用matlab模拟带电粒子在非均匀磁场中的运动
本科毕业设计（论文）
( 2014届 )
题目：用matlab 模拟二维带电粒子在非均匀磁场下的运动
学院：数理与信息工程学院
专业：物理学
学生姓名：俞雄挺学号： 10180237 指导教师：翟峰职称：副教授
合作导师：职称：
完成时间：2014 年 05 月 5 日
成绩：
浙江师范大学本科毕业设计(论文)正文
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
英文摘要 (1)
英文关键词 (1)
1 引言 (2)
2 电子在磁场中运动引起的现象及应用 (3)
2.1 全天空图像和紫光图像的极光事件 (4)
2.2 粒子加速器 (4)
2.3 军事中的电磁炮 (4)
2.4 计算机模拟电子在磁场中的运动 (5)
3 计算机模拟电子在磁场运动 (5)
3.1 matlab解微分方程 (5)
3.2 带电拉子在磁场中的运动规律 (6)
3.3 二维带电粒子的蛇形轨道 (7)
4.总结和展望 (11)
参考文献 (12)
摘要: 带电粒子在非均匀磁场中的运动能产生很多有趣的现象和应用。本文用matlab 模拟了二维带电粒子在非均匀磁场中的运动轨迹。将粒子的运动方程转化为一阶常微分方程组，用matlab的ode45命令可求解粒子的运动轨迹。我们模拟的目标是研究蛇形轨道。考虑的垂直磁场有一个零磁场区域。在此区域两侧的磁场都是均匀的，方向相反。在合适的入射态下，我们得到了蛇形轨道。
关键词：matlab；带电粒子；非均匀磁场；蛇形轨道
Matlab simulation on the
two-dimensional movement of charged particles in inhomogeneous magnetic
fields
YU Xiong-ting Director: ZHAI-Feng (Professor)
Abstract：The motion of charged particles in inhomogeneous magnetic field gives rise to many interesting phenomena and applications. In this thesis we simulate the motion of two-dimensional charged particles in inhomogeneous magnetic fields by the matlab software. After the equation of motion is transformed into ordinary differential equations with first order, the orbit of particles can be solved by the ode45 function in matlab. The aim of our simulation is to study the snake orbit.The considered perpendicular magnetic field has a zero-field region. The magnetic fields on the left and right of this region are homogeneous but have opposite directions. Under proper incident conditions, the snake states are obtained.
Key Words: matlab；charged particles; inhomogeneous magnetic fields; snake orbits
1 引言
带电粒子在磁场中的运动时要受到磁场对它的作用力。研究带电粒子在磁场中的运动情况在近代物理学的许多方面有着十分重要的意义，而且有许多的应用，比如回旋加速器、磁聚焦、电子荷质比测定、质谱仪等等[1]。这些应用都涉及到粒子的运动轨迹[1]。在理论上，涉及到带电粒子在磁场中运动情况的问题时, 通常是从物理概念进行研究和总结从而得出的结论。在进行电磁方面的实验时，由于条件的限制, 我们往往不能直观的观察到实验结果。因此我们在探究电子在磁场中的运动的情况时, 往往感到较为抽象, 不易于掌握。另外, 在实际情况中, 有时需要研究拥有一定初始条件入射的带电粒子, 这其中还需要对入射粒子的分布情况( 包括入射速度与入射角度的分布情况) 进行研究。