181勾股定理(3)

3.2 勾股定理的逆定理板书设计及课后作业-最新学习文档

3.2 勾股定理的逆定理板书设计及课后作业 (1)△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则BC＝13．( ) (2)在△ABC中，若a＝6，b＝8，则c＝10．( ) (3)由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，故以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形．( ) (4)由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数．( ) 2．已知三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则这个三角形是_______． 3．三条线段分别长m．n，p，且满足m2－n2＝p2，以这三条线段为边组成的三角形为_______．4．在△ABC中，a＝9，b＝40，c＝41，那么△ABC是( )． A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形’D．等腰三角形 5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6，其中能构成直角三角形的有( )． A．4组B．3组 C．2组D．1组 6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )． A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH C．AB、CD、GH D．AB、CD、EF 7．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝7，b＝24，c＝25； (2)a＝1.5，b＝2，c＝2.5； 8．如图，在△DEF中，DE＝17 cm，EF＝30 cm，边EF上的中线DG＝8 cm，试判断△DEF 是否为等腰三角形，并说明理由． 9．如图，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，DC＝3，BD＝4.5，那么∠ACB是直角吗？试说明理由． 10．如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC ＝90°，求这块地的面积． 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．证明：AC ⊥CD． 第 1 页

3.第三讲 勾股定理的应用答案

勾股定理的应用 例题讲解 例1、D 同步练习： 1、10 2、D 例2、C 同步练习： 1、B 2、画侧面展开图，如图，因为圆柱的底面周长为6 cm ，所以AC ＝3 cm.又因为PC ＝23BC ， 所以PC ＝23×6＝4(cm)．在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2 ，得AP ＝5 cm. 例3、125cm 同步练习： 1、B 2、13 例4、D 同步练习： 1、1.5m 2、96 巩固练习 1-7：D ，5，C ，5，C ，13，D ， 8、【解析】（1）在Rt △ABC 中，∵AC=60m ，AB=100m ，且AB 为斜边， 根据勾股定理得：BC=80（m ）； :（2）这辆小汽车没有超速．理由：∵80÷5=16（m/s ），平均速度为：16m/s ，16m/s=57.6km/h ，57.6＜70，∴这辆小汽车没有超速． 9、【解析】如图所示： 在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：BC==4米． 地毯的总长=BC+AC=4+3=7米．

地毯的面积=7×1.5=10.5平方米．地毯的总价=40×10.5=420元．故答案为：420元．10、解：经分析，如图，应把台阶看成是纸片折成的，拉平(没高度)成一张长方形(宽为3×3＋2×3＝15 dm，长为20 dm)的纸．所以AB2＝152＋202＝625(dm2)．所以AB＝25 dm，即蚂蚁沿着台阶面爬行到B点的最短路程是25 dm. 11、设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4 解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺． 12、【解析】解：∵车宽1.6米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．在Rt△OEF中，由勾股定理可得：EF===0.6（m），EH=EF+FH=0.6+2.3=2.9＞2.5，∴卡车能通过此门．

初中八年级数学 精讲精练习 勾股定理

第三讲勾股定理 姓名：电话：. 知识要点一：勾股定理 1.（2017·陕西与佳一教材例1类似）如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（） A.3 B.6 C D 2.（易错）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为 cm2. 3.如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP·PC的值为；若BC边上有100个不同的点P1，P2，P3，…，P100，记m i=AP i2+BP i·P i C（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为 . 第1题第3题 知识要点二：勾股定理的应用 4.（2017·荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去根六尺.问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x 尺，则可列方程为（） A.x2-6=（10-x）2 B.x2-62=（10-x）2 C.x2+6=（10-x）2 D.x2+62=（10-x）2 5.（2017·绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（） A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 6.（2017·襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，

《勾股定理》勾股定理的逆定理(含答案)精讲

第3章《勾股定理》： 3.2 勾股定理的逆定理 填空题 1．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽 1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长． （第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是 cm． 3．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是厘米． 4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米． （第4题）（第5题）（第6题） 5．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是错误!，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号） 6．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是 m．（结果不取近似值）7．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）

（第7题）（第8题）（第9题） 8．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 cm．（π取3） 9．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是． 10．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米． （第10题）（第11题）（第12题）11．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A 和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸． 13．观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32=4+5； 列举：5、12、13，猜想：52=12+13； 列举：7、24、25，猜想：72=24+25； … 列举：13、b、c，猜想：132=b+c； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b= ，c= ． 解答题 14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

