数学史和数学方法论
第一部分数学史
第一章数学的起源和远古数学文献
1.计数意识的起源。
数学的起源和人类文明的起源几乎是同步的。恩格斯在《反杜林论》中指出：“和其他各门科学一样，数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。”“数”的概念萌发于早期人类对事物的计数，结绳与书契可能是所有早期文明中最主要的计数方法。随着文字的出现，人类开始用一些文字符号按照一定的规则表记数字，这些规则就是进位制和符号布列方式，它们是记数法的要素。在世界各地文明中，形成了各自独特的数字符号体系和记数方法,例如：简单分群数系、乘法分群数系、字码数系、定位数系（位值制）等。我们今天通常使用的记数方式就是10进制定位系统，与其它记数方法相比，它在计算上有明显的优势，被誉为人类社会进步的基础。
2.埃及的两种主要的数学纸草书、埃及数制，埃及几何的突出成就。
著名的古埃及纸草书有两份，这两份纸草书都直接书写着数学内容，一份叫“莫斯科纸草书”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草书”，现藏于莫斯科美术博物馆。另一份叫“莱因特纸草书”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被苏格兰人莱因特购得，后为英国博物馆收藏。这两份纸草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法，整数四则运算，单位分数的独特用法，试位法，求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活实践中的应用问题。
埃及数制：据史料记载，早在公元前4000年左右，埃及就有了象形文字，在这种文字中他们以10为基数进行记数。这些文字是用单独的图画来表示一个数的，1是垂直的木棍，10是放牛用的弯曲工具，102是一端卷起的测量绳，103是一朵莲花，104是竖着的手指，105是小鸟，106是举起双手受惊的人，107是太阳。古埃及人单独或重复使用这些符号并将其依次排起来就可表示所有的数。这种记数法虽然以10为基数，用的是十进制，但并非位值制。由于缺乏位值制概念，这种记数法也存在着许多困难，例如：25346就需要用上20个记数符号，这对于算术和代数的
发展是极为不利的。
埃及几何的突出成就：埃及几
何的突出成就是金字塔数学。古埃
及人留下来的数学文献极少，但现
存的活文献——金字塔，却给现代
人留下了许多数学之谜。多少年
来，许多学者对埃及金字塔都进行
了实地考察，对于建于公元前3000
年至公元前2000年的古建筑提出
了不少难解之谜，尤其围绕着最大
的金字塔——胡夫金字塔（建于约
前26世纪）提出了下面这些不可
思议的问题：（1）塔底每边长
232m，误差小于20cm，塔高
146.5m，东南西北角误差仅为
1.27cm，直角误差仅为12”，方位
误差在2’~5’之间，这样的精确
度就是现代建筑也望尘莫及。（2）
用来砌塔的石块达230万块之多，
重量从2.5吨到50吨不等，石块间
的接缝之小连铅笔刀也难以插入。
（3）塔高的10亿倍恰巧等于地球
到太阳的距离，而塔底与塔高的2
倍之比近似等于3.1416，这是公元
3世纪时人们才得到的圆周率的最
高精度。（4）穿过塔的子午线恰
好把地球上的陆地与海洋分为两
半，而塔的重心正好落在引力中心
线上。它充分体现了古埃及人精确
的几何测量技术和高超的建筑技
术。
3.巴比伦数制和解二次方程
的方法。普林顿322号泥板书的数
学意义。
巴比伦数制：巴比伦人采用
60进位制记数法，采用了位置值
制，其记数法主要用加法原则并辅
之以乘法原则，高位数写在低位数
之左。但是由于巴比伦的位值制没
有零的记号，所以巴比伦的位值制
记数法并不完善，它所表示的数需
根据上、下文才能确定。巴比伦人
经常使用分数，且其分母总是常数
60，巴比伦人把分数当作“整体”
看待而并不看做一的几分之几。由
此可见，巴比伦记数并不属于严格
的位值制记数法。
解二次方程的方法：巴比伦数
他
们用特殊的方法能够解出一些一
次、二次甚至三次、四次方程。例
如：问题——求一个数，使它与其
倒数之和等于给定的数。用现代记
号表示即相当于：
。
这实际上是相当于解x2－bx
＋1＝0这样的一元二次方程。对于
这个二次方程，巴比伦人给出的答
案是：
普林顿322号泥板书的数学
意义：关于巴比伦数学，很令人感
兴趣的是“普林顿322号”泥板书
即1923年由收藏家普林顿收藏、
现存于哥伦比亚大学珍本图书馆
的第322号收藏品。该品有4列数
字，共15行，其数字皆为楔形文
字，跟普通的账单一样。认真研究
就会发现：两列中的对应数字（除
4个例外）构成一边长为整数的直
角三角形的斜边和一个直角边。现
在人们把（3，4，5）这样一组能
作为直角三角形的边的正整数称
为毕氏三数。从中可以看到巴比伦
的数学成果是十分丰富的。
第二章希腊数学的兴起和
发展
1.泰勒斯发现的数学定理和初
创的证明，毕达哥拉斯学派、柏拉
图学派的主要数学成就。
泰勒斯（约公元前624~前547
年）是希腊数学史上第一个著名数
学家，在历史上享有“希腊科学之
父”美称，被誉为“希腊七贤之一”，
比我国孔子还早100年。他创立了
爱奥尼亚学派。他发现的数学定
理：（1
分；（2）等腰三角形的两底角相
等；（3）两直线相交时，对顶角
相等；（4）若已知三角形的一边
和两邻角，则此三角形完全确定；
（5）半圆周角是直角。他初创的
证明：他关于“等腰三角形底角相
等”的证明是这样进行的：如图所
示，α=β，γ=δ（同一弓形的角），
α—γ=β—δ（等量减等量差相
等），则∠OAB=∠OBA。尽管当
时人们对于角的概念还不完善，但
这一证明并不失为早起数学证明
的典范。世界演绎几何正是从这里
开始的。
毕达哥拉斯学派：毕达哥拉斯
学派亦称“南意大利学派”，是一个
集政治、学术、宗教三位于一体的
组织。古希腊哲学家毕达哥拉斯所
创立。产生于公元前6世纪末，公
元前5世纪被迫解散，其成员大多
是数学家、天文学家、音乐家。它
是西方美学史上最早探讨美的本
质的学派。毕达哥拉斯学派以“万
物皆数”，
事物的性质是由某种数量关系
决定的，万物按照一定的数量比
例而构成和谐的秩序；据说毕达
哥拉斯学派最早发现了所谓“黄
金分割”规律，而获得关于比例
的形式美的规律。毕达哥拉斯学
派的美学观点是客观唯心主义
的，对柏拉图、新柏拉图主义及
文艺复兴时期的
名的“勾股定理”，据说，毕达哥
拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了
一百头牛，也正是由于勾股定理
的发现，导致无理数的发现，由
此产生了第一次数学危机。
柏拉图学派的主要数学成就。
柏拉图学派的代表人物是
柏拉图（约前427年－前347年），
他年轻时曾跟随希腊哲学家苏
格拉底学习哲学，受到逻辑思想
影响，尔后成为雅典举世瞩目的
大哲学家．柏拉图从毕达哥拉斯
学派吸收了许多数学观点，并运
用到自己的学说中，古希腊伟大
的哲学家，也是全部西方哲学乃至
整个西方文化最伟大的哲学家和
思想家之一，他和老师苏格拉底，
学生亚里士多德并称为古希腊三
大哲学家。他认为“数学是一切知
识中的最高形式”。公元前387年，
他在雅典城郊创办学园，世人称之
为柏拉图学园。该学园活动时间长
达900年，一直到公元529年学园
被封闭为止。柏拉图在数学的理想
思维上有重要贡献，他认为数学真
理只有通过概念思维才能被发现。
他坚持准确定义、清楚假设和逻辑
证明，并首先提出了系统的演绎推
理法则。柏拉图学派还发现了圆锥
曲线。
2.芝诺悖论，毕达哥拉斯——
柏拉图的宇宙设计说，亚里士多德
的数学哲学。
芝诺悖论是古希腊数学家
芝诺提系
不可分性的哲学悖论。这些悖论
《物
理学》一书中而为后人所知。芝
诺提出这些悖论是为了支持他
老师巴门尼德关于“存在”不动、
是一的学说。这些悖论中最著名
的两个是：“阿基里斯跑不过乌
龟”和“飞矢不动”。这些方法现
解释，但还是无法用微积分解
决，因为微积分原理存在的前提
是存在广延（如，有广延的线段
经过无限分割，还是由有广延的
线段组成，而不是由无广延的点
组成。），而芝诺悖论中既承认广
延，又强调无广延的点。这些悖
论之所以难以解决，是因为它集
中强调后来笛卡尔和伽桑迪为
代表的的机械论的分歧点。这些
1/0=无
穷。
毕达哥拉斯——柏拉图的宇宙设计说，没找到。
亚里士多德的数学哲学：古希腊科学家亚里士多德（公元前384~前322年）是柏拉图的学生和同事，曾在柏拉图学园学习工作达20年之久。公元前335年在雅典创办吕克昂学园，从事讲学和研究。他非常重视抽象概念、抽象思维，创立了逻辑学，制定了以演绎法为主的形式逻辑体系，是形式逻辑的奠基人。其基本逻辑原理是同一律、矛盾律、排中律、充足理由律及规范推理方法即三段论，为希腊数学的发展奠定了逻辑基础。
3.三大几何难题，《几何原本》，《圆维曲线》，希腊数学的特色和局限性。
古希腊巧辩学派几何三大难题：（1）三等分任意角；（2）立方倍积——作一正方体使其体积为已知正方体的两倍；（3）化圆为方——作一正方形使其面积等于已知圆的面积。这些问题的难处，是作图只许用直尺（无刻度）和圆规。实际上这三个问题都不可能用尺规经有限次的作图步骤加以解决。不过，围绕这三大难题却延生出从无法解到给出了无穷多解，从而创造出近代数学的众多分支等新知识、新方法和新理论。
《几何原本》
欧几里得（约公元前330~前275年）生于雅典，相传在雅典柏拉图学园受过教育，熟悉柏拉图几何知识，大约在公元前300年，应托勒密一世邀请客居亚历山大城并主持数学研究，在古典希腊数学成果的基础上，把前人生产实践中长期积累的几何知识整理总结为演绎体系，写成了《几何原本》。《几何原本》不仅收集了当时有关几何学方面的重要成果，而且用高度技巧和符合逻辑要求的方法展开了几何学的讨论。该书成书之后，共产生了1000多种版本，2000多年来这部著作仍被认为是世界上最早产生的公理化数学著作的范本。《几何原本》内容有13卷，共有465个命题。《几何原本》第5卷是比例论，包括25个命题，可以认为它是《几何原本》的最高成就，从而消除了毕氏学派发现的不可公度比的“逻辑背理”。《几何原本》在人类文明史上有着无与伦比的意义，它使人们认识到了数学是什么，证明又是什么。成千上万的人通过学习《几何原本》，受到了严格的数学训练并步入科学殿堂。它是数学上的瑰宝。
除《几何原本》外，欧几里得还有许多科学著作，如《光学》、《镜面反射》、《数据》、《二次曲线》、《论图形的剖分》、《辨伪术》等等，但遗留下来的纯数学著作却仅有《数据》和《论图形的剖分》两种。后人为了纪念他，把许多数学名词都以他的名字命名，如“欧几里得几何”、“欧几里得空间”、“欧几里得辗转相除法”。
欧几里得的生平、著作和影
响
Euclid 约公元前
330 ~ 公元前275 ）是
古希腊著名的数学家，以其所著
《几何原本》闻名于世。但是，对
于他的生平，现在我们知道的很
少。根据非常有限的史料，我们只
能推测他生活在公元前3世纪的亚
历山大里亚时代，早年在雅典求
学，曾是柏拉图的门徒，后来成为
亚历山大里亚的学者，并在那里讲
授数学。欧几里得专注学问而不恃
