小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A

①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?

②()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△

AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

O

D

C

B

A

根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？

A B

C

D

G

321

⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC

S

=；

⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)

任意四边形、梯形与相似模

型

【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD

的面积的1

3

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

A

B C D

O

H G

A B

C D O

在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知

条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD

BCD

S

S

=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知

条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．

解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．

∵1

3ABD BCD S S ??=，

∴1

3AH CG =，

∴1

3AOD DOC S S ??=，

∴1

3

AO CO =，

∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．

【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是

2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

O

G

F E

C

B

A

⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=，所以

OCF △的面积为844-=；

⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==，

那么112

21233

GCE CEF S S ??==?=+．

【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形

的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

7

67

6

E

D

C

B

A

在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ?:()CE DE ?。同理有

ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ??。所以有ABE

S

×CDE

S

=ADE

S

×BCE

S

，也就是说在所有凸

四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即6ABE S ?=7ADE S ?，所以有ABE 与ADE 的面积比为7:6，

ABE S =7392167?=+公顷，ADE S =6

391867

?=+公顷。

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。

B

D

B

D

连接AD 、CD 、BC 。

则可根据格点面积公式，可以得到ABC ?的面积为：4

1122

+

-=，ACD ?的面积为：331 3.52+

-=，ABD ?的面积为：4

2132

+-=． 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ??===，所以4412

3471111

ABO ABD S S ??=

?=?=+．

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积。

D

因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ?=

+，510277

DBC S ?=?=．

【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形

AEG 的面积．

A

B

C

D

E

F G

A

B

C

D

E

F

G

连接EF ．

因为2BE EC =，CF FD =，所以1111

()23212

DEF ABCD ABCD

S S S

?=??=．

因为12AED ABCD S S ?=，根据蝴蝶定理，11

::6:1212

AG GF ==，

所以6613

677414

AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ???===?=．

所以1322

21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ???=-=-==，

即三角形AEG 的面积是2

7

．

【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长

方形ABCD 的面积．

A

B

C

D E

F G

A

B

C

D E

F G

连接AE ，FE ．

因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111

()53210

DEF

ABCD ABCD S S S =??=长方形长方形． 因为12AED

ABCD S S =长方形，11

::5:1210

AG GF ==，所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD

S

=平方厘米．因为1

6

AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．

【例 8】 如图，已知正方形

ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角

形BDG 的面积．

A

B A

B

设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．

由蝴蝶定理可知::BED BCD EO OC S S

=，而14

BED

ABCD S

S =，12

BCD

ABCD

S

S =，

所以::1:2BED

BCD

EO OC S

S

==，故1

3

EO EC =．

由于F 为CE 中点，所以1

2

EF EC =

，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =． 由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以11

28

BFD BED ABCD

S S S

==，

那么111

1010 6.2521616

BGD BFD ABCD S S S ===??=（平方厘米）．

【例 9】 如图，在ABC ?中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ?、ABO

?和BON ?的面积分别是3、2、1，则MNC ?的面积是 ．

N

M O

C

B

A

这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．

根据蝴蝶定理得 313

22

AOM BON MON AOB S S S S ??????=

==

设MON S x ?=，根据共边定理我们可以得 ANM ABM

MNC MBC

S S S S ????=

，3332

2312

x

x ++=

++，解得22.5x =．

【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456

B B B B B

B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．

B 4

B A 6

5

4

A 3

A

A B 4

B A 6

5

4

3

A A

如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ?一样大小的三角形组成，只要求出了

23A OA ?的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．

连接63A A 、61B B 、63B A ．

设116A B B ?的面积为”1“，则126B A B ?面积为”1“，126A A B ?面积为”2“，那么636A A B ?面积为126A A B ?的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212?+?=，263A B A ?的面积为”6“，123B A A ?的面积为2．

根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ??===，故23616A OA S ?=

+，123127

B A A S ?=，

所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ?=

梯形，即23A OA ?的面积为梯形1236A A A A 面积的1

7，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的13

6147

?=，所以阴影部分面积

为32009111487??

