两条直线的位置关系
2.1两条直线的位置关系
教学目标：
1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。
2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。
3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。
4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。
教学重难点
重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。
教学准备实物图片、ppt课件。
我的思考
本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。
本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫.
从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大.
教学设计
教学过程
一、创设情境，引入新课
教师活动：
向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。
【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】
二、建立模型，探索新知
互动探究一、平行线、相交线的概念：
师生活动：
1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位
置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义)
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）
同一平面内的两条直线的位置关系有平行和相交两种。
3、若两直线不相交，则这两条直线在同一平面内是什么位置关系？
板书：（留空）不相交的两条直线叫做平行线。
4、出示立方体框架，谁能指出立方体框架中哪些棱既不
平行也不相交呢？为什么？
5、在留空之处用彩色粉笔填上“在同一平面内。”
6、那么理解平行线时，必须注意什么？
重点给学生强调平行线的三层意思：
（1）“在同一平面”是前提条件；
（2）“不相交”是指两条直线没有交点； （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段（有时我们也说两条射线或两条线段平行，这实际上市指它们所在的直线平行）。
【设计意图：让学生用两支笔动手操作，不但培养了学生的动手能力，还能让学生更深层次的体会到平行线的含义，进一步明确同一平面内两条直线的位置关系。】
互动探究二、对顶角的概念和性质：
教师活动：进入七年级学习以来，大家都有这样的感受：“生活中处处有----数学。”现在请各位同学看一组生活中的图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？（多媒体展示X 型晾衣架、栅栏、剪刀、小孔成像原理等图片）（教师板书，给出对顶角定义）
两个角的两边互为反向延长线，则这两个角叫做对顶角。
教师应关注：（1）对顶角只有在两条直线相交时才出现。
（2）对顶角是指两个角的位置关系。
学生活动：在纸上任意画两条相交直线，分别度量所成的四个角的大小，你发现形成对顶角的两个角的大小有什么关系？
学生动手操作，自己得出结论，教师板书对顶角的性质：
对顶角相等。
牛刀小试：1、如图2，图中共有________对对顶角.
答案：4.
互动探究三、余角、补角的概念和性质：
学生活动：（教师演示ppt ）
计算：
（1）44°+ 46°= ； （2）30°20′34″+ 59°39′26″= ；
（3）10°+ 25°+ 55°= ； （4）96°+ 84°= ；
（5）58°45′+ 121°15′= ； （6）50°+ 75°+ 55°= 。 答案：都填90°。
图 1
图2
学生计算并回答,总结它们的特点.教师判断对错.
教师应关注：
（1）计算的准确性
（2）学生是否认真观察并思考
【设计意图：通过计算复习上节课的知识，设置悬念，调动学生的积极性，更进一步促使渴望尽快的寻求到答案，同时也为判断余角和补角做铺垫。】
师生活动：
A:出示一组互余角B:出示一组互补角
教师演示ppt互为余角.
学生通过观察，回答教师提出的问题.师生总结互为余角的概念.然后，类比互为余角学习互为补角的概念.
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
教师应关注：
（1）学生的语言表达.
（2）学生是否能独立思考并积极参与到数学的问题中.
（3）学生是否真正理解了这两个概念.
【设计意图：教师演示，让学生通过观察，从直观的角度去感受互为余角、补角的概念.并用语言去表达这两个概念，培养口语表达能力. 】
牛刀小试：2
从中，你发现一个锐角的补角比它的余角大______.
答案：表格第一行：58°，148°；第二行：27°37′，117°37′；
第三行：90°- x，180°- x；空格：90°。
3、判断。
（1）一个角有余角也一定有补角.（）（2）一个角有补角也一定有余角. ( ) （3)一个角的补角一定大于这个角.（）
答案：（1）√；（2）×；（3）×。
学生计算并回答，对照答案，教师根据回答给以评价.
教师应关注：
（1）计算的准确性.
（2）是否会用含有未知数的式子表示余角和补角，是否准确理解概念.
【设计意图：通过利用余角和补角的概念来进行计算，一方
面检查是否理解概念；另一方面培养计算能力.】
学生活动：
1、如图3，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？
2、如图4，如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，∠1＝∠3，
那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
学生分组进行讨论，交流并让代表发言.
教师让学生猜想、简单说理、得出结论.根据回答进行引导，并给以积极的评价.并让学生反思这个过程. 教师提出问题，学生类比余角的性质独立解决该问题.
教师应关注：
（1）学生语言是否准确、规范.
（2）几何语言的表达是否准确、规范.
（3）思维是否清晰.
