统编人教A版高中必修第二册《9.2 用样本估计总体》名校精品导学案

9.2.4总体离散程度的估计

知识点一一组数据的方差与标准差

知识点二总体方差与总体标准差

知识点三 样本方差与样本标准差

知识点四 标准差、方差描述数据的特征

标准差刻画了数据的□

01离散程度或□02波动幅度，标准差越大，数据的离散程度□

03越大；标准差越小，数据的离散程度□04越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．

知识点五 分层随机抽样估计总体方差

设层数为2层的分层随机抽样，第1层和第2层包含的样本变量由x 1，x 2，…，x n 及y 1，y 2，…，y n 表示．

样本数 总体数 方差 平均数 第1层 m M s 2x x －

第2层 n

N

s 2y

y －

则总体方差s 2＝M [s 2x ＋(x －－z －)2]＋N [s 2y

＋(y －－z －)2

]M ＋N

1．方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2]，或写成s 2＝1n (x 2

1＋x 22＋…＋x 2n )－x －2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．

2．平均数、方差公式的推广

(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .

(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么 ①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也是s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差是a 2s 2.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方差越大，数据的稳定性越强．( )

(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．( )

(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[x －－2s ，x －＋2s ]内．( )

(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．做一做

(1)下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差

C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0

D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散

(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.

则：①平均命中环数为________； ②命中环数的标准差为________．

(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．

答案 (1)D (2)①7 ②2 (3)2

题型一 样本的标准差与方差的求法

例1 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40； 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．

[解] x －

甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， s 2甲＝

110

×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2

＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，

s 甲＝104.2≈10.208.

x －

乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， 同理s 2乙＝128.8， s 乙＝128.8≈11.349.

对标准差与方差概念的理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：

求这次考试成绩的平均数和标准差．

? ?????注：标准差s ＝ 1n [(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2

]＝ 1n

[(x 21＋x 22＋…＋x 2

n )－n x －2] 解 设第一组数据为x 1，x 2，…，x 20，第二组数据为x 21，x 22，…，x 40，全班平均成绩为x －.

根据题意，有x －

＝90×20＋80×2040＝85，

42

＝120(x 21＋x 22＋…＋x 2

20－20×902)，

62

＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240－20×802)，

∴x 21＋x 22＋…＋x 240＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.

再由变形公式，得s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40x －2)

＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240

－40×852)＝140×(291040－289000)＝51， ∴s ＝51.

题型二 样本标准差、方差的实际应用

例2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：

甲：95 82 88 81 93 79 84 78 乙：83 92 80 95 90 80 85 75 (1)试比较哪个工人的成绩较好；

(2)甲、乙成绩位于x －－s 与x －＋s 之间有多少？

[解] (1)x －甲＝18×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85， x －乙＝18×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.

s 2甲＝18×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2

＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，

s 2乙＝18×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.

∵x －甲＝x －乙，s 2甲

∴甲的成绩较稳定． 综上可知，甲的成绩较好． (2)∵s 甲＝

s 2甲＝35.5≈5.96，

x －甲－s 甲＝79.04，x －

甲＋s 甲＝90.96， ∴甲位于[x －－s ，x －＋s ]之间的数据有4个． 又s 乙＝

s 2乙＝41≈6.4，

x －

乙－s 乙＝78.6，x －乙＋s 乙＝91.4，

∴乙的成绩位于[x －－s ，x －＋s ]之间的有5个．

比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．

从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：

甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙 10

9

8

6

8

7

9

7

8

8

(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为 x －

甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，

乙的平均数为x －

乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8， 甲的标准差为 s 甲＝

110×[(8－8)2＋(9－8)2＋…＋(6－8)2

]＝2，

乙的标准差为 s 乙＝

110×[(10－8)2＋(9－8)2＋…＋(8－8)2]＝305，

故甲的平均数为8，标准差为2，乙的平均数为8，标准差为30

5. (2)∵x －甲＝x －乙，且s 甲>s 乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛. 题型三 标准差、方差的图形分析

例3 样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是( )

A ．第一组

B ．第二组

C ．第三组

D ．第四组

[解析] 第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为

6

3

；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为25

3；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．

[答案] D

由图形分析标准差、方差的大小

从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性

都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案．

甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

答案 C

解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为1

2×2＋12×2)

5×(2

＝2，乙的成绩的方差为1

2×3＋32)＝2.4.故C正确．

5×(1

1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()

A．平均数B．中位数

C．方差D．众数

答案 C

解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．

2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为()

A．40 B．8

C ．210

D ．2 2

答案 D

解析 x －＝1

5×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为

15

×[(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2

]＝2 2. 3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)

答案 丙

解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．

4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1

解析 这组数据的平均数

x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，

则方差s 2＝

(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2

5

＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165

＝0.1.

5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x －

甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x －

乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s 2甲

＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2

＋(103－100)2]＝7

3，

s 2乙

＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2

＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，

又s 2甲>s 2

乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.