?-= ???(平方厘米)．

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

A B

C

D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2

a b +．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)

【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．

设1S 为2

a 份，3S 为2

b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==?，所以

1a =；那么211S a ==，42S a b =?=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根

据梯形蝴蝶定理，()()2

2

129S a b =+=+=．

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，

已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．

35

25O

A

B

C

D

根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB

BOC

S

S a ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，

2222::5:725:49AOB

DOC

S

S

a b ===，所以49DOC

S =(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为

25353549144+++=(平方厘米)．

【例 12】

梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三

角形BOC 面积的2

3

，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．

O

A B

C D 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC

S S

ab b ==，可以求出:2:3a b =， 再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD

BOC

S

S

a b ===．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且

3

5

ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？

A

B

C

D

O

根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以5

3

CO =．

【例 14】

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？

A B

C

D

O

根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b ==，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ??===，

所以()

24cm AOD S ?=．

【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ?、COD ?的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．

O

D

C

B

A

根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACOD S S a b ==，所以:2:3a b =，

2:::3:2AOD AOB S S ab a b a ===，3

1.2 1.82

AOD COB S S ==?=，

1.2 1.8 1.8

2.77.5ABCD S =+++=梯形．

【例 15】

如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形

BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．

H

G F

E D

C

B A

H

G F

E

D

C

B A

如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等

于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是

112334+=．

【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形

2的面积为36，则三角形1的面积为________．

321 3

21

做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形

3，所以1的面积就是4361645?=+，3的面积就是5

362045

?=+．

【例 16】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．

B

A

因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道

22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△

份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．

A B

C

D

E

F

连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2

129S =

+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD

S

=(平方厘米)．

【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面

积．

D

A

因为,E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

3AOE OFB S S ==△△份，9AOB S =△份，(13)ADE BCF S S ==+△△份，因此正方形的面积为244(13)24+++=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S ==阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米．

【例 18】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面

积．

D

D

方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为

26322?÷÷=平方厘米．

由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO

S S

=，所以34

DEO

DEF

S

S =，而

2DEF

ADE

S

S

==平方厘米，所以3

2 1.54

DEO

S

=?=平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米．

方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S =△ 份，2(13)16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S ==+=△△份，因此

416424ABCD S =++=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =?=长方形平方厘米，所以 3.5

S =阴影平方厘米

【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE

的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．

B

B

连接AC ．

由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE

AOC

DOE

AOD

S S

S

S

=??=，所以6AOC

S

=(平方

厘米)，9AOD

S

=(平方厘米)，又6915ABC

ACD

S

S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为

61521+=(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影

部分的面积是 平方厘米．

B

B

连接AE ．

由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=． 根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故236OCD S ?=， 所以6OCD S ?=(平方厘米)．

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单

位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．

B

B

连接AE ．

由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=．

根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故216OCD S ?=，所以4OCD S ?=(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED 中，()11

1681222

ADE ABED S S ?==?+=(平方厘米)，

所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米)，

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米)．

【例 20】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ?的面积是5平方厘米，CED ?的面

积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？

F

A

B

C

D E

10

5 F

A

B C

D

E

10

5

连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平方厘

米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520?÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为

()2010260+?=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米)．

【巩固】如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ?的面积是4平方厘米，CED ?的面积是6

平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？

6

4A

B C

D

E

F

6

4A

B C D

E

F

(法1)连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相

等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649?÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()96230+?=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．

(法2)由题意可知，4263EF EC ==，根据相似三角形性质，2

3

ED EF EB EC ==，所以三角形BCE 的面积为：2

693

÷

=(平方厘米)．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230?=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．

【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，

OB 的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？

B

因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54，又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积为

5491696÷?=，根据四边形的对角线性质知道：BEO △的面积为：54549630.375?÷=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.625+-=(平方厘米).

【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块

的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

?

8

5

2O A B C D

E

F

?

8

5

2O A B

C

D

E

F

连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S

?=，又根据蝴蝶定理，

EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=，所以4EOD S ?=(平方厘

米)，4812ECD S ?=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米，四边形

OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．

【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB 的

长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

六年级奥数——蝴蝶模型 燕尾定理练习题 教案

蝴蝶模型和燕尾定理练习题 1、如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. D E F C B A D E F C B A D E F C B A 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以 初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1 152 ABD ABC S S ==△△． 根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC = =△△，BD DC =1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以1 7.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1 103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而21 1032 CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5． 2、(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于 点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． X Q P A B C X Q P A B C 4 4 11 X Q P C B A 【解析】 方法一：连接PQ ． 由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S = ，11 26 BPQ BCQ ABC S S S == ． 由蝴蝶定理知，21 :::4:136 ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S === ， 所以44122 6 2.455255 ABX ABP ABC ABC S S S S ==?==?= ． 方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++?=△