同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
【设计意图：学生有了探究余角的经验，会主动迁移到补角上来，类比余角的性质进行自主探究，从而达到“由扶到放”的目的.从而培养学生独立思考的习惯，以及迁移知识的能力.】 例1、已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数.
分析：可以利用方程思想解决这道题。
解：设这个角为x °，则180 – x = 4（90 - x ），
∴x = 60.
答：这个角是60°。
【设计意图：本例题不但考查学生对概念的理解，同时也渗透方程的思想.学生感觉到几何问题用方程解决更简单.】
牛刀小试：
4、如图5，E 、F 是直线DG 上两点，∠1 = ∠2,∠3 = ∠4 = 90 °，找出图中相等的角并说明理由.
答案：∠5 = ∠6,理由是：等角的余角相等。
本题相对复杂，为了更好让学生得到发展，先让学生独
立思考，然后在进行交流.教师给以评价.
【设计意图：本题是利用余角的性质解决，学生经历“独立
思考——交流——结论”这样一个过程，既培养独立的意
识，又有合作.既充分发表个人的见解，让他们体验成功，
又锻炼了口语表达.】 图3
图4
图5
:5、如图6，已知AOB 是一直线，OC 是∠AOB 的平分线， ∠DOE 是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？
答案：互余：∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠4与∠3；
互补：∠1与∠EOB ，∠3与∠EOB ，∠4与∠AOD ，
∠2与∠AOD ，∠AOC 与∠BOC ，
∠AOC 与∠DOE ，∠BOC 与∠DOE 。
相等：∠AOC=∠BOC=∠DOE ，∠1=∠3，∠2=∠4。 教师应关注：
（1）学生对余角和补角概念的理解，是否会用含有未知数的代数式表示一个角的余角和补角.
（2）学生是否真正理解余角的性质，并能在具体的问题中进行应用.学生的几何语言是否规范、标准.
【设计意图：本题是利用余角和补角的性质、角的平分线和直角定义来解决，学生充分运用所学知识来尝试解决，先独立思考，然后一起讨论，培养学生独立思考的习惯、合作交流的意识，又从多个角度了解、认识这个问题，从而真正做到理解.】
三、归纳小结，认知升华：
学生思考，谈自己的收获和体会.教师给以补充.总结一下内容：
1、同一平面内两条直线的位置关系：平行、相交。
2、概念：（1）对顶角；（2）余角；（3）补角.
3、性质：（1）对顶角性质；（2）余角性质；（3）补角性质。
四、巩固新知，学以致用：
教材第42页习题2.1。
五、布置作业，分层训练：
必做作业：教科书第37页1，2，3
选做作业：
1、在下列4个判断中:
①在同一平面内,不相交的两条线段一定平行；②不相交的两条直线一定平行；③在同一平面内,不平行的两条射线一定相交；④在同一平面内,不平行的两条直线一定相交.其中正确的个数是 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
2、如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A 1 2
B 1
C 1
D 1 2 2 2
3、如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于 ；∠A 的补角等于 。
4、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是 。
5、已知α∠与β∠互补，且α∠与β∠是对顶角，则α∠=_________。
图6
6、已知,24?=∠α且α∠与β∠互余，β∠与γ∠互余，则γ∠的余角和补角的度数分别为_____________________.
7、一个角的补角比这个角的余角的3倍还大10度，求这个角的度数。
答案：1、D ； 2、D ； 3、54°42′，144°42′； 4、60°； 5、90°； 6、24°，114°； 7、50°；
课后评析
教学反思
本课教学是非常成功的一节课，学生的积极性、主动性完全崩发，整个课堂完全就是和谐统一的有机整体.
细细思想从中得出：对于新旧知识具有类似的内容可以用类比的方法，这样省时高效；对于几何的命题的验证，可通过多种方法证明，如本节的“等角的余角相等”，可以通过测量、叠合法、逻辑证明，这样可以让不同的学生得到清晰而深刻的理解；更重要的是通过本课学习知道说明一个几何命题的过程是怎样的，须经历“猜想—推理—结论”这样一个过程，为以后的学习做了铺垫.