权贵，他崇尚理论修炼，反对急功
近利。
椐史料记载，欧几里得有十部
著作：《原本》，《数据》，《二次曲
线》，《辩伪术》，《论剖分》，《衍论》，
《曲面轨迹》，《光学》，《镜面反
射》，《现象》等。不过，除了《原
本》这部著作流传至今，其它的著
作都没有流传下来。欧几里得的
《几何原本》是一部世界数学名
著，先后被翻译成许多种文字在世
界各地出版。有人说《几何原本》
在西方各国流传之广、影响之深仅
次于基督教的《圣经》。我们说《几
何原本》是数学史上的一部划时代
的著作，因为它是最早用公理化方
法建立起数学知识的逻辑演绎体
系。
《圆维曲线》：阿波罗尼奥斯
为亚历山大前期的三位数学巨人。
阿波罗尼奥斯著有《圆锥曲线论》，
义椭圆、抛物线和双曲线。在平面
几何领域提出过著名的有关圆相
切的问题。《圆锥曲线论》共有8
卷，共收入487个命题。现存前7卷
共收382个命题。该书关于圆锥曲
线性质的讨论，其理论结构实际上
和现在用坐标法、坐标变换及圆锥
曲线方程研究圆锥曲线性质是类
似的。
希腊数学的特色和局限性：希
地位，是因为它对今日数学的奠基
有决定性作用。希腊数学的主要成
就有以下几个方面：（1）使数学成
为抽象性的一门科学；（2）建立了
演绎推理证明——数学的公理化
体系；（3）建立了几何学、三角学、
代数学并奠定了数论的基础；（4）
有了一些高等数学知识萌芽如数
论、极限等；（5）发现若干定理和
证明，逻辑结构严密，论证认真细
致。尽管希腊古代数学有无与伦比
的成就，但在其辉煌的背后同样也
有明显的局限性：（1）片面强调几
从而在很大程
度上限制了代数的发展，并且使几
代人看不出几何与算术在概念和
运算上的相应之处，使人们认为几
何方法似乎就是数学证明的惟一
方法；（2）在逻辑上拘泥于严格性
而束缚了创造性；（3）由于哲学而
回避了无限过程，从而与极限方法
失之交臂。总之，古代希腊数学的
成就直接创立了初等数学。
1、古希腊数学学派简介。
在古希腊的古典时期各城邦有一
种商业活动场所，称之为市场。当
时人们的文化生活也都集中在市
场周围，农民、商人、水手和工匠
聚集在这里交往和娱乐，哲学家和
科学家们也来到市场边上的阴凉
处，在学生、拥护者和有兴趣的公
众的簇拥下演讲，交流各种新的思
想，发表不同的学术观点，从而历
史地形成了著名的七大学派。他们
是先后在爱奥尼亚地区的泰勒斯
学派、毕达哥拉斯学派、厄里亚学
派、巧辩学派和在雅典地区的柏拉
图学派、欧多克索学派、亚里士多
德学派。这些哲学家和科学家们思
想深邃，以探索自然奥秘为目的进
行数学研究或者指导数学研究。把
数学从以往的经验形态上升为理
论形态，为后来的数学发展奠定了
基础。，
2、古希腊三圣贤：欧几里得、
阿波罗尼、阿基米德。
学家曾在亚历山大里亚从事学术
研究和教育活动，他们整理、发扬
古典时期古希腊数学的精华，分别
著有传世之作《几何原本》和《圆
锥曲线》。
阿基米德年轻时曾去亚历山
大里亚求学，后虽回家乡叙拉古，
但他与亚历山大里亚的学者联系
密切。他才智超群，兴趣广泛，不
仅在理论的、抽象的数学上露出才
华，而且他还能将数学知识巧妙地
应用于其它科学和工程技术领域。
3、神秘的丢番图。
丢番图作为古希腊亚历山大里
亚时期代数学的代表人物而闻名
于世。他大约生活在246—330年
间，关于他的生平与其他古希腊数
学家一样，我们现在知道的非常
少。我们知道他曾经有一部了不起
的著作《算术》，共有13卷，其中
都是关于数的一些问题，可惜由于
失传，现在流传的只有希腊文本6
卷189题和阿拉伯文本4卷101题。
《算术》在历史上的影响可以与欧
几里得的《几何原本》相媲美，其
主要成就有两个方面。一是丢番图
采用了缩写的方式表示数学的运
算，也就是所谓的缩写代数，一是
丢番图讨论了一次、二次以及个别
的三次方程的求解，而且大多是不
定方程，也就是后来形成的所谓的
丢番图分析或不定分析。由于古希
腊数学中几何学占有绝对的优势，
而代数学没有被人们广泛认同，加
上《算术》中的问题很难读懂，所
以这部著作很快就被遗忘，随即失
传，于是人们常称神秘的丢番图。
4.阿基米德、托勒密、丢番图
和海伦等的主要贡献。
阿基米德的主要贡献
阿基米德（公元前287~前212
年）生于叙拉古，11岁到亚历山大
城就学于欧几里得。他才智过人。
成果卓著，被誉为古代最伟大的数
学家和科学家。他的传世名著有
《圆的测量》、《论球体和圆柱体》、
《论劈锥曲面体与球体》、《论平
板的平衡》、《抛物线弓形求积》、
《论螺线》、《砂粒计算》、《论
方法》等。这些著作的特点，是用
严格的数学方法对力学和物理学
问题作详细研究，从而开应用数学
之先河。例如（1）力学方法——
“杠杆原理”在数学中的应用。（2）
用穷竭法求出一系列几何图形的
面积。阿基米德的杰出成就，丰富
了古代数学内容，其思想的深度和
论述的严谨性在当时是极为罕见
的，因而他被人们称为“数学之
神”，并与高斯、欧拉和牛顿并称
为19世纪以前的“数学四杰”。
托勒密的主要贡献：托勒密
（约公元前2世纪）相传生于埃及，
他的著作很多，巨著《天文学大成》
曾在天文学史上产生过极大影响。
托勒密的地心宇宙体系在欧洲天
文界思想中占统治地位约有1300
年。托勒密一生主要有两部巨著，
另一部是八卷本的《地理学指南》。
这他编制的一本地名辞典和地图
集。书中给出了几千个地方的地理
位置，堪称是一项伟大成就。在《地
理学指南》这部巨著中，托勒密谈
到了地理位置的确定问题。他提出
了一种等间距的坐标网格，用"度"
来进行计算。托勒密可算得上是第
一个明确提出经纬度理论的人。他
的理论中，纬度从赤道量起，而经
度则从当时所知道的世界最西地
点?幸运岛算起。这一切已经和今
天的经纬度概念很相接近了。在托
勒密之后的一千多年内，关于确定
经度的问题，一直没有获得重大进
展。
丢番图的主要贡献：丢番图
（约公元246~330年）的主要成就
是缩写代数和不定方程。如果说亚
历山大时期海伦使希腊几何从抽
象走向实际，那么丢番图即把希腊
的代数推向了最高点。可以说他是
希腊代数的鼻祖，他一生写了《算
术》、《论多边形数》、《衍论》
和《不定方程》等许多著作，有的
早已失传。他的缩写代数是近代符
号代数的开端，在代数发展史上是
一个巨大的进步。此外，他在数论
方面也有不少成绩。数论中的两大
部分——丢番图方程和丢番图近
似理论就是以他的名字命名的。
海伦的主要贡献：海伦的实用
代数——海伦（约公元前100年~
公元100年）生于埃及，曾长期在
亚历山大城工作，热心于实用数
学。他工作的主要特点是把严密的
数学与埃及人的近似方法和公式
融合起来，并实际应用大量的近似
公式，表现出鲜明的“埃及特色”。
他写过很多书，如《度量学》、《体
积求法》、《几何》、《测地术》
等等。在《测地术》中，有著名的
海伦公式，此外，海伦还给出了许
多平面和曲面图形的面积及体积
度量定理，并将许多定理和法则用
于建筑。他使希腊几何从抽象走向
实际。
第三章中国古典数学的形成和发展
1.筹算数制，《九章算术》、“物不知数”问题和大衍求一术的内容，以及《庄子·天下篇》中的名句。
筹算：在我国古代，以算筹为算具，按十进位值制表示数，根据一定的术进行各种运算，用以解决各种各样的实际问题。
“物不知数”问题：“物不知数”问题，也叫做“孙子问题”，记录与《孙子算经》：“今有物不知其数，三三数之（剩）二，五五数之（剩）三，七七数之（剩）二，问物几何？答曰：二十三。”该问题属于一次同余式组问题，书中给出的解法在世界上属于首次提出，被认为其解法符合高斯定理，因而西方数学史把这一定理也称做“中国剩余定理”。
大衍求一术的内容：“大衍求杰出创造。它所涉及的理论，和现代整数论中的一次同余式理论颇相类似。据现有材料来看，首先对“大衍求一术”这一算法进行系统叙述的是秦九韶，他在《数书九章》中的“大衍求一术”，即是用了一种和欧几里得辗转相减法相同的方法进行计算的。
《庄子·天下篇》中的名句：一尺之捶，日取其半，万世不竭。——《庄子·天下》【译解】：一尺长的鞭杖，每天截取一半，永远也截取不完。【解】物质可以无限分割。
2.《九章算术》的特别和重要贡献。
《九章算术》：《九章算术》是迄今所发现的我国最古老的数学著作，作者和成书年代无从详考，这是以中国古代长期积累起来的数学知识为基础，经许多人修改、补充才得以完成，大约到公元1 世纪时，《九章算术》的内容就和我们现在所见传本基本一致了。《九章算术》的数学成就是多方面的，尤为重要的是，它不仅体例规范，而且集中地体现了中国传统数学体系的特征：以筹算为基础，以算法为主，寓理于算，广泛应用。如同欧几里得的《几何原本》对西方数学的影响，在一千多年间，《九章算术》一直被作为标准教科书，对东方的中国、朝鲜、日本等国产生了深远的影响。
3.刘徽、祖冲之父子、赵爽、“宋元四杰”以及徐光启等的主要数学贡献。
刘徽;刘徽是中国数学史上一位伟大的数学家。其代表作《九章算术注》和《海岛算经》是我国现有传本的杰出数学著作，是我国宝贵的数学遗产。他的突出贡献：（1）十进小数方面，刘徽创造的十进小数记数法，是世界数学史上的一项伟大成就，国外的同样思想到14
世纪才出现，大致晚了1000多年。
（2）齐同术方面的理论。（3）对
正负数认识和解方程方面。（4）
几何学方面，创造了求圆周率近似
值的科学程序——割圆术，求出了
“徽率”3.14。在几何定理证明方
面，其证明方法主导思想是用“以
盈补虚”、“出入相补”。关于球
体体积的研究，以及极限思想和重
差术方面的研究。在数学的直观性
方面，他主张“析理以辞，解体用
图”。
祖冲之父子：祖冲之（429~500
年），南北朝时代南朝科学家。他
的数学著作有《缀术》和《九章术
义》，均已失传。祖冲之父子主要
成就：（1）圆周率计算，他推算
出圆周率在3.1415926~3.1415927，
这一成果领先世界近千年，直到中
世纪晚期阿拉伯数学家卡西才通
过由内接正四边形算起、依次使边
数加倍的计算，使π值准确到小数
点后16位。（2）球体积计算，在
《缀术》中，祖冲之祖恒之父子提
出了“幂势既同，则积不容异”原
理，这就是著名的“祖氏原理”。
其意思是：形状不同的物体，只要
它们在任意等高处的截面积相等，
则它们的体积就不能不相等。在西
方，该原理直到一千多年以后才由
意大利数学家卡瓦列里重新发现。
赵爽：赵爽的主要数学成就是
注《周髀算经》，并在卷首写下“勾
股圆方图”。这是我国数学史上很
有价值的文献。“勾股圆方图”全
文530余字，附图6张，简明扼要
地总结了后汉时期勾股算术的辉
煌成就。他以出入相补原理对勾股
定理、有关勾股弦的各种关系式和
二次方程解法等给出了证明。他在
“勾股圆方图”中还研究了二次方
程问题并得出了类似“韦达定理”
的结果，比韦达早了1300多年。
“宋元四杰”以及徐光启等的
主要数学贡献。
宋元四杰，就是宋元时期最杰
出的四位数学家棗秦九韶、李冶、
杨辉、朱世杰。1.秦九韶是一位多
才多艺的才子。他的数学成就，体
现在他的《数学九章》中。其中最
突出的有两项：一项是“正负开方
术”，另一项是“大衍求一术”。
2.李冶李冶一生著述甚丰，数学著
(1248年成)与《益
古演段》(1259年成)。李冶自己最
看重的著作，就是《测圆海镜》。
李冶在数学上的最大贡献，就是总
结、发展并完善了“天元术”。3.
