)

P，

2(3

P1)，

3

7 ( 2

P，0)，

4(5,0)

P中，O的和睦点是；

（2）若点(4,3)

P为O的和睦点，求O的半径r的取值范围；

（3）点A在直线1

y=-上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点(2

E2)，若线段OE上的所有点都

是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标

A

x的取值范围．

2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12

月份）

参考答案与试题解析

一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分 1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( ) A ．直线1x = B ．直线1x =-

C ．直线2x =-

D ．直线2x =

【解答】解：

2223(1)2y x x x =++=++，

∴抛物线的对称轴为直线1x =-．

故选：B ．

2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；

B 、不是中心对称图形，故本选项错误；

C 、不是中心对称图形，故本选项错误；

D 、不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：A ．

3．（3分）如图，ABC ?∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ?和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ?与△A B C '''的面积的比为( )

A ．4:9

B ．9:4

C ．2:3

D ．3:2

【解答】解：ABC ?∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ?和△A B C '''的高，2AD =，3A D ''=，

∴

2

3

AB AD A B A D ==''''， ABC ∴?与△A B C '''的面积的比224

()39

==，

故选：A ．

4．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k

y k x

=>的图象上的两点，

且12y y <． 满足条件的m 值可以是( ) A ．6-

B ．1-

C ． 1

D ． 3

【解答】解：0k >，

∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，

由题意得，02m <<， 故选：C ．

5．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC ∠的度数是( )

A ．15?

B ．30?

C ．45?

D ．60?

【解答】解：如图，连接OC ．

14AB =，7BC =，

7OB OC BC ∴===， OCB ∴?是等边三角形， 60COB ∴∠=?，

1

302

CDB COB ∴∠=∠=?，

故选：B ．

6．（3分）如图，在ABC ?中，90BAC ∠=?，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ?逆时针旋转45?，得到△A B C ''，则图中阴影部分的面积为( )

A ．2

B ．2π

C ．4

D ．4π

【解答】解：在ABC ?中，90BAC ∠=?，4AB AC ==，

2242BC AB AC ∴=+=，45ACB A CB ''∠=∠=?，

∴阴影部分的面积2245(42)114544444236022360

πππ=-??+??-=，

故选：B ．

7．（3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为( )

A ．1-

B ．3-

C ．5-

D ．7-

【解答】解：根据题意知，

点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为(2,0)-，

当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为(1,0)，M点的坐标为(5,0)

-，故点M的横坐标的最小值为5

-，

故选：C．

8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E

∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()

A．B．

C．D．

【解答】解：根据题意，分3个阶段；

①P在OA之间，DM E

∠逐渐减小，到A点时，为36?，

②P在AC之间，DM E

∠保持36?，大小不变，

③P在CO之间，DM E

∠逐渐增大，到O点时，为72?；

又由点P作匀速运动，故①③都是线段；

分析可得：B符合3个阶段的描述；

故选：B．

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 3 ．

【解答】解：正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3， 而正六边形可以分成六个边长的正三角形，

∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为3，

∴正六边形ABCDEF 的边长为3，

故答案为：3

10．（3分）如图，把ABC ?绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 902

α

?-

（用含α的式子表示）．

【解答】解：ABC ?绕着点A 顺时针方向旋转α得到△A B C ''， AC AC ∴='，CAC α∠'=，C C ∠=∠'， 1(180)9022C αα∴∠'=?-=?-，

902

C α

'∴∠=?-

．

故答案为：902

α

?-

．

11．（3分）在反比例函数32m

y x

-=

的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 3

2

m <

． 【解答】解：120x x <<，12y y >，

320m ∴->，

解得：32

m <

， 故答案为：32

m <

． 12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=?，则OC 的长为

3 ．

【解答】解：连接OA ．

PA ，PB 切O 于点A ，B ，

90OAP ∴∠=?，1

302

APO APB ∠=∠=?，

3

633

OA ∴=

=

=60AOP ∠=? 1

32

OC OA ∴==

313．（3分）如图，双曲线k

y x

=

与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20k

ax bx c x

<

<++的解集为 23x x x << ．

【解答】解：由图可知，23x x x <<时，20k

ax bx c x

<<++， 所以，不等式组20k

ax bx c x

<

<++的解集是23x x x <<． 故答案为：23x x x <<．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ?可以看作是AOB ?经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ?得到COD ?的过程： 以原点O 为位似中心，位似比为

1

2

，在原点O 同侧将AOB ?缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ? ．

【解答】解：以原点O 为位似中心，位似比为

1

2

，在原点O 同侧将AOB ?缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ?， 故答案为：以原点O 为位似中心，位似比为1

2

，在原点O 同侧将AOB ?缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ?

