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整理小学奥数4-1-1几何图形的认识

小学奥数411几何图形的认识

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若x n=a,则对任何自然数k，有x n+k=a.

证：由，知，，当时，有

取，有，，设时（此时）有

由数列极限的定义得.

2. 试利用不等式说明：若x n=a,则∣x n∣=|a|.考察数列x n=(-1)n，说明上述结

论反之不成立.

证：

而

于是，

即

由数列极限的定义得

考察数列，知不存在，而，，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) =0；(2) =0.

证：（1）因为

而且，，

所以由夹逼定理，得

（2）因为，而且，

所以，由夹逼定理得

4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.

(1) x n=，n=1,2,…；

(2) x1=,x n+1＝,n=1,2,….

证：（1）因为

故x n是单调递减.

又因，故x n有下界，由由单调有界数列收敛准则知存在。

（2）因为，不妨设，则

故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，

又，而,，

所以即，

即数列是单调递增数列。

综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

证：先证充分性：即证若，则.

由及知：

,当时，有，

当时，有。

取，则当或时，有，

而或就是，

于是，当时，有，

所以.

再证必要性：即若，则,

由知，，当时，有，

由就是或，于是，当或时，有.

所以

综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.

2. (1) 利用极限的几何意义确定(x2+a),和；

(2) 设f(x)= ，问常数a为何值时，f(x)存在.

解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.

当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.

（2）若存在，则，

由（1）知，

所以，当时，存在。

3. 利用极限的几何意义说明sin x不存在.

解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。

习题2-3

1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.

解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：

(1) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；

(2) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；

(3) 有限个无穷小量之和为无穷小量；

(4) 有限个无穷大量之和为无穷大量；

(5) y=x sin x在(-∞，+∞)内无界，但x sin x≠∞；

(6) 无穷大量的倒数都是无穷小量；

(7) 无穷小量的倒数都是无穷大量.

解：（1）正确，见教材§2.3定理3；

（2）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；

（3）正确，见教材§2.3定理2；

（4）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；

（5）正确，因为，正整数k，使，从而

，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即

时，不无限增大，即；

（6）正确，见教材§2.3定理5；

（7）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.

(1) f(x)= ,x→2; (2) f(x)=ln x，x→0+，x→1,x→+∞；

(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctan x,x→+∞;

(5) f(x)= sin x,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞.

解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。

（2）从的图像可以看出，，所

以，当时，时，是无穷大量；

当时，是无穷小量。

（3）从的图可以看出，，

所以，当时，是无穷大量；

当时，是无穷小量。

（4），

当时，是无穷小量。

（5）当时，是无穷小量，是有界函数，

是无穷小量。

（6）当时，是无穷小量，是有界变量，

是无穷小量。

习题2-4

1.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?

解：若f(x)存在，g(x)不存在，则

（1）［f(x)±g(x)］不存在。因为若［f(x)±g(x)］存在，则由或

以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。

（2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。

又如：，，则，不存在，而［f(x)·g(x)］不存在。

2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).

证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有

令，则当时，有

从而，由的任意性推出即

3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，a m为m个正常数，则

=A,

其中A=max{a1,a2,…，a m}.

证：因为，即

而，，由夹逼定理得

4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x2=,…，x n+1=

（n=1,2,…），则x n存在，并求该极限.

证：因为有

今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有

，即数列单调递增。

又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。

设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.

5. 求下列极限：

(1) ；(2) ；

(3) ; (4) ；

(5) .

解：（1）原式=；

（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；

（3）

而，

；

（4）；

（5）.

6. 求下列极限：

(1) ；(2) ；

(3) ; (4);

(5) ; (6);

(7) ; (8)；

(9) ；(10) ；

(11) .

解：

（2）

（3）；

（4）；

（5）

；

（6）

；

（7）

；

（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）

；

（9）

；（10）

（11）当时，是无穷小量，是有界函数，

它们之积是无穷小量，即。

习题2-5

求下列极限(其中a＞0,a≠1为常数）：

1. ;

2. ;

3. x cot x;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12.;

13. ; 14. .