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一 方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系。 类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型 ① S 1 ? S 3 = S 2 ? S 4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）； ② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC （左：右 = 左和：右和） 类型 2：梯形中的蝴蝶模型 ① S 2 = S 4 ； ② S 1 ? S 3 = S 2 ? S 4 ； ③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++== ④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方，左右= ⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b ) 2 【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由 陆地面积是 6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC ，CF=FD ，求△AEG 的面积． 【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且△ABO 的面积 等于△BOC 面积的32 ，求△AOD 与△BOC 的面积之比． 专题：图形问题之蝴蝶模型

几何五大模型 蝴蝶模型教学内容

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对角线的比例关系。 板块一 任意四边形模型 【例题精讲】 例1 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【举一反三】 1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知。 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC=？ A B C D G 32 1 例2 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O(如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的，且AO=2，DO=3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O

② 221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明) 例3 如图，22S =，34S =，求梯形的面积。 S 4 S 3S 2 S 1 【举一反三】 1、如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米． 3525 O A B C D 例4 如图，梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例 2】 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模 型

B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 3】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得 出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

(word完整版)四年级奥数详解蝴蝶模型

详解蝴蝶模型 同学们大家好，今天我们来讲一下十分重要的蝴蝶模型的知识总结，推导过程就不写啦，上课老师都讲过的哟。 首先，蝴蝶模型是四边形中的模型哦！同学们可不要在三角形或者其他边形中去考虑使用蝴蝶模型呀。 一、任意四边形蝴蝶模型 如图，在任意四边形ABCD中连接四边形的两条对角线，会出现S1S3和S2S4两只蝴蝶。 我们有两个结论： （1）S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等，不是相加！)。想想特殊的四边形有哪些，这个结论在它们身上同样成立吗？ （2）S△ABD:S△BDC=AO：OC，和S△ADC:S△ABC=DO:OB(大三角形的面积比等于它们内部线段之比，或者叫它们的伤口之比：△ABD的伤口是AO，△BCD的伤口是OC，所以它们俩的面积之比就是AO:OC啦！)

二、梯形蝴蝶模型 如图，仍然是把梯形的对角线相连，仍然有两只蝴蝶，我们的结论是（1）因为梯形也是四边形，所以任意四边形蝴蝶模型的结论当然还成立啦：S1×S3=S2×S4(对角面积相乘相等）； （2）S2=S4（不平行的蝴蝶翅膀一样大）； （3）若梯形上底与下底之比为a:b，则图中四块小三角形的面积之比为 (注意：平行的蝴蝶的两个翅膀的面积份数是a的平方份和b的平方份！而且切记切记：该结论只能通过上下底的比求出四个小三角形的面积份数，而不能直接求面积)； 其实知识点就这么多，关键是怎么运用。 蝴蝶模型到底应该在什么时候用，又该怎么用呢？

首先，交叉！蝴蝶模型一定是在有两条线段交叉的时候使用，所以我们看到交叉一定要连接这两条交叉的线段的四个顶点去构造四边形呀！ 其次，蝴蝶找到了，就看该蝴蝶是任意四边形还是梯形。有平行那肯定是梯形啦！ 再次，如果是梯形蝴蝶，那我们还要考虑到底是使用不平行蝴蝶翅膀一样大的结论，还是使用已知上下底之比标份数的结论。若图中有边长之比，那往往应该找出梯形上下底之比去求每一块儿的份数来求解了。 举个例子： ABCD是平行四边形，ABED是梯形，三角形ODE的面积是6平方厘米，BC:CE=3:2,求阴影面积 首先我们看到AE和DC是交叉的，所以我们应该连接AC构造蝴蝶。如下图：

六年级奥数蝴蝶模型(供参考)

