古典概型的特征和概率计算公式

《古典概型的特征和概率计算公式》说课稿（1）

《古典概型的特征和概率计算公式》说课稿

一、教材分析：

《古典概型的特征和概率计算公式》是北师大版普通高中课程标准试验教科书数学必修3第三章第二节第一小节的内容。本节课内容是在学生已经学习了随机事件概率的概念基础上的延续和拓展。古典概型是一种特殊的数学模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率的精确值。它也为后面学习几何概型在思路上做了一个铺垫，在教材中起着承前启后的作用。同时，学习本节课的内容，能够大大激发学生学习数学、应用数学的兴趣。因此本节知识在概率论中占有相当重要的地位。

由于在这节课之前，教材中并没有安排排列组合知识，所以这节课的重点我认为不是“如何计算”，而是让学生通过生活中的实例与数学模型，来理解古典概型的两个特征，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型。所以我设计了这节课的重点和难点为：

1.重点：理解古典概型及其概率计算公式

2.难点：古典概型的判断

二、教学目标分析：

基于上述我对教材的地位和内容的剖析，根据新课程标准中发展学生数学应用意识的基本理念，结合学生已有的知识结构与心理特征，我制定了以下的教学目标：

知识与技能：

1.通过试验理解基本事件的概念和特点；

2.在数学建模过程中，抽象出古典概型的两个基本特征，推导概率的计

算公式；

3.掌握用列举法和分类讨论法解决概率的计算问题。

过程与方法：

通过模拟试验让学生理解古典概型的特征，观察类比各个试验，让学生归纳总结出古典概型公式。

情感态度与价值观：

1.用现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、善

于发现的创新精神，发展学生的数学应用意识；

2.经历公式的推导过程，体验由特殊到一般的归纳推理的数学思想方

法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度；

3.培养学生“理论来源于实践并应用于实践”的辩证思想。

三、教法与学法分析：

数学是一门培育人的思维，发展人的思维的主要学科，因此，在教学中，基于这节课的特点我主要采用引导发现法和问题式教学法教学，运用多媒体等手段构造数学模型，激发学生学习兴趣，引导学生进行观察讨论、归纳总结。鼓励学生自做自评。

五、教学过程分析：

（一）提出问题，引入新课

课前，老师已布置学生分组完成2个试验：

① 掷一枚质地均匀的硬币试验

② 掷一枚质地均匀的骰子的试验。

各组学生展示模拟试验方法，并汇总试验结果，教师汇总并提出问题：

①两个试验的结果分别有几个？

设计意图：引出基本事件的概念。

②在掷骰子的试验中，随机试验“出现偶数点”可以由哪些基本事件

组成？

设计意图：这一环节主要采用学生思考讨论，教师引导和学生归纳的方法，鼓励学生用自己的语言描述基本事件的特点。一方面激发学生的学习兴趣，另一方面，通过分析，加深对事件与基本事件关系的认识，为引出古典概型定义做好铺垫。

（二）思考交流，形成概念

例1．从字母a、b、c、d中任意取出两个不同的字母，

①在这个试验中，有哪些基本事件？(ab、ac、ad、bc、bd、

cd)

②与前两个试验相比，它们的共同特点是什么？

共同点：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件出现的可能性都相等。

设计意图：

①引导学生列出基本事件，进一步巩固基本事件的概念；

②通过问题的解决让学生体验由特殊到一般的数学思想方法的应用，

从而引出古典概型的概念。（我们把具有这样两个特征的随机试

验的数学模型称为古典概型）

例2.向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是

等可能的，你认为这是古典概型吗？

设计意图：理解判断古典概型的主分依据，进一步巩固概念，突破难

点。

（三）观察比较、探究公式

1.思考：在古典概型下，基本事件出现的概率是多少？随机事件的概率又如何计算？

2.观察：掷硬币与掷骰子的试验（电脑演示）

3.问题：（1）掷硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？

（2）在掷骰子的试验中，“出现偶数点”的随机试验的概率是多少？

（3）你能从这些试验中找出规律，总结出在古典概型下某一事

件A发生的概率计算公式吗？（）

设计意图：学生了解了古典概型以后，就要引导学生探究古典概型下概率的计算公式，为了突破这一重点，我设计了这样的三个环节。一方面是要学生带着问题观察试验，有目的地去找寻答案，有效利用课堂时间。另一方面在老师的引导和启发下让学生带着好奇去观察数学模型演示，在学生回答3个问题的过程中，逐步感受由特殊到一般的数学归纳思想，体验由实践到理论的认知的升华。

