高中立体几何证明方法及例题
（一）平行与垂直关系的论证
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系; 高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化:
面面平行性质 II
a,
a ,b
a II b
a b A a // b
II
(a//b,b//c a I Ic )
V
线线// 线面平行判定 线面// 面面平行判定1
面面// < --------------------------- < --------------------------- a II
面面平行性质 公理4 II a II , b //
a ,
b a II a II a II
II II II 成直二面角
a
b
a
b
a
a
a
//
b
a
a b
e o
X!
A
O 8
O
/ /
3.平行与垂直关系的转化:
a / /
b 线面垂直判定2 面面平行判定2
2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：(1)找出或作出有关的角;
(3)指出所求作的角；
(2)证明其符合定义; (4)计算大小。
线面垂直性质2
面面平行性质3
4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。 5?唯一性结论：
① 过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行 ② 过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直 ③ 过空间一点，有且只有一个平画与已知直线垂直
应用中常用于反 证袪”或"同一法”
(2)直线与平面所成的角： 0°<0< 90°
(3)二面角：二面角的平面角0°<0< 180 °
(走义法)
(三垂蛭定理法)
(垂面法?江棱门
1.三类角的定义:
(1)异面直线所成的角B:
0°<0< 90 °
a / /b
面面
线面丄
线线
A.60 °
B.45 °
C.30 °
D.120 °
解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，贝U
1 1
EG // — PC , FG // — AB
2 2
???/ EGF 为AB 与PC 所成的角 在厶EGF 中，由余弦定理，
/
EG 2 FG 2 EF 2 52 32 7 1 cos Z EGF
2 ? EG ? FG
2 5 3
2
? AB 与PC 所成的角为180° - 120°= 60° ???选 A
3
B. -
6
由题意：丄4 1
2
【典型例题】
（一）与角有关的问题 例1.
（1）如图，E 、F 分别为三棱锥 P — ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC = 10, AB = 6, EF = 7,则异
面直线AB 与PC 所成的角为（
）
设正四棱锥的高为
解：
斜高为h'
（2 ）已知正四棱锥以棱长为 1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正 四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（
）
① 点P 到平面QEF 的距离为定值；
② 直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值; ③ 二面角P — EF — Q 的大小为定值； ④ 三棱锥P — QEF 的体积为定值 其中正确命题的序号是
二A 1D 1上定点P 到面A 1B 1CD 的距离为定值
???①对，②错
二面角P — EF — Q ,即面PDF 与面A 1B 1CD 所成的角，且平
面角/ PDA 1为定 值，.??③对
因为A 1B 1 // DC ,且EF 为定值，? S QEF 为定值
又P 点到平面QEF 的距离为定值，? V P QEF 为定值，?④对
综上，①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图， MN 和PQ 是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将
PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：
(1 )求MN 和PQ 所成角的大小；
(2)求四面体 M — NPQ 的体积与正方体的体积之比；
1侧棱长PB . h 2
OB 2
6 2
<26 1
■ 2
2
2
? cos Z PBO OB
2 .13
PB
.26
13
2
选A
(3)如图，在正方体
ABCD A 1B 1C 1 D 1中，P 为A 1D 1上的一个定点， Q 为
2
E 、
F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，有下列命题:
A 1
B 1上的任意一点,
解:
平面QEF 即是平面A 1B 1CD
MN ，
O
5 6
A
B
2
3
(3)求二面角M — NQ — P 的大小。
N
z z
C
图①
???/ MEO = 60°
即二面角M — NQ — P 的大小为60°。
解：(1)如图②，作出
MN 、PQ
?/ PQ // “6又厶MNC 为正三角形 ???/ MNC = 60°
??? PQ 与MN 成角为60
(2)
V M
NPQ
V Q PMN
1
3S PMN ? MQ 3
1
6 2S PMN MQ
1
6S pMDN ? MQ
正方体
即四面体M — NPQ 的体积与正方体的体积之比为 1: 6
(3)连结MA 交PQ 于0点，贝U MO 丄PQ
又NP 丄面PAQM ,? NP 丄MO ，贝U MO 丄面PNQ 过O 作OE 丄NQ ，连结 ME ，贝U ME 丄NQ ???/ MEO 为二面角 M — NQ — P 的平面角 在 Rt △ NMQ 中，ME ? NQ = MN ? MQ
设正方体的棱长为 a
ME
2a ? a ..3a
在Rt MEO 中，sin / MEO
MO ME
例3.如图，已知四棱锥 P —ABCD , PB 丄AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面 ABCD 为菱 形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。
(1) 求点P 到平面ABCD 的距离；
(2) 求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。
?/ AD 丄 PB , ? AD 丄 OB （根据
?/ PA = PD ,. OA = OD
于是OB 平分AD ，点E 为AD 中点
? PE 丄 AD
?Z PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角
? Z PEB = 120 °,Z PEO = 60°
:3 3
又PE ,3, ? PO PEsin60°
-.3 ? 二 -
2 2
即为P 点到面ABCD 的距离。
(2)由已知ABCD 为菱形，及△ PAD 为边长为2的正三角形 PA = AB = 2，又易证 PB 丄 BC 故取PB 中点G , PC 中点F 则 AG 丄 PB , GF // BC 又 BC 丄 PB ,. GF 丄 PB
???/ AGF 为面APB 与面CPB 所成的平面角 ?/ GF // BC // AD ，?/ AGF = n-Z GAE
连结GE ，易证 AE 丄平面POB
解：(1)作PO 丄平面 E ,连结PE
2
3
又PE BE 、、3, G 为PB 中点 1
??Z PEG Z PEB 60o
2 ? GE PEcos60°
.3 丄止
2 2