第12章--保险精算
第十二章保险精算
本章要点
1．保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。
2．保险精算的基本任务。在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。
3．保险精算的基本原理。保险精算其最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。所谓收支相等原则，就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
4．在非寿险精算实务中，确定保险费率的方法主要有观察法、分类法和增减法。
5．在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定：
6．自留额与分保额的决策。假定在原有业务上，赔偿基金为P1，赔偿金额标准差为Q1，则。现将另外接受n个保险单位，保额为x元，纯费率为q，则合并业务后要使K1+2仍维持K1的值，则应有：
当q十分小时，可近似得到：
即要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x以下，则可全部自留；对于保险金额超过x的新业务，自留额以x为限，超过部分予以分保。
7．寿险精算的计算原理及公式。
8．理论责任准备金及其计算。
9．实际责任准备金及其计算。
第一节保险精算概述
一、保险精算的概念和基本任务
所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学及人口学等学科的知识和原理，去解决工作中的实际问题，进而为决策提供科学依据。
保险精算是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。
在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。利率一般由国家控制，所以在相当长的时期里利率并不是保险精算所关注的主要问题。死亡率的测算，即生命表的建立成为寿险精算的核心工作。寿险精算自产生以来，目前不仅研究单个生命单一偶然因素相关的一系列问题，而且还涉及单个生命多个偶然因素的有关问题。此外，寿险经营也发展到多个生命遭遇偶然因素的情形。
非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。现在，非寿险精算已经发展了两个重要分支：一是损失分布理论，研究在过去有限的统计资料的条件下未来损失的分布情况以及损失和赔款的相互关系等问题；二是风险理论，通过对损失频率和损失规模分布的分析，研究出险次数和每次损失金额大小的复合随机过程，以确定保险公司应具备多大的基金方可不“破产”，以及评估“破产”概率的大小等问题。
如上所述，保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。
二、保险精算的基本原理
保险精算所需要的知识无疑十分繁杂，包括数学、统计学、金融学等，但其最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。
所谓收支相等原则，就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素。根据不同的需要，可分别采取三种不同的方式来汁算：①根据保险期间末期的保费收入的本利和(终值)与支付保险金的本利和(终值)保持平衡来计算；②根据保险合同成立时的保费收入的现值与支付保险金的现值相等来计算；③根据在其他某一时点的保费收入与支付保险金的“本利和”或“现值”相等来计算。(利息理论)
所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。
(一)切比雪夫(Chebyshev)大数法则
设X1，X2，…X n是由两两相互独立的随机变量所构成的序列，每一随机变量都有有限方差，并且它们有公共上界：
D(X1)≤C，D(X2)≤C，…D(X n)≤C，则对于任意的ε>0，都有：
这一法则的结论可以说明，在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保险费与其所能获得赔款的期望值相等。
(二)贝努利(Bernoulli)大数法则
假设某一事件以某一概率P发生。如果用M n来表示此事件在n次实验中发生的次数，则M n/n就是事件发生的频率。由计算可知：
由此可见，当n趋于无穷大时，频率的数学期望不变(恒为P)，而标准差σ则趋于零。在这里，标准差描述的是相对于不同的n值所得到的频率与实际概率的离散程度。由于标准差随着 n增大而减小，说明当n足够大时，频率与实际概率很接近。
更一般地，有下面的贝努利大数法则：设M n是n次贝努利实验中事件A发生的次数，而P是事件A在每次实验中出现的概率，则对于任意的ε>0，都有：
这一法则对于利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。在非寿险精算中，往往假设某一类标的具有相同的损失概率，为了估计这个概率的值，便可以通过以往有关结果的经验，求出个比率——这类标的发生损失的频率。而在观察次数很多或观察周期很长的情况下，这一比率将与实际损失概率很接近。换句话说，当某个所需要求的概率不能通过等可能分析、理论概率分布近似估计等方法加以确定时，则可通过观察过去大量实验的结果而予以估计，即用比率代替概率。反过来，经估计得到的比率，可由将来大量实验所得的实际经验而修正，以增加其真实性。
(三)泊松(Poisson)大数法则
假设某一事件在第一次实验中出现的概率为p1，在第二次实验中出现的概率为P2，……，在第n次实验中出现的概率为P n。同样，用M n来表示此事件在n次实验中发生的次数，则依据泊松大数法则，有：
对于任意的ε>0，下式均成立：
泊松大数法则的含义是：当实验次数无限增加时，某一事件发生的平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。
第二节非寿险精算
非寿险精算包括保险费率的厘定、“大数”的测定、财务稳定性分析（出题）、责任准备金提存的计算、利润分析、风险评估、自留额与分保额（结合财务稳定性）的决策等内容。
一、保险费率的厘定
保险费率的厘定，关键在于纯费率的确定。纯费率的确定有两种方法：一是依据统计资料计算保额损失率，进而确定纯费率r；二是在损失分布和赔款条件已知的情况下，用赔款金额的期望值E除以保险金额I而得到r，即r=E／I。
【例题】假定根据5年的统计资料，每年的保额损失率分别为0.21、0.19、0.23、0.18、0.24，则可求出其平均数为0.21。如果上述保额损失率是在大量损失经验的基础上得到的，则可把0.21作为预期损失率。有时，为了安全起见，可在预期损失率的基础上加上一个或两个标准差作为纯费率。本例中，标准差为0.023，则纯费率可定为0.233或0.256。
如果附加费率在保险费率中的比例为k，则保险费率可由R=r／(1-k)求得。
实务上确定保险费率的方法主要有观察法、分类法和增减法。
(一)观察法
观察法是指对个别标的的风险因素进行分析，观察其优劣，估计其损失概率，直接决定
其费率。
适用情况：保险标的数量较少，无法获得足够的统计资料，主要凭借精算人员的知识与经验。
(二)分类法
分类法是指将性质相同的风险，分别归类，而对同一分类的各风险单位，根据它们共同的损失概率，订出相同的保险费率。
由于分类费率所反映的是每一集团的平均损失经验，因此，在决定分类时，应注意每类中所有各单位的风险性质是否相同，以及在适当的长期中，其损失经验是否一致，以保证费率的精确度。为了使总体损失的发生具有相对稳定性，各分类中的风险单位的数量很重要。
分类费率确定后，经过一定时期，如与实际经验有出入，则调整公式为：
式中：M——调整因素，即保险费应调整的百分比；
A——实际损失比率；
E——预期损失比率；
C——信赖因素。
对于许多具体业务来说，费率的调整比费率的计算更重要。采用上面的公式来决定费率调整的百分比，关键在于确定信赖因素C的大小。信赖因素的大小，表示经验期间所取得的数据的可信赖程度。客观地确定信赖因素的大小，也是非寿险精算的内容之一。
(三)增减法
增减法是指在同一费率类别中，对被保险人给以变动的费率。其变动或基于在保险期间的实际损失经验，或基于其预想的损失经验，或同时以两者为基础。
增减法对分类费率可能有所增加，但也可能有所减少，主要在于调整个别费率。增减法在实施中又有表定法、经验法、追溯法、折扣法等多种形式。
1．表定法
采用表定法时，必须首先在各分类中对各项显著的风险因素设立客观标准。当被保险人购买保险时，就以这种客观标准来测度风险的大小。例如，建筑物火灾保险，可以砖造、具有一般消防没施的建筑物为基点，对影响建筑物火灾的四大因素——用途、位置、构造、防护设施——设立一定的调整幅度。
2．经验法
采用经验法制定费率，是根据被保险人以往的损失经验，对按照分类费率制定的费率加以增减变动。过去有利的经验将使投保人减少保险费的支出；反之，过去不利的经验将使投保人增加保险费的支出，因而具有鼓励保户防灾防损的作用。采用经验法调整费率的公式为：
式中：M——保险费率调整的百分比；
A——经验时期被保险人的实际损失；
E——被保险人适用某分类时的预期损失；
C——信赖因素；
T——趋势因素(考虑平均赔偿金额支出趋势及物价指数的变动)。
3．追溯法
追溯法是与经验法相对的一种费率调整方式，它以保险期内被保险人的实际损失为基
础，计算被保险人当期应交的保险费。由于被保险人当期的实际数额须到保险期满后才能知道，这样，确切应交的保险费在保险期满后才能计算出来。因此，在使用这种方法时，先在保险期开始前以其他方式确定预交保险费，然后在保险期满后，根据实际损失，对已交保费进行增减变动，其计算公式如下：
?
