概率例题

第四章 4．1

例1 设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量．假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）．

例2 将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以 X 表示空盒子数目，求 E (X )

例3分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验 N 个人的血， 可以有两种方法进行．（1）将每个人的血分别去验，这就需要N 次．（2）按 k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人得血就只需验一次．若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验．这样， k 个人的血总共要化验 k+1次．假如每个人化验呈阳性的概率为 p 且这些人的试验反应是相互独立的．试说明当 p 较小时，选取适当的 k ，按第二种方法可以减少化验的次数．并说明k 取什么值时最适宜．

例4 设随机变量X 的密度函数为 求 E （X ）

例5 如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?

例6 设随机变量的分布律为

例7 设随机变量(X,Y )的联合概率密度

例8

X

p

1-02

2.03

.05

.0?????<≤-<≤=其它,02

1,210,

)(x x x x x f )

1(2-+X X E 求()()

32

31 ,1

2(,) 0 1

,y x x x x y

f x y E Y E

XY ?<<>?=???其他

求数学期望。

(),X Y 设二维随机变量的联合分布律为012

00.10.250.1510.150.20.15

X Y ()

sin 2

X Y Z π+=求随机变量的数学期望。

例9 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布．设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3千元，但如果销售不出二积压于仓库，则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益期望最大？

例 设 ( X , Y ) 的分布律为

4．2

例1 设X 为掷一颗骰子出现的点数，试求D(X)

例2：设随机变量X 具有数学期望

例3 例4

4．3

例1 X

Y

123

1

-0

1

2.01

.01.01.01.01

.00

03

.0].)[(,)(),(),(:2Y X E X Y E Y E X E -求.),()(,,.10,2010 互独立并设各旅客是否下车相可能的下车是等设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以客下车就不停车如到达一个车站没有旅车站可以下车个旅客有位旅客自机场开出一机场班车载有例X E X 2*

()0X D X X μσσ

-=≠=

方差，记***()0()1E X D X X X ==证明：，，称为的标准化变量}10{1023)4,60(~),1,50(~>--=Z P Y X Z Y X N Y N X 求，独立，记与，设.,,.,),04.0,50.22(~),03.0,40.22(~)cm (22的概率求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只活塞相互独立气缸的直径计以设活塞的直径Y X N Y N X ||)3(|;|)2()1()4,2(,5Y X D Y X E Y X N Y X ---的分布，试求：独立同分布设例.

),,,,,(~),(2

22121相关系数的与试求设Y X ρσσμμN Y X

例2

例3 设随机变量(X,Y )具有概率密度 求

第五章 5．1

例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.

例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 5．2

例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击 (1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率. 例2

.

}105{,,)1,0(,,)20,2,1(2020

1

的近似值求记上服从均匀分布

且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到>==∑

=V P V V k V k k k .23,2),4,0(),3,1(,22Y X Z ρN N Y X XY +=-=设分别服从 已知随机变量?

??=012),(2y y x f 其它1

0≤≤≤x y XY

Y X Cov Y E X E ρ),,(),(),(

例3 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.

例4对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

例5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 ≤ X ≤ 320).

例6 检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.

例7 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？

例8 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率. 例9

第四、五章习题 例1

例2从数字0, 1, 2, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

).

( )( ,,2,1,)1(}{ , 1X D X E k p p k X P X k 和求它的分布律为服从几何分布设 =-==-.,1,),,,2,1()1,1(,,,,1

2

21并指出其分布参数

正态分布近似服从随机变量充分大时证当试上服从均匀分布在区间且相互独立设随机变量∑

===-n i n i n i X n Z n n i X X X X

例3

例4

例5

例6

例7计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数, 设所有误差相互独立且在(–0.5, 0.5)上服从均匀分布. (1) 将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少? (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?

例8 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P (280 ≤ X ≤ 320).

例9有一批建筑房屋用的木柱, 其中 80% 的长度不小于 3m, 现从这批木柱中随机地取 100 根, 求其中至少有 30 根短于 3m 的概率.

).(. ,0,21 ,2,10

,)( )3(].)1[(),(π~)2()].2[ln(),(12

5124123620 )1( 2

1

X E x x x x x f X X E X X E X E p X X k 求其他的概率密度为设随机变量求设求的分布律为设随机变量?????<≤-<≤=++-λ . ),( ,0,20,10),2

1

(76),( ),( 2数的协方差矩阵及相关系求其他函数为的联合密度设二维连续型随机变量Y X y x xy x y x f Y X ?????<<<<+=.,, 22的数学期望求正态分布且都服从标准相互独立和设随机变量Y X Z Y X +=.. ,0,10 ,2)(.