（四）例题分析、加深理解

例3.在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需选取2个质量盘装在拉力器上，有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同质量的盘：2.5 kg，5 kg，10 kg和20kg，每次都随机地从2个箱子中各取一个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器。

（1）随机地从2个箱子中各取一个质量盘，共有多少种可能的结

果？用表格列出所有可能的结果。

（2）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：

（Ⅰ）20 kg（Ⅱ）30 kg（Ⅲ）不超过10 kg（Ⅳ）超过10 kg （3）如果一个人不能拉动超过22 kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？

设计意图：

（1）通过对题目的分析，进一步巩固古典概型的定义；

（2）进一步理解古典概型下概率的计算方法；

（3）学会用图表法和列举法分析问题。

（五）总结概括，加深理解

1．古典概型：我们将具有：

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

3．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数常用的方法是列举法，注意做到不重不漏。

（六）布置作业，课后巩固

古典概型说课稿

龙江县第一中学李学苹

各位评委老师好，我今天说课的题目是《古典概型》，下面我将从教材分析、教学目标分析、教法学法分析和教学过程分析四个方面

加以阐述

一教材分析

1.教材的地位和作用

本节课是必修三第三章《概率》的第二节的内容——古典概型。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，学好古典概型可以为其它概率知识的学习奠定基础，同时也有利于理解概率的概念，并且能够通过计算一些事件的概率来解释生活中的一些问题。

2.重点、难点分析

教学的重点是理解古典概型的概念及利用古典概型概率公式求解随机事件的概率。这节课让学生们通过生活中的实例与数学模型理解古典概型的两个特征和初步学会把一些实际问题转化为古典概型。教学难点是古典概型的判断；古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数。由于学生们没有学习排列组合的知识，所以在求基本事件个数上存在一定的困难，在这里我通过鼓励学生们尝试列表和画树形图等方法来解决困难。

二教学目标分析

根据学生已有的知识以及《新课程标准的要求》，我制定了以下教学目标：

1、知识目标：

（1）理解古典概型及其概率计算公式，

（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2、能力目标

经历公式的推导过程，体验由特殊到一般的数学思想方法的应用。

3、情感目标：

（1）利用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。

（2）培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想。

三教法与学法分析

教法:根据本节课的特点，我采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

学法：指导学生在我创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。

四教学过程分析

我把教学过程分为了六个部分：（1）提出问题、引出新课；（2）通过类比、引出概念；（3）观察类比、推导公式；（4）例题分析、推广应用；（5）探究思考、巩固深化；（6）总结概括、加深理解。（1）提出问题、引出新课

在课前，布置学生六人一组，完成下面两个模拟试验：

试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币

试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子

在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受。

最后我将汇总学生的方法、结果和感受，并提出以下两个问题？

1．用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？

2．根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？

设计意图:

1、通过掷硬币与掷骰子两个接近于生活的试验的设计，激发学生的学习兴趣；

2、引导学生试验探究和观察类比，找出共性，总结归纳出基本事件的特点，为引出古典概型的定义做铺垫；

3、鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力

（2）通过类比、引出概念

例1从字母｛a，b，c，d｝中任意取出两个不同字母的实验中，有那些基本事件？

问题：上述试验和例1的共同特点是什么？

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等。

设计意图：

通过例题，引导学生们用列举法列举基本事件，并让学生们结合之前做的实验，共同探讨试验与例1中基本事件有什么共同点？结合讨论的结果引出古典概型的概念。通过问题的解决让学生体验由特殊到一般的数学思维。

思考交流：

（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？

2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？

设计意图：两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点。突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。并为后边学习几何概型的必要性埋下伏笔。

