电动力学试题及参考答案

电动力学试题及参考答案

一、填空题（每空2分，共32分）

1、已知矢径r

，则 r = 。

2、已知矢量A 和标量φ，则=??)(A

φ 。

3、区域V 内给定自由电荷分布 、 ，在V 的边界上给定 或 ，则V 内电场唯一确定。

4、在迅变电磁场中，引入矢势A 和标势φ，则E

= ,

B

= 。

5、麦克斯韦方程组的微分形式 、 、 、 。

6、电磁场的能量密度为 w = 。

7、库仑规范为 。

8、相对论的基本原理为 ， 。 9、电磁波在导电介质中传播时，导体内的电荷密度 = 。 10、电荷守恒定律的数学表达式为 。

二、判断题（每题2分，共20分）

1、由0

ερ

=??E 可知电荷是电场的源，空间任一点，周围电荷不但对该点的场强有贡献，而且对该

点散度有贡献。（ ）

2、矢势A

沿任意闭合回路的环流量等于通过以该回路为边界的任一曲面的磁通量。（ ） 3、电磁波在波导管内传播时，其电磁波是横电磁波。（ ） 4、任何相互作用都不是瞬时作用,而是以有限的速度传播的。（ ）

5、只要区域V 内各处的电流密度0=j

，该区域内就可引入磁标势。（ ）

6、如果两事件在某一惯性系中是同时发生的，在其他任何惯性系中它们必不同时发生。（ ）

7、在0=B

的区域，其矢势A 也等于零。（ ）

8、E 、D 、B 、H

四个物理量均为描述场的基本物理量。（ ）

9、由于A B

??=，矢势A 不同，描述的磁场也不同。（ ）

10、电磁波的波动方程012222

=??-?E t

v E 适用于任何形式的电磁波。（ ）

三、证明题（每题9分，共18分）

1、利用算符 的矢量性和微分性，证明

0)(=????φr

式中r

为矢径，φ为任一标量。

2、已知平面电磁波的电场强度i t z c E E )sin(0ωω

-=，求证此平面电磁波的磁场强度为

j t z c

c E B )sin(0ωω-=

四、计算题（每题10分，共30分）

1、迅变场中，已知)cos(0t r K A A ω-?= , )cos(0t r K ωφφ-?= ，求电磁场的E 和B

。

2、一长度为80厘米的杆，沿其长度方向以0.8 c 的速率相对观察者运动，求该杆首、尾端通过观察者时的时间间隔。

3、在均匀外场0E

中置入一半径为R 的导体球，导体球带总电量为Q ，求空间电势的分布。

电动力学试题 答案

一、填空题（每空2分，共32分）

1、r

r

2、A A

??+????

3、电势，电势的法线导数。

4、t A E ??--?=

? A B

??=

5、t B E ??-=?? ， t

D

j H ??+=??

， ρ=??D ， 0=??B

6、)(21H B D E ?+?

7、0=??A

8、相对性原理，光速不变原理。 9、0=ρ 10、0=??+

??t

j ρ

二、判断题（每题2分，共20分）

1、×

2、√

3、×

4、√

5、√

6、×

7、×

8、×

9、√ 10、×

三、证明题（每题9分，共18分） 1、证明：

r r r ????-????=????)()()(???

∵ 0=??r 0=???? ∴0)(=?????r

2、证明:

由麦克斯韦方程t

B

E ??-=??

，而

0x

E z y x k j i E ??????=

??

k y

E j z E x x ??-??=

j t z c E c )cos(0ωω

ω

-=

所以

?--=j

dt t z c E c B )cos(0ωω

ω

j t z c c E )sin(0ωω

-=

四、计算题（每题10分，共30分）

1、 解：

t

A E ??--?= ?

