秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦(解析版)
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：
注：方程：2
2
1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆；
②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。
秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：2
2
1mx ny +=交于
两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，
Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22
1122
22 1 (1)
1 (2)
mx ny mx ny ?+=??+=??,
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m
k k k x n
=-=中中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 题型一：求值 ：
〖母题1〗已知椭圆
22
1164
x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得：
16421-=?-k ，得2
1
-=k ，直线方程为：240x y --=。 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆
于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，
,则E 的方程为 ( ) A.
1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19182
2=+y x 【解析】:由结论可得：
22
2111a
b -=?-，得222b a =，3=
c ，选D 。 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )
A.22136x y -=
B.22145x y -=
C.22163x y -=
D.22154
x y -= 【解析】:由结论可得：
()()22
1231501215a
b =----?--，得2245b a =，3=
c ，选B 。 3.(高考题)已知倾斜角为?45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB . （1）求点B 的坐标;
（2）若直线l 与双曲线1:222
=-y a
x C )0(>a 相交于E 、F 两点,且线段EF 的中点坐标为)1,4(,求a 的值.
【解析】:(1)=+=4
cos
231π
B x 4，14
sin
232=+-=π
B y ，点B 的坐标为()4,1。
(2)点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线1:222
=-y a
x C 交于两点E 、F ，EF 中点为（4，
1），则有E 、F 既在直线上又在曲线上；
Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?；??????????=-???=-)2(1)1(12
22
2
22
12
21y a x y a x ；
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：2
1.
EF y k x a =中中，代入点)1,4(，得2a =。 4.(2015年新课标全国卷II20)已知椭圆)0(9:222>=+m m y x C ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,线段AB 的中点为M .
（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点??
?
??m m ,3,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时l 的 斜率,若不能,说明理由.
【解析】:（1）点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线)0(9:222>=+m m y x C 交于两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ；
Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?；????????=+???=+)
2(9)
1(92
222222121m y x m y x ； Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：9-=?l OM k k ；
（2）设l 的斜率为k ，由9.-=k x y M M ①，??? ??
-=-3m x k m y M M ②，联立得???? ??+-++-939,)9(33222k km m k m k mk M ，得???
?
??+-++-9618,)9(326222k km m k m k mk P ，代入椭圆中得：
0817*******=+-+-k k k k ，()()
098922=+-+k k k ，74±=k ，即存在。
5.(高考题)已知椭圆C
的焦点分别为1(F -
和2F ,长轴长为6,设直线2y x =+交椭圆C 于 ,A B 两点,求线段AB 的中点坐标.
【解析】:法一：同上，作差得出中点的一个关系，又中点在直线上，解方程组得中点坐标为：：91,55??
- ???
。 法二：直线与椭圆联立，利用根与系数的关系。
6.(高考题)设椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>过点()0,4,离心率为35．
（1）求C 的方程； （2）求过点()3,0且斜率为
4
5
的直线被C 所截线段的中点坐标. 【解析】:(1)=b 4，5
3
=a c ，得5,3==a c ，所以椭圆C 的方程为：
2212516x y +=; (2)同上，用两种方法可得中点坐标为：36,25??
-
??
?。 7.(2013年全国高考试题新课标卷II)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M:22
221x y a b
+=(0>>b a )右焦点的直
线03=-+y x 交M 于A,B 两点,且P 为AB 的中点,OP 的斜率为12
. （1）求M 的方程；
（2）C,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB,求四边形ACBD 面积的最大值。
【解析】:(1)代入右焦点()0,c 可得3=
c ，由点差法可得2
1
22-=-=?a b k k AB
OP ，得222b a =，所以椭圆
的方程为：13
62
2=+y x ; (2) 设CD 方程：m x y +=，AB 、CD 方程与椭圆联立，由弦长公式得：
364=
AB ，22183
22m CD -=，33<<-m ，当0=m 时，638max =S 。 题型二：求当AB k 为定值时，平行弦中点轨迹：
1.(高考题)（1）求右焦点坐标是)0,2(,且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程;
（2）已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a .设斜率为k 的直线l ,交椭圆C 于A B 、 两点,AB 的中点
为M .证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标
出椭圆的中心.
【解析】:(1)法一：设椭圆标准方程为：12222=+b y a x ，42
2+=b a ，即椭圆方程为142222=++b
y b x ，
∵ 点(2,2--)在椭圆上，∴
12442
2=++b
b ，解得42=b 或22-=b (舍)，由此得82
=a ，即椭圆的标准方程为：14
82
2=+y x 。
法二：利用椭圆的定义，点)2,2(--到两焦点)0,2(、()0,2-距离之和为a 2=24。
（2）step1：设直线与曲线：设直线l 的方程为m kx y +=，与椭圆C 交于A (11,x y )，B (22,x y )两点；
Step2：直线与曲线联立：???