（3）观察类比、推导公式

了解古典概型的概念之后，就要引领学生探究概率公式。为了突破这个重点我让学生在观察掷硬币与掷骰子实验同时思考我提出的三个问题

（1）掷硬币试验中，“正面朝上”与“反面朝上”的概率分别是多少？

（2）在掷骰子试验中，“出现偶数点”的随机试验的概率是多少？（3）你能从这些试验中找出规律，总结出公式吗？

设计意图：

让学生们带着问题观察试验，多媒体的引入为学生提供了广阔的空间，通过直观感受，使学生对规律的总结快速而准确。在回答这三个问题的过程中，逐步感受由特殊性演变到一般性，最终得出结论。过程自然而有序，让学生体验到认知的自然升华，感受数学美妙的意境。

（4）例题分析、推广应用

例2、同时掷两个骰子，计算

（1）一共有多少种不同的结果？

（2）其中向上的点数之和为5的结果有多少？

（3）向上的点数之和为5的概率是多少？

设计意图：

掌握列举法，培养学生运用数形结合的思想解决问题的能力，突破本节课的教学难点

（5）探究思考、巩固深化

问题思考：为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？

设计意图：

通过对此思考题的研究，培养学生观察、对比的能力，理解公式使用的两个前提，突出本节课的教学重点。教学中学生的分析讨论体现了学生的主体地位，逐渐养成自主探究的能力。

（6）总结概括、加深理解

1．我们将具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型。

2．古典概型计算任何事件的概率计算公式

A A P 所包含的基本事件的个数（）＝基本事件的总数

3．求某个随机事件A 包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表），应做到不重不漏。 设计意图：

使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想，让学生的认知更上一层

概率论与数理统计公式大全

第1章 随机事件及其概率 例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A 为“至少有一张红桃”，B 为“恰有2张红桃”，C 为“恰有5张方块”，求条件概率P (B |A )，P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”，B 表示事件“活到25岁以上”，显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P

例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不 超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机抽取10件来检验，若发现其中有次品，则认 为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”，A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”，则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分， 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中，含次品数为1、2、3、4件的概率分别约 为0.221、0.398、0.179、0.080。 贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章 随机变量及其分布 1离散型 随机变量 P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， （1）0≥k p ， （2）∑∞ ==1 1 k k p 2连续 型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 ● E(a)=a ，其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． 2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： （1） 计算一次试验的基本事件总数n ; （2） 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; （3） 依公式()m P A n =求值; （4） 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

古典概型的特征和概率计算公式

高中数学必修（3）导学案 2013-2014学年第二学期高一年级班姓名编写者使用时间2018-6-23 课题：§3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 1 课时学习目标： 1、知识与技能 （1）正确理解基本事件的概念，准确求出基本事件及其个数； （2）正确理解古典改性的两个特征； （3）掌握古典概型的概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率. 2、过程与方法 鼓励学生通过实践、观察、类比，归纳总结出古典概型的概率计算公式，提高学生利用数学知识解决实际问题的能力. 3、情感态度与价值观 通过各种有趣的，贴近学生生活的素材，进一步培养学生用随机的观点认识世界，激发学生学习数学的热情和兴趣. 学习重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式. 学习难点：计算试验的所有可能结果数以及某事件所包含的结果数. 基础达标： 1、古典概型 （1）定义：具有以下两个特征的的数学模型称为古典概型（古典的概率模型）． ①试验的所有可能结果，每个试验只出现其中的结果． ②每一个试验结果出现的可能性． （2）基本事件 试验的称为基本事件． 2、随机事件A的概率 对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由组成．如果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为P(A)＝．合作交流： 1、判断下列事件是否为古典概型． （1）在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否发芽； （2）射击运动员向一靶心进行射击，射中与射不中； （3）向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的； （4）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次有放回摸球，每次摸一个； （5）如果袋内装有n个不同的球，现从中依次无放回摸球，每次摸一个． 2、一个口袋装有大小相同的1个白球和与它编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个 球．求： （1）找出所有基本事件；（2）事件“摸出2个黑球”包括多少个基本事件？ 3、袋中装有6个形状完全相同的小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球， 求下列事件的概率． （1）A：取出的两球都是白球；（2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 思考探究： 1、在标准化的考试中既有单选题，又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有的正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？ 2、使用古典概型概率的计算公式时应注意些什么？

