当前位置：搜档网 › 二次函数图象的平移和对称变换

二次函数图象的平移和对称变换

二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题

有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。

一、平移。

例1、把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位，再向下平移4个单位后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到三个新点（-3，2），（-2，-1），（-1，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中，求出各项系数即可。

例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。

法（二）

先利用配方法把二次函数化成2

=-+的形式，确定其顶点（2，-3），然

()

y a x h k

后把顶点（2，-3）向上平移4个单位，再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为（5，1），因为是抛物线的平移，因此平移前后a的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（5，1），就可以求出其解析式了。

【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】.

法（三）

根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。”

例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位，再向右平移3个单位，求其解析式。

平移后的图象的解析式为：y=2(x-3)2-8（x-3）+5+4.然后化简即可。

针对练习

1、求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位。

2、抛物线2

y x

=怎样平移得到的？

2(1)3

y x

=-+是由抛物线2

3、若抛物线2

y x

=-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。

二、二次函数图象的轴对称变换

二次函数图象的对称一般有关于x对称和关于y对称等情况，可以用一般式或顶点式表达

1.关于x轴对称

例4、把抛物线y=x2-4x+6关于x轴对称后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于x轴对称后得到三个新点（0，-6），（1，-3），（2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c 中，求出各项系数即可。

例5、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于x轴对称后的解析式。

法（二）

先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）关于x 轴对称后得到新抛物线的顶点为（2，3），因为是抛物线关于x 轴对称，因此关于x 轴对称后a 的值应该互为相反数，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=-2，且顶点为（2，3），就可以求出其解析式了。

法（三）

例6、已知抛物线y=2x 2-8x+5,求其关于x 轴对称后的解析式。

根据关于x 轴对称的点的特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的y 改写为-y,然后再整理即可。

即其关于x 轴对称后的解析式为：-y=2x 2-8x+5，整理为y=-2x 2+8x-5

【2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；】

练习

求与抛物线

关于x 轴对称的抛物线的解析式．

2. 关于y 轴对称

例7、把抛物线y=x 2-4x+6关于y 轴对称后，求其图象的解析式。

法（一）

选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于y 轴对称后得到三个新点（0，6），（-1， 3），（-2， 2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。

例8、已知抛物线y=2x 2-8x+5,求其关于y 轴对称后的解析式。

法（二）

先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）关于y 轴对称后得到新抛物线的顶点为（-2，-3），因为是抛物线关于y 轴对称，因此关于y 轴对称后a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2，且顶点为（-2，-3），就可以求出其解析式了。

法（三）

2245y x x =-+

例9、已知抛物线y=2x 2-8x+5,求其关于y 轴对称后的解析式。

根据关于y 轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的x 改写为-x,然后再整理即可。

即其关于y 轴对称后的解析式为：y=2(-x)2-8(-x)+5，整理为y=2x 2+8x+5

[2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+]请你推测对于顶点式情况如何？

练习

1、求与抛物线关于y 轴对称的抛物线的解析式；

2、求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线x ＝－1对称后所得到图象对应函数解析式。

三、关于原点对称

例10、把抛物线y=x 2-4x+6关于原点对称后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0，6），（1，3），（2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求关于原点对称后得到三个新点（0，-6），（-1，-3），（-2，-2），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。

例11、已知抛物线y=2x 2-8x+5,求其关于原点对称后的解析式。

法（二）

先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k =-+的形式，确定其顶点（2，-3），然后把顶点（2，-3）关于原点对称后得到新抛物线的顶点为（-2，3），因为是抛物线关于原点对称，因此关于原点对称后a 的值应该互为相反数，这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=-2，且顶点为（-2，3），就可以求出其解析式了。

法（三）

例12、已知抛物线y=2x 2-8x+5,求其关于原点对称后的解析式。

根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的x 改写为-x ，把原解析式中的y 改()2

211y x =-+

写为-y,然后再整理即可。

即其关于x 轴对称后的解析式为：-y=2(-x)2-8(-x)+5，整理为y=-2x 2-8x-5

[2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；]

练习

求抛物线2

23y x x =+-绕着原点旋转1800的到抛物线解析式。

又关于顶点对称

方法小结：显然无论作何种（平移、对称、旋转）变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线经过变换后抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其变换后的抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其变换后的抛物线的表达式．

二次函数图象的变换练习

1、函数23(2)1y x =+-的图象可由函数23y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）

A. 右移两个单位，下移一个单位

B. 右移两个单位，上移一个单位

C. 左移两个单位，下移一个单位

D. 左移两个单位，上移一个单位 2、函数22(1)1y x =---的图象可由函数22(2)3y x =-++的图象平移得到，那么平移的步骤是（）

A. 右移三个单位，下移四个单位

B. 右移三个单位，上移四个单位

C. 左移三个单位，下移四个单位

D. 左移四个单位，上移四个单位

3、二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（）

A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位.