??=++=122
22b y a
x m
kx y ，得02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ；
Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：∵ 0>?，∴ 2222k a b m +<,即
2
2
2
2
2
2
k a b m k a b +<<+-，则2122222,a km x x b a k +=-+2122
22
2b m
y y b a k +=+； Step4：代入得出结论：∴AB 中点M 的坐标为???
?
?
?++-22222222,
k a b m b k a b km
a ，即线段AB 的中点M 在过原
点的直线022=+y k a x b 上。
法二：利用点差法可得（步骤同上）：2
2y a k x b
?=-中中，即22a y x kb =-中中，即在过原点的定直线上。
（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线
MN ；再作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的
中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心。
（4）
题型三：求当直线l 恒过一定点(),e f 时，得定点弦中点轨迹：利用AB y f
k x e
-=
-中中消去AB k 。
1.(高考题)设椭圆方程为:14
2
2
=+y x ,过点()0,1M 的直线l 交椭圆于点,A B ,O 是坐标原点,点P 满足)(2
1
OB OA OP +=
,点N 的坐标为)21,21(,当l 绕点M 旋转时.
求:（1）动点P 的轨迹方程; （2）求PN 的最值.
【解析】:（1）Step1：设l 的方程可设为1y kx =+；
Step2：直线与曲线联立：?????=++=14122
y x kx y ，得032)4(22=-++kx x k ； Step3：由韦达定理写出根与系数的关系：???
????
+=++-=+.48,42221221k y y k
k x x ；
Step4：代入关系式：1()2OP OA OB =
+=1212(,)22x x y y ++22
4
(,)44k k k
-=++，设点P 的坐标为),,(y x 则???
???
?
+=+-=.44,422
k y k k x 消去参数k 得0422=-+y y x (或利用点差法)； (2)2111,.1644x x ≤
-≤≤22211||()()22NP x y =-+-217
3()612
x =-++，当41=x 时，||取最小值，
最小值为
6
1
;41-=x 当时，||NP 取得最大值,
最大值为6。 秒杀题型二：抛物线的中点弦问题：
秒杀策略：抛物线：ⅰ.2
2.y px y k p =?=中;
点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：px y 22
=交于两点A 、B ，AB
中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ，
Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?；????????=???=)
2(2)
1(222212
1px y px y
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：2
2.y px y k p =?=中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 同理可推出以下三个重要结论： ⅱ.2
2.y px y k p =-?=-中； ⅲ.2
2.x py x p k =?=中； ⅳ.k p x py x ?-=?-=中22. 方法二步骤规范模板：
①设直线AB 的方程；
②直线与曲线联立，整理成关于x (或y )的一元二次方程； ③写出根与系数的关系； ④利用2
,22
1
21y y y x x x +=+=
中中，把根与系数的关系代入。 题型：求值 ：
〖母题2〗若直线l 过抛物线2
4y x =的焦点,与抛物线交于A,B 两点,且线段AB 中点的横坐标为2,求线段AB 的长.
【解析】:621=++=p x x AB 。
1.(2009年新课标全国卷13)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点为F ()0,1,直线l 与抛物线C 相交于 B A ,两点.若AB 的中点为(2,2),则直线l 的方程为__________.
【解析】:x y 42
=,代入结论可得22=?k ，1=k ，直线方程为x y =。
2.(高考题)已知抛物线2
2(0)y px p =>,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的 中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.1x =
B.1x =-
C.2x =
D.2x =-
【解析】:x y 42
=,代入结论可得22=?k ，1=k ，直线方程为x y =。
3.(高考题)已知F 是抛物线x y C 4:2
=的焦点,,A B 是C 上的两个点,线段AB 的中点为(22)M ，
,则ABF ?的面积等于 ．
【解析】:代入结论可得22=?k ，1=k ，直线AB 方程为x y =，面积为2。 4.(高考题)设F 为抛物线C :x y 42
=的焦点,过点()0,1-P 的直线l 交抛物线C 于B A ,
两点,点Q 为线段AB 的中点,若2=FQ ,则直线l 的斜率等于 ． 【解析】:设)1(:+=x k y l ，k y 2=
中，代入直线得12
2-=k
x 中，代入2=FQ 得1±=k 。 5.(高考题)已知点()2,8A 在抛物线y p x 2
2=上,?A B C 的重心与此抛物线的焦点F 重合(如图).
（1（2）求线段BC 中点M 的坐标; （3）求BC 所在直线的方程. 【解析】:（1）232,(8,0)y x F =； （2）
121228
8,033
x x y y ++++==，可得()11,4-； （3）由点差法可得（步骤同上）：.y k p =中,可得:4k =-,利用点斜式可得BC 方程为：4400x y +-=。