全国中学生物理竞赛分类汇编原子物理

全国中学生物理竞赛分类汇编

原子物理

第21届预赛

一、（15分）填空

1．a ．原子大小的数量级为__________m 。

b ．原子核大小的数量级为_________m 。

c ．氦原子的质量约为_________kg 。（普朗克常量 h ＝6.63×10

－34

J ·s ）

2．已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80％。试判断下列说法是否正确，并简述理由。

．反射光子数为入射光子数的80％；

b ．每个反射光子的能量是入射光子能量的80％。

第21届复赛

三、(15分)μ子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命s 100.260-?≈τ．宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批μ子，以v = 0.99c 的速度（c 为真空中的光速）向下运动并衰变．根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N (0), t 时刻剩余的粒子数为N (t )，则有()()τt N t N -=e 0，式中τ为相对该惯性系粒子的平均寿命．若能到达地面的μ子数为原来的5％，试估算μ子产生处相对于地面的高度h ．不考虑重力和地磁场对μ子运动的影响．

第20届预赛

二、(20分)一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为4.86×10-7m ．试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n 表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n ＝1）的能量为E l =一13.6eV ＝－2.18×10-18J ，普朗克常量为 h =6.63×10

－

34

J ·s 。

第20届复赛

（无）

第19届预赛（无）

第19届复赛

六、（20分）在相对于实验室静止的平面直角坐标系S 中，有一个光子，沿x 轴正方向射向一个静止于坐标原点O 的电子．在y 轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为0m ，光速为c ,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1／10．

1．试求电子运动速度的大小v ,电子运动的方向与x 轴的夹角θ；电子运动到离原点距离为0L （作为已知量）的A 点所经历的时间t ?．

2．在电子以1中的速度v 开始运动时，一观察者S '相对于坐标系S 也以速度v 沿S 中电子运动的方向运动(即S '相对于电子静止)，试求S '测出的OA 的长度．

第18届预赛

四、（1 8分）在用铀 235作燃料的核反应堆中，铀 235核吸收一个动能约为0.025eV 的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2～3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳12）作减速剂．设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为0 1.75MeV E =的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025eV 的热中子？

第18届复赛

三、（22分）有两个处于基态的氢原子A 、B ，A 静止，B 以速度0v 与之发生碰撞．己知：碰撞后二者的速度A v 和B v 在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收。从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能级态跃迁，并发出光子．如欲碰后发出一个光子，试论证：速度0v 至少需要多大（以m/s 表示）？己知电子电量为

191.60210C e =?－，质子质量为271.67310kg p m =?－。电子质量为310.91110kg e m =?－．氢原子的基态能量为113.58eV E =-．

第17届预赛

七、（20分）当质量为m 的质点距离—个质量为M 、半径为R 的质量均匀分布的致密天体中心的距离为r (r ≥R ) 时，其引力势能为P /E GMm r =-，

其中11226.6710N m kg G =???－－为万有引力常量．设致密天体是中子星，其半径10km R =，质量 1.5M M =⊙（301 2.010kg M ?⊙＝，为太阳的质量)．

1．1Kg 的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少?

2．在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为m ，

则反应中的质量亏损为0.0072 m ，问1kg 的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少?

3．天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图预17-7所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限．

第17届复赛

三、（25分）1995年，美国费米国家实验室CDF 实验组和DO 实验组在质子反质子对撞机TEVATRON 的实验中，观察到了顶夸克，测得它的静止质量

112251 1.7510eV/c 3.110kg m =?=?－，寿命 240.410s τ=?－，这是近十几年来

粒子物理研究最重要的实验进展之一．

1．正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为4()3S

a U r k

r

=-，式中r 是正、反顶夸克之间的距离，0.12S a =是强相互作用耦合常数，k 是与单位制有关的常数，在国际单位制中250.31910J m k =??－．为估算正、反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系统，

可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速圆周运动．如能构成束缚态，试用玻尔理论确定系统处于基态中正、反顶夸克之间的距离0r ．已知处于束缚态的正、反夸克粒子满足量子化条件，即

021,2,3,22r h mv n

n π??== ???

式中02r mv ??

???为一个粒子的动量mv 与其轨道半径02r 的乘积，n 为量子数，

346.6310J s h =??－为普朗克常量．

2．试求正、反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T ．你认为正、反顶夸克的这种束缚态能存在吗?

