2018年泉州市普通高中数学学科竞赛试题印刷.doc
2018 年泉州市普通高中数学学科竞赛试题
（总分 200 分，考试时间： 150 分钟）
学校
姓名
准考证号
一、填空题：本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分．请将答案填写在答题卡的相应位置．
1．已知全集 U
R ，集合 M
{ x | x 2 x 2 0} ， N { x | x 3} ，
则 (
e U M
)
N
___________．
x y 4 0，
2．实数 x ， y 满足约束条件
x y 2 0， 则 z 3x 2 y 的最小值为 ___________．
x 3，
3．若 sin
cos
3
，且
2 ，则 cos sin 的值为 ___________．
8
4
4．已知等差数列 a n 满足 a 3 a 4 a 5 a 6
a 7 40 ，则 4a 6 a 9 ___________．
5．若 x log 4 2
log 2 9 log 4 9 ，则 2x 2 x
___________．
6．在 ABC 中， AB
AC 2， BAC
90 ， BP BC (0
1)
，
则
( AB AC) AP
___________ ．
7．设函数 f ( x) ax 2 2x 1，当 x [0, 2] 时， f (x) 0恒成立，则 a 的取值范围是
．
8．四棱锥 P
ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD 为等边三角形， AB=2 3 ，BC =2 ，
PA 4 ，则 P
ABCD 外接球的表面积为 ___________．
9．已知 P 为圆 x
2 y
2
4 上的动点， A(0, 2 2) ，B( 2,
2) ，则 PB
的最大值为 ________．
PA
10．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (x 2)
f (x) ，且当 x [0,1] 时， f ( x) 3x ．
函数 g( x)
f (x) kx 2k (k 0) 的所有零点为
n
x 1 ， x 2 ， x 3 ， ， x n ，若 8
x i 12
，
i
1
则 k 的取值范围是 ___________．
11．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a ，
b
，
c
，若
a2 b2 4ab cosC
，
且 cos(A B) 1
，则 cosC 的最大值为___________．6
12．在直三棱柱ABC A1B1C1中， P 为 BB1的中点， Q 为边 A1C1上的点且 A1Q 2QC1，截面APQ 把三棱柱切割成体积不等的两部分，记两部分的体积比为q(q 1)，则 q _________．
13．记S为数列
1 n
，若
1
a n 的前n 项和，n 1 n， n N n ，则n 的值
n S a S
22018
2n
为．
14．在x轴同侧的两个圆满足：动圆 1 和圆 2
y 2
4y 0
外切，且 1 与
x
轴相切．若动圆 1 的
C x C C
圆心轨迹为曲线
uuv uuuv
0 （ O 为坐标原点），则 AOB 面积
C ，点A，B在曲线 C 上，且OA OB
的最小值为 ________．
15．若函数f (x) (x 2)e x a x2 2x （e为自然对数的底数）在 R 上单调递增，则 a 能取到
2
的最大整数是 ___________ ．
二、解答题：本大题共 5 小题，共110 分．请将答案填写在答题卡的相应位置．
16．（本小题满分20 分）
已知ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 a cosC3asin C b c0 ．（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若ABC 内接于单位圆，求边BC 上的中线 AM 的最大值．
17．（本小题满分20 分）
设数列 a n的前 n 项和为 S n，且满足 a n (2 S n a n ) 1 ， S n 0 ．
（Ⅰ）求数列S n的通项公式；
n 1 1 1 1 n
（Ⅱ）证明： 4 ．
n 1 S14 S24 S34 S n4 2n 1
18．（本小题满分20 分）
如图，ABC 中，D为边AB上一点，圆 O 为BCD 的外接圆，E为BD中点，直线 EO 交 AC 的延长线于 G ，DCA BCG ．
（Ⅰ）证明：G 在圆 O 上；
（Ⅱ）过 E 作AC的垂线交直线AC 于F，若 AC BD 2CG ，证明： CG3CF ．19．（本小题满分 25 分）
已知点M ( 3,1
)，N ( 3,
1
) ，曲线C上的动点P满足k PM k PN
1
，曲线 C 与 x ， y 轴2 2 4
的正半轴分别交于点 A ， B ．
（Ⅰ）若点 P 在第一象限内，求S PAB的最大值；
（Ⅱ）直线 y kx(k
uuur uuur 0) 与 AB 相交于点 D ，与曲线C相交于 E ， F 两点，若 ED DF ，
求的取值范围．
20．（本小题满分25 分）
设函数
f (x) x 2 a ln x ，
g (x) 1 a ．
x x2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间；
（Ⅱ）若 a 0 ，证明： f ( x) 和 g( x) 的图象必有两个交点．