长沙理工大学大一高数期末考试题(精)

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. )(

0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .

（A ）

(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.

2.

　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=

x x x x x

x βα.

（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.

3.

若

()()()0

2x

F x t x f t dt

=-?，其中

()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则

（ ）.

（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；

（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；

（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；

（D ）函数()F x 在0x

=处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.

)

(

)( , )(2)( )(10

=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设

（A ）2

2

x

（B ）

2

22x +（C ）1x - （D ）2x +.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. =

+→x

x x sin 20

)

31(lim .

6. ,)(cos 的一个原函数是已知

x f x x =??x x x

x f d cos )(则 .

7.

lim

(cos cos cos )→∞

-+++=2

2

2

21

n n n

n

n

n π

π

ππ .

8.

=

-+?

2

1

2

12

211

arcsin －

dx x

x x .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数=()y y x 由方程

sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17

7

x x x x ?+-求

11. ．

　求，， 设?--?????≤<-≤=1 32

)(1020

)(dx x f x x x x xe x f x

12.

设函数

)(x f 连续，

=?1

()()g x f xt dt

，且→=0()

lim x f x A x ，A 为常数. 求'()

g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.

13.

求微分方程2ln xy y x x '

+=满足

=-

1(1)9y 的解.

四、 解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线

斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲

线方程.

五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.

(1)

求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设

函数

)

(x f 在

[]

0,1上连续且单调递减，证明对任意的

[,]

∈01q ，

1

()()≥??q f x d x q f x dx

.

17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0

)(0

=?

π

x d x f ，0

cos )(0

=?

π

dx x x f .证明：

在

()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设

?=

x

dx

x f x F 0

)()(）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5.

6

e . 6.c

x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.

3

π

.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=

cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：767u x x dx du =

=

1(1)112

()7(1)71u du du u u u u -=

=-++??原式

1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

11.

解：

1033

()x f x dx xe dx ---=+?

??

3

()x

xd e --=-+??

00

2

32

cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???

　令

321

4

e π

=

--

12. 解：由

(0)0f =，知(0)0g =。

===

??1

()()()x

xt u

f u du

g x f xt dt x

(0)x ≠

02

()()()(0)

x

xf x f u du

g x x x

-'=

≠?

2

0()()A

(0)lim lim

22x

x x f u du

f x

g x x →→'===?

02

()()lim ()lim

22x

x x xf x f u du

A A

g x A x

→→-'==-

=

?，'()g x 在=0x 处连续。

13.

解：2

ln dy y x dx x +=

2

2

(ln )

dx dx

x x y e e xdx C -??=+?

211

ln 39x x x Cx -=

-+

1

(1),09y C =-=，

11ln 39y x x x

=- 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且0

2d x

y y x y

'=+?，

将此方程关于x 求导得y y y '+=''2

特征方程：022

=--r r

解出特征根：.2,121

=-=r r

其通解为

x x e C e C y 221+=-

代入初始条件

y y ()()001='=，得

31

,3221==

C C

故所求曲线方程为：

x x e e y 23132+=

-

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为

)ln ,(00x x ，切线方程：

)(1

ln 00

0x x x x y -=

-

由于切线过原点，解出

e x =0，从而切线方程为：

x e y 1=

则平面图形面积

?-=

-=1

121

)(e dy ey e A y

（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131

e V π=

曲线

x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2

?-=1

22)(dy

e e V y π

D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

)

3125(6

221+-=

-=e e V V V π

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：1

()()q

f x d x q f x dx -??1

()(()())

q

q

q

f x d x q f x d x f x dx =-+???

10

(1)()()q

q

q f x d x q f x dx

=--??

1212[0,][,1]

()()

12(1)()(1)()

0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=

---≥

故有：

1

()()≥??q

f x d x q f x dx

证毕。

17.

证：构造辅助函数：

π

≤≤=?x dt t f x F x

0,)()(0

。其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F

由题设，有

????+===π

π

π

π0

)(sin cos )()(cos cos )(0|dx

x F x x x F x xdF xdx x f ，

有

?=π

sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF

综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存

在

),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .

高

等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小.

(A)

()()x x βα+

(B) ()()x x 22

βα

+

(C)

[])()(1ln x x βα?+

(D)

)()(2x x βα

2. 极限

a

x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1

（B ） e

（C ）

a e cot （D ） a e tan

3.