1.3勾股定理的应用

八年级数学第一学期导学案 1.3 勾股定理的应用 班级：姓名： 【学习目标】 1．运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题，进一步发展应用意识. 学习重点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题. 学习难点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 【复习引入】 1．如果梯子的底端离建筑物5米,那么13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( ). A．12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 2．如果直角三角形的两直角边长为7，24，那么斜边长为. 3．如图，有一个圆柱,它的高等于12cm，底面上的圆的周长等于18cm. 在圆柱下底面点A有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？) 【自主学习】 1．如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路程是什么？你画对了吗? ? 2．蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

【探究学习】 1．如图，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米， BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办 法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？ 2．认真阅读课本P13-14的例题，理解其解题思路，完成P14 的“随堂练习”. 【巩固练习】 1. 完成课本P14习题1.4第1，2题. 2．如图所示，90 B OAF ∠=∠=?，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中半圆的面积． O 3．(选做题)课本P15习题1.4第5题.

第3课时勾股定理

第3课时 18.2 勾股定理的逆定理（1） 学习目标1、掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 2、灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 重点难点重点：掌握勾股定理的逆定理，能应用勾股定理逆定理判定某个三角形是直角三角形。 难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 新知导学（一）复习巩固： 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，三边长为a，b，c (1)两锐角关系∠____+∠____=90o (2)三边之间的关系(勾股定理)：_ ___2+__ __2=__ _2 2、求出下列直角三角形的未知边。 AC=______ BC=______ BC=_______ （二）探究新知： 1、已知：在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a2+b2=c2。 求证：∠C=90o。 分析：①思考：证明一个角是90o有何方法？ ____________________________ ②按要求画出图形作△A/B/C/，使B/C/=a，A/C/=b，∠C/=90o 。 ③在Rt△A/B/C/中，A/B/=_____________。 ④A/B/____AB，（填“=”或“≠”）作图： ⑤△_____≌△_____ （） ⑥∠C____∠C/（填“=”或“≠”） 证明： 2、小结：如果三角形的三边长a，b，c满足， 那么这个三角形是三角形。 3、定理的应用： 例：判断下列线段a、b、c组成的三角形是否为直角三角形？若是，指出哪一条边所对的角是直角。 （1）a=15，b=20，c=25 解：∵2 2b a = = 2c= = ∴a2+b2 ____ c2（填“=”或“≠”） ∴线段a=15，b=20，c=25 构成直角三角形（“能”或“不能”） A B C

第三讲 圆中考专项1(教师版)

圆中考专项1--圆及与圆相关的概念 圆的对称性（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 （2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 知2推3定理： ① AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 圆心角定理:同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 知1推3定理： ①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 2、推论： 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 圆内接四边形:圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内； 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上； 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外； 三点定圆定理——三角形外接圆 1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 圆中考专项1 F E C B A O

五年级奥数春季班第1讲 勾股定理

第一讲勾股定理 模块1、常见勾股数及辅助线 例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。 （2）如图，下列图形的面积分别是、、。 解：（1）应用勾股定理： 第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5； 第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。 （2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6， 所以三角形的面积是 1 86242 ??=； 第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是 1 1.20.50.32 ??=； 第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S 1=1.5， 斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S 2= 1 2.567.52 ??=， 于是面积等于S 1+S 2=9. 例2．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为； （2）下图的梯形ABCD 的对角线AC 和BD 相互垂直，已知AD =3，AC =9，BD =12，则BC 的长度为。 ? 5 8 1.2 22 22

解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16， 于是周长=20+10+16+22=68，面积= 1 16(1022)2562 ??+=； 第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=1 1.2(0.62) 1.562 ??+=。 （2）如图平移AC 到DE ，连结CE ，CE =AD =3，DE =AC =9， 在直角三角形BDE 中，BD =12，DE =9，所以斜边BE =15， 解得BC =BE ?CE =15?3=12。 模块2、勾股定理及其重要模型 例3．（1）以直角三角形ABC 的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为。 （2）下面的图形是以直角三角形ABC 的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为。 解：（1）AB 2=3，BC 2=14，所以AC 2=3+14=17； （2）最小的半圆面积等于 2πr 12=7，第二个半圆面积等于2 π r 22=15，

18.2勾股定理的逆定理(三)

18．2 勾股定理的逆定理（三） 一、教学目标 1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析 例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE 就是平行线间距离。 例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c 。 试判断△ABC 的形状。 分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0， 则都为0；⑶已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。 例2（补充）已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形ABCD 的面积。 分析：⑴作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC 中，3、4、5勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ； ⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。 A B C D E D