杨辉杨辉的数学著作甚多，有《详
(12卷，1261年成)、
《日用算法》(2卷，1262年成)、
《乘除通变本末》(3卷，1274年
成)、《田亩比类乘除捷法》(2卷，
1275年成)、《续古摘奇算法》(2
卷，1275年成)。杨辉在数学上的
造诣极深，涉猎极广，许多优秀的
前人成果，都由于杨辉的记载而得
以保存下来(如上文所讲的贾宪三
角与增乘开方法)。他在北宋沈括
“隙积术”的基础上，又发展出
“垛积术”，在高阶等差级数的计
算上达到了新的高度。而他最为世
人注目的，则是对“纵横图”的收
集与研究。4.朱世杰朱世杰在数学
在宋元四杰中是成就最高、声望最
高的一位。连国外的学者也认为，
朱世杰的数学著作《四元玉鉴》是
“中世纪最杰出的数学著作之
一”。朱世杰在1299年撰成《算
学启蒙》，这是一部普及性的数学
教科书。1303年撰成《四元玉鉴》，
则是当时最高水平的数学专著。就
在这部著作中，朱世杰向世人贡献
了他最主要的数学成就棗“四元
术”。“四元术”的消元法，与
现代数学基本相同，逐级消元，最
终变为一个一元高次方程来求解。
朱世杰创造的“四元术”，西方要
到18世纪才达到这样的水平，比
朱世杰落后近五百年。
徐光启的主要数学贡献：徐光
有三个方面，即(1)论述了中国数
学在明代落后的原因；(2)论述了
数学应用的广泛性；(3)与意大利
传教士利玛窦一起翻译并出版了
《几何原本》。
第四章中世纪前后的数学
发展和交流
1.印度、阿拉伯数学各自的特
色和历史贡献。
印度数学，与其他古老民族的
数学一样，也是在农业生产需要的
基础上产生的。但是，有特殊的因
素促使它的发展。印度盛行婆罗门
祭礼，加之佛教的四处传播，贸易
的频繁交往，使印度数学与近东、
中国的数学相互融合，相互促进。
印度数学以算术-代数为轴心，几何
则偏重计算，没有演绎证明，这与
古希腊数学以算术-几何为轴心大
不相同。
正因为如此，约从5世纪到
12世纪，印度数学对算术、代数作
的贡献十分重大，直接影响了后来
世界数学的发展。
阿拉伯数学，专指从8世纪至
15世纪，在中东、北非以及西班牙
等地的伊斯兰国家里，主要以阿拉
伯文字书写的数学著作所代表的
数学。其实，为阿拉伯数学作出贡
献的学者不限于阿拉伯人，还有希
腊人、波斯人、犹太人，甚至还有
基督徒。
阿拉伯数学在世界数学史上
占有特殊的地位，它是古希腊数学
和印度数学的继承者。评价阿拉伯
数学在数学发展中的贡献，现在却
不太一致。有人认为阿拉伯数学富
有创造性，尤其在代数学和三角学
方面；也有人认为阿拉伯数学缺乏
创造性，并且他们的工作无论在数
量或质量上，都比不上古希腊或现
代学者。但是，阿拉伯数学将前人
的文化遗产继承下来，并传给后代
欧洲人，在数学史上承前启后的工
作是被一致公认的。
2.欧洲自菲波那契以后的数
学发展。
欧洲文艺复兴时期的数学成
就：（1）算术方面的成就。a.数码
——印度数码经阿拉伯人传人欧
洲以后，在欧洲又经过了大约5个
世纪的演化，已经定型为现代的形
式。b.四则运算得以简化。c.分数
和小数——15世纪后逐渐形成了
分数算法，16世纪首次使用连分数
表示一个数平方根的近似值。（2）
代数方面的成就。A.符号代数——
韦达是符号代数的创始人之一。B.
数系的发展。1801年德国数学家卡.
高斯建立复数的几何。C.二、三、
四次方程解法——16世纪欧洲数
学最突出的成就是意大利数学家
发现了方程的代数解法（韦达定理
等）d.对数的建立是文艺复兴时期
计算技术的重大进步。英国数学家
耐普尔在1614年发表《奇妙的对
数规律的描述》，是世界上第一部
对数著作，建立了对数。E.费马大
小定理。（3）三角方面的成就—
—德国数学家雷格蒙塔努斯1464
年著《论各种三角形》将平面三角
与球面三角分离，使三角学成为一
门独立的数学学科。
3.花拉子米、波什伽罗、海雅
姆、卡西、菲波那契、卡丹、韦达、
纳皮尔等数学家的主要贡献。
花拉子米伟大的阿拉伯数学、
学研究的范围十分广泛，包括数
学、天文学、历史学和地理学等
领域．他撰写了许多重要的科学
著作。公元825年左右编辑著成
了《代数学》，比较完整地讨论
了一次、二次方程的一般原理，
并首次在解方程中提出了移项
和合并同类项的名称，书中还承
认二次方程有两个根，容许无理
根的存在．他把未知量叫做
“根”，从而把解方程叫做“求
根”，西文“Algebra”（代数）就
是从这本书的书名演变而来
的．在数学方面，花拉子密编著
了两部传世之作：《代数学》和
《印度的计算术》
用阿拉伯文写出了最早的历史
学的发展中起到了重要作用。在
天文历法方面，他在实测的基础
上，编写的《积尺》（即历数书
或天文表）一书，在阿拉伯国家
长期流行。译成拉丁文之后曾被
用作编制《托莱多天文表》的依
据。在地理方面，他也有著作传
世。他还曾制作过阿拉伯世界的
地图。
波什伽罗婆什迦罗是印度中事数学研究的人们熟悉他就像中国人熟悉中国魏时著名数学家刘徽一样。但由于时间的久远，对于中国学者来说，只知道闻名于世的《莉拉瓦蒂》是由印度数学家婆什迎罗所著。其中阐述了“莲花问题”并用歌谣的形式记载下来，使“莲花问题”成为几何定理应用的典型问题之一。“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位两尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅。”
海雅姆欧玛尔·海亚姆（1048～1122）或译作莪默·伽亚谟。波斯诗人，哲学家，天文学家。海亚姆早期的数学著作已经散失，仅《算术问题》的封面和几片残页保存在荷兰的莱顿大学。幸运的是，他最重要的一部著作《代数学》流传下来了。1851年，此书被F·韦普克从阿拉伯文翻译成了法文，书名叫《欧玛尔·海亚姆代数学》，虽然没赶上12世纪的翻译时代，但比他的诗集《鲁拜集》的英文版还是早了8年。1931年，在海亚姆诞辰800周年之际，由D·S·卡西尔英译的校订本《欧玛尔·海亚姆代数学》也由美国哥伦比亚大学出版了。我们今天对海亚姆数学工作的了解，主要是基于这部书的译本。海亚姆在数学上最大的成就是用圆锥曲线解三次方程，这也是中世纪阿拉伯数学家最值得称道的工作。在几何学领域，海亚姆也有两项贡献，其一是在比和比例问题上提出新的见解，其二便是对平行公理的批判性论述和论证。
卡西15世纪著名天文学家、数学家，协助编制的《兀鲁伯星表》中，有一编是专门叙述中国历法的。随着中国历法西传，中国的数学知识自然也就传入了伊斯兰国家。卡西于1427年写成杰出的数学著作《算术之钥》5卷。在这部著作中，除四则运算、开平方、开立方、“契丹算法”、“百鸡问题”等显然直接或间接受中国数学影响之外，还可以从中看到中国宋元数学的一些迹象。柯西在《算术之钥》中还进一步介绍了开任意高次幂的方法，还提出了一个二项式定理系数表。这正是11世纪在中国出现的贾宪所创“开方作法本源”图。此外，卡西的数学著作中还应用了十进制小数。在其另一名著《圆周论》中，他计算圆周率是由圆内接四边形算起，依次使边数加倍，准确到了小数点后16位，其精确度超过了祖冲之。他的十进制小数虽然较西欧为早，但同中国宋元数学相比则为迟，其间有可能也是受到了中国数学的影响。
柯西与高斯并称为19世纪最伟大的数学家柯西，法国数学家。柯西的贡献几乎遍及所有数学领域，在他的7本专著和800篇论文中，可以看出他在微积分学、级数理论、微分方程、复变函数论、数
论、行列式理论、群论等方面都有
研究和贡献。他于1821年发表《代
数分析教程》，1823年发表《无穷
小计算概要》，1829年发表《微分
学讲义》，在这些著作中，柯西以
极限作为微积分的理论基础。他是
行列式和群论的先驱者，而且在物
理学和天文学等方面也做出了重
要贡献，仅在弹性力学方面就有16
个以他的名字命名的概念和定理。
菲波那契：斐波那契（1175年
一个研究斐波那契数，并将现代书
写数和乘数的位值表示法系统引
入欧洲。欧洲黑暗时代以后第一
位有影响的数学家斐波那契（约
1175～1240），其拉丁文代表著
作《算经》、《几何实践》等也是
根据阿拉伯文与希腊文材料编
译而成的，《算经》（1202）亦译
作《算盘书》。《算经》最大的功
绩是系统介绍印度记数法，影响
并改变了欧洲数学的面貌。现传
《算经》是1228年的修订版，
其中还引进了著名的“斐波那契
数列”。《几何实践》（
斐
波那契其他数学著作还有《平方
数书》1225）、《花朵》（1225）
等，前者专论二次丢番图方程，
后者内容多为菲德里克二世宫
廷数学竞赛问题。
卡丹：意大利数学家卡丹
（1501~ 1576)，一个多才多艺
的学者，一个放荡不羁的无赖他
精通数学、医学、语言学、天文
学、占星学。一生充满传奇，人
们称他为“怪杰”。１５４５年，
卡丹发表了他的数学名著《伟大
的艺术》。卡丹认为代数是一门
“伟大的艺术”。这本书共有四
十章。在书中，他介绍了不同形
式的二次和三次等多项式方程
的求解方法。由于解三次方程的
卡丹公式而知名。
韦达：韦达（1540年－1603
年12月13日），法国数学家，十
六世纪最有影响的数学家之一，被
尊称为“代数学之父”。他是第一
个引进系统的代数符号，并对方程
论做了改进的数学家。韦达最重要
的贡献是对代数学的推进，他最早
系统地引入代数符号，推进了方程
论的发展。韦达用“分析”这个词
来概括当时代数的内容和方法。他
创设了大量的代数符号，用字母代
替未知数，系统阐述并改良了三、
四次方程的解法，指出了根与系数
之间的关系。给出三次方程不可约
情形的三角解法。主要著有《分析
法入门》、《论方程的识别与修正》、
《分析五章》、《应用于三角形的数
学定律》。由于韦达做出了许多重
要贡献，成为十六世纪法国最杰出
的数学家之一。韦达讨论了方程
根的各种有理变换，发现了方程
根与系数之间的关系（所以人们
把叙述一元二次方程根与系数
关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达最早明确给出有关圆周率π
值的无穷运算式,
套10进分数表示法，促进了记
数法的改革。之后，韦达用代数
方法解决几何问题的思想由笛
卡儿继承，发展成为解析几
何学方面的权威，他通过393416
个边的多边形计算出圆周率，精
确到小数点后9位，在相当长的
时间里处于世界领先地位。
纳皮尔等数学家的主要贡献
纳皮尔(1550～1617年),苏
格兰数学家,对数的创始人。他
的最大贡献是发明了对数。纳皮
尔的杰作《奇妙的对数定律说明
书》于1614年6月在爱丁堡出
版。但直到后来布里格斯将纳皮
尔创立的对数改为常用对数,它
才得到广泛使用。
纳皮尔筹：17世纪，计算工具
在西方发展较为迅速。英国数学家
纳皮尔在他的著作里，介绍了一种
新工具，也就是后来被称为“纳皮
尔筹”的器具。纳皮尔筹又叫“纳
皮尔计算尺”，它是由十根木条组
成的，每根木条上都刻有数码，右
边第一根木条是固定的，其余的都
可根据计算的需要进行拼合或调
换位置。纳皮尔只不过是把格子乘
法里填格子的工作事先做好而已，
需要哪几个数字时，就将刻有这些
数字的木条按格子乘法的形式拼
合在一起。纳皮尔筹与中国的算筹
在原理上大相径庭，它已经显露出