+
RP?
[
=]
TM
BP
LCF
L
式中：RP——计算所得的追溯保险费；
BP——基本保险费；
L——实际损失金额；
LCF——损失换算因数(其数值大于1)；
TM——租税乘数(其数值大于1)。
4．折扣法
折扣法是对个别被保险人采用折扣费率。
二、“大数”的测定
在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定：
式中：N——在一定条件下应具有的风险单位数；
E——实际损失变动次数与总数的比率，表示所需要的精确度；
S——实际损失与预期损失相差的标准差的个数；
p——某一特定标的(风险单位)发牛损失的概率。
S的值可以说明对所获得的结果的信赖程度。例如，S=1，由此公式所测定的损失次数，具有68％的信赖度；如果S=2，具有约95％的信赖度；S=3，信赖度为99．7％；等等。
在“大数”的估计中，有两个要素很重要，一个是S，另一个是E。在E一定的情况下，S的值越大，要求N越大。在S一定的情况下，E的值越小，要求N越大。如上所述，S的值越大，说明对实际损失的范围把握越大；E的值越小，说明实际损失变动的范围越小，也就是确定性越好。但E的值没有固定的标准，E的值的大小，一般以保证实际损失变动在预期损失10％的范围内为选择标准。
三、财务稳定性分析
假定某公司承保的某项业务有n个保险单位，每个保险单位的保险金额为a元，纯费率为q。如果损失标准差为σ，则赔偿金额标准差Q=aσ。把anq(即纯保费总额)称为保险赔偿基金，用P表示，即P=anq。
赔偿金额标准差与保险赔偿基金的比值，称为财务稳定系数，用K表示，即K=Q／P。一般而言，财务稳定系数K越小，财务稳定性越好；反之，财务稳定系数K越大，财务稳定性越差。
假定有n个保险标的，每个保险标的的保险金额为a元，损失概率为p，纯费率为q，若损失服从二项分布，则有：
为分析问题的方便，在下面的讨论中一律假定在同类业务中损失概率等于纯费率。
假定保险公司承保有两类业务：第一类业务承保n1个单位，每个单位的保险金额为a1元，纯费率为q1；第二类业务承保n2个单位，每个单位的保险金额为a2元，纯费率为q2。则第一类业务上的出险次数标准差为：
赔偿金额标准差为：
财务稳定系数为：
同样可以得到：
如果把第一类业务与第二类业务合并，则赔偿金额标准差为：
财务稳定系数为：
其中：
一般地，当有j个业务合并时，有：
其中：
四、自留额与分保额的决策
保险公司常常面临这样的情况，现有业务财务稳定性良好，但为发展业务，必然要承保新的业务，那么，新业务的最高保额为多少时，才不致使原有的K值增大呢?
假定在原有业务上，赔偿基金为P1，赔偿金额标准差为Q1，则K1=Q1／P1。现将另外接受n个保险单位，保额为x元，纯费率为q，则：
合并业务后：
要使K1+2仍维持K1的值，则应有：
整理后可得：
当q十分小时，可近似得到：
由上述分析可知，要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x 以下，则可全部自留，对于保险金额超过x的新业务，自留额以x为限，超过部分予以分保。
第三节寿险精算（定期寿险的承保费）
寿险精算主要研究以生存和死亡为两大保险事故而引发的一系列计算问题。通常情况下，与生存有关的问题由生存年金来处理，与死亡有关的问题由寿险(主要指死亡保险)来解决。生存和死亡保险事故危及单生命时，涉及的主要精算问题是：单生命下的纯保费计算、准备金提存等。生存和死亡保险事故也危及多生命，与此对应的精算主要讨论连生年金和连生保险的保险费、准备金的计算。
为讨论问题的方便，本节的计算一律作如下几个假定：①被保险人的生死遵循预定生命表所示的生死规律；②同一种类的保险合同，全部于该年龄初同时订立；③保险金于每年度末同时支付；④保险费按预定利率复利生息，并假定年利率为i；⑤假定保险金额均为l元(有特别说明者例外)，因而所求得的纯保险费就是纯保险费率；⑥总是假定生命表中某一年龄的人都向保险公司投保了某种保险，而不管实际情况是否这样，因为这并不影响结论的正确性。
一、生命表
生命表是寿险精算的科学基础，它是寿险费率和责任准备金计算的依据，也是寿险成本核算的依据。
生命表是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制的，由每个年龄死亡率所组
成的汇总表。生命表是过去经验的记录，并且通常用于预测那些将来和过去情况完全相同的未来事件。生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。 生命表可以分为国民生命表和经验生命表。
国民生命表是根据全体国民或者以特定地区的人口的死亡统计数据编制的生命表。它主要来源于人口普查的统计资料。
经验生命表是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录(经验)所编制的生命表。保俭公司使用的是经验生命表，这主要是因为国民生命表是全体国民生命表，没有经过保险公司的风险选择，一般情况下与保险公司使用的生命表中的死亡率不同。
存生命表中，首先要选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的人数，这个数称为基数。一般选择0岁为初始年龄，并规定此年龄的人数，通常取整数如10万、l00万、l 000万等。在生命表中还规定最高年龄，用ω表示，满足01=+ωl 。一般的生命表中都包含以下内容：
x ：表示年龄。
x l ：生存数，是指从初始年龄至满x 岁尚生存的人数。
x d ：死亡数，是指x 岁的人在一年内死亡的人数，即指x 岁的生存数x l 人中，经过一年所死去的人数。已知在x+1岁时生存数为1+x l ，于是有x d =d x =x l -l x -1+x l 。
x q ：死亡率，表示x 岁的人在一年内死亡的概率。显然，
x p ：生存率，表示x 岁的人在一年后仍生存的概率，即到x+1岁时仍生存的概率。因为
，所以x p +x q =1。
e x ：平均余命或生命期望值，表示x 岁的人以后还能生存的平均年数。若假设死亡发生在每一年的年中，则有
在寿险数理的计算中，还要遇到一些符号：
x t p ：表示x 岁的人在t 年年末仍生存的概率。
x t q ：表示x 岁的人在t 年内死亡的概率。
x u t q ：表示x 岁的人在生存t 年后U 年内死亡的概率。
当u=1时，用x t q 表示x 岁的人在生存t 年后的那一年(t+1年)中死亡的概率。
证明
二、趸交纯保险费
(一)定期人寿保险的纯保险费
假定保险期限为n 年。按照定期人寿保险的承保条件：如果被保险人在保险期内遭遇死亡，则由保险公司按保险金额作给付；如果被保险人生存至期满，则保险公司无须支付。
假定被保险人的年龄为x 岁，年初每个投保人应交的纯保险费为A 1x :n 元，则保险公司
收取的纯保险费总额为l x ·A 1x:n 元。
依据生命表的规律，第一年有d x 个人死亡，每人给付1元，共d x 元，给付额的现值为
vd x 元；第二年有d x +1个人死亡，给付额的现值为v 2d x+1元；依此类推，第n 年有d x+n-1个人
死亡，其现值为v n d x+n-1。
依据收支相等原则，保险公司支付保险金的现值总和与期初纯保险费的总和应相等。即有：
其中，i
v +=11为折现率。如果令：
则可得到：
(二)终身人寿保险的纯保险费
终身人寿保险的保险期间亘于被保险人的一生，仅于被保险人死亡时给付保险金。各个国家的生命表，都有一个最终年龄，因此，终身人寿保险可以看做是一种长期的定期人寿保险，故其趸交纯保险费的计算，只需将一般定期人寿保险的纯保险费中的n 年作相应的变化
即可。假设生命表中所定最终年龄为ω岁，则有：
如果令：
则定期和终身人寿保险的纯保险费可分别表示如下：
(三)纯粹生存保险的纯保险费
生存保险以被保险人在一定时期内继续生存为条件，由保险人负给付保险金的责任。假若被保险人不幸在期内死亡，则合同终止，保险人不作任何给付。故生存保险金给付的多少，由到期时还生存的被保险人的数量决定。
假定x岁的人投保n年定期生存保险，所交的纯保险费为n E x元，投保时共有l x人，则纯保险费总额为l x*n E x元。n年后的生存人数为l x+n人。考虑利息因素，依据收支相等原则，有：
整理后可得：