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

期八年级数学上册 专题提高讲义 第3讲 勾股定理与实数 北师大版

A B D A C B1C1 第三讲：勾股定理与实数的综合运用 ◆ 【知识考点梳理】 1、求线段的长主要考虑用勾股定理建立方程求解； 2、运用勾股定理解决实际问题关键在于建立直角三角形模型，常用的方法有： （1）直接作高法；（2）补形法；（3）整体结构法；（4）图形变换法； ◆◆ 【考点聚焦、方法导航】 ◆【考点题型1】---勾股定理、实数的有关计算 【例1】1.如图：大正方形的面积为6，小正方形的面积为2，则图中阴影部分的面积是 ； 2.（南通）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，1AC =，AC 在直线上．将ABC ?绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点1P ，此时12AP =； 将位置①的三角形绕点1P 顺时针旋转到位置②，可得到点2P ，此时223AP =2P 顺时针 旋转到位置③，可得到点3P ，此时333AP =；…，按此规律继续旋转，直到得到点2012P 为止，则2012AP =（ ） A 、20116713+ B 、20126713+ C 、20136713+ D 、20116713+ 3题图 4题图 3.（淮安）如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?，30ACB ∠=?，将ABC ?绕点A 按逆时 针方向旋转15?后得到11AB C ?，11B C 交AC 于点D ，如果22AD =ABC ?的周长等于 ； ◆【考点题型2】---最短距离问题的应用举例 【例2】一线圈缠绕在底面周长为4cm ，高为5cm 的圆柱体上，如图示： （1）若缠绕3圈，则线圈的长度至少为 ； （2）若缠绕n 圈需要的线的长度至少为 ；（用含n 的代数式表示）

勾股定理的逆定理(3)

18.2勾股定理的逆定理(第一课时) 、教学目标 知识目标： 1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 能力目标：(1)通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过程； (2)通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用。 情感目标：(1)通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系； (2)通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和 严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 、教学重点难点 重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。难点：理解勾股 定理的逆定理的推导。 、教学准备 圆规、三角板、一根打了13个等距离结的细绳子、钉子、小黑板 四、教学过程 (1)复习旧课 1、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，则斜边长是__________________ 。 2?—个直角三角形，量得其中两边的长分别为5 cm、3 cm则第三边的长是 3?要登上8高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6问至少需要多长的梯子？ (2)情境导入 1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？ 【实验观察】 用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结 上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉 在一起.然后用三角板量出最大角的度数. 可以发现这个三角形是直角三角形。 (这是古埃及人画直角的方法) 2、用圆规、刻度尺作△ ABC 使AB=5c m，AC=4c m，BC=3c m，量一量/ C。再画一个 三角形，使它的三边长分别是5 cm、12 cm、13 cm,这个三角形有 什么特征？ 3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有 怎样的关系？(学生分组讨论，教师适当指导) 学生猜想：如果一个三角形的三边长a，b，c满足下面的关系那么这个三角形是直角三角形。 4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。 (3)探究新知 2 2 2 1、探究：在下图中，△ ABC的三边长a，b，c满足a +b=c。如果△ ABC

勾股定理及其应用

第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。 C. 勾股数组、基本勾股数组及勾股数的推算公式。 D. 勾股定理及其逆定理的应用。 E. 感受“方程”思想、“数形结合”思想、“化归与转化”思想等数学思想。

重点知识勾股定理的验证 验证方法验证过程 （美）伽菲尔德总统拼图如右图，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，所以()()2 2 1 2 1 2 2 1 c ab b a b a+ ? = + ? +，即 2 2 2c b a= + 赵爽弦图如右图，用四个全等的直角三角形可得到一个以()a b-为边长的小正方形和一个边长为c的大正方形，因为大正方形的边长为c，所以面积为2c，又因为大正方形被分割成了四个全等的直角边长分别为b a,的直角三角形和一个 边长为()a b-的正方形，所以其面积为 ()2 2 1 4a b ab- + ?所以()2 2 2 1 4a b ab c- + ? =， 从而2 2 2b a c+ =. 刘徽：青朱出入图如右图，通过拼图，以c为边长的正方形面积等于分别以b a,为边长的两个正方形的面积之和 名师提示用拼图法验证勾股定理的思路：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，那么面积就不会改变；②根据同一种图形面积的不同表示方法（简称面积法）列出等式，推导勾股定理

重点知识确定几何体上的最短路线 描述示意图 几何体的侧面展开图长 方 体 将长方体相邻 侧面展开，转 化成一个长方 形 圆 柱 圆柱的侧面展 开图是一个长 方形 2 2 2B B A B AB' + ' = 名师提示(1)对于长方体相邻两个面的展开图，一定要注意打开的是哪一个侧面，比较三种打开方式的路径长度，得到最短路径. (2)勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，是数形结合的一个典范 (3)直角三角形的判别条件可以应用到实际生活中，也就是把一些实际问题转化为数学问题来解决。 9 E D B A C F 7 D A E B C F 展开 5 甲 A E F D 丙 D A E B F 乙 B A B' B A 展开

