导数中的二次求导问题
2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：
导数中的二次求导问题
【知识要点】
1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高
考考查的重点，也是难点和必考点.利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括
抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思
想的渗透和综合运用，难度较大
2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题
“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题? “再构造，再求导”是破解函数综
合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途
径?
【方法讲评】
【例1】（理?2010全国卷I第20题）已知函数' .
（I）若「一「宀厂〔求；的取值范围；（H）证明：'■
【解析】由于⑴二（卄L）Sr+1可知函数/V）的定义域为易得
Z（v）= ln,v^（x+l）--l=lnA+l
X X
r /' Il i
则由h d）< ” +n.v+ 冋知x' tn - < f + ov + L
化简得二;L…，
丄
所以两边同乘??可得工卞兰汎一二，所以有二三二厂一丁，在对二_ '求导有
= J即当0＜工＜1时，￡⑴〉0, 区（刃在区间上为增函数；当云二1时,
GF U O；当I v K时，叫刘＜0, 在区间（JZ上为减函数.
所以?'在応—1时有最大值，即L■■- -;j:- - - - 1: 1.又因为丄二丄.1 ?:，所以
J工一［
（2）要证只殒证当0＜斗幻时』/（x）＜0}当T＞1B寸』即可.
由上Sn/{jf）= lnx+-,再对y（x） = ln A -F—求导'设g（x） = ln^+-,则0（力二丄一^ 二匕丿，显X T
A AT y" X
然当O＜MI时，如5 当el时,ffV-）＞o7 Hp ff（x）=hix+1 在区间（o.i）l MMW 所以有当0＜.v＜l时』^fx）＞-11） = 1 ,所決当0＜K G时八兀比"0』则亢"在区间01］上为増函数』gn/（.v）＜/（i）=o,临￡贝q有u-ii/a沦o成茁
当八匚时，同理，当—厂时，一 '＞■,即」'■在区间一上为增函数，则
此时，/（H）为增函数，所以，何之/（】）=°，易得
也成立?
综上得证.
方法二：
（（I）八gin工+ ：,则右幼+阮+ 1
题设m 2 +曲+ 1等价于hi x-x＜a.令訴真,则思內工
当〔＜：：＜〔时，?'^ ；当疋时，=：「一一，疋匚】是—的最大值点，所以
￡（力盂g（l）=?l
综上，二的取值范围是-一 .7：.
( 1 ]
j ix)=lnx-F(xlnz-j^l) = lnx4*x In r+—1
I
J
= lnz-zfln--- + l <0
因为上■< 0,所以此时■；「
-x+l)=lnx-A[ln--- + l|>0 \ x J
(x-ivw>o
【点评】（i ）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂, 自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一 些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出 ?（ 2）大家一定要理解二次求导的使 用情景，是一次求导得到 -■' 之后，一'?
’
「一解答难度较大甚至解不出来
（3）二次求导之后，设 — ■'，再求「一，求出的解，即得 到函数--J
-'的单调性，得到函数二八的最值，即可得到-■二 的正负情况，即可得到函数
【例2】设函数'' ' 11
' ' ' '
?
（I ）若|：
-'-在点处的切线为?-卩，求八 的值；（n ）求 八7的单 调区间; （川）若厂 ，求证：在「时」-“
尸f _ 1 -
们
【解析】（I ）： 「廿亠二［
-' =丄''， ???」八在点处的切线为L 叮十7，即i 在点的
切线的斜率
为芒，
(□)由(I) 知,
= -1，即i n J -J +1 <0 .