蝴蝶模型 一、蝴蝶模型与任意四边形 在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，两组相对三角形面积之积相等。 推导：由等积变形模型可知： 二、蝴蝶模型与梯形 ① ② 推导：① 同上 ② 过点A 作三角形ABC 的高1h ，过点D 作 △BCD 的高2h 21h h =∴（两平行线之间高相 等） 三、蝴蝶模型与平行四边形 （一） ① ② 推导：① 同上 ② BCD ABC S S ??= ACD BCD S S ??= （同底等高） 即：对角平行四边形面积乘积相等 （在平行四边形ABCD 内作两条分别平行于两组相对边的线段GH 、EF ） 推导：连接GE 、EH 、HF 、FG ，过点E 作EM 垂直于GH 于点M 同理可得：321S S OGF =∴? 221S S OFH =? 421 S S EOH =? 由蝴蝶定理可知：EOH OGF OFH OGE S S S S ?????=? 四、蝴蝶模型与长方形 （一） ① ②

即：对角长方形面积乘积相等 五、蝴蝶模型与正方形 “子母图”——两共线相邻的正方形 在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b 、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。 例1：如下图所示，在梯形ABCD 中，对角线BD ，AC 相交于点O ，△AOD 的面积是6，△AOB 的面积是4，那么梯形ABCD 的面积是多少？ 分析：梯形ABCD 是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC 和三角形DOC 的面积，进而可以求出梯形ABCD 的面积。 解：由蝴蝶定理可知：S ?BOC =S ?AOD =6 ∴S ?DOC =6×6÷4=9 ∴梯形ABCD 的面积是9+6+4+6=25 答：梯形ABCD 的面积是25。 例2：如图，求阴影部分的面积。（单位cm 2） 分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等”，可直接求出阴影部分的面积。 解：S 阴影=28×6÷12=14（cm 2） 答：阴影部分的面积为14平方厘米。 例3：下图是两个正方形，大正方形边长是8，小正方形边长是6，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC ，所以AC 平行于GE ，由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG 和三角形COE 面积相等，因此，阴影部分的面积就等于三角形GCE 的面积，即小正方形面积的一半。 解：连接AC D F

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长 度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ， 所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+． 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。 【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)-精选.

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形，被对角线、 分成四个部分，△面积为1平方千米，△面积为2平方千米，△的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 任意四边形、梯形与相似模型

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面 积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的 面积等于三角形BCD 的面积的13 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外 乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵13 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=，

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ 任意四边形、梯形与相似模 型

B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862， 根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

小升初几何重点考查内容————(五大模型——蝴蝶模型与燕尾模型)

(★★★) 如图，长方形ABCD 中，BE ∶EC ＝2∶3，DF ∶FC ＝1∶2，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积。

(★★★) 在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是多少平方厘米。 (★★★) 如图，在梯形ABCD中，AD∶BE＝4∶3，BE∶EC＝2∶3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ (★★★) 在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO的面积是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？ (★★★★) 如图，E在AC上，D在BC上，且AE∶EC＝2∶3，BD∶DC＝1∶2，AD与BE交于点F。四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积是______。

(★★★★★) 如图在△ABC 中， 2 3 DC EA FB DB EC FA ===，求 GHI ABC ??的面积的面积的值。 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那 么三角形ABC 的面积是___________。 A ．2.5 B ．4.5 C ．6.5 D ．8.5 E F D C B A

2．如图，正方形ABCD 面积为1，M 是AD 边上的中点，求图中阴影部分的面积。 A ． 13 B ． 34 C ． 49 D ． 14 3．如图：在边长为1的正方形ABCD 中，BE ＝2EC ，DF ＝2FC ；求四边形ABGD 的面积。 A ．13 B ．34 C ．12 D ．14 4．如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的 面积为6，则ABX △的面积等于 。 A ．2 B ．2.4 C ．3 D ．3.6 X Q P A B C 5．如图所示，三角形BDF 、三角形CEF 、三角形BCF 的面积分别是2、3、4，问四边形 ADFE 的面积是多少？ A ．185 B ．215 C ．395 D ．135 6．如图，三角形ABC 中，AF ∶FB ＝BD ∶DC ＝CE ∶AE ＝3∶2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积。 A ．18 B ．17 C ．20 D ． 19