两条直线的位置关系教案
课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直 教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的条件王新敞 教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？ 二、讲解新课： 问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？ 用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交 点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞
反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 三、例题讲解： 例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由： （1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程 例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值． 解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞
两条直线的位置关系说课稿
《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点
（3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选
两个平面的位置关系
三.两个平面得位置关系 知识提要 1.空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系. 2.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行． (2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行。 （3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。 3.(1)定义如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． （２)判定如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直. (３)性质（1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线,也垂 直于交线. 4.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平 面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。 5.二面角得平面角以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两 条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。 6.作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三 角形中求解。 课前练习 １.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m ⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它. 解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β） 证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n, 过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。 ， 同理PN⊥ＮＱ． 因此∠ＭＰN＋∠MQN= 180°， 故∠MQN= 90°∠MＰN = 9０° 即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n
检验平面与平面的位置关系
8.5 检验平面与平面的位置关系 上海师范大学第三附属中学吴珍英教学目的：1、掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法；会用合适的工具进行简单的检验操作；能从长方体中找到现成检验的工具。 2、从直线与平面的位置关系检验到平面与平面的位置关系检验的学习，体验观 察、比较和归纳，初步培养学生运用类比的思想。 3、通过学生动手进行简单的实践操作，提高学习兴趣，学会团队合作的精神，同时也深刻 体会到“学以致用”的道理。 教学重点：掌握检验平面与平面垂直、平行的几种方法并会进行简单地检验操作。教学难点：在学习新知的过程中能够培养学生实验操作的意识，学会从实践中去掌握新知识，从旧知识中类比得到新知识。 教学用具：多媒体、铅垂线、长方形纸片、合页型折纸 教学过程：一、新课引入吴老师家新买了一个书柜，但是摆放好之后，总觉得书柜左右倾斜，连放书的搁板都是左高右低的，你作为售后服务员知道问题出在哪里吗？能不能消除吴老师的顾虑呢？ （现实问题的提出引发学生学习的兴趣。）引导学生指出，其实问题的关键就在 于“书柜的左右倾斜” 只要能检验出书柜的左右两个面都与地面是垂直的，那么就不可能倾 斜；而“搁板的左高右低”只要检验两块板是平行的，就不会出现这样的情况。那么怎么去检 验呢？这就是我们今天所要学的内容。 二、新课展开怎么去检验面与面的垂直、平行关系呢？整节都是带着这样一个问题展开。为了 和检验直线与平面的垂直和平行关系相类比提出了以下的问题： 1、我们学过检验的方法吗？（有，直线和平面垂直、平行关系的检验。） 2、那么直线和平面垂直、平行关系是如何检验的？ （一）复习直线和平面垂直检验方法：铅垂线、一副三角尺、合页型折纸过程描述：铅垂 线——如果铅垂线与被检测的直线紧贴，那么直线与水平面垂直；一副三角尺——两把三角 尺相交放置，如果两把三角尺各有一条边紧贴面，且另一条直角边都能紧贴直线则直线与平面 垂直；合页型折纸——合页型折纸直立于平面，如果折痕与直线紧贴，则直线与平面垂直。 （二）平面与平面垂直的检验那么平面与平面的垂直检验可能用什么方法呢？可能用以上的 三种方法。 1、铅垂线实践操作：观察可得课桌的侧面是垂直于地面的，接着用自制的铅垂线检验，观 察铅垂线与课桌侧面的情况；继续观察相邻的两个墙面；老师准备的两个不垂直的平面。 （四人一小组，一人操作，两人观察，一人记录。观察铅垂线是否紧贴课桌侧 面。）
两条直线的位置关系
2.1两条直线的位置关系（第2课时） 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生 的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 二、教学过程 1、创设情境引入新课 观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。 表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足． 设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知 动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
两条直线位置关系判断方法
两条直线的位置关系判断 方法 设平面上两条直线的方程分别为1 1 1 1 2 2 2 2 :0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为112 2 ,a b D a b =112 2 ,x c b D c b -= -112 2 y a c D a c -= - 1 l 和相交?0D ≠ 1 221b a b a ≠? 1 l 和2 l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 1 l 和重合?0===x y D D D 二．比值法 1 l 和相交2 12 1 b b a a ≠ ()0b ,a 2 2≠； 1 l 和垂直?0b a b a 2 21 1=+； 1 l 和平行2 1 212 1 c c b b a a ≠= () 0c ,b ,a 222≠； 1 l 和重合2 1 212 1 c c b b a a == ()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法
1 1 1 2 2 2 :y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交2 1k k ≠ ； 1 2 l l ?与平行2 121 b b k k ≠=， 12l l ?与重合2 121b b k k ==，； 12l l ?与垂直-1 .=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；
两条直线的位置关系及其判定
两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂
直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第
(教案1)2.1两条直线的位置关系
2.1两条直线的位置关系 主备人：祁梅华 教学目标 (一)教学知识点 1.余角、补角及对顶角的定义. 2.余角、补角及对顶角的性质. (二)能力训练要求 1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力. 2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题. (三)情感与价值观要求 通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念. 教学重点、难点 1.互为余角、互为补角的定义及其性质. 2.对顶角的定义及性质. 3、互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解. 教学过程 一、学 1、创设现实情景，引入新课 ［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？ ［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线. 下面大家来看几幅图片：(出示投影片：桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片) 你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？ (同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线) ［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线. 在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案. 相信大家，一定会学得很好. 2、自主探究。 我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示(电脑显示上图).此时：∠1=∠2. 让我们来看看模拟实例(电脑演示：用白球撞击红球，红球反弹后入袋) 下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际). 我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图： 图2－1 其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？ 大家来分组讨论一下.