(四)混合保险的纯保险费
混合保险是一种生死合险，即被保险人不论生存或死亡，到达一定时期后，保险人均须给付定额保险金。所以，这种保险可以看作定期保险与生存保险的组合。如果把保险期限为n年的混合保险的纯保险费记为A x:n，则应有：
三、年金保险的纯保险费
年金的意义是每年收取或支付一次款项，数额一般是相同的。但实际上在约定期内按一定的间隔时期，如每半年、每季或每月收付一次的，也都称为年金。
保险公司对年金保险的承保责任是被保险人的终身或者在一定时期内，被保险人生存时每隔一定时期(一般为一年)，由保险公司按期支付一次年金直至被保险人死亡或保险期限届满为止。
年金保险的过程，可分为两段：从趸交年金现价时起或分期交费的第一次交费时起，直至给付周期开始以前，为第一段，叫做“现价积累期”；从给付周期开始至满期停付或死亡停付时止，为第二段，叫做“年金给付期”。
年金有即期年金与延期年金之分。在保险合同成立后，立即开始支付年金者，叫即期年金。而延期年金则是在保险合同成立后，需要等待一定时期或要到某个年龄才开始支付。不
论是即期年金还是延期年金，都有期首付与期末付两种情形。
(一)即期年金
假定x岁的人投保期限为n年的年金保险。保险公司每年初支付的保险金分别为l x元、l x+1元、……、l x+n-1元。设投保人应交的纯保险费为a x:n元，将支付的保险金折算成现值，则依据收支相等原则应有：
如果将给付周期改为终身，则可得到：
令：
则可将上面两个公式变为：
仍然假定x岁的人投保期限为n年的年金保险，但将保险公司每年初支付保险金条件改为在年末支付，则保险公司每年年初支付的保险金分别为l x+1元、l x+2元、……l x+n元。
用与上面同样的方法可以得到期末付定期年金的纯保险费为：
同理不难推出期末付终身年金的纯保险费为：
(二)延期年金
延期年金与即期年金所不同的是：在保险合同成立之后，保险人要在一定时期或被保险人达到一定年龄后，才开始给付年金。因此，相应的延期年金的纯保险费的计算，只需按照对应的即期年金纯保险费的计算方法，将每一次给付金额的现值作一修改即可。
例如，x岁的人投保期限为n年的年金保险，m年后开始(在期首)给付，即延期m年。用m|a x：n表示n年定期期首付延期年金的纯保险费，由收支相等原则有：
整理后可得：
用同样的方法可以得到期末付定期延期年金的纯保险费为：
期首付延期终身年金的纯保险费为：
期末付延期终身年金的纯保险费为：
四、年度纯保险费
趸交纯保险费的金额往往较大，可能成为投保人的经济负担。为了解决投保人的这个负担，保险公司一般允许投保人在购买保险时，将保险费分期按年、按季、按月或每半年交付一次，而以一年交付一次的方式最为普遍。按年交付的保险费即为年度保险费。
假定n年定期死亡保险的纯保险费分m年付清，用m P x:n来表示期首交付的年度纯保费，则保险公司各年收取的纯保险费分别为元、元、…、
元。不难理解年度纯保费的现值之和应与一次付足的纯保费的现值相等，即应有：
整理后可得：
人寿保险纯费率的计算，被公认为比其他保险种类纯费率的准确度高，其原因是由生命表提供的死亡率准确度高。
五、人寿保险的毛保险费
保险公司所收取保险费，应足以应付保险给付的支出及费用的开支。用来作为给付的那部分保险费是纯保险费，而用来作为业务费用开支的那部分保险费称为附加保费。纯保险费与附加保费之和称为毛保险费。
人寿保险的各项费用开支，有几种不同的性质。有些是在第一年承保时一次支出的，例如对被保险人的体检费用及业务招揽费用等，这些费用称为原始费用；有些是按保额计算的，例如公司的一般管理费用；有些是按毛保险费的一定比例计算的，例如代理手续费。所以，在计算附加保险费时，对不同性质的业务开支，要作不同的处理。
上述的原始费用，在保险公司方面，仅与保险的第一年有关，但对被保险人而言，每年的年度保险费应该是相同的。所以，公司对原始费用，不应单纯地将它全部加在第一年的纯保险费上，{而需将它均匀地分摊到各期的保险费上。
如果被保险人在投保时的年龄为x岁，保险期限为n年，保险费分m次期首交付，再假定全部原始费用为α元，在每一年度保险费上应摊加的金额为s元。很显然，这些摊加在每一年度的费用的现值的积存值与原始费用的现值相等，于是下式成立：
由此可以得到：
毛保险费的计算，并没有固定的公式，按照各种不同性质的开支计加的附加费率，是根据对公司业务费用的分析及将来的预测来决定的。同纯保险费的计算一样，毛保险费的计算也要依据收支相等原则。
【例题】毛保险费的计算。如果被保险人在投保时的年龄为x岁，保险期限为n年，保险费分m次期首交付，再假定全都原始费用为α元，每年的管理费为β元，代理手续费占毛保险费的比例为γ。求保险金额为1元的混合保险的年交毛保险费。
设年交毛保险费为P，我们可以作如下分析，见表12—1。
表12—1毛保险费计算分析表
由上表可以得到：
(1)毛保险费的现值总和为
(2)保险金支出的现值为
(3)预定费用开支的现值如下：
原始费用α元(将由各年保费分摊)；
管理费元；
手续费元。
根据收支相等原则应有：
整理后可得：
上述计算毛保险费的方法称为三元素法，其优点是计算结果精确，但其计算过程复杂。实务中可采用较为简单的比例法和比例常数法计算毛保险费。
比例法假定附加保费为毛保费的一定比例，设为K。如果纯保费为P，毛保费为P'，则：
由此可得：
比例常数法则根据每张保单的平均保额，推算出每单位保额所必须支付的费用，作为一个固定常数(用C表示)，然后再确定一个毛保费的比例作为附加费用，由此有：
所以：
六、理论责任准备金及其计算
人寿保险保费在趸交情况下，保险公司必须提存一部分以应付以后的给付。在分期按年度交费的情况下，大多数是按均衡保险费进行的。一般而言，在保险全过程的初期若干年中，保险公司的保费收入大于其所应支付给受益人的保险金；而在后期若干年中，其所收入的保费小于应支付给受益人的保险金。所以，保险公司必须把保险前期收入的部分保费积存起来，以弥补后期的不足。另外，人寿保险的许多险种都带有储蓄性质，保险公司必须将到期应给付的保险金准备好。这种从保费中抽出一部分作提存的金额，称为责任准备金。
由于附加保费是用来抵付业务开支之用的，故在计算准备金时应以纯保险费为基础。
人寿保险的责任准备金，是保险人向投保人所收取的纯保险费，加上按事先约定的年利率复利结算方式计算的本利和，与人寿保险合同中所规定的保险人应在当年所支付保险金的差额；从被保险人方面来说，是他所交付的纯保险费的本利和，与他当年应分摊的给付保险金之间的差额。
责任准备金实质上是保险人对被保险人或其收益人的一种负债。责任准备金的提存，主要是为了保证对被保险人或其收益人按合同规定支付保险金。此外，如果被保险人在保险期满前中途退保，或改变保费交付方式，或改变领取保险金方式，保险人应根据当前所应提存的责任准备金的多少，计算退保金或保险金的数额。
责任准备金可分为理论责任准备金和在其基础上修正后的实际责任准备金。
理论责任准备金的计算，有过去法和未来法之分。
(一)过去法
过去法以分析已交的纯保险费为出发点。假定生命表内所列年龄为x岁的人，全部向保险公司投保同一保险条件、同一保险期限、同一交费次数的人寿保险，保险金额均为l元，则在投保后第t年年末，被保险人的年龄为x+t岁，届时保险公司对全体被保险人提存的责任准备金应等于：在被保险人的年龄为x+t岁时，已交纯保险费的积存值，减去被保险人的年龄为x+t岁时，根据生命表保险公司已支付的保险金的积存值。由于这种计算方式涉及生存分红年金和期末死亡保险费，故我们仅在此给出相应的计算公式(用t V x表示在第t年的准备金)。
如果交费次数与保险年限相同，则：
如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t≤m，则：
如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t>m，则：
如果是纯粹生存保险，由于保险公司在以往t年内并未有任何给付，上面公式中含有M；的项目均不出现。
假定某人现年x岁，投保n年定期死亡保险，保险金额为z元，保险费一次趸交，不难求出在 t年年末应提存的准备金为：
这说明，第t年年末应提存的准备金，正好是x+t岁的人，投保(n,-t)年期定期死亡保险的趸交纯保险费。准备金之意义由此可见一般。
(二)未来法