解：1. ；

；

3. ；

；

6. ；

8.令，则，当时，，

（利用了第8题结论）；

10.

；

11.

；

12.

；

13.令，则，当，，

；

14.令，则，当，，

习题2-6

1. 证明：若当x→x0时，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，则当x→x０时，(x)～β(x)的充要条件是

＝０.

证：先证充分性.

若＝０，则＝0,

即，即.

也即，所以当时，.

再证必要性：

若当时，，则，

所以＝＝.

综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是

＝０.

2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.

证：

即.

3. 证明：若当x→0时，f(x)=(x a)，g(x)=(x b)，则f(x)·g(x)＝()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tan x－sin x是x的几阶无穷小量.

证: ∵当x→0时, f(x)=(x a)，g(x)=(x b)

∵

于是:

∵当x→0时, ,

∵

而当x→0时, ,

由前面所证的结论知, ,

所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.

4. 利用等价无穷小量求下列极限：

(1) (b≠0)；(2) ；

(3) ；(4) ；

(5) ；(6) (a≠b)；

(7) ；(8) 设＝100,求f(x).

解

(8)由,及知必有,即,

所以.

习题2-7

１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：

(1) f(x)= (2) f(x)＝

解: (1)

∵ f(x)在x=0处右连续,

又

∵ f(x)在x=1处连续.

又

∵ f(x)在x=2处连续.

又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f(x)在[0,2]上连续.图形如下:

图2-1

(2)

∵ f(x)在x=1处连续.

又

故

∵ f(x)在x=-1处间断, x=-1是跳跃间断点.

又f(x)在显然连续.

综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:

图2-2

2. 说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?

答：（1）函数f(x)在点x0处有定义表明自变量x可取x0值，且当x=x0时，存在确定的对应规则，有一个确定的函数值，但这个函数值不一定等于f(x0)。

（2）函数f(x)在点x0有极限表明当自变量x无限趋近x0时，函数值无限趋近一个常数（极限值），有极限不要求函数f(x)在点x0处有定义，且极限值不一定是f( x0)。

（3）函数f(x)在点x0处连续表明，f(x)必须在点x0处有定义且有极限，且当时的极限值必须是f( x0)。

3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.

解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.

例如是其的一个第二类间断点,但即在处左

极限存在,而,即在处右极限不存在.

4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：

(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；

(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；

(5) f(x)= .

解: (1)由得x=-1, x=-2

∵ x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.

(2)由sin x=0得,k为整数.

∵ x=0是跳跃间断点.

(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.

∵ x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.

(5) 在x=0无定义

故x=0是f(x)的可去间断点.

5.适当选择a值，使函数f(x)= 在点x=0处连续.

解: ∵f(0)=a,

要f(x)在x=0处连续,必须.

即a=1.

6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.

解:

所以, f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.

7. 求下列极限：

(1) ；(2) ；

(3) ln(x-1); (4) arcsin；

(5) (ln x)x.

解:

习题2-8

1. 证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.

证: 令,则在[1,2]上连续,

且,

由零点存在定理知至少存在一点使得.

即,

即方程至少有一个介于1和2之间的根.

2. 证明方程ln（１＋e x）-2x=0至少有一个小于1的正根.

证: 令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,

且

由零点存在定理知至少存在一点使得.

即方程至少有一个小于1的正根.

3※. 设f(x)∵C（-∞，+∞），且f(x)=A, f(x)=B,A·B＜0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明

至少存在一点x0∵（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０.

证: 由A·B<0知A与B异号,不防设A>0,B<0

由,及函数极限的保号性知,,使当,有

,使当时,有.

现取,则,

,则,且,

由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,

即至少存在一点使.

4.设多项式P n(x)＝x n+a1+…+a n.，利用第3题证明：当n为奇数时，方程P n(x)=0至少有一实根.

证:

,由极限的保号性知.

,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于

是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点

,使,即至少有一实根.