)

sin()sin()]

cos([)]cos([0000t r K A t r K K t r K A t t r K ωωω?ωω?-?--?=-???--?-?=

A B

??=

)

sin()]

cos([00t r K K A t r K A ωω-??=-???=

2、解：

220

1c

v l l -=

v

c v

l v

l

t 22

01-=

=?

c

8.08.018.02

-?=

9100.2-?= (s)

3、解： 建立球坐标系，原点在球心，z 轴E 0沿方向，求解空间为R R 0，由于场具有轴对称性，电势满足拉普拉斯方程

02=?φ （R 0R ）

其解为

θφ(cos )(0

1

∑∞

=++

=n n n n

n n P R B R A ） 边值关系为： 00cos φθφ+-=∞→R E R ① Φφ==0R R ( 待定 ) ② ?=??-S Q dS R φ

ε0 ③ 由①式得:

∑∞

=+-=0

000

cos )(cos n n n

R E P R

A φθθ

当n = 0 时 00φ=A 当n = 1 时 01E A -= 当n ≠0,1 时 0=n A 得 ∑∞

=++-=2100)(cos cos n n

n n

P R

B R E θθφφ 由②式得:

∑

∞

=+=+-010

000)(cos cos n n

n n

P R B R E Φθθφ 当n = 0时 Φφ=+

0R B 当n = 1时 0cos cos 20

100=+-θθR B

R E 由上两式解得: )(000φΦ-=R B

03

01E R B =

0B n = ( n ≠0 ,1 )

得 θφφθφcos cos 20300000R

E

R R R R E +-Φ++-= 由③得: o

R R R E R 00cos 30φθφ

-Φ--=??=

?=-Φ+

S

Q dS R E )cos 3(0

00φθε 0

00R 4Q πεφΦ=

-

故得

θπεφθφcos 4cos 230

0000R

R E R Q

R E +++-=

第二部分考点知识总结

第一章电磁现象的普遍规律

一、主要内容：

电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。

二、知识体系：

三、内容提要：

1．电磁场的基本实验定律：

（1）库仑定律：

对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：

（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）

（3）电磁感应定律

①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。

②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。

（4）电荷守恒的实验定律

,

①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。

② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。

稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。

2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程

其中：

1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。

2当，过渡到真空情况：

3当时，回到静场情况：

4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中：

3、介质中的电磁性质方程

若为非铁磁介质

1、电磁场较弱时：均呈线性关系。

向同性均匀介质：

，，

2、导体中的欧姆定律

在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。

4．洛伦兹力公式

考虑电荷连续分布，

单位体积受的力：

洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。

说明：①

②

5.电磁场的边值关系

其它物理量的边值关系：

恒定电流:

6、电磁场的能量和能流

能量密度：

能流密度：

三．重点与难点

1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。

2．麦克斯韦方程、电荷守恒定律、边值关系、极化强度与极化电荷的关系、磁化强度

与磁化电流的关系、应用它们进行计算和证明。

3．电磁场的能量及其传输

第二章静电场

一、主要内容：

应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。

本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。

首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。

二、知识体系：

1.静电场的微分方程：

边值关系：

静电场的能量：

2.静电边值问题的构成：

3．静电边值问题的基本解法：

（1）镜像法

（2）分离变量法

条件：电势满足拉普拉斯方程：

（3）电多极矩

(4) 格林函数法

三、内容提要：

1．静电场的电势

引入标量函数即静电势后

空间两点P,Q电势差：

参考点：

（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点

（２）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。连续分布电荷：无穷远处为参考点

2.电势满足的微分方程

泊松方程：

其中仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。

对的区域：电势满足拉普拉斯方程：

3.边值关系

①.两介质界面上边值关系

②.导体与介质界面上的边值关系

③.导体与导体界面上的边值关系

其中是导体的电导率

4.静电场的能量

用电势表示：

注意：①不是静电场的能量密度; 是自由电荷密度,而则是空间所有电荷的电势，

②只适用于静电场。

5.唯一性定理：

①均匀单一介质

当区域V内自由电荷分布已知，满足，若V边界上已知，或V

边界上已知，则V内场（静电场）唯一确定。

②均匀单一介质中有导体

当区域V内有导体存在，给定导体之外的电荷分布，当1或已知，每个导体电势或带电量，则内电场唯一确定。

四、.静电边值问题的基本解法：

1.镜像法：

理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。

镜像法：

用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的未知面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。