B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位.

C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位.

D. 向右移动

1个单位，向下移动3个单位. 4、将函数2y x x =+的图象向右平移()0a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图

象，则a 的值为（）

A ． 1

B ．2

C ．3

D ．4

5、把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a b c ++=________________．

6把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为

A ．()213y x =---

B ．()213y x =-+-

C ．()213y x =--+

D ．()213y x =-++

7、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（）

A 、()221y x =+

B ．()221y x =-

C ．221y x =+

D ．221y x =-

8、将抛物线23y x =向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）

A. 232y x =-

B. 23y x =

C. 23(2)y x =+

D. 232y x =+

9、一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．

10、如图，ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A ，B ．

⑴ 求点A ，B ，C 的坐标．

⑵ 若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛

物线的解析式．

11、已知二次函数221y x x =--，求：⑴关于x 轴对称

的二次函数解析式；⑵关于y 轴对称的二次函数解析式；

⑶关于原点对称的二次函数解析式． 13、函数2y x =与2y x =-的图象关于______________对称，也可以认为2y x =是函数2y x =-的图象绕__________旋转得到．

14、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为

A ．22y x x =--+

B ．22y x x =-+-

C ．22y x x =-++

D ．22y x x =++

【知识反馈】

1．把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是。

2. 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线y ＝1对称后所得到图象对应函数解析式。

3.抛物线2y ax bx c =++向左平移1个单位，再向上平移2个单位，最后绕着顶点旋转180°得到抛物线22y x =，则a= ,b= ,c= 。

课时作业

一、选择题

1．将抛物线22y x =如何平移得到抛物线22(14)21y x =--（）

A ．向左平移14个单位，再向上平移21个单位。

B ．向左平移14个单位，再向下平移21个单位。

C ．向右平移14个单位，再向上平移21个单位。

D ．向右平移14个单位，再向下平移21个单位。

2．要从抛物线2211(1)322y x y x =-=-+-得到的图象，则抛物线212

y x =-必须（）

A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位。

B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位。

C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位。

D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。

3．把抛物线2y ax bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得

图像的解析式是235y x x =-+，则有（）

A ．b=3，c=7

B ．b=－9，c=－5

C ．b=3，c=3

D ．b=－9，c=21

4．把抛物线23y x =向右平移一个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）

A ．23(1)2y x =--

B ．23(1)2y x =+-

C ．23(1)2y x =++

D ．23(1)2y x =-+

二、填空题

1．将函数22(3)y x =-的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是。

2．若抛物线2245y x x =--向左向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图象的解析式是。

4.把函数23x y -=的图象沿x 轴翻折,得到的图象的解析式是（）

5．抛物线2

y ax bx c =++向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着原点旋转180°得到抛物线223y x x =-+，则a= ,b= ,c= 。

三、解答题

1.已知函数()212y x =-+，⑴ 求绕顶点旋转180后的函数关系式；⑵ 求绕原点旋转180后的函数关系式。

2.求把二次函数的图象关于下列直线y ＝1对称后所得到图象对应函数解析式。

3．将抛物线2143y x x =---向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到22y ax bx c =++．求,,a b c 的值；

223y x x =+-

二次函数图像平移习题

二次函数图像平移习题 1．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 4.已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 5.把二次函数2 x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y C. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 6．对于抛物线22 (2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x 轴上方 7.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。 8．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）（A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10 k k >-≠且