对数计算方法的特征。纳皮尔筹
的计算原理是“格子”乘法。
第五章近、现代数学的创建
和发展
1.解析几何和微积分的发现，
笛卡儿和费马的解析几何的比较，
牛顿和莱布尼茨的微积分的差异，
微积分严密化。
解析几何和微积分的发现：
解析几何法国数学家迪卡儿
1637年出版了哲学著作《方法论》，
其中有3个著名的附录：《几何学》、
《折光》和《陨星》。《几何学》
共分3卷，第2卷叙述“曲线的性
质”，提出了解析几何思想。他把
“数”和“形”有机统一起来，从
此开拓了变量数学研究领域。解析
几何的精髓所在，即是引进坐标
系，把几何曲线表示成代数方程，
然后通过对方程的研究揭示曲线
的性质。
法国数学家费马在解析几何
方面也有贡献，可称为解析几何创
始人之一。
笛卡儿和费马的解析几何的
比较：费马通过坐标法把几何曲线
与代数方程联系起来，从而把几何
学与代数学联系起来，并且还提出
了作为研究轨迹的普遍适用的一
般方法。特别是强调轨迹用方程表
示，利用韦达的字母代数的思想方
法，获得重要的技术性成就，这已
经非常接近现代解析几何的核心
思想。但是，费马的思想方法不够
成熟之处，也是显而易见的。这主
要因为，他把自己的工作仅仅局限
在继承古希腊的思想观念上，只不
过是重新表述阿波罗尼的工作，在
技术性上有所突破而已，所以人们
把费马的工作称为“坐标几何”。
笛卡儿创立解析几何的思想
基础有三个方面，即：哲学研究、
自然科学研究、科学知识应用研
究。他决心摒弃中世纪的经院哲
学，创立为实践服务的哲学，在自
然科学的研究中，探求科学的方法
论，使人能够科学地解释自然现
象，并成为大自然的主宰者。为此，
他以数学为基础，用以演绎为核心
的方法论，建立哲学和其它自然科
学。
笛卡儿主张将几何、代数和逻
辑三者的优点结合起来，而克服各
自的不足，从而建立一种“真正的
数学”、一种“普遍的数学”，用于
研究“一切事物的次序和度量的性
质”，不管它们是“来自数、图形、
星辰、声音或者其它任何涉及度量
的事物”。《几何学》则是笛卡儿从
事具体数学研究的成果，其中最重
要的贡献就是，提出了解析几何的
基本思想和方法，这直接影响到微
积分的产生和近代科学的发展。
笛卡儿的解析几何的基本思
想，主要体现在用代数解决几何作
图问题，逐渐形成用方程表示曲线
的思想。笛卡儿的解析几何的方
法，关键是解除了韦达的代数方程
要求齐次的限制，通过引入坐标和
变量，把几何的点和代数的数联系
起来，并且把相互关联的两个未知
数的任意代数方程看成平面上的
一条曲线。
微积分的发现从16世纪下半
发展，使得力学在科学中的地位越
来越重要。以力学为中心的一系列
迫切需要解决的实际问题摆在了
科学家面前。17世纪的微积分正是
围绕着这些问题解法的研究而逐
步创立起来的。牛顿和莱布尼兹各
自独立地为微积分的创立做了大
量的工作，历史公认他们同是微积
分的创始人，他们在创立微积分过
程中都采用了一些新的方法，在数
学发展史上都有创造性作用。他们
都把微积分从前期的几何形式中
解脱出来，使微积分算术化；同时，
他们都把求面积和体积以及其他
以往作为求和处理的问题归并于
反微分，从而为积分运算开辟了一
个简单途径。
牛顿和莱布尼茨的微积分的差
异：总体上讲，牛顿和莱布尼茨分
们俩被誉为微积分学的发明人。但
是他们的工作并不完全相同，牛顿
工作在先，而莱布尼茨发表在先；
牛顿的工作严谨、具体、条理，莱
布尼茨的工作大胆、抽象、零碎；
牛顿的工作流传下来的不多，而莱
布尼茨的工作流传至今的比较多；
牛顿与莱布尼茨在无穷小、基本概
念和理论基础多方面都存在不同。
微积分严密化：魏尔斯特拉斯
也不依赖极限的无理数定义。他引入一个新的概念“复合数”：{α、β、γ、σ、······}。针对柯西关于极限的定义叙述粗糙的缺陷，魏尔斯特拉斯认为，其根源在于借助了连续、运动的直观，才会出现“无限趋近”或“要多么近就多么近”之类的言辞。他认为变量和极限的观念并不是只能动态地描述，而是可以完全静态地刻画。引入了一直运用到今天，大家称之为“ε - n”、“ε - δ”的语言，再加上柯西关于导数、积分的定义，就得到一套精确的微积分学的基本概念，也就构成了整个微积分理论的严密的论述。
2.微分几何、概率论、非欧几何、群论和集合论的起源。
微分几何微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。十九世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了他的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何学的研究对数学其他分支以及力学、物理学、工程学等的影响是不可估量的。
概率论：概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺（1501——1576）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和p.s.拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面a·n·柯尔莫哥洛夫、n.维纳、a·a·马尔可夫、a·r·辛钦、p·莱维及w·费勒等人作了杰出的贡献。苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的
出了概率的测度论的定义和一
套严密的公理体系。他的公理化
方法成为现代概率论的基础，
对
概率论的迅速发展起了积极的
作用。
概率论的产生、发展，大致可
以分为四个阶段：方法积累阶段、
理论概括阶段、形成系统理论阶
段、建立公理体系阶段。
非欧几何1893年，在喀山大
学树立起了世界上第一个为数学
家雕塑的塑像。这位数学家就是俄
国的伟大学者、非欧几何的重要创
始人——罗巴切夫斯基。非欧几何
是人类认识史上一个富有创造性
的伟大成果，它的创立，不仅带来
了近百年来数学的巨大进步，而且
对现代物理学、天文学以及人类时
空观念的变革都产生了深远的影
响。罗巴切夫斯基是在尝试解决欧
氏第五公设问题的过程中，从失败
走上他的发现之路的。欧氏第五公
设问题是数学史上最古老的著名
难题之一，它是由古希腊学者最先
提出来的。罗巴切夫斯基几何学的
公理系统和欧氏几何学不同的地
方仅仅是把欧氏几何中“一对分散
直线在其唯一公垂线两侧无限远
离”这一几何平行公理用“从直线
外一点，至少可以做两条直线和这
条直线平行”来代替，其他公理基
本相同。由于平行公理不同，经过
演绎推理却引出了一连串和欧式
几何内容不同的新的几何命题。
群论和集合论的起源
群论群论是法国传奇式人物
伽罗瓦（1811~1832年）的发明。
具体来说是伽罗瓦
群，解决了五次方程问题。在此
之后柯西（年)，阿贝
尔（
1872年克莱因
在德国埃尔朗根大学作就职演
讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，
用变换群对已有的几何学进行
了分类。在《埃尔朗根纲领》发
表后的半个世纪内，它成了几何
学的指导原理，推动了几何学的
发展，导致了射影微分几何、仿
射微分几何、共形微分几何的建
立。
集合论19世纪末德国数学家
康托尔创立集合论。最初，遭到许
多数学家（包括德国数学家克罗内
克、克莱因和法国数学家庞加莱
等）的反对，但是到了20世纪初，
这一新的理论在数学中的作用却
越来越明显，集合概念本身被抽象
化了。在法国数学家弗雷歇等人的
著作中集合已不必是数集或点集，
而可以是任意性质的元素集合，如
函数的集合、曲线的集合等等。这
就使集合论可以作为一种普遍的
语言而进入数学的不同领域，并引
起数学的基本概念（如积分、函数、
空间等）发生深刻变革。
3.笛卡儿、费马、牛顿、莱布
尼茨、伯努利家族、欧拉、高斯等
数学家的主要贡献，以及20世的
抽象代数和电子计算机发展所涉
及的数学家。
笛卡儿：法国数学家，1637年
3个著名
的附录：《几何学》、《折光》和
《陨星》，在《几何学》中，他提
出了解析几何思想，把数与形有机
统一起来，开拓了变量数学的研究
领域，创立了解析几何。
费马：法国数学家费马在数
大分支上都有开创性贡献，后人称
他为“业余数学家之王”。在出版
的《数学论集》中，他提出了著名
的费马猜想(费马大定理，或费马最
终定理)和费马小定理。他和迪卡儿
都是解析几何的创始人。
牛顿：英国物理学家和数学
年建立二项式定理。
他提出了“流数法”、发现万有引
力定律并得到了太阳光谱。他创立
了微积分，1666年，牛顿写出第一
篇关于微积分的论文《流数短论》，
首次提出了流数概念。他在函数理
论、无穷级数、微分方程、变分法、
代数与解析几何等方面都有重要
贡献。
莱布尼茨：德国自然科学家、
分的创始人，他引进了常量、变量
和参考变量概念，从研究几何问题
入手完成了微积分的基本计算理
论；创造了微分符号和积分符号，
并提出了函数的微分法则和求导
公式。他也是现代机器数学的先
驱，1673年他制作的能进行四则计
算的计算机，比帕斯卡制作的只能
进行加法运算的计算机更为先进。
伯努利家族伯努利家族（17～
18在一个家
族中，代代相传，人才辈出，连续
出过十余位数学家，堪称是数学史
上的一个奇迹．瑞士伯努利数学家
族（17—18世纪）就创造了这样一
个神话．伯努利家族，原籍比利时
安特卫普．1583年遭天主教迫害迁
往德国法兰克福，最后定居瑞士巴
塞尔．其中以雅各布第一?伯努利
（Jacob Bernoulli），约翰第一?伯努
利（Johann Bernoulli），丹尼尔第一
?伯努利（Daniel Bernoulli）这三人
的成就最大。
雅各布在概率论、微分方程、
无穷级数求和、变分方法、解析几
何等方面均有很大建树．许多数学
成果与雅各布的名字相联系．例如
悬链线问题（1690年），曲率半径
公式（1694年），“伯努利双纽线”
（1694年），“伯努利微分方程”
（1695年），
“等周问题”
（1700年），
“伯努利数”、“伯努利大数定理”
等．
概率论．他从1685年起发表关于
赌博游戏中输赢次数问题的论文，
后来写成巨著《猜度术》，这本书
在他死后8年，即1713年才得以
出版．
约翰是一位多产的数学家，他
的大量论文涉及到曲线的求长、曲
面的求积、等周问题和微分方
程．指数运算也是他发明的．例如
解决悬链线问题（1691年），提出
洛必塔法则（1694年）、最速降线
（1696年）和测地线问题（1697
年），给出求积分的变量替换法
（1699年），研究弦振动问题（1727
年），出版《积分学数学讲义》（1742
年）等．1696年约翰以公信的方式，
向全欧数学家提出了著名的“最速
降线问题”，从而引发了欧洲数学
界的一场论战．争论无疑促进了科
学的发展，论战的结果产生了一个
新的数学分支——变分法．因此，
约翰是公认的变分法奠基人．
约翰的另一大功绩是培养了
一大批出色的数学家，其中包括18
世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数
学家克莱姆、法国数学家洛必塔，