第16届预赛（无）

第16届复赛（无）

参考答案

第21届预赛

一、1. a. 10

－10

b. 10

－15

c. 6.6×10

－27

2. a 正确，b 不正确。理由：反射时光频率ν 不变，这表明每个光子能量h ν 不变。

评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。

第21届复赛

三、因μ子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命

s

100.260-?≈τ根据时间膨胀效应，在地球上观测到的μ子平均寿命为τ，

()

2

1c v -=

ττ (1)

代入数据得

τ = 1.4×10－5s

(2)

相对地面，若μ子到达地面所需时间为t ，则在t 时刻剩余的μ子数为

()()τt N t N -=e 0

(3)

根据题意有

()()

%5e 0==-τt N t N (4)

对上式等号两边取e 为底的对数得

100

5ln

τ-=t (5)

代入数据得

s 1019.45-?=t

(6)

根据题意，可以把μ子的运动看作匀速直线运动，有

t h v =

(7)

代入数据得

m 1024.14?=h

(8)

评分标准：

本题15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．

第20届预赛

二、参考解答

波长λ与频率ν的关系为 c

νλ

=

， （1）

光子的能量为 E h νν=， （2）由式（1）、（2）可求得产生波长74.8610λ-=?m 谱线的光子的能量

194.0910E ν-=?J （3）

氢原子的能级能量为负值并与量子数n 的平方成反比： 2

1

n E k

n =-，n =1，2，3，… （4）式中k 为正的比例常数。氢原子基态的量子数n =1，基态能量1E 已知，由式（4）可得出

1k E =- （5）

把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的n =2，3，4，5，… 各能级的能量，它们是

19

22

1 5.45102E k -=-

=-?J ， 19321

2.42103E k -=-=-?J ，

19421

1.36104E k -=-=-?J ，

20521

8.72105E k -=-=-?J 。

比较以上数据，发现

1942 4.0910E E E ν-=-=?J 。 （6）

所以，这条谱线是电子从4n =的能级跃迁到2n =的能级时发出的。评分标准：本题20分。

式（3）4分，式（4）4分，式（5）4分，式（6）及结论共8分。

第20届复赛（无）

第19届预赛（无）

第19届复赛

六、参考解答

（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为

220022 1.101(/)

m c m c v c =- （1）

0.21

0.4170.421.10

v c c =

=≈ （2） 入射光子和散射光子的动量分别为h p c ν=和h p c

ν'

'=，方向如图复解19-6所示。电

子的动量为mv ，m 为运动电子的相对论质量。由动量守恒定律可得

022cos 1(/)

m v

h c v c ν

θ=- （3） 022sin 1(/)

m v

h c v c νθ'=

- （4） 已知 200.10h h m c νν'-= （5） 由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得

200.37/m c h ν= （6） 200.27/m c h ν'= （7） 1

27

tan arctan()36.137

νθν'===?－ （8） 电子从O 点运动到A 所需时间为 0

02.4/L t L c v

?=

= （9） （2）当观察者相对于S 沿OA 方向以速度v 运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得 2201(/)L L v c =- （10） 00.91L L = （11）

第18届预赛

四、参考解答

设中子和碳核的质量分别为m 和M ，碰撞前中子的速度为0v ，碰撞后中子和碳核的速度分别为v 和v '，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因

0v 、v 和v '沿同一直线，故有

0mv mv Mv '=+ （1）

2220111

222

mv mv Mv '+= （2） 图复解 19-6

光子散射方向

光子入射方向 光子入射方向

电子 θ A

0m M

v v m M

-=+ （3） 因12M m = 代入（3）式得

011

13

v v =-

（4） 负号表示v 的方向与0v 方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为

2

22

1011112213E mv m v ??==- ???

于是

2

101113E E ??

= ???

（5）

经过2，3，…，n 次碰撞后，中子的能量依次为2E ，3E ，4E ，…，n E ，有

24

21011111313E E E ????

== ? ?????

6

301113E E ??

= ???

……

210001113n

n

n E E E E E ????

== ? ?????