六年级奥数蝴蝶模型

型蝶模蝴一、蝴蝶模型与任意四边形两组相对三角形面积之积相等。在任意四边形中，两对角线将四边形分成四个三角形，由等积变形模型可知：推导： 二、蝴蝶模型与梯形SS??S?S①4123SS? ②21同上推导：①h DABC的高作，过点②过点A作三角形1h的高△BCD2hh??相等）（两平行线之间高21三、蝴蝶模型与平 行四边形S?S?S?S（一）①4321 S?SS??S②4213：①同上推导SS? S?S ②（同底等高）ACD?BCDBCD?ABC??SS?S?S?即：对角平行四边形面积乘积相等（二）4231 ）内作两条分别平行于两组相对边的线段GH、EF（在平行四边形ABCD M垂直于GH于点HF、FG，过点E作EMGE推导：连接、EH、111SS???S?SSS同理可得：4EOH?OGF?OFH?32222S??S?SS由蝴蝶定理可知： SS??SS?①（一）4213 EOH?OFHOGE??OGF?四、蝴蝶模型与长方形 S?S?SS?②4132 ?S?S?SS即：对角长方形面积（二）4123 乘积相等 五、蝴蝶模型与正方形 “子母图”——两共线相邻的正方形 在上面两个图形中，每组正方形的对角线均互相平行，即a//b、c//d 重要结论：两共线相邻的正方形对角线互相平行。 例1：如下图所示，在梯形ABCD中，对角线BD，AC相交于点O，△AOD的面积是6，△AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？ 分析：梯形ABCD是四个三角形面积的总和，现已经知道两个三角形的面积，由蝴蝶定理容易求出三角形BOC和三角形DOC的面积，进而可以求出梯形ABCD的面积。

解：由蝴蝶定理可知：6 B A O 4 C D 的面积是梯形 答：梯形ABCD的面积是25。2cm）2：如图，求阴影部分的面积。（单位例，可直接求出阴影部分的分析：由长方形中的蝴蝶定理“对角长方形面积乘积相等” 面积。12 28 cm（2）解：阴影6 答：阴影部分的面积为14平方厘米。求图中阴影部分的面积。，小正方形边长是6下图是两个正方形，3：大正方形边长是8，例（单位：厘米）分析：图中阴影部分的面积不能通过面积公式直接得出，因此要将其转化为容易算的，GEAC平行于部分。由“子母图中对角线互相平行”这一重要结论可知，连接AC，所以面积相等，因此，阴影部分的面积就等和三角形COE由梯形的蝴蝶定理可知，三角形AOG GCE的面积，即小正方形面积的一半。于三角形D A AC 解：连接G F GE ∵AC∥O ∴由梯形的蝴蝶定理可知： B E C cm（2）∴阴 平方厘米。18答：阴影部分的面积为

小学奥数几何五大模型蝴蝶模型

任意四边形、 梯形与相似模型 模型三 蝴蝶模型 （任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 （ “蝴蝶定理” ）： ①S 1:S 2 S 4 : S 3或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ② AO :OC S 1 S 2 : S 4 S 3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 例 1】 （ 小数报竞赛活动试题 ） 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分， △ AOB 面积为 1 平方千米， △BOC 面积为 2 平方千米 ，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 分析】 根据蝴蝶定理求得 S △AOD 3 1 2 1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5 7.5平 求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG:GC ？ 方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米 巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面积已知， D

⑵根据蝴蝶定理， AG:GC 1 2 : 3 6 1:3． （？？？ ） 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O （如图所示 ） 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的 面积的 1 ，且 AO 2， DO 3，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 ___________ 倍。 3 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条 件 S VABD : S VBCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面 积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于H ，CG 垂直 BD 于G ，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵ AO :OC S ABD :S BDC 1:3 ， ∴OC 2 3 6 ， 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、△OEF 、△ODF 、 △BOE 的面积依次是 2、 4、4和6。求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积 。 ⑴根据题意可知， △BCD 的面积为 2 4 4 6 16，那么 △BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8， 所以 △OCF 的面积为 8 4 4； ⑵由于 △BCO 的面积为 8，△BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8 6 2， 根据蝴蝶定理， EG:FG S COE : S COF 2:4 1: 2 ，所以 S GCE :S GCF EG:FG 1:2 ， 解析】 ∴OC :OD 6:3 2:1 ． 解法二：作 AH BD 于H ，CG BD 于G ． ∵ S ABD ∴AH ∴ S AOD ∴AO 1 S ， S BCD ， 3 BCD 1 CG ， 3 1 S ， S DOC ， 3 1 CO ， 3 ∴OC 2 3 6， ∴OC :OD 6:3 2:1 ． 解析】