17.1 勾股定理3 第1课时 勾股定理

17.1勾股定理 第1课时勾股定理 【学习目标】 1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想． 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题； 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法． 【学习重点】 探索和验证勾股定理． 【学习难点】 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理． 情景导入生成问题 旧知回顾： 如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？ 自学互研生成能力

知识模块一发现勾股定理 【自主探究】 阅读教材P22，完成下面的内容： 图17.1－2 思考：图17.1－2中三个正方形的面积有什么关系？ 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ 解：可以发现，以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积．即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．【合作探究】 阅读教材P23探究，完成下面的内容： 思考：等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？ 归纳：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 知识模块二证明勾股定理 【自主探究】 阅读教材P23～24，完成下面的内容： 理清证明命题1的基本思路：用面积法，拼图证明它们的面积相等，从而得到a2＋b2＝c2. 【合作探究】 如图：

解：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ， 即b 2＝12c 2＋12 (b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2， ∴a 2＋b 2＝c 2； 知识模块三 勾股定理的简单应用 【自主探究】 如图所示，△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，AC ＝15.求BC 边上的高AD 的长． 解：设BD ＝x ，则DC ＝14－x ， 由勾股定理得AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即132－x 2＝152－(14－x )2，解得x ＝5， ∴AD ＝132－52＝12. 【合作探究】 如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′，AD ′与BC 交于E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE .

第3讲《勾股定理》全章复习与巩固(基础课程讲义例题练习含答案)

《勾股定理》全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222 a b c +=） 2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）解决与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用． 要点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释： 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ； （2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系： 若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形； 若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形； 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．

2.勾股数 满足不定方程222 x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1. 3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用 1、（2016?益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键. 【答案与解析】 解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13， 设BD=x ，则CD=14﹣x ， 由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2， 故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2， 解之得：x=9． ∴AD=12． ∴S △ABC =BC ?AD=×14×12=84．

人教版八年级数学下册课时作业：17.1 第3课时 勾股定理作图与计算

第3课时勾股定理作图与计算 知识点 1 勾股定理与实数 1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,又进一步进行练习:如图,首先画出数轴,设原点为点O,在数轴上距原点2个单位长度的位置确定一点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB长为半径作弧,与数轴右侧的交点记为点P,则点P表示的实数在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=2,OA=OB,则数轴上点A表示的数是. 知识点 2 勾股定理与网格 3.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长均为1,则网格上的△ABC的三边中,长度为无理数的边有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为() A.16 B.12+4√2 C.7+7√2 D.5+11√2 5.如图,在6×6的正方形网格(每个小正方形的边长均为1 cm)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点

处,则AC边上的高为cm. 6.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=√2,CD=√5,EF=√13. 知识点 3 勾股定理与图形折叠 7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为. 8.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CE的长. 9.为了比较√5+1与√10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1,通过计算可得√5+1√10.(填“>”“<”或“=”)

第三讲 托勒密定理及其应用

第三讲 托勒密定理及其应用 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． 即：；内接于圆，则有： 设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+? ；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+? 一、直接应用托勒密定理 例1 如图2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点 (不与B 、C 重合)， 求证：PA=PB ＋PC ． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA ·BC=PB ·AC ＋PC ·AB ， ∵AB=BC=AC ． ∴PA=PB+PC ． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 证明“勾股定理”： 在Rt △ABC 中，∠B=90°，求证：AC 2=AB 2＋BC 2 四点共圆时成立； 、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似 和且又 相似 和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴?=??=∴??∴∠=∠=?= ??=∴??∠=∠∠=∠)(

证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理， 有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1． 求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，

(完整版)第三讲勾股定理及其应用培优辅导含答案.doc

第1页共14页 第三讲勾股定理及其应用培优辅导 一、 点击一：勾股定理 勾股定理：． 则 c2=, a2=, b 2 =． 勾股数：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、特殊勾股数：连续的勾股数只有 3 ，4，5 连续的偶数勾股数只有 6， 8， 10 勾 股定理的逆定理：． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理 如，利用四个如图 1 所示的直角三角形，拼出如图 2 所示的三个图形并证明． b c a （图 1） 图 3 图 2 证明图 2或3． 点击三：在数轴上表示无理数 例在数轴上作出表示10 的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用 例已知一直角三角形的斜边长是2，周长是 2+ 6，求这个三角形的面积． 点击五：勾股定理的应用 （1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题 等．二、【精典题型】