条件：

①所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）或是简单的连续分布。

②导体边界面形状规则，具有一定对称性。

③给定边界条件。

要求：

①做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不

能变）。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。

②不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。

③一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。

④坐标系根据边界形状来选择。

2.分离变量法：

条件：电势满足拉普拉斯方程：

①空间处处，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。

②在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势

为已知，则区域V中电势可表示为两部分的和

不满足，但表面上的电荷产生的电势使满足，仍可用拉普拉斯方程求解。

注意：边值关系还要用而不能用。

拉普拉斯方程的通解：

轴对称通解：

为勒让德函数，

…

球对称通解：若与均无关，即具有球对称性，则通解为：

解题步骤

①选择坐标系和电势参考点

坐标系选择主要根据区域中分界面形状

参考点主要根据电荷分布是有限还是无限

②分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解

③根据具体条件确定常数

外边界条件：电荷分布有限

导体边界可视为外边界，给定，或给定总电荷Q，或给定（接地）一般在均匀场中，：

（直角坐标或柱坐标）

内部边值关系：介质分界面上

(表面无自由电荷)

3.电多极矩

讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远,即l<

电势的多极展开：

小区域电荷体系在外电场中的相互作用能

其中是点电荷在外电场中的相互作用能

是电偶极子在外电场中的相互作用能

是电四极子在外电场中的相互作用能

电偶极子在外电场中受的力

若外电场均匀:

电偶极子在外电场中受的力矩

三．重点与难点

本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法。

本章难点：镜象法、分离变量法（柱坐标）、电多极矩。

第三章稳恒电流的磁场

一、主要内容：

在给定自由电流分布及介质分布的情况下如何求解稳恒磁场。由于稳恒磁场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解的稳恒磁场磁感应强度，一般是通过磁场的矢势来求解。在一定条件下，可以引入磁标势及磁标势满足的方程来求解。我们先引入静磁场的矢势，导出矢势满足的微分方程，然后再讨论磁标势及其微分方程，最后讨论磁多极展开。

二、知识体系：

1．矢势法：

基本方程:

边值关系：

静磁场的能量：

①能量分布在磁场内，不仅仅是分布在电流区.

②不是能量密度

2．磁标势法

引入磁标势的条件：求解区域内作任意的闭合回路L，闭合回路L内都无电流穿过，即，即引入区域为无自由电流分布的单连通域。

基本方程:

边值关系:

解法：当时，，用分离变量法求解，解法与第二章相同.

3．磁矢势多极展开：

本章重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量

2、引入磁标势的条件,磁标势满足的方程与静电势方程的比较

3、利用磁标势解决具体问题

本章难点：利用磁标势解决具体问题

第四章电磁波的传播

电磁波：随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，就是电磁波。

一、主要内容：

研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况;在真空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。

二、知识体系：

1．自由空间（介质）：指，的无限大充满均匀空间.

-

定态波亥姆霍兹方程基本解：，

性质：（1）与的关系：，构成右手螺旋关系（2）与同位相；

（3），振幅比为波速（因为相互垂直，）。（4）平面电磁波的能量和能流

●能量密度：，

电场能等于磁场能，能量密度平均值为

●能流密度：（为方向上的单位矢量）

平均值：

2.良导体：，

基本解：，

其中。

3.电磁波在界面反射和折射

4.谐振腔

定态波边值问题：

在求解中主要用到

解为：

两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定。

谐振频率：

（1）给定一组，解代表一种谐振波型（本征振荡, 在腔内可能存在多种谐振波型的迭加）；只有当激励信号频率时，谐振腔才处于谐振态。

（2）不存在中两个为零的波型，若，则。

（3）对每一组值，有两个独立偏振波型，这是因为对于确定的可以分解到任意两个方向。

（4）最低频率的谐振波型

假定，则最低谐振频率为

该波型为（1，1，0）型，，

所以，，，为横电磁波。

但是在一般情况下，。

5.矩形波导管

矩形波导管由四个壁构成的金属管，四个面为

一般情况下让电磁波沿轴传播,对理想导体:,

理想导体边界条件:

满足方程：，

其解：

其中，

的解由确定

截止频率：

最低截止频率为：（），

（）；

最高截止波长为: ，一般把波长的波，称为超短波即微波。

本章重点：1、电磁场的波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波

2、反射和折射定律的导出、振幅的位相关系，偏振

3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应

4、谐振腔和波导管中电磁波的运动形式

本章难点：1、振幅、位相关系

2、导体内电磁波的运动

第五章电磁波的辐射

一、主要内容：本章讨论高频交变电流辐射的电磁场的规律。

二、知识体系：

其解：

设电荷、电流分布为随时间做正弦或余弦变化，即：

将此式代入推迟势的公式后得到（）：

令

则：

，

如果讨论的区域有关系式：。

三、电偶极辐射：