(完整版)一次函数图象的平移及解析式的变化规律

一次函数图象的平移及解析式的变化规律我们在研究两个一次函数的图象平行的条件时,曾得出“其中一条直线可以由另外一条直线通过平移得到”的结论,这就涉及到一次函数图象平移的问题. 函数的图象及其解析式,是从“形”和“数”两个方面反映函数的性质,也是初中数学中数形结合思想的重要体现.在平面直角坐标系中,当一次函数的图象发生平移（平行移动）时,与之对应的函数解析式也随之发生改变,并且函数解析式的变化呈现出如下的变化规律: 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象平移后其解析式的变化遵循“上加下减，左加右减”的规律: （1）上下平移,k 值不变,b 值“上加下减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向上平移m 个单位长度,解析式变为()0≠++=k m b kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向下平移m 个单位长度,解析式变为()0≠-+=k m b kx y . （2）左右平移,k 值不变,自变量x “左加右减”:将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向左平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠++=k b n x k y ,展开得()0≠++=k b kn kx y ;将一次函数()0≠+=k b kx y 的图象向右平移n 个单位长度,解析式变为()()0≠+-=k b n x k y ,展开得()0≠+-=k b kn kx y . 注意: （1）无论一次函数的图象作何种平移,平移前后,k 值不变,b 值改变.设上下平移的单位长度为m ,则b 值变为m b ±;设左右平移的单位长度为n ,则b 值变为kn b ±. （2）上面的规律如下页图（51）所示.

二次函数平移变换

二次函数配方问题如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ）（h, k ）（1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O

二次函数平移一、本节学习指导平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。二、知识要点 1、平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”。方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。

函数图像的平移变换与伸缩变换

函数()y f x =图像的平移变换与伸缩变换在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数 y=Asin(x+)+m(A 0, 0)w j w 构的图像是由sin y x =的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x =的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x =的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。大家知道，sin y x =的图像向上(下)平移10个单位，可得到 10sin y x -=(10sin y x +=)，即s i n 10y x =+(sin 10y x =-)的图像；sin y x =的图像向右(左)平移 10π，可得到sin()10y x p =-(sin()10 y x p =+)的图像；sin y x =的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12 )，可得到1sin 2 y x =(sin 2y x =)的图像；sin y x =的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin 3y x =(3sin y x =)，即3s i n y x =(1sin 3y x =)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反

二次函数图像的平移、旋转、对称

一、抛物线的变化的实质练习（一）平移 1、y=－8x2的顶点坐标为；所以沿y轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。 2、y=7(x－2)2的顶点坐标为；所以将抛物线y=7(x－2)2向左平移2个单位所得的抛物线的顶点是，函数关系式是：。 3、y=－3x2的顶点坐标为；所以将抛物线y=－3x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线的顶点是，解析式是。（二）旋转 1、y=x2+2x+3的顶点是，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 2、y=2x2﹣12x+16的顶点是。将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是（三）轴对称 1、将抛物线C：y=x2+3x﹣10，的顶点是；将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，对称后的顶点为；则下列平移方法中正确的是（） A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位二、练习： 1、将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 1.1将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 2、把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为 2.1在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 3、抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.

答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D

二次函数平移规律

二次函数平移专项练习题平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时抛物线开口向上，反之向上 c>0时抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，

再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位．根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2．根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位．根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y

三角函数图象的平移和伸缩

3 得 y =A sin( x + )的图象? 向 ?上平 ( ? 移 k k ? 个 )或单向? 位下长 ? (k 度 ?) → 得 y = A sin(x + )+k 的图象． y = sin x 纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的1/2 y = sin(x + ) y = sin(2 x + ) 横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1) y =sin x 的图象 ??? ??????→ y = 3sin(2x + 三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x + ) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移．变换方法如下：先平移后伸缩向左( >0)或向右( 0) y = sin x 的图象 ??平 ? 移 ? 个单 ? 位长 ? 度 ?→ 得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短 (>1) 到原来的1(纵坐标不变) 得 y = sin(x +)的图象纵坐标伸长(A 1)或缩短(0

横坐标伸长(0 1)或缩短(1) ????????→ 到原来的 1 (纵坐标不变) 向左( 0)或向右( 0) 得 y = A sin(x ) 的图象 ???平移 ?个 ? 单位 ??→ 得 y = A sin x ( x + )的图象??平 ?移 k ?个单 ?位长 ?度 ?→得 y = A sin( x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x 横坐标缩短为原来的1/2 纵坐标不变横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变 y = 3sin(2x + ) 纵坐标伸长为原 3 来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin 2x + π +1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin 2x +π 的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin 2x + π 的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin 2x + π +1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2 x + π 的 2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin 2x + π +1的图象．得 y = A sin x 的图象 y = sin2 x y = sin(2x + )