整理丨尼克

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小学奥数：几何图形大全汇编

学习-----好资料几何图形综合 1．如图，四边形ABCD 是直角梯形．其中AD=12(厘米)，AB=8(厘米)，BC=15(厘米)，且△ADE ，四边形DEBF ，△CDF 的面积相等．阴影△DEF 的面积是多少平方厘米？ 2．如图，长方形ABCD 的面积是96 平方厘米，E 是AD 边上靠近 D 点的三等分点，F 是CD 边上靠近C 点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3．如图，把一个正方形的两边分别增加3和5厘米，米(阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？ 4．如图，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和446平方厘米(阴影部分).原正方形的面积为多少平方厘米？ 5．如图，在△ABC 中，AD 的长度是AB 的四分之三，AE 的长度是 AC 的三分之二.请问：△ADE 的面积是△ABC 面积的几分之几？ 6．如图，在△ABC 中，BC=3CD ，AC=3AE ，那么△ABC 的面积是△CDE 的多少倍？ 7．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分.△AOB 的面积是3平方千米，△BOC 的面积是2平方千米，△COD 的面积是1平方千米，如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？ E D F B C A D E A B C E A D

学习-----好资料 8.如图，在梯形ABCD 中，AD 长9厘米，BC 长15厘米， BD 长12厘米，那么OD 长多少厘米？ 9.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心.如果圆周率 π取3.14，那么花瓣图形的周长和面积分别是多少？ 10.图中甲区域比乙区域的面积大57 其中直角三角形竖直的直角边的长度是多少？(π取3.14) 11.如图，在3×3的方格表中，分别以A 、E 为圆心，3、2为半径，画出圆心角都是90o的两段圆弧.图中阴影部分的面积是多少? (π取 3.14) .(π取 13.下图是一个直角边长为3厘米、4 厘米的直角三角形.将该三角形一任意一条边所在直线为轴进行旋转，求所得立体图形的表面积和体积. 14.如图，已知正方形ABCD 的边长为4厘米，求阴影部分的面积. A D O B C ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

奥数六年级千份讲义361第3讲——几何——曲线形面积与立体几何

第三讲几何——曲线形面积与立体几何 ---- w，?顷■■ - _斤知识点拨圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面，因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生. 、与圆的面积相关的方法: ⑴割补、平移、旋转法：涉及到圆或扇形与其他图形的组合图形的面积无法用公式直接求出，但通过几个减计算. ⑶容斥关系法：本质上还是割补法，只是涉及到面积的重复统计，需要将多计的面积去除. 二、立体几何相关的方法： ⑴拼接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. ⑵三视图法：主要适用于求正方体积木塔图形的表面积计算，以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面. ⑶切片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算，将立体图形沿某个方向切成多片，化立体为平面. ⑷套模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图，以最适合该立体图形的基本几何图形为模型，再在该图形上进行切割. 如例题精讲模块一、曲线形面积【例1】如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60，此时B点移动到B'点，求阴影部分的面积.（图中长度单位为cm，圆周率按3计算）. 60

【例2】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留n）【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米.如下图所示，三角形由位置I 绕A点转动，到达位置H,此时B , C点分别到达B1, C1点；再绕B1点转动，到达位置川，此时A , G点分别到达A2, C2点?求C点经C1到C2走过的路径的长. 【例3】如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，ABC 60，此时BC长5厘米.以点B为中心，将ABC 顺时针旋转120，点A、C分别到达点E、D的位置.求AC边扫过的图形即图中阴影部分的面积.（n取3）【巩固】（2008年学而思杯”数学试题）如图，直角三角形ABC中，B为直角，且BC 2厘米，AC 4厘米，则在将ABC绕C点顺时针旋转120的过程中，AB边扫过图形的面积为____________________________ .（n 3.14）A 【例4】如图，ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米?现在以C点为圆心，把三角形ABC 顺时针转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是______________ 平方米.（n 3.14）

小学奥数几何专题训练附答案

学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。六年级几何专题复习如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)

小学奥数几何初步认识之平面图形

小学奥数几何初步认识之平面图形小学奥数题平面图形 1、长方形（1）特征对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。（2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正方形（1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。（2）计算公式 c=4a s=a2 3、三角形（1）特征由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（2）计算公式 s=ah/2 （3）分类按角分