在一般的电磁学实验中对这部分内容的研究, 由于受到实验条件的限制, 一般很难进行。Matlab可以用图象和图形来表征时间和空间变化的物理量或物理现象, 有助于把抽象思维化为形象思维[2], 开拓学生的视野, 激发学习兴趣, 启迪思维, 从而获得一种解决问题的方法。把Matlab 运用于理工科特别是普通物理的教学中, 在理工科教学中引人计算机辅助教学, 改革传统的理工科教学模式, 有很大的应用前景。这些应用对于高中物理教学同样也有一定的帮助。我们采用MATLAB 语言, 编写了一个源程序, 能比较直观形象地模拟和演示带电粒子在磁场中的运动情况，并掌握带电粒子在磁场中的运动路线。显然，计算机模拟已经成为了解决数学、物理学等问题的一个非常有效的方法。
本论文主要研究利用matlab描述二维电子在非均匀磁场中的运动，改变电子的初始状态，得到电子的运动轨迹。论文的主要内容包括：
第二章概述电子在磁场中运动研究历史与现状。综述了与本论文相关的两个不同领域的研究现状，即各种利用电子在磁场中的运动规律在各个领域中取得的成果和利用计算机模拟达到更为直观和形象的描述电子在磁场中运动的研究进展。本章还介绍了生活中由于电子在磁场中运动引起的现象，介绍全天空图像和紫光图像的极光事件、粒子加速器和军事电磁炮[3]。
第三章研究了带电粒子在磁场的运动规律，将洛伦兹力公式作用下的牛顿第二定律转换成一阶微分方程组。给定带电粒子的初始条件和非均匀磁场，用matlab研究并给出带电粒子在磁场中运动状态，得到运动轨迹。
第四章对本论文的研究成果作了简单的总结和展望。
2电子在磁场中运动引起的现象及应用
电磁场作为一种真实的客观存在，已成为研究人员关注的焦点。高能粒子的加速、电子显微镜中的磁聚焦、微观粒子比荷的测定等都是电磁场在高科技中的运用。同时，电磁场在生物，航空等方面也有着重要的作用[4]。在生物方面，在生物医学的研究为人类的健康和安全方面提供依据和便捷，其中有磁场对不同细胞的生物效应与磁场增强抗癌药物杀伤不同肿瘤细胞的机制初探；在航空方面，有在重力场和磁场影响下自旋刚性航天器的周期运动；在科技方面，有脉冲星磁层中带电粒子能损机制的研究，外磁场作用下一维光子晶体的光传输特性研究[5]；在计算机应用方面，有磁场对电解抛光作用计算机模拟分析等等。
带电粒子在磁场中的运动轨迹在各个领域可能得到应用。最近有很多的研究小组研究带电粒子在非均匀磁场中的运动。比如S. M. Badalyan，F. M. Peeters 发表的《Nonhomogeneous magnetic-field-induced magnetic edge states and their transport in a quantum wire》；Kh. Shakouri, S. M. Badalyan, F. M. Peeters发表的,《Helical liquid of snake states》都针对二维电子气体体系，探讨了非均匀磁场产生的蛇形轨道对电子输运性质的影响[6]。Wanhai Chen发表的《The Electron Energy Losses in the Magneticsphere of Pulsar》，探讨了带电粒子同步辐射过程中投射角随时间的演化关系及其应用,分析了共振逆康普顿散射机制对粒子能谱的影响。2013年，发表的《基于全天空图像和紫外图像的极光事件检测与分析》的文章中，杨秋菊等人研究了极光是沿磁力线运动的高能带电粒子沉降到极区电离层高度时激发大气粒子后产生的发光现象。
2.1 全天空图像和紫光图像的极光事件
极光是沿磁力线运动的高能带电粒子沉降到极区电离层高度时激发大气粒
子后产生的发光现象[7]。作为极区日地物理过程（特别是磁层-电离层相互作用）最具代表性的表现形式，人们通过极光形态及其演化的系统观测可以获得磁层和日地空间电磁活动的大量信息，有助于深入研究太阳活动对地球的影响方式与程度，对了解空间天气过程的变化规律具有重要意义。极光研究是空间物理研究领域的重要方向之一，极光的综合观测也成为世界各国极地科学考察活动的重要科考项目。光学成像是应用最早、使用最广泛的极光观测手段，其优点在于能够得到极光的二维图像，并且可以实现对极光的空间运动特性进行连续观测。目前常
用的光学观测包括基于地面的全天空成像仪（All-sky imager, ASI）拍摄的ASI 图像和基于卫星的紫外成像仪（Ultra-violetimager, UVI）拍摄的UVI图像。随着极光系统观测的开展，海量的极光图像数据在逐年累加，如何高效分析和利用这些数据成为各国极光物理研究人员亟待解决的一个问题。
