全国初中数学竞赛试题及答案79416

中国教育学会中学数学教学专业委员会

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那

22

||()||

a a

b

c a b c

++-++可以化简为（）．

（A）2c a-（B）22

a b

-（C）a-（D）a

1（乙）．如果22

a=-

1

1

1

2

3a

+

+

+

的值为（）．

（A）2

-（B）2（C）2 （D）

22

2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数

y =

x

b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．

（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）

（D）（3，2）

2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x ＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．

（A）10 （B）9 （C）7 （D）5

3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b

<<，那么

1121

a a

b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的

绝对值是（ ）．

（A ）1 （B ）

214a - （C ）12 （D ）1

4

3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．

（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

4（乙）．如果关于x 的方程 2

0x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的

个数是（ ）．

（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则

0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．

（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p

5（乙）．黑板上写有1

11123100

，　， ，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数

a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数

是（ ）．

（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行

从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次

O

A

B C

E

操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，

11110

9

a b b c c a ++=

+++，那么a b c

b c c a a b

++

+++的值为 ． 7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215 E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，

则线段CE 、BD 的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x 的方程x 2+kx +4

3k 2－3k +9

2= 0的两个实

数根分

别为1x ，2x ，那么

2012

2

20111x x 的值为 ．

8（乙）．设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .

9（甲）. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 . 9（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111

a b c （，，）

均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a

c

的取值范围是 . 10（甲）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ， 交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的 长为 .

10（乙）．已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）

使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

11（甲）．已知二次函数2

32y x m x m =+

+++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程

x

y

O E

C

A

B

D

2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于9

10

-

．求m 的取值范围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴负半轴上，点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上，

48,,sin 5

AO AB AC C ==∠AB =

。点D 在线段AB 上，连结CD 交y 轴于点E ，且COE ADE S S ??=。试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式。

12（甲）. 如图，⊙O 的直径为AB ，

1O 过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与1O 交于点D ，且OD CD >．点

E 在OD 上，

且DC DE =，BE 的延长线与1O 交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．

12（乙）．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： （1）OI 是△IBD 的外接圆的切线； （2）AB +AD = 2BD .

13（甲）. 已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值. 13（乙）．给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．

14（甲）. 求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<

<，且

12

2012

12

2012

n x x x +++

=. 14（乙）．将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， （可

以相同），使得b

a c =，求n 的最小值．

参考解答

一、选择题

1(甲) .C

解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知

0b a c <<<，且b c >，

所以

||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．

1（乙）．B

解：111111

1223a

+

=+

=+

++

+

111=+==．

2（甲）．D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一

个交点的坐标为（3，2）.

2（乙）．B

解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y ， 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数，所以有

22(1)0(1)0x y ?-=??-=??，； 22(1)0(1)1x y ?-=??-=??，； 22(1)1(1)0x y ?-=??-=??，； 2

2

(1)1(1) 1.x y ?-=??-=??

，

解得

11x y =??=?，； 12x y =??=?，； 10x y =??=?，； 01x y =??=?，； 00x y =??=?，； 02x y =??=?，； 21x y =??=?，； 20x y =??=?，； 22.x y =??=?

，

以上共计9对x y （，）. 3（甲）．D

解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为

1(1)(1)(2)34244

a a

b a b a b

+++++++++=

， 中位数为 (1)(1)44224a a b a b

++++++=

， 于是 4423421

444

a b a b ++++-=.

3（乙）．B

解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE . 由于AC = BC ，CD = CE ，

∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE ， 所以△BCD ≌△ACE ， BD = AE .

又因为30ADC ∠=?，所以90ADE ∠=?. 在Rt △ADE 中，53AE AD ==，， 于是DE 224AE AD -=，所以CD = DE = 4.

4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得

2(2)2()x n y y n x n +=-??

+=-?

，

， 消去x 得 (2y －7)n = y +4， 2n =

7

215

17215)72(-+=-+-y y y .

因为

15

27

y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从

而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为0q -<，故方程的根为一正一负．由二次函数2

y x px q =--的图象知，当3x =时，0y >，所以2

330p q -->，即 39p q +<. 由于p q

，