锐角三角形：三个角都是锐角。直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。按边分不等边三角形：三条边长度不相等。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4、平行四边形（1）特征两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。（2）计算公式 s=ah 5、梯形（1）特征只有一组对边平行的四边形。中位线等于上下底和的一半。等腰梯形有一条对称轴。（2）公式 s=(a+b)h/2=mh 6、圆

（1）圆的认识平面上的一种曲线图形。圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o 表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。（2）圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。（3）圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。（4）圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。（5）计算公式 d=2r r=d/2 c=∏d

小学奥数之几何蝴蝶定理问题

几何之蝴蝶定理一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。 S 1 : S 2 = a : b 定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的 20 3 4153= ? 定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理) 1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4 上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积 2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理) 1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2 上、下部分的面积比等于上、下边的平方比 2）左、右部分的面积相等 3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab 4）S 的对应份数为（a+b ）2 定理4：相似三角形性质

C B E F D A 1） H h C c B b A a === 2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2 定理5：燕尾定理 S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC S △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB 二、例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1 4 CF CA =，求三角形DEF 的面积. 例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE= 1 3 AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.

小学奥数平面直线型几何知识汇总

平面直线型几何专题吴哲孙雪艳 2016年3月

目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型

第1讲等积变形【知识点分析】 1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。 2、常见类型：（1）同底等高 —— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等）平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方） 112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源 A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 B 、已知平行 C 、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高 ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则 A 1 C B A L 2 L 1 B C

（3）等高等底 12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则 3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点 A B F G

例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP 等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ 例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米 F C A F C A

小学奥数几何专题训练完整版

小学奥数几何专题训练 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

六年级几何专题复习如图，已知AB ＝40cm ，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3) 如图，△ABC 中，点E 在AB 上，点F 在AC 上，BF 与CE 相交于点P ，如果S 四边形AEPF ＝S △BEP ＝S △CFP ＝4，则S △BPC ＝______。如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实体圆柱体，容器内盛有m 升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 1/8，求实心圆柱体的体积。在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是9，6，5，那么三角形DBE 的面积是 . 答案： ::()5:(96)1:3BDC ADE EDC DB DA S S S ???=+=+=，所以113(965)3445 EDB ABE ABC BD AE S S S BA AC ???=?=??=??++= 如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF =DC ，且AD =2DE ．则两块田地ACF 和CFB 的面积比是______．

《小学奥数几何专题常用方法》共23讲

《小学奥数几何专题常用方法》目录（适合5、6年级）第一讲：长度与角度综合第二讲：等积变形(上) 第三讲：等积变形（下）第四讲：复合图形的分拆第五讲：复合图形的分第六讲：格点与割补第七讲：共边模型第八讲：共角模型之鸟头定理第九讲：共角模型第十讲：蝴蝶模型（上）第十一讲：蝴蝶模型（下）第十二讲：新概念几何（上）第十三周：新概念几何（下）第十四讲：几何图形的认知第十五讲：长度与角度的计算第十六讲：巧求周长第十七讲：曲线型面积进阶第十八讲：曲线型面积第十九讲：三角形的认识第二十讲：三角形的认知技巧提高第二十一讲：四边形中的基本图形（上）第二十二讲：四边形中的基本图形（下）第二十三讲：弦图（上）第二十四讲：弦图（下）

第一讲：长度与角度综合

如图ABCDJ 为正五边形，DEFGHJ 为正六边形，试求∠AJH 的度数。海海家有一个花坛，如图。海海从A 点出发，逆时针绕花坛一周回到A 点，那么海海在行走过程中共转了多少度？ (第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛四年级第1试) 直线AB 、CD 相交，若∠1、 ∠2和∠3的关系如图所示。则∠3－∠1＝______ 。例1 例3 例2

例4 如图，正五边形ABCDE，若△CDF为正三角形，试求∠BFE的度数。例5 如图∠E＝20°，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D。例6 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法。问走什么样的路线最短呢？

小学奥数之几何曲线型

基础知识: 一、圆与扇形的相关公式二、跟曲线有关的图形1．扇形2．弓形3.弯角４.谷子三、勾股定理与弦图四、常用的求面积方法有平移法割补法方法旋转法对称法找特殊点法差不变原理原理容斥原理勾股定理例1如图，阴影部分的面积是多少? 例1图【举一反三】计算图中阴影部分的面积（单位:分米)。举一反三图曲线型