（6）

因此 0lg(/)

12lg(11/13)

n E E n =

（7）

已知

7600.0251107

1.7510n E E ==??－ 代入（7）式即得

71

lg(10)

7lg 77.8451754112(0.07255)0.14512lg()13

n ?--=

==≈-－ （8） 故初能量0 1.75MeV E =的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 eV 的热中子。

评分标准：本题18分

（1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。

第18届复赛

三、参考解答

为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是2n =的第一激发态．已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比．

21

n E K

n

= （1） 又知基态（1n =）的能量为－13.58eV ，即

12

1

13.58eV 1E K

==- 所以 13.58eV K =-

2n =的第一激发态的能量为

22

1113.58 3.39eV 42E K

==-?=- （2）

为使基态的氢原子激发到第一激发态所需能量为

21( 3.3913.58)eV=10.19eV E E E =-=-+内 （3）

这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发出的光子的能量，即

191810.19eV=10.19 1.60210J=1.63210J h E ν==???内－－ （4）

式中ν为光子的频率，从开始碰到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有

0B A mv mv mv =++光子的动量 （5）

222

011()22

B A mv m v v h ν++= （6） 光子的动量h p c νν=

。由（6）式可推得002h mv v ν>，因为0v c <<，所以0h mv c

ν>>，故

（5）式中光子的动量与0mv 相比较可忽略不计，（5）式变为

0()B B A A mv mv mv m v v =+=+ （7）

符合（6）、（7）两式的0v 的最小值可推求如下：由（6）式及（7）式可推得

22020011

()22

1()2

B B A A A A mv m v v mv v h mv mv v v h νν+-+=--+=

200A A mv mv v h ν-+=

经配方得

2

20011240A m v v mv h ν?

?-- ???

+=

2

2001142A mv m v v h ν?

?=- ??

?+ （8） 由（8）式可看出，当01

2

A v v =时，0v 达到最小值0min v ，此时

B A v v = （9） 0min 2

h v m

ν

= （10） 代入有关数据，得

40min 6.2510m/s v =? （11）

答：B 原子的速度至少应为46.2510m/s ?．

第17届预赛

七、参考解答

1. 根据能量守恒定律，质量为m 的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能1E ?应等于对应始末位置的引力势能的改变，故有

10GMm E GM R m m R

??-- ????== （1） 代入有关数据得

1611

2.010J kg E m

?≈??－ （2） 2. 在氢核聚变反应中，每千克质量的核反应原料提供的能量为 22

0.0072E c m

?= （3） 所求能量比为

21/1

/31

E m E m ?≈? （4）

3．根据题意，可知接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为中子星的自转周期，中子星做高速自转时，位于赤道处质量为M ?的中子星质元所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使中子星破裂，因此有

22

RM m

m R R ω??≤ （5） 式中 2π

ωτ

=

（6）

ω为中子星的自转角速度，τ为中子星的自转周期．由（5）、（6）式得到

3

2R MG

τπ≥ （7）

代入数据得

44.410s τ≥?－ （8） 故时间间隔的下限为44.410s ?－

第17届复赛

三、参考解答

1．相距为r 的电量为1Q 与2Q 的两点电荷之间的库仑力Q F 与电势能Q U 公式为 122Q Q

Q Q F k r ＝ 12

Q Q

Q Q U k r =- （1） 现在已知正反顶夸克之间的强相互作用势能为 4()3S

a U r k

r

=- 根据直接类比可知，正反顶夸克之间的强相互作用力为 2

4()3S

a F r k

r =- （2） 设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为v ，因二者相距0r ，二者所受的向心力均为0()F r ，二者的运动方程均为

22

00

4/23t S a m v k r r = （3） 由题给的量子化条件，粒子处于基态时，取量子数1n =，得

0222t r h

m v π

??- ??? （4）

由（3）、（4）两式解得

2

0238S t h r m a k

π= （5）

代入数值得

170 1.410m r =?－ （6）

2. 由（3）与（4）两式得 43S a v k

h π??

=

???

（7）

由v 和0r 可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期T

3

02

2

2(/2)2(4/3)t S r h T v m k a ππ== （8） 代入数值得

241.810s T =?－ （9） 由此可得 /0.2T τ= （10）

因正反顶夸克的寿命只有它们组成的束缚系统的周期的1／5，故正反顶夸克的束缚态通常是不存在的． 评分标准：本题25分

1. 15分。（2）式4分，（5）式9分，求得（6）式再给2分。

2. 10分。（8）式3分。（9）式1分，正确求得（10）式并由此指出正反顶夸克不能形成束缚态给6分。

第16届预赛 （无） 第16届复赛 （无）