15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ?的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 6 步．

【解答】解：90C ∠=?，8AC =步，15BC =步，

2217AB AC BC ∴=+=步，

ABC ∴?的内切圆O 直径815176=+-=步，

故答案为：6．

三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）

16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法） 【解答】解：22410x x --=

21

202x x --= 21

2112x x -+=+

23

(1)2x -=

16

12

x ∴=+

，261x =-．

17．（5分）计算：121

2sin30()8|3|cos 452

-?+--+?．

【解答】解：原式212

22223(2=?+-+

1

122232=+-+

1

222

=

- 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线k

y x

=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．

（1）求k ，a ，b 的值．

（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ?的面积是6，直接写出点P 的坐标 (0,2)或(0,6)- ．

【解答】解：（1）把(,2)M a 、(1,)N b 代入22y x =--中得：222a --=，224b =--=-， 2a ∴=-，4b =-，

即(2,2)M -，(1,4)N -， 把(2,2)M -代入k

y x

=

中，得4k xy ==-， 4k ∴=-，2a =-，4b =-；

（2）设直线22y x =--与y 轴交于点A ，

令0x =，即2y =-，故(0,2)A -， 11

()(12)622

MPN PAM PAN N M S S S PA x x PA ???=+=

?-=??+=， 4PA ∴=

(0,2)P ∴或(0,6)-，

故答案为(0,2)或(0,6)-．

19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程． 已知：如图，在ABC ?和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠． 求证：ABC ?∽△A B C '''．

证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ． 由此得到△A DE '∽△A B C '''．

A DE

B ''∴∠=∠． B B '∠=∠， A DE B '∴∠=∠． A A '∠=∠，

∴△A DE ABC '??．ABC ∴?∽△A B C '''．

小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：

（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ，可以判定所作△A DE '与 ；

（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ； （3）最后，可证得ABC ?∽△A B C '''．

【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：

（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A DE '与△A B C '''相似；

（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与ABC ?全等；

（3）最后，可证得ABC ?∽△A B C '''．

故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△

A B C '''相似；ABC ?全等．

20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ． （1）求证：PAF AED ??∽；

（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ?与AED ?相似，直接写出PA 的长 1或

5

2

．

【解答】（1）证明：正方形ABCD ， //CD AB ∴，90D ∠=?

AED PAF ∴∠=∠，

又

PF AE ⊥，

90PFA D ∴∠=∠=?．

PFA ADE ∴??∽．

（2）解：情况1，当EFP ADE ??∽，且PEF EAD ∠=∠时， 则有//PE AD

∴四边形ADEP 为矩形．

1PA ED ∴==；

情况2，当PFE ADE ??∽，且PEF AED ∠=∠时，

PAF AED ∠=∠， PEF PAF ∴∠=∠． PE PA ∴=． PF AE ⊥，

∴点F 为AE 的中点．

2AE =，

AF ∴=

PFA ADE ??∽，

PA AF

AE DE

=

，

∴2

1=，

52

PA ∴=

∴满足条件的PA 的值为1或

52

． 故答案为1或

52

．

21．（6分）如图，在ABC

∠=?，以BC为直径的O交AB于点D，O的切线

C

?中，90

DE交AC于点E．

（1）求证：E是AC中点；

（2）若10

AB=，6

BC=，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．

【解答】（1）证明：连接CD，

∠=?，BC为O直径，

90

ACB

∴为O切线，且90

ED

∠=?；

ADC

ED切O于点D，

∴=，

EC ED

ECD EDC

∴∠=∠；

∠+∠=∠+∠=?，

90

A ECD ADE EDC

∴∠=∠，

A ADE

∴=，

AE ED

AE CE

∴=，

即E为AC的中点；

BE CE ∴=；

（2）解：连接OD ，

90ACB ∠=?， AC ∴为O 的切线，

DE 是O 的切线，

EO ∴平分CED ∠，

OE CD ∴⊥，F 为CD 的中点，

点E 、O 分别为AC 、BC 的中点， 11

10522

OE AB ∴=

=?=， 在Rt ACB ?中，90ACB ∠=?，10AB =，6BC =，由勾股定理得：8AC =， 在Rt ADC ?中，E 为AC 的中点， 11

8422

DE AC ∴=

=?=， 在Rt EDO ?中，11

6322

OD BC =

=?=，4DE =，由勾股定理得：5OE =， 由三角形的面积公式得：11

22

EDO S DE DO OE DF ?=??=??，

即435DF ?=?， 解得： 2.4DF =，

在Rt DFO ?中，由勾股定理得：2222324 1.8OF DO DF =--．

22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217

:82

l y ax ax =--

交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ． （1）求抛物线1l ，2l 的表达式；