考点一、已知两边求第三边 1．在直角三角形中, 若两直角边的长分别为6， 8，则斜边长为__________ ，斜边的高为 __________． 2．已知直角三角形的两边长为3、 2，则另一条边长是________________ ． 3．已知，如图在ABC中， AB=BC=CA=2cm， AD是边 BC上的高．则① AD的长 _____； ②Δ ABC的面积 _________． 考点二、利用列方程求线段的长 如图，某学校（ A 点）与公路（直线L）的距离为300 米，又与公路车站（ D 点）的距离为500 米，现要在公路上建一个小商店（ C 点），使之与该校A 及车站 D 的距离相等，求商店与 车站之间的距离． 考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（ 1）3、4、5（ 2）5、12、13（ 3）8、15、17（4）4、 5、 6，其中能够成直角三角形的有_________________. 2.若三角形的三边是 a2+b2,2ab,a 2-b 2(a>b>0), 则这个三角形是 _________________. 3、 如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即 从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇 每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向为北偏西400. 那么甲巡逻艇的航 向是怎样的？ 1 BC ．你能说明∠AFE 4、如图，正方形 ABCD中， F 为 DC的中点， E为 BC上一点，且CE 4 是直角吗？

3.2勾股定理的逆定理日日清

3.2勾股定理逆定理 班级： 姓名： 一、选择题： 1．在△ABC 中AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 2．在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是 （ ） A ．C B A ∠-∠=∠ B ．2 22b a c -= C ．a:b:c=3:3:2 D ．∠A：∠B：∠C=2：3：5 3．若三角形三边长分别是6、8、10，则它最长边上的高为 （ ） A ．6 B ．4.8 C ．2.4 D ．8 4．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的 （ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．3倍 D ．4倍 二、填空题： 5．若一个直角三角形的三边长为连续整数，则它的三边长分别为 . 6．在Rt△ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2=______ . 7．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积 . 三、解答题： 8．如图，在四边形ABCD 中，已知：AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2，AD ＝3，且AB⊥BC. 求证：AC⊥CD. 9．如图是一块地的平面图，AD=4m ，CD=3m ，AB=13m ，BC=12m ，∠ADC=90°，求这块

地的面积 ． 10．正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC= 4 1BC. 求证：∠EFA=90° 11．已知，△ABC 三条边分别为a 、b 、c ，若a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，其中m 、n 是正整数，且 m ＞n ，则△ABC 是否为直角三角形？ 书写评价 优 良 中 差 成绩评价优 良 中 差 批改时间 10月15日 A B C D F E

第2讲 勾股定理 提高班 2

勾股定理第2讲 勾股定理的证明??勾股定理的应用?勾股定理?勾股定理的逆定理??勾股数? 勾股定理的证明知识点1 . 的平方、b的平方和等于斜边c勾股定理：直角三角形两条直角边a=ca+b 222常见的用来证明勾.勾股定理的证明主要是通过用两种方式表示同一个图形的面积来实现的股定理的图形有： 【典例】如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=a，BC=b，AC=c，这样可以用来说明我们学习过的定理或者公式是（） A.勾股定理 B. 平方差公式 C. 完全平方公式 D. 以上3个答案都可以 【答案】A 【解析】证明：四边形BCC′D′为直角梯形， BC+（=S∴C′D′）?BD′= ，BCC′D′梯形 △AB′C′，ABC≌Rt又∵∠AB′C′=90°，Rt△∠B′AC′．∴∠BAC= ∠BAC=90°；+∠B′AC′=∠CAB′

+∴∠CAC′=∠CAB′ab=；=S∴S+S+S=ab+c+2△D′AC′ABC△CAC′梯形BCC′D′△ ；=∴ =c，∴a+b222 【方法总结】的面积有两种表示此题考查了用数形结合来证明勾股定理，需注意：组成的图形S BCC′D′梯形个小三角的面积和表示．方法：①用梯形的面积公式表示；②用组成该梯形的3【随堂练习】 沂水县期末）如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形?（2018春1．，直2拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2）（ +n）的值为m角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么 （ ．无答案DC．25．A．23B24 222+=132mn=+大正方形的面积+n解：【解答】（m+）=m+n四个直角三角形的面积和．2）=24﹣（13 ．故选：B 巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是”赵爽弦图“番禺区期末）?春2018（．2．是由四个全等的直角三角形和”我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图较短直，一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a表示代数式）a_______（用含角边长为b，则小正方形的面积为 2，a﹣b）（【解答】解：由图可知：小正方形的面积=