<
〔时，
/ (z ) =ln x4-(rlnz
当上二?时，
思路来得
2
将切点代入切线方程?一=7_；，得：?一所以"，—匕；
（【I）由（I ）加= =^（.￥>0）,下面对盒的正员情况曲亍讨
X X
（ra^ ②当心w 『（廿在（0丄）上单调递癘川工）在（丄，皿）上单调递増孑 a c 综上所述』当心0时，于仕）的单调递减区间为W,山儿 些心0时，孑⑴的单调递馮区间为卩丄” /（￡的里趣詹区间为（—+巧』 a a （出）… /懐）=盘工_ 2T D工（肚g R） g〔x）三处_护 ???要证：当工匸:-时，匚? i ?〉」「-,即证：，」匚_：「， 令山住）三計一In賣-2讥 > 可，则只需证：方Uhin > 0， 衬⑴二才一丄^-1>0 *-1沪0由于?’，（由于不等式?；是超越不等式，所以此处解不等式丄 解答不出，所以要构造函数二次求导.） 七⑸二/_2（工n0） ■ HxXJ*丄：>0 设. ' 上” 所以函数在■ ■' 1"" 单调递增，又因为 内存在唯一的零点, 即'：；；在-…丁）内存在唯一的零点，设这个零点为所以 2 ,???切点为--, （这个雾点#垮点的区间找到很关键很重更必须找到，直接关系到拝（?的单调性和hg" Fjf以丹3在（打）內存在唯一的雲冃即厅（Q在①十巧内存在唯一的零点，设这个雲点为心昆卩j 3则/--= 0 :.e1=-（| J fifi以方CQ胚?0罡涮画数，在（『严h）是增函埶 f t 3 PMA 力（；0 工-=7 r e r 故等号不成立，二"⑺九址A（h即当:VA O时，/（A-）>g（x）. -1 >0 别⑴二/一丄沁 【点评】（1）由于不等式“是超越不等式，所以不等式亠解答不 出，所以要构造函数二次求导?这是要二次求导的起因? （2）仅得到函数「：?“在单 调递增是不够的，因为此时：："「’ l，所以；-：1甘，所以.■<的单调性还是不知 道，所以无法求一’.所以必须找到这个零点和零点所在区间，这个零点和零点的区间找 到很关键很重要，直接关系到??丿的单调性和…」■-1-. 【反馈检测1】【2017课标II，理】已知函数‘‘亠丄丄，且....!_ -. ⑴ 求出；⑵ 证明：存在唯一的极大值点°,且；，''：. 【反馈检测2】已知函数/：/' 宀R在点处的切线方程为 z- 2y-2 = 0 /（x）+ - <0 （1）求― 的值；（2）当—时，- 恒成立，求实数的取值范围； 1 1 1 捕—M—2 _ ?- --- 十----H ----- H ----- > ------ 2 ------ （3）证明：当兀E N，且冷工己时，21口2 ?1口3 泌n附加+2科. 高考数学热点难点突破技巧第 03讲: 导数中二次求导问题参考答案 【反馈检测1答案】（1）二；（2）证明略. 【反馈检测1详细解析】（1） *「丿的定义域为'1 '■： 设并”…?讪，则『历二殆⑴J 讨＞ o 等价于訂” “ 呂（1）=山 & E ＞ 0, （1 1=4 而鼠‘杠 || = H - 丄「計'1 |=￡2 - lr 得血=1 因为 若"1,则'、_「当时，— 「― I 单调递减；当八：时，」「〉 o , -「单调递增.所以■ ■ = ■-是二一‘：的极小值点，故--:-，综上1. 2 -由（1/ 知 F I 不 I =才一拓一芒 In 简 ￡r （^r ） = Z Y — 2 - ? 设加职=- 2 - 111胳则笊胡=2 -— x 1 1 、 1、 f T 当用「G 「时打胡V0 j 当X 益了，+? ；时，打* ＞0」所以血石I 在Q 「单调递减，在齐P I 单 调逼増 1 ' —r +co ，在段 丿有唯一零 因为’「 T'；,所以二二是「■ ■的唯一 极大值点 【反馈检测2详细解析】（1） 解：???「'一 亠—_"： 1 fl_.11 ???直线工6-2 = 0的斜率为龙，且过点I 2丿, 又— r n 叽 AT 点1,且当■- 11 ■'时,「一 ；当― （%1）时，匕）＜0，当 JT E 门坨)=Ofl- In 唤?山故巩斗）■￥?％） 因为h 二心是在（0,1 ）的最大值点，由 ，所以 严心）＜2" 【反馈检测2答案】 (1) ￡ 1 ； ( 2) (1 -00 一 I 2 ；（3）见解析. ，所以’ 有唯一零点" ， 由’? (2) 解法“由(1)得 f(x)=lnx^. * v jr ￥■* 当兀》1时，/（力+ —二^恒成立，^ln.v-- + -<0,等价于上艺一一工也厂 x 2. x 1 令总(x) =--xlnx f 则『(x) =x-(lnx + l) = :v-4-hi f , ] 兀一 令飆pE-u ,则血m-〒二 当“j 时，「 ， ■ 1 ,函数：「在—「上单调递增，故?? u 「_ I 从而，当-1时，—"亠，即函数 ■''在.二 上单调递增，故■' ' ■' 1 -. k - xln A i < - 因此，当时，- 恒成立，则 -. （11 -00, _ ???所求丘的取值范围是I 2 -. /(x) = lnx-- 解法2:由(1得一 -. y (+— < o iti^ — — + — 当f 1时，' ■■ 恒成立，即]丄 恒成立. $ 、 . K k 打 \ I 1 上 J 3 -2x+2t 呂⑴=1“-亍一 g (X ] = _-- — 令 2 葢，贝y x 2 x 2x 方程「暑 -< '■ (*)的判别式1 -'< . （i ）当 _」，即.[时，则?；、1 时，〃二-■-< '■，得「’、- 故函数■?在 "'上单调递减 1 - 2 _ - h 1 - 2 --