14.与整式相关的找规律
第十四讲：与整式相关的找规律
知识精讲 一．找规律
规律探究类的问题是近几年中考题中出现的创新性题目，考查从特殊到一般的认识水平、运算能力以及对知识的贯通能力，要求学生必须具备逻辑推理能力、观察归纳能力、猜想验证能力．考察题型主要有“数字类”、“图形类”、“计算类”等．
掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．
（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找到隐含的规律．
（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 三点剖析
一．考点：数字类、图形类找规律．
二．重难点：数字类找规律、图形类找规律
三．易错点：
数字类规律题目，第n 项计算错误． 基础训练
题模一：数字类
1 观察下列各式：3211= 332123+=
33321236++= 33332123410+++= ……
猜想：333312310+++????+=__________．
2 定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把
11a
-称为a 的差倒数，如2的差倒数为1
112=--，
1-的差倒数为
()11112=--．记11
2
a =，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差
倒数，…，依此类推，则2a =____________；2015a =____________
3有一列式子，按一定规律排列成251017263,9,27,81,243a a a a a ---,
（1）当a=1时，其中三个相邻数的和是63，则位于这三个数中间的数是___________；
（2）上列式子中第n个式子为__________（n为正整数）．
4“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示（）
A．C n H2n+2B．C n H2n
C．C n H2n﹣2D．C n H n+3
5找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为________．
6给定一列按规律排列的数：1
2
，
3
5
，
5
10
，
7
17
，…，则这列数的第6个数是（）
A．9
37
B．
11
37
C．
10
31
D．
7
39
7从1开始将连续奇数相加，和的情况如下：
1＝1＝12
1＋3＝4＝22
1＋3＋5＝9＝32
1＋3＋5＋7＝16＝42
……
（1）按此规律请你猜想从1开始，将10个连续奇数相加，和是______．（2）将n个从1开始的连续奇数相加，则它们的和是______．
8已知一组数为：1，3
4
，
5
9
，
7
16
，
9
25
…按此规律用代数式表示第n个数为．
9将19
27
化成小数，则小数点后第2009位数字为．
题模二：图形类
1观察下列一组图形，其中图1中共有6个小黑点，图2中共有16个小黑点，图3中共有31个小黑点，…，按此规律，图5中小黑点的个数是（）
A．46B．51C．61D．76
2用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干个实圆与空心圆按一定规律排列下：
●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…
问：前2001圆中，有________个空心圆．（）
A．667B．668C．669D．700
3 观察下列图案：
它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第6个图案中共有_________个三角形
4下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形共有____个★．
能力提升
1让我们做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算2
11
n+得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和是n2，计算2
21
n+得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和是n3，再计算2
31
n+得a3；……
依此类推，则a2015＝________．
2如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2
的长方形，接着把面积为
1
2
的长方形
等分成两个面积为1
4
的正方形，再把面积为
1
4
的正方形等分成两个面积为
1
8
的矩形．如此
进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：11111111 248163264128256
+++++++．
3观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是．
4一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式．
5如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由______个基础图形组成．
6用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是____．
课后作业
1 若x 是不等于1的实数，我们把
11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是112
-=﹣1，﹣1的差倒数为()111--=12，现已知x 1=﹣1
3
，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差
倒数，…，依此类推，则x 2015=______．
2 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12
f =+，2
(4)14
f =+
，…，利用以上运算的规律写出()f n =________ (n 为正整数)；(1)(2)(3)(100)f f f f ???????=________
3 从1开始得到如下的一列数： 1，2，4，8，16，22，24，28，…
其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（ ） A ． 21 B ． 22 C ． 23 D ． 99
4 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）
A ． 8048个
B ． 4024个
C ． 2012个
D ． 1066个
5 由于()111
n n -?-=??（为奇数），所以我们通常把()1n
-称为符号系数．
（1）观察下列单项式：13x -，2215x ，3335x -，44
63
x …按此规律，第五个单项式是________，
第n 个单项式是__________
（2）计算：()
122
n
n a b a b
+-+- （3）请你根据（2）式写出一个档n 为偶数时值为1，当n 为奇数时值为0的式子．