高中数学 第三章 概率 3_2_1 古典概型的特征和概率计算公式教案 北师大版必修31

2．1 古典概型的特征和概率计算公式 整体设计 教学分析 本节课是高中数学(必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标 1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神． 2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数 的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法，试验的所有可能结果数 学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度． 重点难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率． 教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．

概率统计公式大全汇总

第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率计算方法总结3

概率计算方法总结 在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事 件）=0；0

2.1古典概型的特征和概率计算公式

§3.2.1 古典概型学案 学习目标：(1)理解古典概型及其概率计算公式； (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 学习重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率. 学习难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含 的基本事件的个数和试验中基本事件的总数. 学习过程： 一．复习旧知 1.什么是随机事件？ 2.什么是互斥事件？ 当事件A 、B 互斥时：___________)(=B A P Y ； 3.概率是怎样定义的？ 一般地，如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可 以将事件A 发生的频率()n f A 作为事件A 发生的概率的近似值,___)()(=≈A f A P n 二．预习课本P125-128,并回答以下问题： 1.试验一：掷一枚质地均匀的硬币一次，观察可能出现几种结果？ 试验二：掷一颗均匀的骰子一次，观察可能出现几种结果？ 我们把试验中可能出现的每一个随机事件称为__________. 2.问题：（1）在一次试验中，会同时出现 “1点” 与 “2点” 这两个基本事件吗？ （2）事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？事件“出现的点数不大于4”呢？ 从以上两个问题归纳出基本事件的特点： （1）任何两个基本事件都是_________; （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成_________________. 3. 从a ，b,c,d 中任意取出两个不同字母的实验中，有几个基本事件？分别是什么？ 三．新课探究 1.古典概型 问题：试验一、二中每个基本事件出现的可能性是多大？ 观察对比，发现上述两个试验的共同特点： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有___________; （2）每个基本事件出现的可能性___________________. 我们将具有这两个特点的概率模型称为_______________. 例：判断下列是否为古典概型？为什么？ （1）同时抛掷两枚质地均匀的硬币； （2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个： 命中10环、命中9环……命中5环和不中环。 【归纳总结】 2.古典概型的概率 在上面的掷骰子的试验中，事件A “出现偶数点”发生的概率是多少？

《概率统计》公式符号汇总表及复习策略

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 （共4页） 第一章均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：如：∑=j ij i p P ，?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用点点对应法、连续型用分布函数法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续：?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义：)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--=

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑ = j ij i p P ，? +∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(1 1n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(1 1n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,max =、{}Y X N ,min =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-= dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：?? ? +∞∞ -+∞ ∞-+∞ ∞ -= = dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(2 2 2 X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2 ))(()( 连续：? +∞ ∞ --= dx x f X E x X D X )())(()(2

概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F

离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量，数学期望定义 连续型随机变量，数学期望定义 E(a)=a ，其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质 D(a)=0，其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 协方差的性质 独立与相关 独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