未来法是与过去法相对的一种方法，它以分析未交的纯保险费为出发点。按照这一方法，在被保险人x+t岁时，t V m的值等于未来的保险责任的现值减去待收保险费的现值。前者等于被保险人自x+t岁开始投保的保险责任，即自x+t岁起至到期日为止的趸交纯保费。后者形成一种前付生存年金，以原保险单上待收的年度纯保险费作为每年的固定收入额。根据这种分析，以定期死亡保险为例，责任准备金的计算公式如下：
如果交费次数与保险年限相同，则：
如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t≤m，则因在计算准备金时尚有(m—t)次年度保险费可收，所以：
如果保险期限为n年，保险费在最初m年交付，t>m，则在计算准备金时已无待收的保险费，所以：
在上述三个公式中．如果将x+n推至极限年龄ω，则可得到终身死亡保险的准备金计
算公式：如果将第一项分别改为或，则分别得到生存保险或混合保险的责任准备金的汁算公式。
需要说明的是：理论责任准备金仅与保险条件、保险期限、交费方式以及保险金额等有关，而与计算方法无关。因为，根据计算纯保险费的基本原理公式：
经过t年后，有如下关系：
将上面的等式移项有：
上式左端所得结果即为按过去法所得的t V x，右端所得结果即为按未来法所得的t V x。一般而言，按未来法计算显得方便一些。
七、实际责任准备金及其计算
利用均衡纯保险费计算准备金，必须假定附加费用足以支付实际的各项费用的开支。因为每年的纯保险费相等，故附加费用每年也相同，这就要求每年的实际费用支出相等。然而实际情况却非如此。由于原始费用的关系，第一年的费用要比以后各年的费用大得多。因此，保险公司实际提存的准备金并不与理论准备金相同，而是将理论准备金加以必要的修正计算出来的。这种修正后的准备金称为实际责任准备金，又称修正责任准备金。不论采用什么方式对理论责任准备金加以修正，在保单到期时的实际责任准备金应与理论责任准备金相同。
为讨论问题的方便，我们假定承保有下面的具有代表意义的保单：
某年龄为x岁的人．投保n年定期混合保险，保险金额为l元，保险费自保单开始时起分m年交付。
由于保险公司开始承保的第一年的年度毛保险费P减去年度纯保险费m P x:n的余额不足抵付当年的开支，故将第一年的纯保险费修订为一个较小的P(1)，使保险公司有(m P x:n-P(1))元的金额以应付当年的开支，同时将第二年及以后各年的年度纯保险费修正为P(2)=P(3)=…= P(m)。换言之，在第一年少收的纯保险费，要从第二年以后的纯保险费内弥补。
在修正准备金时，第一个问题是如何决定第一年度的纯保险费P(1)及第二年以后的纯保险费P(2)=P(3)=…=P(m)，如果令P(1)与P(2)差额为α，则有：
这里的α称为扣除额。因为P(1)，P(2)，…，P(m)为各年的年度纯保险费，故其现值应气趸交纯保险费的现值相等，即：
又因为
联合上面两式整理后可得：
可见，只要使α等于某个规定值，就可求出对应的P(1)及P(2)。
显然，对于扣除额α的数值是不能随意规定的，而应有一定的限制。例如，保险公司在第一年的给付，在理论上应等于自然纯保费c x，故P(1)不论怎样都不得小于c x，即应有：
因此
不难求出α的最高限额为：
同理论责任准备金的计算一样，实际责任准备金的计算也可分别用过去法或未来法进行，在此我们不再说明。总之，实际责任准备金计算的关键在于恰当地确定α的值。实务上采用的所谓一年定期修正制、终身保险修正制、扣除制等的差别在于选取的α的值不同。
保险精算试题
共 4 页 第 1 页 保险精算复习自测题（90分钟） 选择题（20分） 1.（20）购买了一种终身生存年金，该年金规定第一年初给付500元，以后只要生存每年初增加100元，该生存年金的精算现值为（ ）。 A... .. 2020400100()a I a + B.2020400100()a I a + C... .. 2020500100()a I a + D.2020500100()a I a + 2. UDD 假设 若q 50=0.004,在UDD 假设下0.5p 50等于（ ）。 3. 每次期初支付10000元,一年支付m 次,共支付n 年的生存年金的精算现值表示为（ ）。 A.() ..:10000m x n m a B.() :10000m x n ma C.() ..:10000m x n nm a D.() :10000m x n nm a 4.关于（x ）的一份2年定期保险，有如下条件：（1）0.02(1)x k q k +=+ 0,1k =（2）0.06i =（3）在死亡年末支付额如下： k 1k b + b1 1 b2 若 z 是死亡给付现值的随机变量则()E Z 等于（ ）。
共 4 页 第 2 页 填空题（20分） 1.按缴费方式和保险金的给付方式，把寿险分为 、 、 。 2.若一个人在x 岁时死亡，此时随机变量T （30）= ，K(50)= 。 3. = ，35:]1000n n V 。 4.日本采用的计算最低现金价值的方法是 。 5.专业英语：Nominal interest 中文意思是 。 6.生存年金精算现值的计算方法 和 。 7.假设i=5%,现向银行存入1万元，在以后的每年末可取出 元。 8.假设40l =A ，50l =B ，则1040q = 。 9.责任准备金的两种计算方法为 、 。 1 20:] 1000t t V
最新保险精算第二版习题及答案93020
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保险精算第二版习题及答案
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保险精算习题及答案
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10. 基金X中的投资以利息强度(0?t?20), 基金Y中的投资以年实际利率积累;现分别,,，0.010.1tit 投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基 金Y的积累值。 11. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为( )万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为( )元。 A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987 第二章:年金 练习题 nmvviaa,,,1(证明。，，mn 1 2(某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首 期付款额A。 3. 已知 , , , 计算。 a,5.153a,7.036a,9.180i71118 4(某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其 每年生活费用。 5(年金A的给付情况是:1,10年，每年年末给付1000元;11,20年，每年年末 给付2000元;21,30年，每年年末给付1000元。年金B在1,10年，每年给付额为K元;11,20年给付额为0;21,30年，每年
保险精算学期末复习题目
1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。 解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元） （2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元） 2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。 解：5000（1+8%） 5 ×（1+11%）5=12385（元） 3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。 解：（1）10000×（1+11%） -4 =5934.51（元） （2）10000×（1-11%）4=6274.22（元） 4．假设1000元在半年后成为1200元，求 ⑴ )2(i ，⑵ i, ⑶ ) 3(d 。 解：⑴ 1200)2 1(1000) 2(=+?i ；所以4.0)2(==i ⑵2 )2()2 1(1i i +=+；所以44.0=i ⑶n n m m n d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1() (1)(； 所以， 13)3()1()3 1(-+=-i d ；34335.0)3(=d 5．当1>n 时，证明：i i d d n n <<<<) ()(δ。 证明：①) (n d d < 因 为 ， +?-?+?-?=-=-3) (3 2)(2)(10)()()(1)1(1n d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n ) (1n d -> 所以得到，) (n d d <；
保险精算第1章习题答案
第1章 习题答案 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 解： 100)0(100)0(.k )0(2=+?==b a a A 或者由1)0(=a 得1=b 180)15(100)5(100)5(2=+?=?=a a A 得032.0=a 以第5期为初始期，则第8期相当于第三期，则对应的积累值为： 4.386)13032.0(300)3(2=+??=A 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 解：（1）A(0)=100；A(1)=100+10×1=110；A(2)=120；A(3)=130；A(4)=140；A(5)=150 ； ； 。 （2）A(0)=100；；；；； 。 ； ； 。 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 解：单利条件下： 得； 则投资800元在5年后的积累值：； 在复利条件下： 得 则投资800元在5年后的积累值：。 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率
为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 解： 得元。 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 解：（1） 元 （2） 得 10000元在第3年年末的积累值为： 元 6．设m ＞1，按从大到小的次序排列，，，与。 解：，所以，。 ，在的条件下可得。 ，在的条件下可得 。 对其求一阶导数得得 对其求一阶导数，同理得。 由于，所以，同理可得。 综上得： 7．如果0.01t t δ=，求10 000元在第12年年末的积累值。 解：元 8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。 解：注意利用如下关系：则 则根据上述关系可得：
保险精算练习题2012
1、设死力1000,100≤≤-= x x x x μ，试求 （1）随机变量x 的分布函数与密度函数 （2）)4020(≥ 利率为10%，求该险种的趸缴保险费。 5、 ) ()2(),()1(0,,,1T T T T t t x t v b Var v b E t b >===+δδμμ利力设给付函数 6、试证： ..1)2()1(x x x a d Ax da v A -=-= 7、设年龄为30岁的男人，购买离散型的递增的30年定期寿险。保险利益是：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付1000元，在第二个保单年度内死亡，则给付1100元，在第三个保单年度内死亡死亡，则给付1200元，依次下去，直到第30个保单年度内死亡，给付3900元。试求该保单的趸缴保费。（假设利率为6%） 8、如果一个x 岁的人获得了一份每年1单位元的连续年金，试用随机变量Y 表示给付变量的现值。 （1）用（x ）的余寿随机变量T 的函数表示Y （2）利用Y 是T 的函数这一条件计算年金的精算现值x a （3）利用Y 推导出x A 与x a 的关系式。 寿险精算 一、填空题 1、生命表依据编制对象的不同，可以分为：________和________。 2、根据保险标的的属性不同，保险可分为：________和______________。 3、寿险精算中的基本参数主要有：_________、_______________、_______________。 4、生命表的创始人是___________。 5、生命表方法的实质是_________________________________________________。 6、投保保额为1单位元数的终身寿险，按年度实质贴现率v 复利计息，赔付现值变量为： _____________________。 7、n 年定期两全险是___________和_____________的组合。 8、终身寿险死亡即刻赔付趸缴净保费公式为______________________________。 9、已知05.0,5a ,8a 2===δx x ，则=)(a |T a r V __________. 10、1—_______|:n x a d = 二、选择题 1、世界上第一张简略生命表是（ ） A.1662年约翰?格兰编制的生命表 B ．1693年埃德蒙?哈雷编制的生命表； C ．詹姆斯?道森编制的生命表 D ．1724年亚伯拉罕?棣模佛编制的生命表 2、保险精算遵循的最重要原则是（ ） A ．补偿性原则 B ．资产负债匹配原则 C ．收支平衡原则 D ．均衡保费原则 3、某10年期确定年金，每4月末给付800元，月利率为2%，则该年金的现值为（ ）。 4、 已知死力μ=0.045，利息力δ=0.055，则每年支付金额1，连续支付的终身生存年金的精算现值为（ ）。 A ．9； B.10； C.11； D.12。 5、下列错误的公式是 （） A.()()x s x s ,x =μ B.()()dt P d t x t T =f C.()()()x s t x s x s q x +-=t D.()x s x =p 0 6、设某地新生婴儿未来寿命随机变量Ｘ在区间［0,100］上服从均匀分布，x ∈(0,100) 则（ ） A.s(x)=x/100 B.s(x)=1/100 C.s(x)=1-x/100 D.s(x)=100x 7、 8、 9、下列不是有关分数年龄的假设常用的插值方法的是（） A.线性插值 B.调和插值 C.几何插值 D.牛顿插值 10.下列关系不正确的是（） A.x t x t x p l l ?=+ B.x x x q l d ?= C.x x x L d m = D.t x x x l l p +=t 三、简答题 1.你认为保险精算对保险经营有何重要意义？ 1319010104吉可夫 案例分析 通过第四章课后习题第7，9题分析定期寿险和终身寿险的基本运算： 7．现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：因为案例中给的是付趸缴纯保费，所以用公式求出保险金额与自然保费（根据每一保险年度，每一被保险人当年年龄的预定死亡率就算出来的）这个公式跟年金公式想象，可以把自然保费联想成年金，个人感觉自然保费的付费方式跟年金一样。 1 130:20 30:20 50005000RA R A =?= 其中 19 1111303030303030:200 030303030313249 2320303050 30 1 11111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k k k k k k k k k k l d A v p q v v d l l l d d d d l M M D ∞ ∞ +++++++===+====++++-= ∑∑∑ 其中各项就像年金的v 一样，累计相加，求各期期末应交的保险金为1的寿险。也可化简为M （30到50岁之间的死亡率）和D （30岁以 后的生存人数与i=0.06的年利率相乘） 查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据 3030313249,,,l d d d d 带入计算即可，或者i=0.06以及（2000-2003）男 性或者女性非养老金业务生命表换算表305030,,M M D 带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据。 12320 30:20 11111 (8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06) 0.017785596 281126.3727 A R =++++== 9．现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为1 110|35 35:10 1500020000A A + 其中 99 11 11 353535353535:10 00 035353535363744 231035354535111111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06)13590.2212077.31 0.01187127469.03k k k k k k k k k k k k l d A v p q v v d l l l d d d d l M M D ∞+++++++===+====++++--===∑∑∑ 为35岁购买在10年内死亡应交的自然保费110|3535:101500020000A A +为10年后死亡应交的自然保费。 991111 353535353535:10000 35353535363744 231035354535111111 ()1.06(1.06)(1.06)(1.06) 13590.2212077.31 0.01187 127469.03 k k k k k k k k k k k k l d A v p q v v d l l l d d d d l M M D ∞ +++++++===+====++++--===∑∑∑ 1 假设某人群的生存函数为()1,0100100 x S x x =-≤≤ 求： 一个刚出生的婴儿活不到50岁的概率； 一个刚出生的婴儿寿命超过80岁的概率； 一个刚出生的婴儿会在60～70岁之间死亡的概率； 一个活到30岁的人活不到60岁的概率。 2 已知给出生存函数()20S x = ,0100x ≤≤，计算(75),(75)F f ,()75μ 3、已知 10000(1)100 x x l =- 计算下面各值： （1）30203030303010,,,d p q q （2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命（假定极限年龄为100）。 4、设 ()1 , 0100100 0.1x S x x i =- ≤≤= 求：第一问： 130:101 (2)()t A Var z （） 第二问： 30:101 (2)()t A Var z （） 5、设(x)投保终身寿险，保险金额为1元，保险金在死亡即刻赔付，签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为 1 , 060(t)60 0 , T t f ?<≤?=???其它 计算 0.90.91(2)() (3)Pr()0.9. x t A Var z z ξξ≤=（）的 6、假设（x ）投保延期10年的终身寿险，保额1元。保险金在死亡即刻赔付。已知0.040.06(),0x S x e x δ-==≥， 求：10t (1) (2)Var(z )x A , 7、90岁的人生存情况如下表。求 1、死亡年末给付1000元的趸缴浄保费 8、现年30岁的人购买了一份递减的5年定期寿险保单。保险金于死亡年末给付，第一个保单年度内死亡，则给付5万元；第二个保单年度内死亡，则给付4万元——；第5个保单年度内死亡，则给付1万元，设年利率为6%，用中国人寿保险业经验生命表非养老金业务男表计算其趸缴纯保费。 9、假设有100个相互独立的年龄为x 岁的被保险人都投保了保险金额10元的终身寿险,随机变量T 的概率密度是()()0.04,0t T f t e t μμμ-==≥.保险金于被保险人死亡时给付,保险金给付是从某项基金中按利息强度0.06δ=计息支付.试计算这项基金在最初()0t =时的数额至少为多少时,才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的死亡给付的概率达到95% 10、 假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且0.05δ=，计算（30）所购买的终身连续生存年金。用三种方法计算。 11、有一种终身年金产品，每年连续给付生存年金1000元。 现在开发一种新产品，在原来年金给付的基础上增加死亡即刻给付X 万元。 假定利息力为5％，求：当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值的方差最小？ 12、 在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求 （1）x a （2）T a 的标准差 （3） T a 超过x a 的概率。 13、 8x a =，25x a =，0.05δ= 14、 设一现值变量为,0(),()n T a T x n Y a T x n ≤≤??=?>?? 计算()x n E Y a - 15—20题 课本45页课后习题。 第十二章保险精算 本章要点 1．保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。 2．保险精算的基本任务。在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。保险精算的首要任务是保险费率的确定，但这并不是保险精算的全部。伴随着金融深化的利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究的核心问题。在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。 3．保险精算的基本原理。保险精算其最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。所谓收支相等原则，就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。 4．在非寿险精算实务中，确定保险费率的方法主要有观察法、分类法和增减法。 5．在一定的要求之下，“大数”由下面的公式来测定： 6．自留额与分保额的决策。假定在原有业务上，赔偿基金为P1，赔偿金额标准差为Q1，则。现将另外接受n个保险单位，保额为x元，纯费率为q，则合并业务后要使K1+2仍维持K1的值，则应有： 当q十分小时，可近似得到： 即要维持原有的财务稳定性，对于新接受的业务，如果保险金额在x以下，则可全部自留；对于保险金额超过x的新业务，自留额以x为限，超过部分予以分保。 7．寿险精算的计算原理及公式。 8．理论责任准备金及其计算。 9．实际责任准备金及其计算。 第一节保险精算概述 一、保险精算的概念和基本任务 所谓精算，就是运用数学、统计学、金融学及人口学等学科的知识和原理，去解决工作中的实际问题，进而为决策提供科学依据。 精品文档 海南医学院试题（A ） （2009-2010 学年 第一学期 期末） 考试课程： 保险精算 考试年级：2006医保本 考试日期： 2009年11月24日 考试时间：120分钟 卷面总分：100分 一、选择题（每题2分，共20分） ————————————————————————————————— A1 型 题 每一道题有A,B,C,D 四个备选答案，在答题时只需从5个备选答案中 选择一个最合适的作为正确答案，并在答卷上将相应题号的相应字母 填写在括号内。 ————————————————————————————————— 1. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ B ）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 2．关于单利与复利的比较，下列说法错误的是（D ） A ．单个度量期（t=1）:1+it=(1+i)t ，结果相同 B ．较长时期（t>1）:(1+i)t >1+it ，复利产生更大积累值 C ．较短时期（t<1）:(1+i)t <1+it ，单利产生更大积累值 D ．单利同样长时间积累值增长的相对比率保持为常数。而复利同样长时间积累值增长的绝对金额为常数。 3. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( A ) A. 113n ?? ??? B. 1 3n C. 13n ?? ??? D.3n 4．下列关系错误的是（D ） A ． B ． C 、 D 、 5．下列关于死亡概率，关系表述错误的是（D ） A 、 B 、 C D 、 6．下列关于半连续型寿险的纯保费，错误的是（C ） A 、 B 、 C D .... (1)n n n a i s +=.. (1)n n s s i =+.. (1)n n a a i =+()()m m n n n s a v =x n x n x n x n x x n n x x x n d l d q p q l l l +++++=?=?｜＝x n x n m x n m x l l q l +++-｜＝x n m x n x n m q q q +=-｜x n x n m x n n m q p q ++=?｜()x x x x i P A A a p δ==?11 1()x n x n x n x n i P A A a p δ==：：：： 1 ()x n x n x n x n i P A A a p δ==：：：：()x x h x h x h i P A A a p δ ==： 第一章生命表 1．给出生存函数() 2 2500 x s x e- =，求： (1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。 2.已知生存函数S(x)=1000-x3/2 ,0≤x≤100，求（1）F（x）(2)f(x)(3)F T (t)(4)f T (f)(5)E(x) 3. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q 65 。 4.已知Pr［T(30)＞40］=0.70740，Pr［T(30)≤30］=0.13214，求 10p 60 Pr［T(30)＞40］=40P30=S(70)/S（30）=0.7074 S（70）=0.70740×S(30) Pr［T(30)≤30］=S(30)-S(60)/S(30)=0.13214 S(60)=0.86786×S(30) ∴ 10p 60= S(70)/S（60）=0.70740/0.86786=0.81511 5.给出45岁人的取整余命分布如下表： 求：1）45岁的人在5年内死亡的概率；2）48岁的人在3年内死亡的概率；3）50岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率。 (1)5q 45=（0.0050+0.0060+0.0075+0.0095+0.120）=0.04 6.这题so easy 就自己算吧 7.设一个人数为1000的现年36岁的群体，根据本章中的生命表计算（取整） （1）3年后群体中的预期生存人数（2）在40岁以前死亡的人数（3）在45-50之间挂的人 (1)l 39=l 36×3P 36=l 36(1-3q 36)=1500×（1-0.0055）≈1492 （2）4d 36=l 36×4q 36=1500×（0.005+0.00213）≈11 （3）l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500×(1-0.02169)×0.02235=1500×0.021865≈33 8. 已知800.07q =，803129d =，求81l 。 9. 015.060=q ，017.061=q ，020.062=q ， 计算概率612P ，60|2q ． 612 P =（1-q 61）(1-q 62)=0.96334 60|2q =612P ．q 62=0.01937 10. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。 13.设01000l =，1990l =，2980l =，…，9910l =，1000l =，求：1）人在70岁至80岁之间死亡的概率；2）30岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；3）30岁的人的取整平均余命。 18. 19. 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8 ,1 25300*100(5)300 180300*100300*100(8)(64)508 180180 a b a a b a b a a a b ===+=?===?=+=Q 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== (2)假设()()100 1.1n A n =?，试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4) 0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---= ===== 3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1 A A i i i A ==+++?= 5．确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 一．单项选择 1.世界上第一张简略生命表是（） A.1662 年约翰?格兰编制的生命表； B．1693 年埃德蒙?哈雷编制的生命表； C．詹姆斯?道森编制的生命表； D．1724 年亚伯拉罕?棣模佛编制的生命表。 2.完全平均余命比简略平均余命（）。 A．大0.5 岁；B．大1 岁；C．小0.5 岁；D．小1 岁。 3.保险精算遵循的最重要原则是（）。 A．补偿性原则； B．资产负债匹配原则； C．收支平衡原则； D．均衡保费原则。 4.目前我国寿险行业使用的生命表是（）。 A．1958CSO 生命表； B．日本第三回生命表； C．中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）； D．中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）。 5.某人现在银行存入100000 元，年利率为5%，计划10 年间每年末等额提取，那么每次可提取的金额为( )。 A.12950.42； B.12950.44； C.12950.46； D.12950.48。 6.已知，且，则=（） A．9.93； B. 9.95； C.9.97； D.9.99。 7.已知0.01834 x P = , 14.567 x a = ，则d 最接近于（）。 A. 0.0453； B. 0.0455； C.0.0457； D. 0.0459。 8.已知死力μ = 0.045，利息力δ = 0.055，则每年支付金额1，连续支付的终身生存年金的精算现值为（）。 A．9； B.10； C.11； D.12。 9. （） A.0； B.0.25； C.0.5； D.1。 10. 初年定期式法下的和第一年纯保费为（）。 A.0； B. x vq ； C. x vp ； D. v 。 二．名词解释 1.生命表 2.生存年金 3.N年定期寿险 4.偿债基金 三．简答题 1.生命表的特点 保险精算(第二版) 第一章:利息的基本概念 练 习 题 1.已知()2a t at b =+,如果在0时投资100元,能在时刻5积累到180元,试确定在时刻5投资300元,在时刻8的积累值。 (0)1 (5)25 1.8 0.8,125 300*100(5)300180 300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=?= ==?=+=Q 2.