以及他自己的儿子丹尼尔和侄子
尼古拉二世等．
丹尼尔的贡献集中在微分
方程、概率和数学物理，被誉之
为数学物理方程的开拓者和奠
基人．他曾10次获得法国科学
院颁发的奖金，能与之相媲美的
只有大数学家欧拉．丹尼尔于
1747年当选为柏林科学院院士，
1748年当选巴黎科学院院士，
1750年当选英国皇家学会会
员．他一生获得多项荣誉称
号．作为伯努利家族博学广识的
代表，他的成就涉及多个科学领
域．他出版了经典著作《流体动
力学》(1738年)，给出“伯努利
定理”等流体动力学的基础理
论；研究弹性弦的横向振动问题
(1741～1743年)，提出声音在空
气中的传播规律(1762年)．他的
论著还涉及天文学(1734年)、地
球引力(1728年)、湖汐(1740年)、
磁学(1743、1746年)，振动理论
(1747年)、船体航行的稳定
(1753、1757年)和生理学(1721、
1728年)等．
欧拉：瑞士数学家、物理学家。
他整理了莱布
尼兹的支持者——大陆派的微积
分内容，先后发表了《无穷小分析
引论》、《微分学》、《积分学》
等著作。在这些著作和一系列论文
中，欧拉对微积分的发展做出了重
大贡献。此外，他在微分方程、几
何、数论以及力学、光学和天文学
等方面都做出了重大贡献，人们称
他是“一个多产的科学家、一个方
法的发明家、一个熟练的巨匠”。
拉格朗日（1736~1813年）法
名著《解析函数论》1797年发表。
他用代数方法证明了泰勒展开式。
曾尝试“纯代数的微分学”未成功，
但他对函数的抽象处理却可以说
是实变函数的起点。他还给出了泰
勒级数的余项公式、研究了二元函
数极值、阐明了条件极值理论，并
研究了三重积分的变量代换问题。
他的研究工作对于其后几个世纪
数学的发展有深远影响，人们赞誉
他是“高耸在数学世界的金字塔”。
可以说，拉格朗日和欧拉是18世
纪两位最伟大的数学家。
高斯等数学家的主要贡献：令家、物理学家和天文学家。他的数学业绩遍及整个数学王国，是许多数学学科的开创者和奠基人。他的数论研究成果收入在他的传世之作《算术研究》中，这部划时代的经典之作是现代数论的基石。他在1729~1813年已独立发现“非欧几何学”原理，但未发表。1827年出版了《关于曲面的一般研究》，奠定了关于欧氏空间中内蕴曲面理论的基础。在函数论方面，1812年在论文《无穷级数的一般研究》中，引入高斯级数概念，对超几何级数的收敛性做了系统研究，同时建立了最小二乘法，继续发展了势论。在应用数学方面也做出了重大贡献，他运用行星椭圆轨道法准确地预测出行星在运行中所处的位置。此外，高斯对物理学、天文学、测地学等也有很大贡献，开辟了数学与物理学相结合的光辉时代。他一生共发表论著155篇（部），还有大量手稿没有公诸于世。他治学严谨、刻苦勤奋、成果丰硕，对人类科学事业做出了巨大贡献。他是近代数学最伟大的奠基者之一，人们公认他是数学之王，并把他与阿基米德、牛顿并称为历史上最伟大的三位数学家。
庞加莱：（1854~1912年）法他是19世纪末、20世纪初的领袖数学家，是继高斯和柯西之后无可争辩的数学大师。他曾被人们认为是数学领域的最后一个奇才，他在数学的各个领域都做出了开创性贡献。在微分方程方面，他首创微分方程的定性理论，还创立了自守函数论，得到在克莱因群变换下不变的克莱因函数。提出了著名的庞加莱猜想。他发现了李代数的基本定理，归纳出了“秩”的概念。在非欧几何、代数几何、偏微分方程、积分方程等领域，他也做出了许多贡献。他提出了双曲平面几何的模型——庞加莱模型；得到并证明了单值化定理；偏微分方程的所有特征值存在性及其基本性质。此外，他在物理学和天文学方面也做出了大量工作，对狭义相对论的创立有贡献，是相对论的先驱者。他从1899年开始研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。同时他还是直觉主义先驱者之一。
希尔伯特无冕数学之王，德国
年），他是20世纪最伟大的数学家之一，他最初的研究领域是代数不变式论和代数数论、几何学基础。1900你前后致力数学基础问题——元数学，后来又转到分析方面，在积分方程、变分法、函数空间和数学物理方法等许多领域都做出了杰出贡献。他还是一位伟大的数学教育家。1900年8月6日希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上发表演说，提出了23个数学问题，对于20世纪世界数学研究进程有很大影响。这一著名的演说成为世界数学史上重要里程碑，揭开了数学史上更加光辉的一页。
冯·诺伊曼（1903~1957年）
他多
才多艺，在纯粹数学和应用数学两
方面均卓有建树。他个人的志向和
学术成就即代表了20世纪前30年
科学发展的概况。40年代以前，他
主要研究纯粹数学，在集合论、量
子理论和算子理论等方面的研究
都很闻名。他的公理化体系为公理
集合论奠定了基础。1933年他解决
了希尔伯特第五问题，建立的算子
环理论，为量子力学奠定了数学基
础。40年代以后，他转向应用数学
研究，并为第一颗原子弹的研制做
出了贡献。他参加了世界上第一台
电子数字计算机的设计，在计算机
的逻辑体制中引入代码，编制了各
种程序，提出了各种研究报告。他
的另一项重大成果是创立了对策
论并应用于经济领域。1944年，他
与摩根斯特恩合著博弈论的奠基
性经典著作《博弈论与经济行为》，
在该书中包含了统计估计理论等
数学思想。他的数学生涯从理论数
学转到应用数学并集两者于一身。
他的业绩流芳数坛，后人公认他是
当今数学史上最杰出的数学家之
一；西方人则称赞他为“计算机之
父”。
20世的抽象代数和电子计算
机发展所涉及的数学家
始了一个新的历史时期，世界科学
史上发生了三件惊天动地的大事：
第一颗原子弹爆炸，第一台电子计
算机诞生，第一颗人造地球卫星上
天。
20世的抽象代数
集合论观点和公理化方法在
20世纪逐渐成为数学抽象的范式，
它们相互结合把数学的发展引上
高度抽象化道路。这方面发展即导
致20世纪上半叶实变函数论、泛
函分析、拓扑学和抽象代数等具有
标志性的4大抽象分支的崛起。这
4大分支所创造的抽象语言、结构
和方法又渗透到数论、微分方程
论、微分几何、代数几何、复变函
数论和概率论等经典学科，从而推
动其在抽象基础上革新提高和演
化发展。
电子计算机发展所涉及的数
学家
世纪末，近代气象科学创始
人、挪威气象学家皮叶克尼斯指
出，天气预报的中心问题是求解有
关的数值解法。1922年英国学者理
查逊提出了数值解法，设想建立由
数学家指挥的巨大的天气预报人
工计算队伍“天气预报工厂”。1950
年，数学家冯·诺伊曼领导的天气
预报小组子计算机
ENIAC上完成了数值天气预报史
上首次成功计算。冯·诺伊曼被誉
第二部分数学方法论
第一章概述
1.数学方法论的研究对象与
学科性质。
数学方法论的研究对象是一
个重要的理论问题。数学方法论作
为一门独立的学科，它的研究对象
虽然涉及到数学本质、数学特征等
数学基础问题，但它更应侧重于以
下8个方面的研究：1.关于数学功
能的研究；2.关于数学内容辩证性
质的研究；3.关于数学中常用方法
的研究；4.关于数学思想方法的研
究；5.关于数学思维的研究；6.关
于数学推理的研究；7.关于数学语
言的研究；8.关于数学人才成长规
律的研究。
数学方法论的学科性质：数学
方法论是数学、哲学、逻辑学、思
维科学、方法学和数学史等科学的
一门综合性、独立性的交叉学科。
它以广阔的数学史为背景，重在数
学与方法学的结合上，利用哲学、
逻辑学和思维科学的理论，探讨数
学的精神、观念、思想、方法、规
划和模式，从而揭示数学的本质和
发展规律。数学方法论是在
马克思主义哲学思想的指导下，研
究数学的思想、方法、原则，数学
中的发现、发明与创新的一门新兴
学科，它隶属于科学方法论，是数
学、数学基础、数学思维、数理逻
辑、数学史等学科的交叉学科。
2.研究数学方法论的目的和
意义。
数学方法论是数学教育学科
中的一门重要学科，研究数学方法
论无论对于促进数学的发展、发挥
数学的功能，还是对于改进数学教
育、培养数学人才，都具有十分重
大的意义。1.有利于促进数学的发
展。（1）有助于认识数学的本质。
（2）有助于促进数学的发展。2.
有利于发挥数学的功能。（1）有
利于发挥数学的科学功能。（2）
有利于发挥数学的社会功能。（3）
有利于发挥数学的思维功能。3.有
利于数学教育的改革。（1）促进
教学思想的更新。（2）促进教学
方法的改革。（3）促进数学的学
习和数学人才的成长。
第二章化归方法
1.化归方法的含义和一般模
式。
所谓化归，从字义上说，就是
转化和归结的意思。数学中的化归
方法，就是将数学问题进行规范
化，将一个新的、有待解决的或未
能解决的问题，通过某种转化过
程，归结到一类已经解决或比较容
易解决的问题中去，从而最终求得
解答的一种手段或方法。
化归的一般模式：
2.化归方法的基本原则。
（1）熟悉性原则：将生疏问
题化为熟悉问题；（2）简单性原
则：将复杂问题化为简单问题；（3）
直观性原则：将抽象问题化为具体
问题。
3.特殊化法与一般化法。
所谓特殊化，就是将所讨论的
数学事实“退”到属于它的特殊状
态（数量或位置关系）下进行研究，
从而达到研究一般状态的目的。数
学中常将变量变换成常量，任意图
形变换成特殊图形或特殊位置，以
获取某种启示，这是特殊化的具体
体现。
所谓一般化，就是将所讨论的
具体数学问题，放在一般的状态下
进行思考，从而找到解决具体问题
的思路。由特殊到一般，由一般到
特殊，即由具体到抽象，由抽象到
具体，它们相互制约，互相补充，
是化归法的另一个策略。
4.分解法（形体分割法、轨迹
交会法、叠加法、局部变动法、逐
步逼近法），补集法，
扩充法。没找到。
所谓分解法，迪卡儿描述为
“把你所考虑的每一个问题，按照
需要与可能，分成若干部分，使它
们更易求解”。但在很多情况下，
为使化归过程完全实现，往往还要
重新组合，波利亚说：“分解与组
合是重要的智力活动，使其每一部
分成为更易下手的问题。”这种分
解法，又称为叠加法，往往又表现
为多种形式。（1）直接分解法。
在面积、体积的计算或证明中，经
常用到分解法，并特称为形体分割
法，通过对形体的分割，以达到化
归的目的。（2）局部变动法。这
是一种特殊而重要的分解法，对可
变因素较多的化归问题，可暂时固
定有关因素，先研究另一些可变因
素对求解的影响，在取得局部成果
后，再回到原先不变因素的研究，
直到问题的全部解决。（3）逐步
逼近法。这又是一种特殊的分解
法，就是将解题目标分成几个阶段
（台阶），一个个阶段（台阶）逐
步解决，从而完成化归，直到问题
的最终解决。
补集法：把所说的” 整体”
理解为全集I, 又把” 局部” 理
解为该全集I 的子集A, 那么原
问题的结论就是 A 的补集 A .
当I 与 A 都已为我们所熟悉,
或者比较简单而易求时, 那么通
过I 与 A 去求得 A 就成了一条
简单而易行的路子 . 从思维形式
来说, 补集法是一种逆向思维, 由于他常在” 顺向” 思维受阻时发挥作用, 因此会给人一种感觉: 用补集法给出的解往往是优美而直截了当的 .