2.2粒子加速器
迄今世界各地建造了数以千计的粒子加速器，其中一小部分用于原子核和粒子物理的基础研究，它们继续向提高能量和改善束流品质方向发展；其余绝大部分都属于以应用粒子射线技术为主的“小”型加速器[8]。粒子加速器的结构一般包括 3个主要部分：①粒子源，用以提供所需加速的粒子，有电子、正电子、质子、反质子以及重离子等等。②真空加速系统，其中有一定形态的加速电场，并且为了使粒子在不受空气分子散射的条件下加速，整个系统放在真空度极高的真空室内。③导引、聚焦系统，用一定形态的电磁场来引导并约束被加速的粒子束，使之沿预定轨道接受电场的加速
2.3军事中的电磁炮
磁力线重接炮（Reconnection Gun）可由上下两个长方形同轴线圈组成，线圈之间有间隙（形成相当于线圈炮的加速线圈），并根据间隙间的物体受到磁场力的原理而工作[9]。当具有一定初速度的长方形炮弹穿过线圈之间的间隙时，炮弹感生的涡流排斥和“截断”磁场的磁力线，当炮弹尾部与线圈边缘拉开缝隙时，原来被“截断”的磁力线在炮弹尾部的缝隙中又被“重接”起来，使原来弯曲的磁力线有被拉直的趋势，由此产生的强磁场力不断作用于炮弹尾部，从而推动其加速并向前发射出去[10]。重接炮可以是一种多级加速的无接触电磁发射装置，没有炮管，但要求炮弹在进入重接炮之前应有一定的初速度，所以它可以被认为是一种多级加速的无接触电磁发射装置
2.4计算机模拟电子在磁场中的运动
由于电磁场看不见，摸不着，它不像普通的“三态”物质那样由原子、分子构成，也没有可见的形态，但其具有可以被检测的运动速度、能量和动量，占有空间。通过 MATLAB 数值模拟模拟带电粒子在恒定磁场中的螺旋运动和磁聚焦现象，让我们对带电粒子在磁场中的运动有了更深的感性认识[11]。用 MATLAB 画出的立体图也更有利于对此的理解，对于对应知识的理解和吸收有很大的帮助。运
用数值模拟方法作出的螺旋线运动和磁聚焦现象的轨迹不仅生动形象, 而且结果是建立在定量计算的基础上的, 不是简单的定性的模拟, 因此更具有科学性与说服力。所以，从理论上用matlab 模拟二维带电粒子在磁场下的运动，以及粒子在非均匀磁场中运动轨迹的研究将更有利于人们进一步认识带点粒子的运动情况。
计算机模拟带电粒子在磁场中的运动轨迹在在物理教学中有诸多应用。1994年谷长寿和高春英等人讨论了如何利用计算机来模拟带电粒子在各种磁场中的运动的轨迹和动态的运动过程, 并给出了用C 语言编写的程序及运行结果[5]。2005年陈洁和姚诺河采用MATLAB 语言, 开发了一个实验CAI 软件, 较直观地模拟和演示了带电粒子在磁场中的运动情况，给出了直观的图象[12]。王海军利用MATLAB中的simulink进行仿真实验如在电路实验的学习和研究, 发现计算机仿真工具虽不能代替学习及研究电路使用的传统方法, 但对人们更直观、高效地理解电路有很大帮助[13]。Simulink是MATLAB的一个扩展, 为动态系统设计与控制策略开发提供直观的、图形化的仿真环境。其具有建模方式直观, 设计及模拟快速、准确,交互式的仿真分析等特点。对于带电粒子在磁场中的磁镜现象，人们都有了一定的认识，但是却不能对其有比较直观形象的想象。为了比较直观形象的认识带电粒子在磁场中的磁镜现象，方瑞银借助MATLAB软件计算带电粒子磁场中的运动方程，对非均匀磁场的磁镜现象进行仿真，使人们对带电粒子在磁场磁镜现象有个更直观的了解。
3.计算机模拟电子在磁场下的运动
3.1 MATLAB解微分方程
龙格-库塔的2阶与4阶改进型求解公式的实现，其指令分别为：
[,t x]=ode23(‘f’,,0,
ts x options)
[,t x]=ode45(‘f’,,0,
ts x options)
其中ts可由系统依据精度要求自动设定，亦可由使用者依据实际需要自己确定，分别说明之。
（1）若令[0,1,,]
t t t f给出，当t s t t t f
=，则输出在指定时刻0,1,,
t tf的等分点上给出，k为步长.
0::
=时，输出在区间[0,]
ts t k tf
（2）若[0,],0
ts t tf t
=为自变量初值，tf为终值，此时，options决定自变量t的维数，t中的时间点不是等间隔的，这是为了保证所需的相对精度，积分
算法改变了步长. 用于设定误差限的参数options 可缺省[14]，此时系统设定相对误差为310-，绝对误差为610-，若自行设定误差限，可用如下语句： options=odeset (‘reltol’,rt , ‘abstol’,at )
这里的rt 与at 分别为设定的相对与绝对误差.
