一元二次方程与二次函数提高训练题
一元二次方程与二次函数提高训练题
1、已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2
241y x x k =++-的图
象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线
()1
2
y x b b k =
+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 解：（1）由题意得，168(1)0k ?=--≥． ∴3k ≤． ∵k 为正整数，
∴1
23k =，，． （2）当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零； 当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根；
当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根． 综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．
当3k =时，二次函数为2
242y x x =++，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2
246y x x =+-．
（3）设二次函数2
246y x x =+-的图象与x 轴交于
A B 、两点，则(30)A -，
，(10)B ，． y
8 6 4 2
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线12
y x b =
+经过A 点时，可得32b =；
当直线12
y x b =+经过B 点时，可得1
2b =-．
由图象可知，符合题意的(3)b b <的取值范围为13
22
b -<<．
2、已知：关于x 的一元二次方程2
2
2(23)41480x m x m m --+-+=
（1）若0,m >求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若12＜m ＜40的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 证明： []2
2
=2(23)-4414884m m m m ---++（）=
0,m > 840.m ∴+>
∴方程有两个不相等的实数根。 （2）2(23)84
=
(23)212
m m x m m -±+-±+=
∵方程有两个整数根，必须使21m +为整数且m 为整数． 又∵12＜m ＜40， 252181.m ∴<+< ∴ 5＜21m +＜9．
35216,.2
217,24.63
218,.
2m m m m m m +=∴=
+=∴=+=∴=令令令
∴m=24
3、已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc
（c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；
（2）求代数式akc
ab
b k
c +-22)(的值；
（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根. 解：由 kx=x+2，得(k －1) x=2. 依题意 k －1≠0. ∴ 1
2
-=
k x . ∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k －1=1或k －1=2. ∴ k1= 2, k2=3.
（2）解：依题意，二次函数y=ax2－bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a －b+kc, kc = b －a .
∴2
22222222a ab ab
b a ab b a b a ab b a b ak
c ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(
=
.12
2-=--a ab ab
a （3）证明：方程②的判别式为 Δ=(－b)2－4ac= b2－4ac. 由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.
( i ) 若ac<0, 则－4ac>0. 故Δ=b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数 根.
( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a －b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2－4ac= (a+kc)2－4ac=a2+2kac+(kc)2－4ac = a2－2kac+(kc)2+4kac －4ac =(a －kc)2+4ac(k －1). ∵ 方程kx=x+2的根为正实数，
∴ 方程(k －1) x=2的根为正实数. 由 x>0, 2>0, 得 k －1>0. ∴ 4ac(k －1)>0. ∵ (a －kc)2≥0,
∴Δ=(a －kc)2+4ac(k －1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,
∵ 抛物线y=ax2－bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(－b)2－4akc =b2－4akc ≥0. (b2－4ac)－( b2－4akc)=4ac(k －1). 由证法一知 k －1>0, ∴ b2－4ac> b2－4akc ≥0.
∴ Δ= b2－4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.
4、 已知：关于x 的一元二次方程2
2
(21)20x m x m m -+++-=．
（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根12x x ，满足122
11
m x x m +-=+-，求m 的值． （1）[]2
2
(21)4(2)m m m ?=-+-+-
22441448m m m m =++--+ 90=>
∴不论m 取何值，方程总有两个不相等实数根
（2）由原方程可得12(21)9(21)3
22
m m x +±+±=
=
，
∴ 1221x m x m =+=-， －－ ∴ 123x x -=
又∵ 122
11m x x m +-=+- ∴ 2
311
m m +=+-
∴ 4m = －
经检验：4m =符合题意． ∴ m 的值为4．
5\已知关于x 的一元二次方程2
2(4)0x a x a +++=．
(1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 抛物线2
1:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为
2
a
，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移1
8
个单位，得到抛物线2C ．求抛物 线2C 的解析式；
(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式
33222m mn n -+的值．
（1）证明：∵22(4)4216a a a ?=+-?=+， …………………………………1分 而2
0a ≥，
∴2160a +>，即0?>.
∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2
a
x =
时，0y =，
∴2
2()(4)022
a a
a a ?++?
+=. ∴2
30a a +=，即(3)0a a +=.
∵0a ≠，
∴3a =-. ………………………………………………………… 3分
∴抛物线1C 的解析式为2
2
125232()48
y x x x =+-=+-
. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48
--
. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.
∴抛物线2C 的解析式为2
23y x =-. …………………………4分
（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，
∴2
23n m =-，且2
23m n =-.
∴2
2
2()n m m n -=-.
∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴1
2
m n +=-
. ……………………………………………………… 5分 ∵2
23m n =+，2
23n m =+， ∴3
3
222m mn n -+
2
2
222m m mn n n =?-+?
n m mn m n ?++-?+=)3(2)3(
).(3n m += ………………………………………………………………6分
3
2
=-. ………………………………………………………………7分
6、已抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？
（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
略解：（1）由已知有?
??>=?≠-00
12
m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）
又∵1
-=?=
m m
a AB ∴211
2121=?-?=??=?m m OC AB S ABC ∴34=
m 或54=m ∴132312--=x x y 或15
6
512---=x x y
6、如图，抛物线4
)(2
2
c x b a x y ++-=，其中a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、
∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；
（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；
（1）))(()(2
2
c b a c b a c b a -+++=-+=?
∵0>++c b a ，0>-+c b a
y
x
问题图
E
Q F P
M
O N