,0,10 ,3)(,,,,,00:13~00:12 2时间的数学期望求先到达者需要等待的其他其他的概率密度分别为已知立相互独和且设间分别是甲、乙到达的时设会面在甲、乙两人相约于某地???<<=???<<=y y y f x x x f Y X Y X Y X Y X

例10

第一章

例3 化简事件 例1 小王参加某智力游戏节目, 他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王

(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率

(3) 两类问题都答不出的概率

例1 中小王他能答出第一类问题的概

率为0.7 , 答出第二类问题的概率为0.2, 两

类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是0.7*0.2 ？

例2 设A , B 满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下，P (AB ) 取得最大(小)值？最大(小)值是多少？

例1 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（k<=N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率

（1） 某指定的 k 个盒子中各有一球；

（2） 某指定的一个盒子恰有 m 个球( m<=k ) （3） 某指定的一个盒子没有球； （4） 恰有 k 个盒子中各有一球； （5） 至少有两个球在同一盒子中； （6） 每个盒子至多有一个球.

例5 “分房模型”的应用

生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.

例2 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m 个球（m<=a+b), 求其中恰有 k 个 （k<=a,k<=m ）白球的概率

例3 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.

例4 在1,2,3, ,9中重复地任取 n (n>=2)个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.

例5 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?

.30)2(;50~40)1(9.,5,的概率人多于人人个月内接受的患者求一年中前相互独立接受破伤风患者的人数各月的泊松分布它服从参数个随机变量风患者的人数是一某医院一个月接受破伤=λAC

C B A )(

例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的

例8某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率

例9 (会面问题)甲、乙两人相约在0 到T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t ( t

例9 甲、乙两人相约在0 到T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t ( t

例10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.

例将15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?

例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).

例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率P(B|A).

例3某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.

例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.

例5盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;

（2）取两次，第二次取得一等品的概率;

（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;

（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率

例 6 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求

透镜落下三次而未打破的概率.

例7 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?

例8 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有 i 件次品的概率为

i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1

从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格,否则就认为这批产品合格. 求

(1) 一批产品通过检验的概率;

(2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率. 例9

例10（选择题的合理性）现在几乎所有的考试试卷中，都会有选择题．一般地，每个选择题有4个答案，其中只有1个是正确的．当学生不会做时可以随机猜测，假如一个学生会做题与不会做题的概率相等．现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率．

例11

例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .求

例 3 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色，第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B ，C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问 A ，B ，C 是否相互独立? 例4 已知事件 A , B , C 相互独立,证明事件

).(,005.0)(,005.0,.95.0)(,95.0)(,,:,A C P C P C A P C A P C A 试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则有癌症”表示事件“被诊断者患以为阳性”表示事件“试验反应若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录===?,.%95,.%55,,%98,,概率是多少机器调整得良好的品时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动

其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表,)(,)(21A P A P ,)(12A A P ,)(12A A P

例5 同时抛掷一对骰子,共抛两次,求两次所得点数分别为7与11的概率.

例7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.

例8 要验收一批(100件)乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少?

例3 设随机变量X 的分布函数为 试求常数A ，B

例4 一个靶子是半径为2m 的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X 表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量 X 的分布函数 第二章

例1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X 表示取出的5个数字中的最大值．试求 X 的分布律

例2

例3

X

k

p 3

21-4

12141

与 C B 也相互独立

A

..,,,)21(,互独立设各局胜负相利还是采用五局三胜制有有利采用三局二胜制问对甲而言概率为每局甲胜的

比赛甲、乙两人进行乒乓球≥p p 4例()()+∞<<∞-+=x Barctgx A x F .

),(,.,的分布律求相互独立的设各组信号灯的工作是号灯的组数它已通过的信表示汽车首次停下时以车通过的概率禁止汽每组信号灯以组信号灯的道路上需经过四设一汽车在开往目的地X X p 的分布律为

设随机变量X

例４ 设某人进行射击，每次的命中率为0.4，现独立射击10次，问： （1）命中3枪的概率是多少？（2）至多命中3枪的概率是多少？

例5 一根布条上的疵点数X 服从参数为 的泊松分布，试求：

(1) 此棉条上有2个疵点的概率是多少？ (2) 此棉条上至少有2个疵点的概率是多少？

例6 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?