第三章关系映射反演（RMI）方法
1.RMI方法的意义和一般模式。
映射法，即关系、映射、反演方法，简称RMI方法。这是在现代数学研究中实现化归的一种重要方法。与一般的化归方法相比，这种化归方法达到了更高的抽象程度，从而在数学中有着更为重要和广泛的应用。我国数学教育家徐利治教授最初是由于研究级数反演理论而提出这一方法的，并首先从数学方法论的角度对这一方法进行了专门研究，使之达到了优美完善的程度。
一般模式：
2.中学数学中常用的RMI方法（函数法、换元法、坐标法、复数法、向量法、参数法、构造法等）。
关系映射反演原则是一种普通的工作原则,通常简称RMI原则。我国数学家徐利治教授从数学方法论的角度对这一原则进行了专门的研究。这个原则内涵极为丰富,它可概括中学数学的许多重要方法和技巧。例如函数法、参数法、换元法、坐标法、复数式(或向量法)等,都可被理解为RMI原则的具体运用。
第四章归纳与类比
1.归纳法的意义和种类（完全归纳法、不完全归纳法）。
所谓归纳，是把某类事物中个别事物所具有的规律作为该类事物的普遍规律，即通过特例的分析去引出普遍的结论，这是一种由特殊到一般的思维过程，称为归纳。
从推理的角度，归纳分为完全归纳法与不完全归纳法。完全归纳法是一种演绎推理形式，是论证的方法之一。不完全归纳法，又称实验归纳法，它同类比一样，是一种十分重要的数学发现方法。它也是数学方法论的最重要最基本方法之一。
2.经验归纳法的意义、作用、
分类（枚举归纳、因果归纳）以及
该方法在数学发现与数学创造中
的作用。
完全归纳( 完全归纳推理)：
根据某类事物中之每一事物都具
有某种性质P, 推理出该类中全部
事物都具有该性质P 的归纳推理
方法（数学归纳法）
完全归纳法前提必须包括某
类事物中的一切对象, 无一遗漏,
而且作为前提的判断也必须是真
实的, 所以完全归纳得出的结论
是真实可靠的.
不完全归纳( 经验归纳)：通
过对一类事物的部分对象的考虑,
从中作出有关这类食物的一般性
结论的猜想的方法( 观察, 实践
-> 推广-> 猜想一般性结论)
枚举归纳：以某个对象, 公式
( 可靠
性大有问题)
因果归纳：因果归纳是把一类
事物中部分对象的因果关系作出
判断的前提而做出一般性猜想的
推理方法。
3.类比的意义，类比与归纳的
关系。
类比，是根据两个不同的对象
的某些方面（如特征、属性、关系
等）的相同或相似，推出它们在其
他方面也可能相同或相似的思维
形式，它是思维过程中由特殊到特
殊的推理，是一种寻找和发现真理
的基本而重要的手段，也是数学方
法中最重要最基本的方法之一。
和归纳法相比，类比可以说是
由某一特例到另一特例的过渡。例
如，利用类比我们可以由“一只天
鹅是白的”联想到“另一只天鹅也
是白的”。由于普遍是由大量的特
例所组成的，因此，常常也就可以
以类比为基础去进行归纳，即引出
普遍的结论。例如，依据上面的类
比，我们就可以进一步去引出以下
的普遍结论：凡是天鹅，都是白的。
类比与归纳是一种通过比较
而由已知的事实（规律、方法）去
引出新的猜想的方法，即是由已知
向未知的推广与发展。
类比在归纳中的作用：
类比推理他是一种创造性较
强而可靠性较弱的推理方法 . 我
们应最大限度地发挥其创造性作
用, 而用严格论证的方法克服其
可靠性较弱的缺点 .
类比推理的创造性作用体现
以下两点：
A.发现新的命题, 直至发
现新的数学领域
B.发现解决问题的途径
类比可以十分有效的使人们
接受新知识 , 同时 , 类比可以
帮助人们梳理与巩固知识的常用
方法 .
4.几种常见的类比（平面与空
间的类比、数与形的类比、有限与
无限的类比等）。
几种常见的类比：1.平面与空
间的类比。在立体几何的学习中，
我们常将要解决的问题与平面几
何中的有关问题进行比较；在学习
空间解析几何时，常与平面解析几
何中的有关问题教学比较，以给我
们有用的启迪。2.形与数的类比。
在数学研究中，数与形的类比经常
在两个相反方向上得到应用。即我
们既可以通过与“形”的比较去认
识“数”的有关性质，又可通过与
“数”的比较去认识“形”的有关
性质，且可以将“数”的问题，转
化为通过图解法、图像法进行研
究；将“形”的问题，通过代数法、
三角法、坐标法等进行研究。3.有
限与无限的类比。在数学研究中，
也经常应用到有限与无限的类比。
即对无限事物的认识，往往通过对
有限事物的分析，形成某种猜想，
从而达到进一步认识无限问题。
5.类比在化归中的作用。
类比与归纳是一种通过比较
而由已知的事实（规律、方法）去
引出新的猜想的方法，即是由已知
向未知的推广与发展。化归法所强
调的是由未知向已知的转化。在实
际的数学研究中，类比、归纳法与
化归法又往往是互相依赖、相互渗
透的。类比、归纳往往为化归的实
现指明了可能的方向，而化归则为
类比、归纳所得出的猜想提供了必
要的证明。
运用类比法预测未知目标从
而实现化归
用类比法预测未知目标的关
键是寻找或模拟一个比原问题简
单或熟悉的类比对象 . 我们可以
通过对类比对象的未知目标的研
究, 来猜测原来问题的未知目标 .
未知目标一旦被确定, 化归的途
径也就大致确定了 .
运用类比法寻求解决问题的
途径和方法
大家都知道 " 触类旁通 "
的含义 , 意思基本上也就是用类
比法去寻求解决问题的途径和方
法 . 也就是说 , 当我们直接思
考某个问题而难于找到正确解决
途径时 , 不妨从原来的思路中解
脱出来 , 从旁思考一些与之类似
的问题 , 看看能否由此受到一些
启发 .
第五章数学中的美学方法
1.数学美的概念和基本内容，
美的追求对数学发展的促进作用。
数学是来自自然的美的科学，
同时，数学作为科学，她本身又显
示出耀眼的科学美。和任何美感一
样，数学美既具有强烈的感性色
彩，又不是虚无缥缈、不可捉摸的，
而是有其确定内容的。它的基本特
征是相对稳定的，具有简单性、对
称性、统一性和奇异性。1.简单美。
又称简洁美，是数学美的重要标
志。数学理论的过人之处，就在于
能用最简单的方式揭示现实世界
中的量及其关系的规律性。庞加莱
说过：“简单性就是一种美。”2.
对称美。又称匀称美。对称，是自
然中万物具有的共性之一。数学中
的对称美更是其显著特征之一。在
几何图形中，有所谓点对称，线对
称，面对称。球形既是点对称的，
又是线对称的，还是面对称的。3.
统一美。又称为和谐美。数学中部
分与部分，部分与整体之间往往追
求和谐统一。4.奇异美。又称奇特
美。对称、均匀、统一，这些都反
映数学的协调、调和；但如果仅仅
是这样，则数学必然显得单调。数
学只有出现奇异，人们认识奇异，
寻求新的和谐统一，数学才能发
展，因此数学这幅图画的完整的美
无疑还应包括它的奇异美。
数学美是数学发展的动力之
一，是数学发现的重要方法，也是
检验数学的重要标准。
2.美学方法在中学数学中的
作用。
美学方法在中学数学中可以
培养数学的审美能力，努力提高审
美解题能力。1.认识数学的形式美，
有利于培养学习与研究数学的兴
趣。2.认识数学的简单美，有利于
培养学习与研究数学的求简意识。
3.认识数学的统一美，有利于提高
学习与研究数学的审美能力。4.认
识数学的奇异美，可提高学习与研
究数学的创新意识，努力提高审美
解题能力。
第六章数学抽象方法
数学模型方法在中学数学中
的应用。
数学模型方法与中学数学
1. 整个中学数学可视为一个
数学模型
中学数学内容包括初等代数、
初等几何、平面三角、初等微积分、
概率统计初步，逻辑与计算机初步
等，它们都是数学模型.其中有的模
型又包括一些子模型.例如二次方
程这个数学模型就是初等代数模
型的一个子模型.
2．中学数学的教学就是模型
的教学
在数学模型方法指导下的数
学教学，要重视对现实原型的分析
和抽象，特别是获得数学概念、基
本关系、公式、定理，建立起相应
的数学模型时，应力求给出（有时
需要设计出）一个恰当的典型的原型展现给学生。
中学数学模型构造的常见方法
1. 构造函数模型
在实际生活中，有关用料最省、造价最低、利润最大、容积（面积）最大等问题，往往可以通过分析、联想，建立“函数模型”，转化为求函数最值问题.
2 .构造数列模型
在实际生活中，有关产量增长、资金增长、存贷利率、工程用料等问题，可以通过分析题目所提供的有关数据，建立“数列模型”，再借助数列的性质与求和，使问题获得解决.
3．构造方程或不等式模型
在实际生活中，有关最佳决策、合理调配、统筹安排最优化问题，一般可以通过对给出的一些数据进行分析、转化，建立“方程或不等式（组）模型”，再求在约束条件下方程或不等式（组）的解集.