须注意的是无论用哪种方法确定t 的取值方式，0,t tf 必须由使用者确定且应与0x 相匹配. 0x 为初始条件，本例中0[1,0]y =，因为[0,30]ts =，这意味着解曲线(0)1y =，(0)0y '=，一般说，当解n 个未知函数的方程组时，0x 为n 维向量，共含有n 个初始条件[15].两个输出参数是列向量t 与矩阵x ，它们具有相同的行数，而矩阵x 的列数等于方程组的个数。
3.2带电粒子在均匀磁场中的运动规律
在磁感强度为B 的磁场中，带电量为q 、以速度υ运动的带电粒子所受到的作用为称为洛仑兹力，其大小F 的取值范围为 0≤F ≤q υB 。当速度方向与磁场方向平行时，洛仑兹力为零；当速度方向与磁场方向垂直时，洛仑兹力取值最大，为q υB 。如果速度方向与磁场方向夹角为θ，可采用正交分解的方式来处理洛仑兹力大小的计算问题[15]。而洛仑兹力的方向则是用所谓的“右手定则”来判断的。磁场对运动电荷的洛仑兹力作用具备着如下特征，即洛仑兹力必与运动电荷的速度方向垂直，这一特征保证了“洛仑兹力总不做功”。把握住这一特征，对带电粒子在更为复杂的磁场中做复杂运动时的有关问题的分析是极有帮助的。
若运动电荷在匀强磁场中除洛仑兹力外其他力均忽略不计（或均被平衡），则其运动有如下三种形式：
(1)当υ∥B 时，所受洛仑兹力为零，做匀速直线运动；
(2)当υ⊥B 时，所受洛仑力提供向心力，做半径和周期分别为 R=
qB m υ，T=qB
m π2 的匀速圆周运动；
(3)当υ与B 夹一般角度时，由于可以将υ正交分解为υ∥和υ⊥（分别平行于和
垂直于）B ，因此电荷一方向以υ∥的速度在平行于B 的方向上做匀速直线运
动[16]，另一方向以υ⊥的速度在垂直于B 的平面内做匀速圆周运动。运动轨
迹为螺线。
3.3二维带电粒子的蛇形轨道
针对一个质量为m 、电荷量为q 、约束于xoy 平面的带电粒子，我们模拟它在非均匀磁场B 中的运动。为具体起见，取如下形式的非均匀磁场k z x B i z x B B z x ),(),(+= (1)
这样的磁场沿着y 方向是均匀的，可由具有柱对称的铁磁材料或载流导体产生[16]。在只受洛伦兹力作用时，粒子运动方程为
B v q dt
r d m ?=22 (2) 引入m qB w z /=，写出这个方程的分量形式
dt dx w dt y d dt dy w dt
x d -==2222, (3) 为了用matlab 描绘粒子的运动轨迹，我们引入dt dx w x w /,21==，
dt dy w y w /,43==，
将(3)中的两个二阶常微分方程都转化为一阶常微分方程组：
4221,ww dt dw w dt dw ==，2443,ww dt
dw w dt dw -== (4) 给定粒子的初始位置和速度，可用matlab 的ode45命令求解微分方程组(4)。
在垂直磁场的符号随坐标x 交替变化的情形，带电粒子的轨迹是蛇形的[17]。为了模拟蛇形轨道，我们取B z 为)]2/()2/([)(000L x L x B x B z z -Θ---Θ=，其中L 0是零磁场区域的宽度，B z0是磁场的最大值。将B z0取为磁场单位，m qB z /00=ω取为频率单位，L 0取为长度单位。根据微分方程组(4)，用
matlab 编写的程序如下。
function dy = Lorentz2(t, y) %输入方程组(4)
Bz = 1; L0 = 1;
dy = zeros(4, 1);
dy(1) = y(3);
dy(2) = y(4);
if y(1) < -L0 * 0.5; Bzc = Bz;
elseif y(1) > L0 * 0.5; Bzc = -Bz;
else Bzc = 0;
end
dy(3) = y(4) * Bzc;
dy(4) = -y(3) * Bzc;
close all; clear all; clc %用 ode45 命令求解
x0 = 0.2; y0 = 0;
vx0 = 1; vy0 = -1;
ti = 0; tf =12;
options = odeset('RelTol',1e-5,'AbsTol',[1e-5 1e-5 1e-5 1e-5]); [T, Y] = ode45(@Lorentz2, [ti tf], [x0 y0 vx0 vy0], options);
%plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--')
plot(Y(:,1),Y(:,2),'-', 'linewidth', 2); hold on
Bz = 1; L0 = 1;
yy=linspace( min(Y(:, 2)), max(Y(:, 2)), 20 );