例2如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2,那么这两个部分的面积之比是多少?(圆周率取3.14) 例2图例3(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BＤKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心,BK、CK为半径画弧。求阴影部分面积。(π取3.1４) 例3图例４（奥林匹克决赛试题)在桌面上放置３个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是４2平方厘米。那么图中3个阴影部分的面积的和＿＿__＿＿是平方厘米。例4图例5三角形ABＣ是直角三角形,阴影Ι的面积比阴影Π的面积小25cｍ2，AＢ=8cｍ，求BC的长度。 (π 取3．1４）

例5图例６在直角边为３与4的直角三角形各边上向外分别作正方形,三个正方形顶点顺次连接成如图所示的六边ABCDEF。求这个六边形的面积是多少？例6图【巩固】如图所示，直角三角形PQR的直角边为５厘米,9厘米。问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少? 巩固图例7传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有１0平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)。那么,阴影部分的面积是___＿_平方米。

小学奥数之几何五大模型

、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等; 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图S ：S 2二a: b ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图 S A ACD =S A BCD ； ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 五大模型反之，如果S △ ACD =s △ BCD

、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图，在 △ ABC 中，D, E 分别是 AB,AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上, 图 2），则 S A ABC ￡△ A DE =（AB AC ）：（AD AE ）三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”： ① S ： S 2 =S 4 ： S 3 或者 S 汉汉￡ ② AO:OC =(S +S 2 )：(S4 +S3 ) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径?通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”） 2 2 ① S I : S 3 = a : b 2 2 ② S I : S 3: S? : S 4 = a : b : ab: ab ； ③ 梯形S 的对应份数为(a +b $。 E 在AC 上（如 1) 图2

小学奥数几何专题训练

小学奥数几何专题训练 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

六年级几何专题复习如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3) 如图，△ABC中，点E在AB上，点F在AC上，BF与CE相交于点P，如果S四边形AEPF＝S△BEP＝S△CFP＝4，则S△BPC＝______。

如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实体圆柱体，容器内盛有m 升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 1/8，求实心圆柱体的体积。在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是9，6，5，那么三角形DBE 的面积是 . A 答案： ::()5:(96)1:3BDC ADE EDC DB DA S S S ???=+=+=，所以113(965)3445 EDB ABE ABC BD AE S S S BA AC ???=?=??=??++= 如图，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF =DC ，且AD =2DE ．则两块田地ACF 和CFB 的面积比是______． F E D C B A F E D C B A

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造 b a S 2 S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A

奥数平面几何之曲线图形 (附答案)

平面几何之曲线图形基本模型：【例1】如图，阴影部分的面积是多少？例1图【举一反三】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。举一反三图【例2】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

例2图【例3】(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧。求阴影部分面积。(π取3.14) 例3图【例4】(奥林匹克决赛试题)在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米。那么图中3个阴影部分的面积的和______是平方厘米。例4图【例5】三角形ABC是直角三角形，阴影Ι的面积比阴影Π的面积小25cm2，AB＝8cm，求BC的长度。 (π 取3.14 ) 例5图【例6】在直角边为3与4的直角三角形各边上向外分别作正方形，三个正方形顶点顺次连接成如图所示的六边ABCDEF。求这个六边形的面积是多少？

例6图【巩固】如图所示，直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米。问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？巩固图【例7】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米。每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)。那么，阴影部分的面积是_____平方米。例7图【例8】草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

小学奥数几何专题训练

六年级几何专题复习如图，已知AＢ=40cm,图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是＿_＿__ｃm２。（π取3。14)（几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米．(结头处绳长不计，π取３.１4）图中的阴影部分的面积是____＿＿__平方厘米。(π取3) 如图,△ABＣ中,点E在ＡＢ上，点F在ＡC上,BF与ＣE相交于点P，如果Ｓ四边形AEＰF=S△BEＰ＝Ｓ△CFP＝4，则Ｓ△BPＣ=_＿____.