概率论与数理统计练习题随机事件与古典概型

概率论与数理统计练习题 第一次 随机事件与古典概型 一．填空 1. 设S 为样本空间，A,B,C 是任意的三个随机事件，根据概率的性质，则（1）P(A )=＿＿＿＿＿＿＿；(2)P(B-A)=P(B A )=＿＿＿＿＿＿＿；(3)P(A U B U C)= ＿＿＿＿＿； 2. 设A,B,C 是三个随机事件，试以A ，B ，C 的运算来表示下列事件：（1）仅有A 发生＿＿＿＿＿＿＿；（2）A ，B ，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（3）A ，B ，C 中恰有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（4）A ，B ，C 中最多有一个发生＿＿＿＿＿＿＿；（5）A ，B ，C 都不发生＿＿＿＿＿＿＿；（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生＿＿＿＿＿＿＿； 3. A,B,C 是三个随机事件，且p(A)=p(B)=p(C)=1/4, P(AC)=1/8;P(AB)=P(BC)=0,则A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A ，B ，C 中都发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿；A ，B ，C 都不发生的概率为: ＿＿＿＿＿＿＿； 4. 袋中有n 只球,记有号码 1,2,3,…………n . (n>5) 则事件(1)任意取出两球,号码为1,2的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(2)任意取出三球,没有号码为1的概率为＿＿＿＿＿＿＿；(3) 任意取出五球,号码1,2,3中至少出现一个的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 5. 从一批由此及彼5件正品,5件次品组成的产品中,任意取出三件产品,则其中恰有一件次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿； 二．某码头只能容纳一只船，现预知将独立来到两只船，且在24小时内各时刻来到的可能性都相同，如果他们需要的停靠时间分别为3小时与4小时，试求有一只船要在江中等待的概率？ 三．已知A ，B 两个事件满足条件P(AB)=P(A B ),且P(A)=p; 求P(B). 第二次 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 一．填空 1． 条件概率的计算公式P(B|A)= ＿＿＿＿＿＿＿；乘法公式P(AB)= ＿＿＿＿＿； 2． 12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，若 12,,,n A A A 两两互斥，且 1 2 n A A A =S,则对S 中的事件B 有全概率公式＿＿＿＿＿＿＿； 3． 设B 为样本空间S 的一个事件, 123,,A A A 为样本空间 S 的一个事件组,且满足：（1） 123,,A A A 互不相容，且P(i A )>0 (I=1,2,3) ; (2) S=1 23A A A 则贝叶斯公式为＿＿＿； 4 两事件A,B 相互独立的充要条件为＿＿＿＿＿＿＿； 5 已知在10只晶体管中，有2只次品，在其中取两次，每次随机地取一只，做不放回抽样，则（1） 两只都是正品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（1）一只正品，一只为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（3）两只都为次品的概率为＿＿＿＿＿＿＿；（4）第二次取出的是次品的概率＿＿＿＿＿＿＿； 二．某工厂有甲，乙，丙3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，3 个车间中产品的废品率分别为5%，4%，2%，求全厂产品的废品率。 已知男人中有5%的是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者。问此人是男人的概率。 三．一个机床有1/3的时间加工零件A ，其余时间加工零件B ；加工A 时，停车的概率为0.3，加工B 时停

概率统计公式大全

概率统计公式大全

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第1章随机事件及其概率 （1） 排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2） 加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3） 一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4） 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5） 基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6） 事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Φ，则表示A与B不可能同时发

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， ) (x f X ， ) (x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ) ,(y x f ， ) ,(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑=j ij i p P ，? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或) ()()(y f x f y x f Y X =， ) ,,(11n X X 与),,(2 1 n Y Y 独立),,(1 1 n X X f ?与),,(2 1 n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、 {} Y X N ,m in =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章

古典概型知识点与习题

古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 知识聚焦不简单罗列 古典概型 （1）基本事件的特点：①任何两个基本事件是的.②任何事件（除不可能事件）都可以表示成的和. （2）古典概型的特点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有个，即. ②每个基本事件出现的可能性，即. （3）概率公式：P（A）＝. 正本清源不单纯记忆 ■链接教材 1.[教材改编]从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有个. 2.[教材改编]抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为. ■易错问题 3.等可能事件：等可能性. 从两男两女四人中任意抽取两个人，出现的结果：①两男；②两女；③一男一女，其中概率相等的事件为.

4.古典概型：关键在于基本事件的计数. 从1，3，5，7中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是. ■通性通法 5.古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式. [2015·昆明模拟]投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为. 6.小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是. 探究点一基本事件及事件的构成 1做抛掷两颗骰子的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，写出： （1）试验的基本事件； （2）事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件； （3）事件“出现点数相等”包含的基本事件； （4）事件“出现点数之和大于10”包含的基本事件.

概率论公式总结70877

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式：从原因计算结果 Bayes 公式：从结果找原因 ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ，λλ1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()()(1)(b x a a b x f ≤≤-=

分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ) 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ()('x f x F =

概率和统计公式大全

第一章 随机事件和概率 （1）排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种 方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 （3）一些常 见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A ，B ，C ，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的 关系与运算 ①关系： 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示