xx = -L0 * 0.5 + yy.*0;
plot(xx, yy, 'k--'); hold on
xx = L0 * 0.5 + yy.*0;
plot(xx, yy, 'k--'); hold on
plot(x0, y0, '.', 'MarkerSize', 20, 'color', 'm'); hold on
针对不同的初始运动状态，计算结果见图3-1,3-2和3-3。图中两条虚线之间的区域磁场为零。在零场区域的两侧，磁场的垂直分量大小相等但符号相反。在
图3-1中粒子初始位置坐标是x
0= 0.2，y
= 0，初始速度分量为v
x0
= 1，v
y0
= -1。
粒子从零磁场区入射到右侧的匀强磁场区，经历逆时针圆周运动后回到分界线
x=0.5。在零磁场区经历直线运动到达左侧的匀强磁场区。由于此区域的磁场和右侧的磁场反向，在左侧的匀强磁场区粒子经历顺时针圆周运动，圆心相对上一次圆周运动的圆心沿y轴正向有偏移。到达分界线x=-0.5后再次作直线运动到达分界线x=0.5。然后在右侧匀强磁场区作圆周运动，圆心相对上一次圆周运动的圆心沿y轴正向也有偏移。如此下去，得到的轨道沿 y 轴蜿蜒前行，是蛇形轨道。
图3-2中粒子初始位置坐标是x
0 = 0.8，y
= 0.5，初始速度分量为v
x0
= 0.5，v
y0
= -0.5。这种情形给出的轨道是封闭的。图3-3中粒子初始位置坐标是x
= 0.8，
y 0 = 0.5，初始速度分量为v
x0
= 1，v
y0
= -1。粒子从右侧匀强磁场区开始运动，
经历逆时针圆周运动后回到分界线 x=0.5。在零磁场区经历直线运动到达左侧的匀强磁场区。由于此区域的磁场和右侧的磁场反向，在左侧的匀强磁场区粒子经历顺时针圆周运动，圆心相对上一次圆周运动的圆心沿y轴负向有偏移。到达分界线x=-0.5后再次作直线运动到达分界线x=0.5。然后在右侧匀强磁场区作圆周
运动，圆心相对上一次圆周运动的圆心沿y轴负向也有偏移。如此下去，得到的轨道沿 y 轴蜿蜒前行，是蛇形轨道。因此要得到蛇形轨道，粒子的初始状态需满足一定的条件。
图3-1 电子在非均匀磁场中运动：蛇形轨道
图3-2 电子在非均匀磁场中运动：封闭轨道
图3-3 电子在非均匀磁场中运动：蛇形轨道
最后，我们用matlab模拟磁聚焦现象，编写源代码。
t=0:0.01:2*pi;
a1=0.5.*(t-pi);
for m=[-16:2:16]*pi/180; axis([0 7 -1 1 -0.4 0.4]); grid on;
view(12,18); hold on;
comet3(cos(m).*t,2*sin(m).*cos(a1).^2,2*sin(m).*cos(a1).*sin(a1)); plot3(cos(m).*t,2*sin(m).*cos(a1).^2,2*sin(m).*cos(a1).*sin(a1));
图3-4 模拟磁聚焦现象
4.总结和展望
利用matlab模拟，我们很方便的可以得到电子在磁场中的运动轨迹，容易掌握带电粒子的运动状态。计算机数值模拟的研究方法已成为除实验研究以及理论分析之外的第三种研究手段。利用Matlab 强大的求解偏微分方程和可视化功能模拟各类物理场的实验是成功的。借助偏微分方程工具箱, 我们也可以通过分析静电学、电场、磁场和电磁场的原理而建立偏微分方程, 经过数值计算模拟各类电
磁场问题。该方法不仅为大学物理中电磁场等课程的教学提供了良好便捷的辅助手段, 同时在科研当中为相关电磁场问题的设计分析开辟了另一条途径。在基础物理学习中适当引入计算机模拟方法，将有利于将一些高深的物理知识深入浅出、直观形象地学习。因此在数学和物理上，MATLAB 都被广泛地应用，已经被认为能够有效提高工作效率、改善设计手段的工具软件，掌握了MATLAB 好比掌握了开启这些专业领域另一条捷径。
在不久之后就将步入的教师生涯中，利用MAT LAB 能方便迅速地用图形、图像、声音、动画等表达计算结果的优点, 开展高中物理计算机模拟实验，既能给学生提供直观、形象的教学信息, 使教学活动生动形象, 同时还能开拓学生的学习思路, 激发学习兴趣, 使单调的教学活动成为活跃的双向交流活动, 从而提高教学效率。所以今后我们还可以对以下方面进行研究：
1.利用matlab模拟波的产生和传播；
2.用matlab模拟汽车在转弯处向心力的变化以及凹凸处各种力的关系；
3.用matlab画穏恒磁场的磁力线，静电场的电力线；
虽然本文的研究已近较为完整的完成，但仍然有很多不足之处，希望在以后的研究中能够完善这方面的不足，以提高本论文的研究价值。
参考文献
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