???

??=≠-+=001

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1

（B ） 0

（C ） e

（D ）

1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=

--+→h h a f h a f h )

2()(lim

（ A ）.

（A ）

)(3a f '

（B ） )(2a f ' (C) )(a f '

（D ）

)(31

a f '

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)

0(ln )ln(lim

>-+→a x a

a x x 的值是

a 1

.

6. 由x x y e

y

x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x

xe

ye x y

x xy

xy ln 2sin 2+++

-

.

7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程

为 13

121

1--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限10(1)lim

x

x x e

x →+-.

解：1

1

ln(1)120

00(1)1

ln(1)lim

lim lim

2x x

x

x x x x e e x x e

e e x x

x +-→→→+--+-===-

10. 已知：||3a =，||26b =，30a b ?=，求||a b ?。

解：

1312

cos 1sin ,13

5cos 2=

-==?=θθθb a b a ，

72

=?b a

11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且

]

,[)()()(b a x dt

t f t x x F x

a

∈-=?，试求出)(x F ''。

解：

??-=x

a

x

a

dt

t tf dt t f x x F )()()(

??=-+='x

a

x

a

dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(

)()(x f x F =''

12. 求 3cos .sin x x dx x ? 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-??

2221111

sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C

---=-+=--+?

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

13. 求

?

-2

3

2

21

x x dx .

令　

1x t =

?

--=21

2

322)1

(11

11dt t t t

原式

=-?dt

t 121

2

32

=arcsin t

12

3

2=

π

6

14. 求函数

2

12x x y +=

的极值与拐点.

解：函数的定义域（－∞，+∞）

2

2)1()1)(1(2x x x y ++-='

322)1()3(4x x x y +--='' 令0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1

0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点

极大值1)1(=y ，极小值1)1(-=-y

0=''y 33

故拐点（-

3，-

2

3），（0，0）（

3，

2

3

）

15. 求由曲线

43x y =

与

23x x y -=所围成的平面图形的面积.

解　:,,

x x x x x x 3

232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123

S x x x dx x x x dx

=-++---??()()3260

2

3024334 =-++---()()x x x x x x 423602340

21632332316

=+=4521347

1

3 16. 设抛物线2

4x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP

?的面积最大.

解：

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程： 点到的距离　的面积

+-==+-=-++-≤≤2104521

5

23

5

132()

?

S x x x x x ()()

=??-++=-++124523

522322

当 '=-+='=S x x x S x ()()4410 当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40

1 此时 所求点为，y =313()

另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()

,(),,(,)

002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题（本大题4分）

17. 设0x >，试证x x e x

+<-1)1(2.

证明：设

0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''， 0)(,

0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。

在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减， 在（0，+∞）内，

),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x

亦即当 x >0时，x x e x

+<-1)1(2 。

高等数学I A

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 18. 函数

???

??????<+<≤>-+=0,sin 1

0,2tan 1,1)

1ln()(x x x x x x x x x f π

的全体连续点的集合是 （ ）

(A) (-∞,+∞)

(B) (-∞,1)

(1,+ ∞)

(C) (-∞,0)

(0, +∞)

(D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)

19.

设0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）

（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）

20.

设在[0，1]上

)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ）

（A ）

)0()1()1()0(f f f f -<'<'

(B)

)1()0()1()0(f f f f '<-<'

(C)

)0()1()0()1(f f f f -<'<'

（D ）

)0()1()0()1(f f f f '<'<-

21.

,1cos sin 2

2

2

4

dx x

x

x M ?-

+=

π

π

?-

+=2

24

3)cos (sin π

πdx x x N ?--=

2

2

4

32)cos sin (π

π

dx x x x P 则（ ）

（A ） M < N < P （B ） P < N < M （C ） P < M < N （D ） N < M < P

二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. 设=->)1arctan (12x x d x （ ）

2. 设

?

+=,

sin )(c x dx x f 则

?

=

dx x f n )()(（ ）

3. 直线方程p z n y m

x +-=

=--65

24，与xoy 平面，yoz 平面都平行，

那么m n p ,,的值各为（ ）

4. =

??

? ??=+∞

→∑2

12

lim

n i n

i x e

n

i

（ ）

三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分）

1. 计算

??? ?

?-→2201sin 1

lim x x x