4.构造复数模型
5.构造解析几何模型
6.构造立体几何模型
7.构造排列组合模型
8．构造对称对偶模型
9．构造平面几何模型
10．构造三角模型
11.构造图形图表模型
12．构造线性规划模型
13 .构造物理模型
1.数学抽象的意义，特点和常用方法（等置抽象、理想化抽象、弱抽象与强抽象、存在性抽象）。
在一定意义上，抽象性是任何一门学科乃至人类思维所具有的共同特征。那么，数学抽象和其他科学有什么不同呢？这主要体现在研究对象的抽象性与研究方法的抽象性两个方面。从研究对象上说，数学抽象有如下两个特点：1.特殊的抽象形式。2.特殊的抽象高度。
常用方法：1.理想化抽象。理基本方法。它是在纯粹的、理想的形态下，对事物进行简单化、完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除事物的次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的、本质的属性，抽象出相应的数学概念。几何学中点、线、面等基本概念的引进，就是理想化抽象的典型例子。2.等价抽象。等价抽象是从一类对象其中的某种共同属性。例如，关于自然数的概念，就是用等价抽象的思想建立起来的。3.强抽象与弱抽
象。强抽象与若抽象常用于沟通数
在已知概念的
基础上抽象出新概念。强抽象，是
指在已知概念中，加强对某一属性
的限制，抽象出作为原概念特例的
新概念。换句话说，强抽象是通过
增加原概念的内涵，来建立新概念
的抽象方法。弱抽象，是指在已知
概念中，减弱对某一属性的限制，
抽象出比原概念更为广泛的新概
念，使原概念成为新概念的特例。
换句话说，弱抽象是通过缩小原概
念的内涵，来建立新概念的一种抽
象方法。4.存在性抽象。作为思维
有时
可以假设一个原先认为不存在的
“对象”的存在性，即引进所谓的
“理想元素”，并由此而发展出一
定的数学理论。例如，虚数i及无
穷远点的引进就是这样的例子。在
应用存在性抽象去引进新的数学
对象时，一个特别重要的问题就在
于如何去证明由此而得出的新的
数学理论的合理性——从理论上
说，也就是如何去证明新的数学理
论是相容的（无矛盾的）。
2.数学模型方法。
数学模型是指对于现实世界
的某一特定对象，为了某一特定的
目的，作出一些必要的简化和假
设，运用适当的数学工具得到的一
个数学结构。它或者能够解释特定
现象的现实性态，或者能预测对象
的未来状况，或者能提供处理对象
的最优决策或控制等。
数学模型方法，又称MM方
法，既是研究数学理论问题的经典
方法，又是解决实际问题的一种重
要方法，它在数学方法论中具有重
要意义。1.有助于认识客观规律。
2.有助于预测各种现象和控制各种
过程。3.有助于促进数学的发展。
4.有助于创新人才的培养。
根据不同的标准，数学模型可
以分为不同的类型，例如：
按模型的来源可分为：理论模
型和经验模型；按模型的功能可分
为：描述性模型和解释性模型；按
模型的结构可分为：概念型模型、
方法型模型和结构型模型；按模型
使用的工具可分为：概念模型、函
数模型、方程模型、三角模型、几
何模型、概率模型、运筹模型、数
表模型等；按模型研究对象所在领
域可分为：经济模型、人口模型、
生态模型、交通模型等；按模型研
究对象的内部结构和对性能的了
解程度可分为：白箱模型、灰箱模
型和黑箱模型，等等。
数学模型特征：（1）数学模
型是对以某事物为一定目的所作
的抽象化、简单化的数学结构，仅
是对事物的一种模拟，它源于现
实，又高于现实。（2）数学模型
是数学上的抽象，在本质上可作为
公式应用，可推广到解决与原事物
相近的一类问题中去。（3）数学
模型可作为描述某事物的数学语
言，也看译成算法语言，编写成程
序进入计算机操作。
数学建模：当人们面对一个实
际问题时，往往不是直接就现实材
料本身寻找解决问题的办法，而是
经过一番必要且合理的简化和假
设，恰当地运用数学工具得到一个
数学结构，通过数学上的这个结构
研究实际问题，也就是把现实问题
抽象为一个数学问题，又合理地返
回到实际中去，这个过程就是数学
建模。换句话说，把所研究的对象
变为一个模型的过程，称之为数学
建模或模型化。
数学模型和实际问题的关系，
即数学建模的过程如下图：
数学建模的一般步骤：1.问题
4.模型建立。
5.模型求解。
6.模型检
验。7.模型应用。
数学建模的基本方法：1.直接
法。2.类比法。3.模拟法。4.图解法。
5.数据分析法。
3.数学公理化方法。
公理化方法，是一种以首先挑
选少数不加定义的概念（原始概
念）和不证自明的命题（公理）作
为出发点，按照一定的逻辑推理规
则，定义其他的概念，推导出其他
命题（定理等）的一种演绎方法。
用公理化方法建立各个数学
分支的演绎体系，关键是引进基本
概念，设置基本公理。
基本概念是一些不加定义的
原始概念，它们必须是真正基本
的，无法用更原始、更简单的概念
去定义的概念，必须是对数学实体
的高度纯粹化的抽象。基本概念确
定以后，主要是选取和设置基本公
理。
基本公理，作为对诸基本概念
相互关系的规定，不是随意可以选
定的。一个良好的公理系统，设置
公理应当满足下列三项基本要求：
1.相容性。
2.独立性。
3.完备性。
实质的公理化方法的典型代
几里德的《几何原本》，是公理化
方法的雏型。
形式的公理化方法的典型代
尔伯特的《几何基础》，是在欧几
里德公理体系不完善，算术公理体
系已形成，非欧几何已产生，四元
数已建立的背景下，由德国著名的
数学家希尔伯特提出来的。
希尔伯特公理系统，与欧几
里德公理系统相比较，二者至少存
在以下一些根本差别：（1）欧氏
公理系统中，对所研究的基本元素
是采用直接定义的，尽管这些定义
是描述性的或不充分的；希氏公理
系统中，则只承认基本对象点、直
线、平面是存在的，对它们不加任
何直接的定义，而是用一系列公理
来表明这些基本对象之间的关系，
把这种关系当作关于对象的隐定
义。（2）欧氏公理系统中，点、
直线、平面都摆脱不了直观意义的
局限，只有一种解释；而希氏公理
系统中则允许对象有不同的解释
或模型，它的基本对象不再受直观
的局限，不管什么对象，只要满足
公理系统所规定的关系，就可以称
为“点”、“直线”、“平面”。
用希尔伯特自己的话来说，就是：
“我们必定可以用桌子、椅子和啤
酒杯来代替点、线、面。”（3）
欧氏公理系统中由对象决定公理，
由此进行演绎推理，所以欧氏公理
系统实质上就是“对象——公理—
—演绎”系统，希氏公理系统则由
公理决定对象，公理也不再具有
“自明性”或“必然性”的特征，
而只能说是一种用以作为演绎基
础的“假设”，因此，希氏公理系
统就成了“假设——演绎”系统。
形式的公理系统所反映的已
不只是某种特定的研究对象的性
质，而是许多具有相同数学结构的
对象的共同性质。形式的公理化方
法具有更为重要的数学意义，使数
学的抽象达到了新的、更高的水
平。
现代的公理化方法，又称结构
方法，它是公理化方法的近代发
展。现代公理化方法的杰出代表是
布尔巴基学派，这是20世纪30年
代由法国青年学者组成的数学学
术团体，他们主张数学各分支应按
结构性质来划分，应用公理化方法
按结构观点来重新整理各个数学
分支。现代公理化方法的代表作是
《数学原本》，在此书中实现了用
结构方法统一整个现代数学。
中学数学的公理化方法：
中学数学，以初等数学为主
体，还包括微积分、数理统计、逻
辑代数等的一些初步知识。长期以
来，我国整个中学数学教材，大体
上是按照下面的逻辑结构，采用演
绎方法展开的：
基于学生的认识规律和接受
能力等方面的考虑，各章节教材在
具体展开时，一般都增添了许多便
于理解教材内容的实例，采取如下图的块状结构：
纵观全部教材的逻辑推结构和具体内容，我们不难发现，中学数学教材，在总体上体现了公理化方法的基本思想，但就整个公理系统而论，还是不够严格的。例如，中学几何教材，就其逻辑结构来说，基本上沿用了欧几里德的不完善的公理体系。它是在选定了一组基本元素（点、直线、平面）和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用少数公理的基础上，用形式逻辑的方法定义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来。其中几何公理之间是相容的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的。
具体地说，与希尔伯特公理系统相比较，中学几何教材中，不定义的或描述的原始概念有所增加，扩大和强化了一些公理，基本保留了结合公理和平行公理，把顺序公理、合同公理和连续公理不直接提出而加以默认。
中学几何教材的处理方法，虽然就公理系统而论，是不够严格的，有悖于公理的独立性和完备性。但从教学角度来说，是有其积极作用的，便于学生接受，减少初学者的困难。事实上，中学几何教材是从学生的认识规律出发，按照图形的复杂程度编排的。先是一条直线，再是两条直线，然后是三角形、四边形、相似形、圆等其他内容。如果像比较严格的公理系统那样，要求公理具有相容性、独立性和完备性，就不能完全按照上述顺序来编排几何知识。
综上所述，―我们既要肯定公理化方法对中学数学的指导意义，用公理化方法的基本思想去把握中学数学的结构体系，也要辩证地看到，公理体系的严格性不是绝对的，数学原则也不是一成不变的。近几十年来，对公理化方法的处理，几乎成了各国数学教学改革的关键，当前我们要从学生的认知规律和接受能力等方面出发，全面考虑公理化方法的具体运用，正确对待中学数学的教学改革，只有这样，才能在学习和研究中学数学的过程中，使公理化方法发挥其应有的积极作用。
附录：题型举例
选择题
1.巴比伦数制是（ D ）
A．十进迭加数制
B．十进位值数制
Ｃ．六十进迭加数制
D．六十进位值数制
2．不等式0
2
1
2>
+
-
-x
x的
解集是
（ B ）
A．)5,
(-∞
B．)5,
2
1
[
C．)1,
(-∞
D．)1,
2
1
[
填空题
3．“宋元四杰”指的是杨辉、
秦九韶、李治和朱世杰．
4．三个素数p、q、r，满足p+q=r，
且1＜p＜q，则p等于
2 ．
判断题，正确的打“√”，错误的
打“×”，并错误的修改正确
5．导致数学史上所谓第一次数学
危机的是芝诺悖论的提出
（×）
修改为：导致数学史上所谓第一次
数学危机的是不可公度量的发现。
简答题：
6．简述牛顿和莱布尼兹的微积分
的共同点．
参考答案：
共同点是：
（1）他们都把微积分作为一种能
应用于一般函数的普遍方法；
（2）都认识到积分问题与微分问
题之间的本质联系，从而都提
出了微积分学的基本定理；
（3）都把微积分从前期学者的几
何形式中解脱出来，建立了一
整套运算方法和符号体系，以
便应用和进一步发展；
（4）他们的微积分都带有初创的
痕迹，极限概念比较模糊，缺
乏严密的逻辑基础。
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050) 在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展. 在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话. 第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0. /悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论. 今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的! 第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机. 第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的: (x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1) 2 #x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得 v y v x= (x+v x)n-x n v x =n#x n-1+ n(n-1) 2 #x n-2#v x +,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1, 最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1. 哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0. 现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱. 十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机. 第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了. 一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波. 十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的
数学史上的著名猜想之被否定的数学猜想
数学史上的著名猜想之被否定的数学猜想 过伯祥 数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数学功底，即使想接近它也十分困难。本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备. 1．被否定的数学猜想 （1）试证第五公设的漫长历程 几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的. 几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，是几何学史上的一个里程碑. 其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题--欧几里得第五公设问题. 在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设. 于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就这样，数学家们开始了试证第五公设的历程. 这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件工作. 然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决. 第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.