例8 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.

实例 设某批产品的次品率为 p ,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律. 例1

例

例3 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在900 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在950 ~ 1050 的概率．

例4 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值

}.

2

7

1{)3(;

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43,22,30,

)(≤

???≤≤-<≤=X P X k x x x kx x f X 求的分布函数求确定常数其它具有概率密度随机变量设}.

32{},2523{},21{,≤≤≤<≤X P X P X P X 并求的分布函数求5.0=λ.

)3(};2{)2(;

,)1(:.,1,,arcsin ,,0)(的概率密度随机变量的值系数求的分布函数为设连续型随机变量X a X a P B A a x a x a a x B A a x x F X <<-????

??

?>≤<-+-≤=

大于3 的概率. 例

例

例

例

例

?,99.080)2(.89,90)1().5.0,(~,)(,.o 2o o 至少为多少问低于的概率不至少为若要求保持液体的温度的概率小于求若且是一个随机变量计以液体的温度调节器整定在容器内贮存着某种液体的将一温度调节器放置在d C X d d N X C X C d =.32.

0,e ,0,

0)(2

32的概率密度和求随机变量的概率密度为设随机变量+==???≥<=-X Y X Y x x x x f X x X

.

)3();()2(;)1(.

,e )(2的概率密度求的分布函数求求系数的概率密度为已知随机变量X Y x F X A x A x f X x

=+∞<<∞-=-.

,,,21}2{.2,,21,32

,11,,1,0)(的分布律并求试确定常数且的分布函数为设离散型随机变量X b a X P x b a x a x a x x F X ==??

???????≥+<≤-<≤--<=.2100,cm 182)2(?

01.0,)1()cm :()

6,170(~2的概率顶碰头的人数不多于个成年男子与车门求若车门高为车门顶碰头的几率小于使男子与车门的高度问应如何设计公共汽车单位高设某城市成年男子的身N X

概率经典测试题及答案

概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C．

概率统计练习题答案

《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C

^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的 概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1． 在五个数字12345，，，，中，。 例2． 若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

统计概率经典例题(含(答案)和解析)

统计与概率经典例题（含答案及解析） 1．（本题8分）为了解学区九年级学生对数学知识的掌握情况，在一次数学检测中，从学区2000名九年级考生中随机抽取部分学生的数学成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图表： ⑴表中a和b所表示的数分别为：a= .，b= .； ⑵请在图中补全频数分布直方图； ⑶如果把成绩在70分以上（含70分）定为合格，那么该学区2000名九年级考生数学成绩为合格的学生约有多少名？ 2．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统 计了该镇1﹣5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： （1）某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有家．请将折线统计图补充完整； （2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业，现从3月新注册的小 型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2家企业恰好都是餐饮企业的概率． 3．（12分）一个不透明的口袋装有若干个红、黄、蓝、绿四种颜色的小球，小球除颜 色外完全相同，为估计该口袋中四种颜色的小球数量，每次从口袋中随机摸出一球记下 颜色并放回，重复多次试验，汇总实验结果绘制如图不完整的条形统计图和扇形统计图．

根据以上信息解答下列问题： （1）求实验总次数，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，摸到黄色小球次数所在扇形的圆心角度数为多少度？ （3）已知该口袋中有10个红球，请你根据实验结果估计口袋中绿球的数量．4．（本题10分）某校为了解2014年八年级学生课外书籍借阅情况，从中随机抽取了40名学生课外书籍借阅情况，将统计结果列出如下的表格，并绘制成如图所示的扇形统计图，其中科普类册数占这40名学生借阅总册数的40%． 类别科普类教辅类文艺类其他册数（本）128 80 m 48 （1）求表格中字母m的值及扇形统计图中“教辅类”所对应的圆心角a的度数； （2）该校2014年八年级有500名学生，请你估计该年级学生共借阅教辅类书籍约多少本？ 5．（10分）将如图所示的版面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上（“A”看做是“1”）。 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是；（3分） （2）从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是；（3分）（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树形图的方法求组成的

概率统计习题及答案

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8

概率与统计高考常见题型解题思路及知识点总结

概率与统计高考常见题型 解题思路及知识点总结 一、解题思路 （一）解题思路思维导图 （二）常见题型及解题思路 1.正确读取统计图表的信息 典例1：（2017全国3卷理科3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）.

