高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用
一、知识网络
二、高考考点?１、导数定义的认知与应用；
?2、求导公式与运算法则的运用;
? 3、导数的几何意义；
?4、导数在研究函数单调性上的应用;
５、导数在寻求函数的极值或最值的应用；
6、导数在解决实际问题中的应用。??三、知识要点? (一)导数?１、导数的概念?（1)导数的定义
（Ⅰ)设函数在点及其附近有定义,当自变量x在处有增量△x（△ｘ可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比
,叫做函数在点到这间的平均变化率。如果
时,有极限,则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率）,记作 ,即
。
?(Ⅱ）如果函数在开区间(）内每一点都可导，则说在开区间()内可导,此时,对于开区间(）内每一个确定的值 ,都对应着一个确定的导数 ,这样在开区间(）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间( )内的导函数(简称导数),记作或, 即。??认知：
（Ⅰ)函数的导数是以ｘ为自变量的函数，而函数在点处的导数是一个数值;在点处的导数是的导函数当
时的函数值。
（Ⅱ)求函数在点处的导数的三部曲:
①求函数的增量 ;?
②求平均变化率；
③求极限?上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。?? (2)导数的几何意义:?函数在点处的导数，是曲线在点
处的切线的斜率。?
(3)函数的可导与连续的关系
函数的可导与连续既有联系又有区别:?（Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续;?若函数在开区间(）内可导,则在开区间（）内连续(可
导一定连续）。??事实上，若函数在点处可导，则有
此
时,?
?
?
?记 ,则有即在点处连续。?（Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。?反例：在点处连续，但在点处无导数。
事实上，在点处的增量?当
时，, ；?当时，,
由此可知，不存在，故在点处不可导。??2、求导公式与
求导运算法则
（１）基本函数的导数(求导公式）
公式1 常数的导数：(c为常数），即常数的导数等于0。??公式2 幂函
数的导数:。?
公式3 正弦函数的导数:。??公式4 余弦函数的导数：
??公式5 对数函数的导数:? (Ⅰ)；
?（Ⅱ）
公式6 指数函数的导数:
(Ⅰ)；
(2）可导函数四则运算的求导法则
?（Ⅱ)。??
设为可导函数，则有?法则1 ;
法则2 ;
?法则3 。??3、复合函数的导数?（1)复合函数的求导法则
设，复合成以ｘ为自变量的函数,则复合函数
对自变量x的导数，等于已知函数对中间变量的导数 ,乘以中间变量u对自变量x的导数 ,?即。??引申:设
,复合成函数，则有
（2）认知? (Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出,由第一层中间变量的函数结构设出，由第二层中间变量的函数结构设出 ,由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量为自变量x的简单函数为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：
；?
（Ⅱ)运用上述法则求复合函数导数的解题思路?①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数;
?②求导:明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；??③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数,并作以适当化简或整理。
1、函数的单调性
二、导数的应用?
(１）导数的符号与函数的单调性：?一般地，设函数在某个区间内可导,则
若为增函数;若为减函数；若在某个区间内恒有 ,
则在这一区间上为常函数。??（2）利用导数求函数单调性的步骤?（Ⅰ）确定函数
的定义域；?? (Ⅱ)求导数；??（Ⅲ)令，解出相应的x的范围当时,在相应区间上为增函数;当时在相应区间上为
减函数。?
（3)强调与认知
(Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式确定的x的取值集合为Ａ，由确定的x的取值范围为B,则应用 ;??（Ⅱ)在某一区间内（或)是函数在这一区间上为增（或减)函数的充分（不必要)条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点,并且在对函数划分单调区间时,除去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点,它们也可能是增、减区间的分界点。??举例：（1)是Ｒ上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x＝0时，。? (2）在点x=0处连续,点x=０处不可导，但在(-∞，０)内递减，在（0，+∞)内递增。
2、函数的极值
（１)函数的极值的定义
设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都有 ,则说是函数的一个极大值，记作 ;
如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值,记作。
?极大值与极小值统称极值
认知：由函数的极值定义可知:? (Ⅰ）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得;?
(Ⅱ）极值是一个局部性概念;一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值,并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；?
（Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数在内的极大值点,极小值点交替出现。?
(2)函数的极值的判定?设函数可导,且在点处连续，判定是极大(小)值的方法是? (Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；
(Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧 ,则为极小值；
注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数的导数研究中悟出这一点。??(３)探求函数极值的步骤：?（Ⅰ）求导数；?
(Ⅱ)求方程的实根及不存在的点;?
考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符号：若左正右负,则在这一点取得极大值，若左负右正,则在这一点取得极小值。?
3、函数的最大值与最小值
（１)定理?若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。
?认知：?（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念:最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。??（Ⅱ)函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性)，极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝
对性),最大(小）值可能是某个极大(小）值,也可能是区间端点处的函数值。??(Ⅲ)若
在开区间内可导,且有唯一的极大（小）值，则这一极大(小）值即为最大(小)值。
（2)探求步骤：
设函数在上连续，在内可导，则探求函数在上的最大值与最小值的步骤如下:?（I )求在内的极值;
（ IＩ）求在定义区间端点处的函数值 ,；
?（ IIＩ )将的各极值与 ,比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。?
引申:若函数在上连续，则的极值或最值也可能在不可导的点处取得。
对此，如果仅仅是求函数的最值,则可将上述步骤简化：
( I )求出的导数为0的点及导数不存在的点(这两种点称为可疑点);? ( II )计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值,从中获得所求最
大值与最小值。??（３)最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具,基本解题思路为：
（ I )认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量,建立适当的函数关系;
?( ＩI )探求最值:立足函数的定义域，探求函数的最值;
( III )检验、作答:利用实际意义检查（２）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大(小)值,而所给实际问题又必有最大（小）值,那么上述极大（小）值便是最大(小)值。??四、经典例题?例1、设函数在点处可导,且，试求
（1）；
?(２） ;
?（3）;??(4)
(为常数)。
解：注意到
当 )
（１）；?（2)
? =A+A＝2A （３）令 ,则当时 ,
∴?
?
?
（4）?
?
?
?
??点评:注意
的本质，在这一定义中，自变量x在处的增量的形式是多种多样的，但是,不论选择哪一种形式,相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。?若自变量x在处的增量为 ,则相应的
，
于是有；?若令 ,则又有
?例2、? (1)已知 ,求；
（2)已知 ,求??解:
（1）令，则，且当时，。?注意到这里
∴?
?（2)∵
∴?
①
注意到，
∴由已知得②?∴由
①、②得
?例3、求下列函数的导数
(1)；(2）；?
（３）； (４） ;??（５）
；（6）??解:?（1）
?
（２） ,
∴
（3），?∴??(4），?∴
?（5） ,?∴
??(6)
∴当时， ;
∴当时,?∴?即。?
点评:为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算,首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。?
例4、在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线Ｃ关于该点对称。
解: