2019-2020学年江苏省泰州中学附中七年级(下)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省泰州中学附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）下列运算结果正确的是( ) A ．32a a a ÷=
B ．235()a a =
C ．236a a a =
D ．33(2)6a a =
2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A ．28x 3224y x = 3y B ．( 1)(x + 21)1x x -=- C ．3313(x y --= )1x y --
D ．2816(x x -+= 24)x -
3．（3分）已知实数a 、b ，若a b >，则下列结论错误的是( ) A ．77a b ->-
B ．33a b +>+
C ．
55
a b
> D ．33a b ->-
4．（3分）若多项式2(1)(3)x x x ax b +-=++，则a ，b 的值分别是( ) A ．2a =，3b =
B ．2a =-，3b =-
C ．2a =-，3b =
D ．2a =，3b =-
5．（3分）把面值20元的纸币换成1元或5元的纸币，则换法共有( ) A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
6．（3分）如图，图（1）的正方形的周长与图（2）的长方形的周长相等，且长方形的长比宽多a cm ，则正方形的面积与长方形的面积的差为( )
A ．2a
B ．21
2
a
C ．213
a
D ．214
a
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
7．（3分）已知某种植物花粉的直径为0.00033cm ，将数据0.00033用科学记数法表示为 ．
8．（3分）如果29mx x -+是一个完全平方式，则m 的值为 ． 9．（3分）不等式
121
23
x x -->
的非负整数解为 ． 10．（3分）已知5x m =，4y m =，则2x y m += ．
11．（3分）关于x ，y 的方程||22(3)3b a ax b y -+++=是二元一次方程，则b a = ．
12．（3分）若1
4x y =-??=?
是二元一次方程35x ay +=的一组解，则a = ．
13．（3分）若把代数式245x x --化成2()x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m k += ．
14．（3分）已知关于x 的不等式组521
0x x a --??->?
无解，则a 的取值范围为 ．
15．（3分）已知：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，?，设
248162(31)(31)(31)(31)(31)1A =++++++，则A 的个位数字是 ．
16．（3分）已知关于x ，y 的方程组213(3411x y m
m x y m +=+??-=-?
为大于0的常数），且在x ，y 之间
（不包含x ，)y 有且只有3个整数，则m 取值范围 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： （1）2201
(2)3()3
----÷-；
（2）22(21)(21)x x -+． 18．（8分）因式分解： （1）249x -； （2）22344ab a b b --．
19．（10分）解二元一次方程组： （1）523150x y x y =+??+-=?；
（2）3()4()4
27x y x y x y +--=??+=?
．
20．（10分）解不等式（组) （1）解不等式114
136
x x x +-+
-
，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式835113
x x x x ->??
+?-??，并写出它的所有整数解．
21．（8分）先化简，再求值：2(21)2(1)(1)(2)x x x x x --+---，其中2230x x --=． 22．（8分）若x ，y 为任意有理数，比较6xy 与229x y +的大小．
23．（12分）实验中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A 型、B 型两种型号的放大镜．若购买100个A 型放大镜和150个B 型放大镜需用1500元；若购买120个A 型放大镜和160个B 型放大镜需用1720元．
（1）求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元；
（2）学校决定购买A 型放大镜和B 型放大镜共75个，总费用不超过570元，那么最多可以购买多少个A 型放大镜？
24．（12分）（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x 、y
的等式表示） ． （2）若2(32)5x y -=，2(32)9x y +=，求xy 的值； （3）若25x y +=，2xy =，求2x y -的值．
25．（12分）已知关于x 、y 的二元一次方程组21
(322
x y k x y k +=??
?-=-??为常数）
． （1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）； （2）若2(42)1y x +=，求k 的值； （3）若1
4
k
，设364m x y =+，且m 为正整数，求m 的值． 26．（14分）如图2，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF ，GH 分割成四个小长方形，EF 与GH 交于点P ，设BF 长为a ，BG 长为b ，GBF ?的周长为m ． （1）①用含a ，b ，m 的式子表示GF 的长为 ． ②用含a ，b 的式子表示长方形EPHD 的面积为 ． （2）已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 例如在图1ABC ?中，90ABC ∠=?，则222AB BC AC +=．
请用上述知识解决下列问题：
①写出a，b，m满足的等式．
②若1
m ，求长方形EPHD的面积．
③当m满足什么条件时，长方形EPHD的面积是一个常数？
2019-2020学年江苏省泰州中学附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1．（3分）下列运算结果正确的是( ) A ．32a a a ÷=
B ．235()a a =
C ．236a a a =
D ．33(2)6a a =
【分析】利用同底数幂的除法法则、幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则分别进行计算即可．
【解答】解：A 、32a a a ÷=，故原题计算正确；
B 、236()a a =，故原题计算错误；
C 、235a a a =，故原题计算错误；
D 、33(2)8a a =，故原题计算错误；
故选：A ．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方和积的乘方，关键是熟练掌握各运算法则．
2．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A ．28x 3224y x = 3y B ．( 1)(x + 21)1x x -=- C ．3313(x y --= )1x y --
D ．2816(x x -+= 24)x -
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解； 【解答】解：①是单项式的变形，不是因式分解； ②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解； ④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D 正确； 故选：D ．
【点评】本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．
3．（3分）已知实数a 、b ，若a b >，则下列结论错误的是( )
A ．77a b ->-
B ．33a b +>+
C ．
55
a b > D ．33a b ->-
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A 、两边都减7，不等号的方向不变，故A 正确；
B 、两边都加3，不等号的方向不变，故B 正确；
C 、两边都除以5，不等号的方向不变，故C 正确；
D 、两边都乘3-，不等号的方向改变，故D 错误；
故选：D ．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键，注意不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）若多项式2(1)(3)x x x ax b +-=++，则a ，b 的值分别是( ) A ．2a =，3b =
B ．2a =-，3b =-
C ．2a =-，3b =
D ．2a =，3b =-
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【解答】解：2(1)(3)x x x ax b +-=++， 2223x x x ax b --=++， 2a =-，3b =-，
故选：B ．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键． 5．（3分）把面值20元的纸币换成1元或5元的纸币，则换法共有( ) A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
【分析】设1元和5元的纸币分别有x 、y 张，得到方程520x y +=，然后根据x 、y 都是自然数即可确定x 、y 的值．
【解答】解：设1元和5元的纸币分别有x 、y 张， 把面值20元的纸币换成1元或5元的纸币， 520x y ∴+=， 205x y ∴=-，
而0x ，0y ，且x 、y 是整数，
1y ∴=，2，3，4，0，15x =，10，5，0，20．
∴有5种换法．
故选：B ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，此题首先要正确理解题意，根据题意找出题目的隐含条件，然后利用这些条件列出方程或不等式解决问题．
6．（3分）如图，图（1）的正方形的周长与图（2）的长方形的周长相等，且长方形的长比宽多a cm ，则正方形的面积与长方形的面积的差为( )
A ．2a
B ．21
2
a
C ．213
a
D ．214
a
【分析】设长方形的宽为xcm ，则长为()x a cm +，则正方形的边长为11
()(2)22
x x a x a ++=+；
求出二者面积表达式相减即可．
【解答】解：设长方形的宽为xcm ，则长为()x a cm +， 则正方形的边长为11
()(2)22x x a x a ++=+；
正方形的面积为21
[(2)]2
x a +，
长方形的面积为()x x a +，
二者面积之差为2211
[(2)]()24
x a x x a a +-+=．
故选：D ．
【点评】本题考查了整式的混合运算，设出长方形的宽，据此表示出正方形和长方形的面积表达式是解题的关键．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）
7．（3分）已知某种植物花粉的直径为0.00033cm ，将数据0.00033用科学记数法表示为 43.310-? ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -?，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将数据0.00033用科学记数法表示为43.310-?． 故答案为：43.310-?．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10n a -?，其中
1||10a <，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8．（3分）如果29mx x -+是一个完全平方式，则m 的值为 6± ．
【分析】由两数的平方和加上或减去两数积的2倍，等于两数和或差的平方，即可求出m 的值．
【解答】解：29mx x -+是一个完全平方式， 6m ∴=±．
故答案为：6±
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9．（3分）不等式
121
23
x x -->
的非负整数解为 0 ． 【分析】直接解不等式进而得出x 的取值范围得出答案． 【解答】解：
121
23
x x -->
3(1)2(21)x x ->-，
则3342x x ->-， 故75x ->-， 解得：57
x <， 故不等式
121
23
x x -->
的非负整数解为0． 故答案为：0．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键． 10．（3分）已知5x m =，4y m =，则2x y m += 100 ．
【分析】将所求式子利用同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则变形后，把已知等式代入即可求出值．
【解答】解：5x m =，4y m =，
22()254100x y x y m m m +∴==?=． 故答案为：100．
【点评】此题考查了积的乘方及幂的乘方法则，以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握法则是解本题的关键．
11．（3分）关于x ，y 的方程||22(3)3b a ax b y -+++=是二元一次方程，则b a = 1- ． 【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【解答】解：根据题意得：||21
21030
b a a b -=??+=?
?≠??+≠?，
解得：3b =或3-（舍去），1a =-， 则1b a =-． 故答案是：1-．
【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
12．（3分）若1
4x y =-??=?
是二元一次方程35x ay +=的一组解，则a = 2 ．
【分析】把方程的解代入二元一次方程，即可得到一个关于a 的方程，即可求解． 【解答】解：把1
4x y =-??=?
代入方程得：345a -+=，
解得：2a =． 故答案是：2．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确解一元一次方程是解题的关键．
13．（3分）若把代数式245x x --化成2()x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m k += 7- ．
【分析】根据配方法的步骤先把245x x --的形式，求出m ，k 的值，再代入进行计算即可． 【解答】解：2245(2)9x x x --=--， 所以2m =，9k =-， 所以297m k +=-=-． 故答案是：7-．
【点评】此题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
14．（3分）已知关于x 的不等式组521
0x x a --??->?
无解，则a 的取值范围为 3a ．
【分析】先把a 当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a 的取值范围即可．
【解答】解：5210x x a --??->?
①
②，
由①得，3x ， 由②得，x a >， 不等式组无解，
3a ∴．
故答案为：3a ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
15．（3分）已知：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，?，设
248162(31)(31)(31)(31)(31)1A =++++++，则A 的个位数字是 1 ．
【分析】此题不难发现：3n 的个位数字是3，9，7，1四个一循环，所以
24816(31)(31)(31)(31)(31)+++++的个位是0，则2481672(31)(31)(31)(31)(31)3++++++的个位是0，从而得到A 的个位数字．
【解答】解：3n 的个位数字是3，9，7，1四个一循环，
24816(31)(31)(31)(31)(31)∴+++++的个位是0， 2481672(31)(31)(31)(31)(31)3∴++++++的个位是0，
248162(31)(31)(31)(31)(31)1A ∴=++++++的个位数字是011+=． 故答案为：1．
【点评】考查了尾数特征，此题主要是发现3n 的个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 16．（3分）已知关于x ，y 的方程组213(3411x y m
m x y m +=+??-=-?
为大于0的常数），且在x ，y 之间
（不包含x ，)y 有且只有3个整数，则m 取值范围 2
05
m
< ．
【分析】将m 看做已知数表示出x 与y ，根据解都小于1，求出m 的范围即可； 【解答】解：2133411x y m x y m +=+??-=-?
①
②，
①+②2?得：72121x m =-，即33x m =-； ①3?-②得：73514y m =+，即52y m =+， 在x ，y 之间（不包含x ，)y 有且只有3个整数， 252(33)4m m ∴<+--， 205
m
∴<， 故答案为205
m
<． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，求得方程组的解，根据题意列出不等式组是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算： （1）2201
(2)3()3
----÷-；
（2）22(21)(21)x x -+．
【分析】（1）根据负整数指数幂的定义，有理数的乘方的定义以及任何非零数的零次幂等于1计算即可；
（2）根据积的乘方运算法则，平方差公式以及完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）原式1914=--÷
194=--
194
=-；
（2）原式2[(21)(21)]x x =-+
22[(2)1]x =- 222(4)81x x =-+
421681x x =-+．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及整数的混合运算，熟记相关定义与公式是解答本题的关键．
18．（8分）因式分解： （1）249x -； （2）22344ab a b b --．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式(23)(23)x x =+-； （2）原式22(44)b a ab b =--+
2(2)b a b =--．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（10分）解二元一次方程组： （1）523150x y x y =+??+-=?；
（2）3()4()4
27x y x y x y +--=??+=?
．
【分析】（1）利用代入消元法求出解即可；
（2）将方程组整理为一般式，再利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）523150x y x y =+??+-=?
①
②，
把①代入②得：2(5)3150y y ++-=， 解得1y =，
将1y =代入①得：6x =， 所以方程组的解为6
1x y =??=?
；
（2）原方程组整理得：7427x y x y -+=??+=?
①
②，
①2?+②得：1515y =， 解得1y =，
将1y =代入①得：74x -+=， 解得3x =，
所以方程组的解为3
1x y =??=?
．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20．（10分）解不等式（组) （1）解不等式114
136
x x x +-+
-
，并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式835113
x x x x ->??
+?-??，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）利用不等式的基本性质，先将不等式去分母，再去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解． 【解答】解：（1）去分母，得：62(1)6(14)x x x ++--， 去括号，得：622614x x x ++-+， 移项，得：626142x x x +++-， 合并同类项，得：918x ， 系数化为1，得：2x ， 将解集表示在数轴上如下：
；
（2）835113
x x x x ->??
?+-??
①
②，
解不等式①得：2x <，
解不等式②得：2x -， 则不等式组的解集为22x -<，
∴不等式组的整数解为2-、1-、0、1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组)，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（8分）先化简，再求值：2(21)2(1)(1)(2)x x x x x --+---，其中2230x x --=． 【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则对代数式进行化简，再变形2230x x --=，然后代入化简后的代数式求出结果． 【解答】解：原式2224412(1)2x x x x x =-+---+ 222441222x x x x x =-+-+-+ 223x x =-+
其中2230x x --=， 223x x ∴-=．
所以原式33=+ 6=．
【点评】本题考查了整式的混合运算及求值，解决本题的关键是利用整式的乘法法则和乘法公式对代数式进行化简．
22．（8分）若x ，y 为任意有理数，比较6xy 与229x y +的大小．
【分析】首先作差，可得22296(3)0x y xy x y +-=-，即可得2296x y xy +． 【解答】解：
22296(3)0x y xy x y +-=-，
2296x y xy ∴+．
【点评】此题考查了配方法的应用．此题难度不大，注意比较6xy 与229x y +的大小，可以采用作差法．
23．（12分）实验中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A 型、B 型两种型号的放大镜．若购买100个A 型放大镜和150个B 型放大镜需用1500元；若购买120个A 型放大镜和160个B 型放大镜需用1720元．
（1）求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元；
（2）学校决定购买A 型放大镜和B 型放大镜共75个，总费用不超过570元，那么最多可以购买多少个A 型放大镜？
【分析】（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，列出方程组即可解决问题；
（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．
【解答】解：（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元， 可得10015015001201601720x y x y +=??+=?，
解得：94x y =??=?
，
答：每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为9元，4元；
（2）设购买A 型放大镜a 个， 根据题意可得：94(75)570a a +?-， 解得：54a ．
答：最多可以买54个A 型放大镜．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答．
24．（12分）（1）如图，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么？（用含有x 、y 的等式表示） 224()()xy x y x y =+-- ． （2）若2(32)5x y -=，2(32)9x y +=，求xy 的值； （3）若25x y +=，2xy =，求2x y -的值．
【分析】（1）阴影部分的面积可以由边长为x y +的大正方形的面积减去边长为x y -的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；
（2）将2(32)5x y -=，2(32)9x y +=，代入（1）中的等式可求解； （3）将25x y +=，2xy =，代入（1）中的等式可求解； 【解答】解：（1）224()()xy x y x y =+--； （2）22(32)(32)2495x y x y xy +--==-， 1
6
xy ∴=
； （3）22(2)(2)8x y x y xy +--=，
22516(2)x y ∴-=-， 23x y ∴-=±．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，弄清题意是解本题的关键． 25．（12分）已知关于x 、y 的二元一次方程组21(322
x y k x y k +=??
?-=-??为常数）
． （1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）； （2）若2(42)1y x +=，求k 的值； （3）若1
4
k
，设364m x y =+，且m 为正整数，求m 的值． 【分析】（1）用加减法解方程组即可；
（2）因为11n =，(0)a ≠时，01a =，2(1)1(n n -=为正整数）得到三个关于k 的方程，求出k 即可；
（3）用含m 的代数式表示出k ，根据1
4
k ，确定m 的取值范围，由m 为正整数，求得m 的值即可．
【解答】解：（1）21
322x y x y k +=??
?-=-??，
②+①，得1
42
x k =-，
即21
8
k x -=
； ②-①，得522
y k =- 即524
k
y -=
所以原方程组的解为218
524
k x k y -?=???-?=??；
（2）由于01(0)a a =≠，2(42)1y x +=， 所以20y =， 即52204
k
-?
= 解得：52
k =
； 因为11n =，2(42)1y x +=， 所以421x += 即21
4218
k -?
+= 解得1
2
k =-．
因为2(1)1(n n -=为正整数），2(42)1y x +=， 所以421x +=-，2y 为偶数 所以21
4218
k -?
+=- 解得5
2
k =-．
当52k =-时，353
2117222
y k =-+=++=为奇数，不合题意，舍去．
所以52k =
或12
k =-； （3）215213643647842k k m x y k --=+=?+?=+，即1
72
m k =+ 21
14m k -∴=
， 由于14
k
， ∴
211
144
m -
解得9
4
m
， m 为正整数，
1m ∴=或2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，根据题意列出不等式是解题的
关键．
26．（14分）如图2，边长为1的正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF ，GH 分割成四个小长方形，EF 与GH 交于点P ，设BF 长为a ，BG 长为b ，GBF ?的周长为m ． （1）①用含a ，b ，m 的式子表示GF 的长为 m a b -- ． ②用含a ，b 的式子表示长方形EPHD 的面积为 ． （2）已知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方， 例如在图1ABC ?中，90ABC ∠=?，则222AB BC AC +=． 请用上述知识解决下列问题： ①写出a ，b ，m 满足的等式 ． ②若1m =，求长方形EPHD 的面积．
③当m 满足什么条件时，长方形EPHD 的面积是一个常数？
【分析】（1）①直接挂机三角形的周长公式即可用含a ，b ，m 的式子表示GF 的长； ②根据BF 长为a ，BG 长为b ，表示出EP ，PH 的长，进而可以用含a ，b 的式子表示长方形EPHD 的面积；
（2）①直接根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示出a ，b ，m 满足的等式；
②根据线段之间的关系利用勾股定理即可求长方形EPHD 的面积； ③结合①②即可求出长方形EPHD 的面积是一个常数．
【解答】解：（1）①BF 长为a ，BG 长为b ，GBF ?的周长为m ， GF m a b ∴=--，
故答案为：m a b --； ②正方形ABCD 边长为1， 1AB BC ∴==，
BF 长为a ，BG 长为b ，
1AG b ∴=-，1FC a =-，
1EP AG b ∴==-，1PH FC a =--，
∴长方形EPHD 的面积为：(1)(1)1a b a b ab --=--+，
故答案为：1a b ab --+；
（2）①ABC ?中，90ABC ∠=?，则222AB BC AC +=．
∴在GBF ?中，GF m a b =--，
222()m a b a b ∴--=+，
化简得，22220m ma mb ab --+=， 故答案为：22220m ma mb ab --+=； ②
BF 长为a ，BG 长为b ，
1AG b ∴=-，1FC a =-，
在Rt GBF ?中，22222GF BF BG a b =+=+， GBF ?的周长为1m =，
1BF BG GF a b ∴++=++，
1a b --，
两边平方得，222212()()a b a b a b +=-+++， 整理得，12220a b ab --+=， 12
a b ab ∴+-=
， ∴长方形EPHD 的面积为：
PH EP FC AG =
(1)(1)a b =-- 1a b ab =--+
112
=- 12
=
； ③由①得：22220m ma mb ab --+=， 21
2
ab ma mb m ∴=+-，
∴长方形EPHD 的面积为：
PH EP FC AG =
(1)(1)a b =-- 1a b ab =--+
21
12a b ma mb m =--++-
21
1(1)(1)2
m a m b m =+-+--，
所以要使长方形EPHD 的面积是一个常数，只要1m =．
【点评】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、矩形面积的计算，解决本题的关键是综合运用以上知识．