A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，选A. 2．古典概型概率问题 典例2：（ 全国卷理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德 巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13 ，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方 法，故概率为 ，选C. 典例3： (2014全国2卷理科5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 解：设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则据条件概率公式得 ，故选A. 3．几何概型问题 典例4：(2016全国1卷理科4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ) A.13 B.12 C. 23 D.3 4

概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】

【经典例题】 【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选A ． 【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ????0≤x≤4， 0≤y≤4，满足条件的关系式 为－2≤x－y≤2.

概率统计习题含答案

作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .

高中概率知识点、高考考点、易错点归纳

概率知识要点 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。 5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。 6、频率：事件A 出现的比例 ()= A n n A n f 。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作(B A ??或A B)。 不可能事件记作?。 （2）相等。若B A A B ??且，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。 （3）事件A 与事件B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。 （4）事件A 与事件B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。 （5）事件A 与事件B 互斥：A B 为不可能事件，即=A B ? ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A 与事件B 互为对立事件：A B 为不可能事件，A B 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。 2、概率的几个基本性质 （1）0()1P A ≤≤.（2）必然事件的概率为1.()1P E =.（3）不可能事件的概率为0. ()0P F =. （4）事件A 与事件B 互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。 （5）若事件B 与事件A 互为对立事件，，则A B 为必然事件，()1P A B = . 古典概型 1、基本事件： 基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的； （2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间的和。 2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 具有这两个特点的概率模型称为古典概型。 3、公式：()= A P A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数

概率经典例题与解析、近年高考题50道带答案

【经典例题】 【例1】（2012）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．1- 2π B ． 12 - 1π C ． 2π D ． 1π 【答案】A 【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过C 点．S 2 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 1 2 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形OAD 中 S 12 为 扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-24 ，扇形OAB 面积S= π4 ，选 A ． 【例2】（2013）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( ) A. 126125 B. 65 C. 168125 D. 75 【答案】B 【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8125，故E(X)＝0× 27 125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6 5 ，选B. 【例3】（2012）节日前夕，小在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4秒任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A. 14 B. 12 C. 34 D. 78 【答案】C 【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意? ??0≤x ≤4， 0≤y ≤4，满足条件的关系 式为－2≤x －y ≤2. 根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，

概率统计练习题8答案

《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，

D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_随机事件的概率_提高

人教版高中数学必修三 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 随机事件的概率 【学习目标】 1.了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念； 2.正确理解事件A 出现的频率的意义； 3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A 发生的频率f n (A)与事件A 发生的概率P(A)的区别与联系. 【要点梳理】 要点一、随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件. (1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件； (2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件； 确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件. (3)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件. 要点诠释： 1.随机事件是指在一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此强调同一事件必须在相同的条件下进行研究； 2.随机事件可以重复地进行大量实验，每次的实验结果不一定相同，但随着实验的重复进行，其结果呈现规律性. 要点二、随机事件的频率与概率 1．频率与频数 在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()A n n f A n 为事件A 出现的频率。 2．概率 事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 n m 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A). 由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 要点诠释： （1）概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小. 求事件A 的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用 A n n 来表示()P A 越精确。 （2）任一事件A 的概率范围为0()1P A ≤≤，可用来验证简单的概率运算错误，即若运算结果概率不在[01]，范围内，则运算结果一定是错误的.

概率统计例题

已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ，； ，， 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ， ； ，， 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为： ?? ?<<==?∞+∞ -其他。， ； ， 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 ， ； ， 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=，所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】

高考概率知识点及例题(供参考)

概率知识要点 3.1．随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。 5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。 6、频率：事件A 出现的比例()=A n n A n f 。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。 2、游戏的公平性：抽签的公平性。 3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件 4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨

的机会是70%”。 5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。 3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作( 或A B)。 ?? B A 不可能事件记作?。 （2）相等。若B A A B 且，则称事件A与事件B相等，记作A=B。 ?? （3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。 （4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。 （5）事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即= A B?，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A与事件B互为对立事件：A B为不可能事件，A B为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 2、概率的几个基本性质 （1）0()1 ≤≤. P A （2）必然事件的概率为1.()1 P E=. （3）不可能事件的概率为0. ()0 P F=. （4）事件A与事件B互斥时，P(A B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。（5）若事件B与事件A互为对立事件，，则A B为必然事件，()1 P A B=. 3.2 古典概型