两条直线位置关系判断方法
两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直
平面与平面之间的位置关系附答案
平面与平面之间的位置关系 [学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示. 知识点一直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系 (1)按公共点个数分类 (2)按直线是否在平面内分类 思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？ 答不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行. 知识点二两个平面的位置关系 答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面. 题型一直线与平面的位置关系 例1下列命题中，正确命题的个数是()
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b； ④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α. A.0 B.2 C.1 D.3 答案 C 解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中， AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC?平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C. 跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面 ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误； A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误； AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误； A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误. 题型二平面与平面的位置关系 例2以下四个命题中，正确的命题有() ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行； ③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这
1_两条直线的位置关系_课时2_教案
第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 课时安排说明: 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。
平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面之间得位置关系 [学习目标]１、了解直线与平面之间得三种位置关系,会用图形语言与符号语言表示、2。了解平面与平面之间得两种位置关系,会用符号语言与图形语言表示。 知识点一直线与平面得位置关系 1。直线与平面得位置关系 (1)按公共点个数分类 错误! (2)按直线就是否在平面内分类 错误! 思考“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”就是相同得意义吗？ 答不就是、前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行、 知识点二两个平面得位置关系
答这两条直线没有公共点,故它们得位置关系就是平行或异面. 题型一直线与平面得位置关系 例1 下列命题中,正确命题得个数就是( ) ①如果ａ,b就是两条直线,a∥ｂ,那么a平行于经过b得任何一个平面; ②如果直线a与平面α满足a∥α,那么a与平面α内得任何一条直线平行; ③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥ｂ; ④如果平面α得同侧有两点A,B到平面α得距离相等,那么ＡB∥α。 A、0 B.2Ｃ、1 D.3 答案C 解析如图,在长方体ABCD—A′B′Ｃ′D′中, AA′∥BＢ′,ＡA′却在过BＢ′得平面ＡＢ′内,故命题①不正确;AA′∥平面B′C,BＣ?平面B′C,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面B′Ｃ,Ａ′D′∥平面Ｂ′C,但ＡＡ′与Ａ′D′相交,所以③不正确;④显然正确.故答案为C、 跟踪训练1 以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b?α,则ａ∥α;②若a∥α,ｂ∥α,则ａ∥ｂ;③若ａ∥b,b∥α,则ａ∥α;④若ａ∥α,ｂ?α,则ａ∥b、其中正确命题得个数就是() A。０B、1C、２D。3 答案A 解析如图所示在长方体ABCD－A′B′Ｃ′D′中,AＢ∥CD,AB?平面ABCD,但ＣD?平面ABＣＤ,故①错误; A′Ｂ′∥平面ＡBCD,B′C′∥平面ＡBＣD,但A′Ｂ′与B′C′相交,故②错误; AＢ∥A′B′,A′B′∥平面ＡＢＣD,但ＡB?平面ＡBCD,故③错误; A′B′∥平面ABCD,BC?平面ABＣD,但A′B′与BC异面,故④错误、
空间中直线与直线之间的位置关系(附规范标准答案)
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
2.1两条直线的位置关系(二)教学设计
第二章相交线与平行线 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等 活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三， 学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”
两个平面的位置关系
三．两个平面的位置关系 知识提要 1. 空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系． 2. (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行． (2)判定 如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面 平行． (3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 3. (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂 直． (2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． (3)性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线，垂直于 另一个平面． (2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于另一个平面的直线，也垂直 于交线． 4. 二面角 平面一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．一 条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900 时称直二面角。 6. 作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关 三角形中求解． 课前练习 1．α、β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它． 解析：m ⊥α，n ⊥β，α⊥β?m ⊥n （或m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β?α⊥β） 证明如下：过不在α、β的任一点P ，作PM ∥m ，PN ∥n ， 过PM 、PN 作平面r 交α于MQ ，交β于NQ ． MQ PM PM m PM m ⊥?⊥?? ??⊥αα//， 同理PN ⊥NQ ． 因此∠MPN ＋∠MQN = 180°，
2.1两条直线的位置关系(二)导学案
第二章 相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 导预习 1. 垂直 2. 点与直线的位置关系 导课堂 第一步：情境创设 问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 2．你还能提出哪些问题？. 第二步：目标展示 知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 第三步：合作探究 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular ），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通 b c a