(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---====== (2)假设()()100 1.1n A n =?,试确定 135,,i i i 。 135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4) A A A A A A i i i A A A ---====== 3.已知投资500元,3年后得到120元的利息,试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。 11132153500(3)500(13)6200.08 800(5)800(15)1120 500(3)500(1)6200.0743363 800(5)800(1)1144.97 a i i a i a i i a i =+=?=∴=+==+=?=∴=+= 4.已知某笔投资在3年后的积累值为1000元,第1年的利率为 110%i =,第2年的利率为28%i =,第3年的利率为 36%i =,求该笔投资的原始金额。 123(3)1000(0)(1)(1)(1) (0)794.1A A i i i A ==+++?= 5.确定10000元在第3年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。 《精算技术》公式 第一章 利息理论 1n n v a i -=； ()11n n n v a a i d -=+=； () ()11 1n n n n i s a i i +-=+= ； ?? ? ?? -=11511000x l x ； 1a i ∞=； 1a d ∞=； 1n n v a δ -= ； ()11 n n i s δ +-= ； ()n n n a nv Ia i -= ； ()()()1n n n n s n Is Ia i i -=+=； ()n n n a Da i -=； ()()1n n n n i s Ds i +-= ； ()211Ia i i ∞ =+。 第二章 生命表 22x x x m q m = +； 1x x x l l d +=-； x x x d q l =； ()11 2 x x x L l l += +； 1 x x x t t T L ?--+== ∑ ； x x x T e l = 。 第三章 生存年金 生存年金的概念及其种类。 生存年金现值计算公式 x a :x n a x a x a x a x a -2m x a x a -2m :x n a :x n a -2m )x Ia :)x n Ia )x a :)x n Da 各种年金之间的关系式： x a =:x n a +|n x a | n x a =n x E x n a + x a =1+x a :x n a =1+:1x n a - | n x a =1|n x a - |n m x a =1|n m x a - :x n s =:x n a 1n x E :x n s =:x n a 1n x E ()m x a =()m x a + 1 m ()m x a =():m x n a +()|m n x a () | m n x a =n x E ()m x n a + 转换函数的定义 2 ?关于单利与复利的比较，下列说法错误的是(D) 海南医学院试题（A） （2009-2010学年第一学期期末） 考试课程考试年级考试日期考试时 间 保险精算 2006医保本 2009年11月24日 120分钟 卷面总分: 100分 A1 每一道题有A,B,C,D四个备选答案，在 答题时只需从5个备选答案中 选择一个最合适的作为正确答案，并在 答卷上将相应题号的相应字母 填写在括号 内。 1.某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义 利率6%投资，到2004年末的积累值为（B）万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 A .单个度量期（t=1）:1+it=（1+i） t ，结果相同 B ?较长时期（t>1）:（1+i）t>1+it，复利产生更大积 累值 C ?较短时期（t<1）:（1+i） t <1+it，单利产生更大积 累值 D ?单利同样长时间积累值增长的相对比率保持为常数。 而复利同样长时间积累值增长的绝对金额为常数。 3.某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为 永续年金，前两个孩子第1到n年每年末 平分所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩 子，若三个孩子所领取的年金现值相等，那么 v=（ A ） 1 1盲 A. 3 4 ?下列关系错误的是（D） A ? B ? C、 D、 5 ?下列关于死亡概率，关系表述错误的是（D） A、 B、 C D、 6 ?下列关于半连续型寿险的纯保费，错误的是（C） A、 B、 C D 7 ?保险费用主要包括哪几大类（A） A、新契约费，维持费，营业费用，理赔费用 B、投资费用，维持费，营业费用，理赔费用 C、投资费用，新契约费，维持费，营业费用 D、新契约费，维持费，投资费用，理赔费用 8 ?下列哪项不是计算保单红利的方法（B） A、经验调整法 B、保费和损失结合法 C、三元素法 D、经验保费法 9?入:亍表示的是（A） B. 3n C. D.3n 1．设随机变量T ＝T(x)的概率密度函数为0.015()0.015t f t e -=?(t ≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算精算现值x a 。 2．设10x a =, 27.375x a =, ()50T Var a =。试求：（1）δ；（2）x ā。 3．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。 4．某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 5．某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD 假设和利率6%下，计算其精算现值。 6．在UDD 假设下，试证： (1) ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- 。 (2) ()()::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- 。 （3）()()::1(1)m m n x x n x n a a E m =-- 。 7．试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。 8．试证： (1) ()()m x x m a a i δ = (2) ():() :m x n m x n a a i δ= 。 (3) ()lim m x x m a a →∞= 。 (4) 12x x a a ≈- 。 9．很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金，缴付到64岁为止。到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R 。 10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知10x a = ， 26x a = ，124 i =，求Y 的方差。 11．某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。 12．某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13. 给定 (4) 17.287a ∞= ，0.1025x A =。已知在每一年龄年UDD 假设成立，则(4)x a寿险精算期末试题
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