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

高中数学概率知识点及例题自己整理

1．事件的关系： ⑴事件B 包含事件A ：事件A 发生，事件B 一定发生，记作B A ?； ⑵事件A 与事件B 相等：若A B B A ??,，则事件A 与B 相等，记作A=B ； ⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生或B 发生，记作B A ?（或B A +）； ⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A 发生且B 发生，记作B A ?（或AB ） ； ⑸事件A 与事件B 互斥：若B A ?为不可能事件（φ=?B A ），则事件A 与互斥； ⑹对立事件：B A ?为不可能事件，B A ?为必然事件，则A 与B 互为对立事件。 2．概率公式： ⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)； ⑵古典概型：基本事件的总数 包含的基本事件的个数A A P =)(； ⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( ； 3. 随机变量的分布列 ⑴随机变量的分布列： ①随机变量分布列的性质：p i ≥0,i=1,2,...； p 1+p 2+ (1) 1 1 2 2 n n 方差：DX ＝???+-+???+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注：DX a b aX D b aEX b aX E 2 )(;)(=++=+； ③两点分布： X 0 1 期望：EX ＝p ；方差：DX ＝p(1-p). P 1－p p ① 超几何分布： 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 },,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N k n M N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。 称分布列 X 0 1 … m P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n N m n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布。 ⑤二项分布（独立重复试验）： 若X ～B （n,p ）,则EX ＝np, DX ＝np （1- p ）;注：k n k k n p p C k X P --==)1()( 。

2011年七年级概率初步经典练习题

必然事件 1、有下列事件：①367人中必有2人的生日相同；②抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；③在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；④如果a、b为实数，那么a＋b＝b＋a．其中是必然事件的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、纸箱里装有2个篮球、8个白球，从中任意摸出3个球时，至少有一个是 3、一个不透明的口袋中有10个白球和12个黑球，“任意摸出n个球，其中至少有一个白球”是必然事件，n等于（） Ａ、10 Ｂ、11 Ｃ、12 Ｄ、13 4、下列事件中，属于不可能事件的是（）A．某个数的绝对值小于0 B．某个数的相反数等于它本身 C．某两个数的和小于0 D．某两个负数的积大于0 可能事件 1、下列事件：（1）明天是晴天；（2）小明的弟弟比他小：（3）巴西与土耳其进行足球比赛，巴西队会赢；（4）太阳绕着地球转。属于不确定事件的有： 2、下列事件中，属于随机事件的是（） A. 掷一枚普通正六面体骰子，所得点数不超过6 B.买一张彩票中奖 C. 太阳从西边落下 D.口袋中装有10个红球，从中摸出一个是白球 3、下列事件： ①打开电视机，它正在播广告； ②从只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13； ④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4、下列事件中，属于不确定事件的有（） ①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下； ④小明长大后成为一名宇航员． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 5、在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球有3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，?请你写出这个实验中的一个可能事件： _________． 6、篮球投篮时，正好命中，这是事件。在正常情况下，水由底处自然流向高处，这是事件。

概率统计练习题答案

概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ

A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -

高考概率知识点例题

概率知识要点 3.1．随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。 2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。 3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。 4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。 5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。 6、频率：事件A 出现的比例 ()=A n n A n f 。 7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 3.1.2 概率的意义 1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。 2、游戏的公平性：抽签的公平性。 3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。 ——极大似然法、小概率事件

4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。 5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。 6、遗传机理中的统计规律。 3.1.3 概率的基本性质 1、事件的关系与运算 （1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作( 或A B)。 ?? B A 不可能事件记作?。 （2）相等。若B A A B 且，则称事件A与事件B相等，记作A=B。 ?? （3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。 （4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。 （5）事件A与事件B互斥：A B为不可能事件，即= A B?，即事件A与事件B在任何一次试验中并不会同时发生。 （6）事件A与事件B互为对立事件：A B为不可能事件，A B为必然事件，即事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。 2、概率的几个基本性质 （1）0()1 ≤≤. P A （2）必然事件的概率为1.()1 P E=. （3）不可能事件的概率为0. ()0 P F=.