常用“⊥”表示两直线垂直。 动手画一画1： 工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 说出你的画法和理由. 工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。 归纳结论： 1. 点A和直线m的位置关系有 两种：点A可能在直线m上， 也可能在直线m外。 2.平面内，过一点有且只有 ．．．．一 条直线与已知直线垂直。 2.1—1 2.1—2 你能画出两条互相垂直的直线吗？ 你有哪些方法？小组交流，相互点评 用自己的语言描述你的画法。 图2.1-3 A A m
两条直线的位置关系习题
两条直线的位置关系（1）习题 一、选择题 1、下列说法中，正确的个数是（ ） ①在同一个平面内不相交的两条线段必平行 ②在同一个平面内不相交的两条直线必平行 ③在同一个平面内不平行的两条线段必相交 ④在同一个平面内不平行的两条直线必相交 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 3下列说法正确的是（ ） A 、一个角的补角一定比这个角大 B 、锐角大于它的余角 C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等 D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中 4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（ ） A 、50° B 、150° C 、40° D 、130° 5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则 （ ） A 、 ∠1 =∠2 B 、 ∠1 = ∠3 C 、 ∠2 =∠3 D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3 6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（ ） A 、45° B 、80° C 、75° D 、30° 7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（ ） A 、40° B 、50° C 、65° D 、75° 8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（ ） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不确定 9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 2 A 2 B 2 D 2 C
10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（） A、75° B、105° C、90° D、75°或105° 二、填空题 11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ； 12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量 角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的 根据是； 13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE 拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是； ∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是； 14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ； 15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ； 16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ； 17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=； 三、解答题： 16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数．
两平面的位置关系
一、选择题 1．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②m∥α，n⊥α，则n⊥m；③m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列命题中正确的是() A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面六个命题： ①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③α∥c，β∥c ?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；⑤a∥c，α∥c?a∥α；⑥a∥γ，α∥γ?a∥α. 其中正确的命题是()
A．①④B．①④⑤ C．①②③D．①⑤⑥ 4．(优质试题·北京大兴区期末)已知直线l⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题： ①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β； ④若l⊥m，则α∥β. 其中，正确命题的序号是() A．①②B．③④ C．①③D．②④ 5．下列命题中错误的是() A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 6．在三棱锥S—ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，则在三棱锥的四个面中，两两垂直的平面有() A．1对B．2对 C．3对D．4对
最新2.1两条直线的位置关系说课稿
2.1两条直线的位置关系说课稿 今天我说课的内容是北师版新教材七年级下册第二章第一节《两条直线的位置关系》。下面，我将重点从课标，教材分析，教学建议这三个方面对本节课加以说明。 一、说课标 数学课程目标分为知识与技能、解决问题、数学思考、情感与态度四个维度，新课标指出，有效的数学学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这节课我们的学习目标如下： 1、结合具体情景了解同一平面内两条直线的两种位置关系，能正确判断相交和平行，知道对顶角，余角和补交的概念和运用。 2、结合具体情景体会数学与日常生活的联系。 3、在探索活动中，培养学生的观察、操作、想象等能力，发展初步的空间观念。 教学的重点是让学生理解掌握对顶角、余角、补交的运用。 二、说教材 新数学课程标准将“空间与图形”安排为一个重要的学习领域，强调发展学生的空间观念和空间想象能力。“两条直线的位置关系”就属于“空间与图形”这一领域的内容，它是学生在认识了直线和角等概念的基础上进行教学的，教材通过具体的生活情境，让学生充分感知同一平面内两条直线的两种位置关系。正确认识相交、平行、对顶角、余角、补交等概念是学生今后学习三角形、平行四边形等几何知识的基础。同时，它也为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。 1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的相交与平行的现象。 2、帮助学生初步理解相交与平行、对顶角、余角、补交知识。 3、培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 三、说教法和学法的建议 课堂教学首先是情感成长的过程，然后才是知识成长的过程，学生的学习过程是一
两条直线的位置关系及其判定
教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析 重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.
本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角 ①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则 + = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 当到的角为锐角时，则和的夹角也是 ;当到的角为钝角时，则和的夹角也是 . ②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出. 再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式
两条直线的位置关系教案(七年级下册)
2.1 两条直线的位置关系 教学分析 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）