如图,在一个棱长为２0厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实体圆柱体，容器内盛有m 升水时,水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置,圆柱体有8厘米露出水面。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 1/８,求实心圆柱体的体积。在三角形ＡＢＣ中,已知三角形A ＤE 、三角形D ＣE 、三角形ＢＣD 的面积分别是9，6,５，那么三角形D ＢE 的面积是??． A 答案: ::()5:(96)1:3BDC ADE EDC DB DA S S S ???=+=+=, 所以113(965)3445 EDB ABE ABC BD AE S S S BA AC ???=?=??=??++= 如图,三角形田地中有两条小路AE 和C Ｆ,交叉处为Ｄ，张大伯常走这两条小路,他知道DF =DC,且AD =２ＤE ．则两块田地ACF 和ＣＦB 的面积比是＿_＿_＿_． F E D C B A F E D C B A 【分析】连接BD ，设1CED S =△（份),则2ACD ADF S S ==△△,设BED S x =△BFD S y =△，则有122x y x y +=?? =+? ，解得34x y =?? =? ,所以:(22):(431)1:2ACF CFB S S =+++=△△

小学奥数几何专题训练

【分析】连接BD ，设1CED S =△(份)，则2ACD ADF S S ==△△,设BED S x =△BFD S y =△，则有122x y x y +=?? =+? ，解得34x y =?? =?，所以:(22):(431)1:2ACF CFB S S =+++=△△ 如图，H G F E 、、、、分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点O ，123S S S 、、及4S 分别表示四个小四边形的面积．试比较13S S +与24S S +的大小． S 4 S 3 S 2 S 1 O H G F E D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O H G F E D C B A 【分析】连接AO 、BO 、CO 、DO ，则可判断出，每条边与O 所构成的三角形被平分为两部分，分属于不同的组合，且对边中点连线，将四边形分成面积相等的两个小四边形，所以13S S +=24S S +．如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？ D D ［分析］如图，分层次来考虑：（1）23 BMD ABD S S =?，23 BPD CBD S S =?，所以22()3 3 MBPD ABD CBD ABCD S S S S =+?=? 又因为DOM POM S S =,MNP BNP S S =,

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ A 【分析】根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？) 任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3ABD BCD S S ??=， ∴1 3AH CG =， ∴1 3AOD DOC S S ??=， ∴1 3 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．【例 3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A 【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=； ⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=，根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==，那么112 21233 GCE CEF S S ??==?=+．

小学奥数必学几何五大模型及例题解析

1 小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如下图右图12 ::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题： 1S 2 S 解析：连接CE ，如图。AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2 又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4 点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用

2 二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上， E 在AC 上(如图2)，则 :():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA 所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：

小学奥数之几何五大模型

、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等; ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如上图S1 :S2 a: b ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S A ACD =S A BCD ； ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; 五大模型反之，如果S △ACD △BCD 其它常见的面积相等的情况

、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图，在△ ABC中， D, E分别是AB,AC上的点（如图1）或D在BA的延长线上，E在AC上（如图2），则S A ABC ￡△ A DE（AB AC）：（AD AE）三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”：蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径?通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理”） 2 2 ①S I : S3 a : b 2 2 ②S I : S3 ： S? ： S4 a : b : ab: ab ； ③梯形S的对应份数为 a b 2。 ① S ：S2 S4：S3 或者S S3 图1 图2 S2S3 b

四、相似模型金字塔模型沙漏模型所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。五、燕尾定理模型 ① AD AE DE AB AC BC AF AG ② ADE : S A ABC 2 2 AF :AG ° S ^ ABG : S A AGC S A BGE ： S A EGC BE : EC SMGA : S ^ BGC S ^AGF : S ^ FGC AF : FC S A AGC : S A BCG S A ADG : S A DGB AD : DB 典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的 2 1平方厘米。问：长方形的面积是 ________________ 平方厘米。 0.15倍，黄色三角形的面积是相似三角形性质:

整理小学奥数4-1-1几何图形的认识

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奥数六年级千份讲义361第3讲——几何——曲线形面积与立体几何

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小学奥数之几何五大模型

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