《数学史概论》读书报告
《数学史概论》读书报告 数学源自于人类早期的生产活动，早期古希腊、古巴比伦、古埃及、古印度及中国古代都对数学有所研究。数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。通过抽象化和逻辑推理的运用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。 一、《数学史概论》简介及其特点 《数学史概论（第2版）》以重大数学思想的发展为主线，阐述了从远古到现代数学的历史。书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析；同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革，尤其是20世纪数学的概观，内容新颖。《数学史概论（第2版）》中西合炉，将中国数学放在世界数学的背景中述说，更具客观性与启发性。《数学史概论（第2版）》脉络分明，重点突出，并注意引用生动的史实和丰富的图片。 本书共分十五章，其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要，逐渐形成了数与形的概念，从最早的手指计数到石头计数，再到结绳计数直到距今大约五千多年前，出现了书写计数以及相应的计数系统。在灿烂的“河谷文明”中，重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。第二章“古代希腊数学”，介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学，其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍。第三章“中世纪的中国数学”，从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”，殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数，到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。介绍的著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《算经十书》，介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就，祖冲之父子推算“圆周率”，在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”；第四章“印度与阿拉伯的数学”；第五章“近代数学的兴起”，讲述了中世纪的欧洲，从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡，以至解析几何的诞生；第六章“微积分的创立”，分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理；第七章“分析时代”；第八章至第十章，分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索，介绍了19世纪数学的发展；第十一章至十三章是“20世纪数学概观”，分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例；第十四章“数学与社会”，第十五章“中国现代数学的开拓”。 本书有以下几个特点：1、与同类书相比，有着最大的空间跨度和时间跨度，从上古的巴比伦、希腊、中国、印度、阿拉伯世界，到中世纪的欧洲，以至20世纪的近代数学、当代数学，遍及世界各地对于数学的贡献地位与影响，都有中肯的评论。2、本书不仅对史实有详尽而忠实的介绍，而且兼有史评史论的作用，更有精辟的历史观。例如作者认为古希腊的数学是一种论证数学，而说中国的古代数学，在南北朝三国时期，也进入到论证数学，刘徽即为其杰出代表之一。至于中世纪欧洲数学的崛起，微积分的创立以及近代数学的诞生史，对于它们的历史背景与社会根源，作者都有敏锐的评论。作者对整个数学的发展有着明确的数学史观。3、本书不仅对数学家和他们的学术成就作了概括的介绍，而且对于一些重要成就，不惜花费篇幅，作了较详细的忠实于原始创造的说明。例如阿基米德对于球体积与抛物线弓形面积的计算，刘徽对于 的计算原理和方法，牛顿与莱布尼茨关于微积分的发现过程，以至较近代如康托关于非可数集合的发现等等，都作了较详细的介绍。这让读者不仅可以了解历史的发展，而且还能深入体会数学大师们原始创造的艰苦历程与来龙去脉。4、本书除了数学家们的传统故事外，还介绍了许多有趣的奇闻轶事。 二、对数学的认识有了进一步的提高
2020年10月浙江自考数学史试题及答案解析.docx
浙江省 2018 年 10 月自学考试数学史试题 课程代码： 10028 一、单项选择题 (本大题共 12 小题，每小题 2 分，共 24 分 ) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.“变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式。”这个函数定义在 18 世纪后期占据了统治地位，给出这个函数定义的数学家是() A. 莱布尼茨 B.约翰·贝努利 C.欧拉 D.狄利克雷 2.发现著名公式eiθ =cosθ+isin θ的是 () A. 笛卡尔 B.牛顿 C.莱布尼茨 D.欧拉 3.我国最古的一部算书——《算数书》是() A. 传世本 B.甲骨文算书 C.钟鼎文算书 D.竹简算书 4.我国古代十部算经中年代最晚的一部() A. 《孙子算经》 B.《张邱建算经》 C.《缉古算经》 D.《周髀算经》 5.由于对分析严格化的贡献而获得了“现代分析之父”称号的德国数学家是() A. 魏尔斯特拉斯 B.莱布尼茨 C.欧拉 D.柯西 6.牛顿和莱布尼茨几乎同时进入微积分的大门，他们的工作也是相互独立的，但在发表 的时间上 () 1
A. 牛顿先于莱布尼茨 B.莱布尼茨先于牛顿 C.牛顿和莱布尼茨同时 D.谁先谁后尚未定论 7.我国古代文献《墨经》一书中的“平”、“厚”，就是现代几何课本中所指的() A. 平面与空间 B.平行与高度 C.平行与体积 D.面积与体积 8.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是() A. 周公后人荣方与陈子 B.三国时期的赵爽 C.西汉的张苍、耿寿昌 D.魏晋南北朝时期的刘徽 9.“幂势既同，则积不容异”的原理在我国现行教材中称为() A. 祖暅原理 B.祖冲之原理 C.平衡法 D.阿基米德原理 10.《九章算术》是从先秦至_________的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数 学著作。 () A. 西汉 B.三国 C.东汉 D.魏晋南北朝 11.希尔伯特在 _________中使用公理化方法对欧几里得《原本》中的公理体系进行完善。() A. 《数学问题》 B.《几何基础》 C.《数学基础》 D.《几何问题》 12.古希腊数学家帕波斯的唯一传世之作《数学汇编》被认为是() A. 古希腊论证数学的发端 B.古希腊数学的颠峰 C.古希腊数学的安魂曲 D.古希腊演绎几何的最高成就 二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空 1 分，共 16 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.用圆圈符号“ O”表示零，可以说是 _________的一大发明，有零号的数码和十进位值 记数在公元8 世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至_________。 2
数学史考试试卷1(1)
马力整理 版权所有！ （这里的题型与我们的可能不一样，以老师的为准） 2006－2007学年第一学期期末考试试卷（B 卷） 科目：数学史概论 学院：数学科学学院 专业： 数学与应用数学 一、 单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代 （每小题 2分，本大题共20 分） ; 1. 阿基米德的数学著作是（ ） A. 《圆的度量》 ' B. 《几何原本》 C. 《圆锥曲线论》 D. 《代数学》 2. 《 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是（ ） A. 赵爽 B. 刘徽 C. 祖冲之 D. 秦九韶 [ 3. 《球面学》是球面三角学的开山之作，它的作者是（ ）
A. 梅内劳斯 B. 丢番图 C. 托勒玫 D. .欧几里得 ! 4. 在《九章算术》中,处理正反比例分配问题的那一章是（ ） A. 方田 B. 粟米 # C. .衰分 D. 均输 5. 筹算记数法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望，万百相当”记载于（ ） ， A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《海岛算经》 D. < 6. 亚历山大的托勒密（约100—170），总结了在他之前古代三角学知识,其天文学名著是（ ） A. 《数据》 B. 《几何原本》 C. 《天文学大成》 D. 7. 中国数学从公元前后至公元十四世纪，先后经历了三次高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中达到了中国古典数学最顶峰的是（ ）时期。 A. 两汉 B. 魏晋 C. 南北朝 # D. 宋元 8. 《九章算术》采用问题集的形式，全书的数学问题数是（ ） A. 244 ~
浅谈数学史融入中小学数学教材的意义和教育价值
浅谈数学史融入中小学数学教材的意义和教育价值
浅谈数学史融入中小学数学教材的教育价值 数学作为自然科学的基础学科，伴随人类产生而产生、发展而发展，数学史折射着人类的发展史。随着人类文明的进展，数学科学不断赋予数学新的功 能，现在数学的思想已开始嵌入我们的文化之中。2001年7月《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》出台，其第四部分的“课程实施建议”，每个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”，说明数学史在小学数学教学中的作用已受到关注。陈省身先生曾说道“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”，可 见传播数学史是了解数学的重要部分。李文林先生在《数学史概论》中也谈到“数学史在整个人类文明史上的特殊地位，是由数学作为一种文化的特点所决定的”。 但是，结合安徽省宿州市萧县当地的实际教 学情况来看数学史教育并没有得到应有的重视 和推进，由于地区偏僻，教学思想较其他大城市 来说比较落后很多，教师对有关的数学史知识要 么一带而过，要么视而不见，农村地区的教学设 施更加简陋，师资力量缺乏，而师范毕业生大多要走上教师 岗位，一些教师在教学中虽然深刻感受到数学史知识的重要性，但由于在校期间一直未接触数学史知识，因此只能心有余而力不足。同时中小学由于受课时的限制，教师在上数学课时也很难系统地讲解数学史知识，学生对此的莫名其 妙也就不难理解了。再加上中小学生年龄小、知识面窄、心理不稳定，数学思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的初级阶段等特点，数学史教育还是与中小学数学课堂有较大的距离。
五十多年来，我国的数学教育形成了以注重系统的基础知识和基本技能（即“双基”）的掌握与训练为特征的优良传统，但也存在严重忽视学生的情感、态度和价值观等方面的问题。“人文教育与科学教育的融合”这一主题是近几年来各国教育界乃至世界各国政府和社会都在关注的问题，随着社会的发展，教育对经济的发展越来越显示出重大的影响，如何培养“全人”越来越受到关注。在中小学数学教学中渗透数学史文化教育必然可以为此做出应然的贡献。 渗透数学史教育可以开阔学生视野，激发学习兴趣 就大多中学数学生而言，数学与其他学科相比确实是比较抽象、枯燥和乏味的，这样如何把数学课讲得引人入胜、生动活泼就成为数学教师的一大挑战。中国古代格言：“习之者不如好之者，好之者不如乐之者。”例如，在人教版二年级乘法口诀教学后，开辟了“你知道吗？”栏目，介绍了我国两千多年前就有了“竹木简·九九歌”，“小九九”“大九九”，让学生感受到古人的聪明和智慧，让学生认识到古人的治学精神和亘古以来中华人民的求真务实的精神，适时向学生介绍这些数学历史文化，可以丰富教学的内容，拓宽学生的眼界，提高学生的兴趣。教师虽然不是数学家，但却可以培养出数学家。许多数学家走上数学研究道路都与中学时代遇到一位善于激发学生兴趣的教师有密切关系，由此看来，教师对学生的影响是显而易见的，有些教师甚至成为发现千里马的伯乐。
数学史试题及答案 最新
**师范大学成教豆学年第2二学期 《数学史》考试卷（A) － 一单项选择题（每小题2分，共26 分） l . 世界上第· 个把π计算到3. 1415926 ＜π＜3. 1415927 的数学家是（ B ) A.刘傲 B.祖冲之 C. 阿某米德 D. 卡瓦列利 2 . 我罔元代数学莉作《阿元二J.i鉴》的作者’是（ c ) A.秦九韶 B.杨辉 C. 朱世杰 D.贸宪 3 . 就微分学与积分学的起源＂r fr i 育（ A ) A. 积分学早于微分学 B. 微分学早于积分学 C.积分学与微分学同期 D. 不确定 4. 在现存的I11国古代数学著作I I＇，故早的←·部是（ D ) A. 《孙子算经》 B. 《型经》c. 《算数书》D. 《j司鹊！算，经》 5. 发现著名公式e;9 =cosθ＋i s inθ的 是（ A笛卡尔B牛顿C莱布尼茨6 . q 1国古典数学发展的顶峰时期是（ D ）。 D.协； 拉 D ）。 A.两汉时期 B.隋唐时期 C.魏普南北朝时期 D.宋元时期 7 . 敲早使用“函数”（fu n ct io n）这·术语的数学家是（ A ）。 A.莱布尼茨 B.约翰·f(I努利 C.雅各布·响’l努利 D.欧拉 8. 1834 年有位数学家发现了.个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是（ B ）。 A.高斯 B.波尔资诺 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西9 . 古埃及的数学知识常常记 载在（ A ）。 A.纸草书上 B.竹片上 C.木版上 D.泥报上 10. 大数学家欧拉出生于（A)
A.瑞士 B .奥地利 C.德罔 D.法罔 II . 首先获得四次方程”般解法的数学家是（ D ）。 A.塔塔利亚 B .卡到 C.费罗 D.费拉利 12 . 《九章算术》 的 “少广 ” 章主要讨论 （ D ）。 A. 比例术 B .而积术 C.体积术 D.开方术 13. 最早采用位值制记数的国家或 民族是（ A )o A 美索不达米 － B 埃及 C.阿拉伯 D 印度 二、填空题 （每空 1 分，共 28 分） 14 . 希尔伯特征历史上第 ·协 明确地提出 了选择和组织公理系统的原则，即：杭｜ 容性、 完备性 、 独立性 15. 在现存的小国肯代数学著作小 ，《 周僻算经 》 是最早的’ 古币。卷上叙 述的关才二荣方与陈子的对话 ，包含 了勾股定理 的← ·般形式。 16. 二项式展开式的系数罔表，在小学课本＂I 称其为 杨辉 三角，而数学 史学者常常称它为 贾宪 三 角。 17. 欧几里得 《几何原本》 全书共分 13 卷，包括有 5 条公理 、 二 条公设。 18. 两千年来有关 欧几里得几何原本第五公设 的争议 ，导致了非欧几何的诞 生。 19.阿拉伯数学家花拉子米的 《代数学》 第·’次给出了 ，·次和二次 方程的 ··般解法 ，并用 几何 方法对这← 20. 在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽， 如开普勒的旋转体体积计算 、巳罗的 微分三角形方法 以及瓦盟士的 曲线弧长的计算 等。 2 1 . 创造并最先使川J c - o 语言的数学家是 维尔斯特拉斯 22 . 数学家们为 研究古希腊三大尺热！作图难题花费了两千年的时间，1882 年德 国数学家林德曼证明了数 一一π 一的超越性。 23. 罗巴契夫斯掉所建立的 “非欧几何” 假定过直线外··点， 至少有两条 直 线与己知直线平行，T 而且在该几何体系I I ＇，三角形内角和 尘主 两直
数学史考试试卷1(1)
马力整理 版权所有！ （这里的题型与我们的可能不一样，以老师的为准） 2006－2007学年第一学期期末考试试卷（B 卷） 科目：数学史概论 学院：数学科学学院 专业： 数学与应用数学 一、 单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代 （每小题 2分，本大题共20 分） 1. 阿基米德的数学着作是（ ） A. 《圆的度量》 B. 《几何原本》 C. 《圆锥曲线论》 D. 《代数学》 2. 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是（ ） A. 赵爽 B. 刘徽 C. 祖冲之 D. 秦九韶 3. 《球面学》是球面三角学的开山之作，它的作者是（ ） A. 梅内劳斯 B. 丢番图 C. 托勒玫 D. .欧几里得 4. 在《九章算术》中,处理正反比例分配问题的那一章是（ ） A. 方田 B. 粟米
C. .衰分 D. 均输 5. 筹算记数法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。千十相望， 万百相当”记载于（） A. 《九章算术》 B. 《周髀算经》 C. 《海岛算经》 D. 6. 亚历山大的托勒密（约100—170），总结了在他之前古代三角学知识,其 天文学名着是（） A. 《数据》 B. 《几何原本》 C. 《天文学大成》 D. 7. 中国数学从公元前后至公元十四世纪，先后经历了三次高潮，即两汉时期、 魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中达到了中国古典数学最顶峰的是 （）时期。 A. 两汉 B. 魏晋 C. 南北朝 D. 宋元 8. 《九章算术》采用问题集的形式，全书的数学问题数是（） A. 244 B. 246 D. 300 9. 数学家（）将射影几何真正变为具有自己独立的目标与方法的学科。 A. 蒙日 B. 庞斯列 C. 罗巴切夫斯基 D. 笛卡尔 10. 19世纪给出了第一个严格的实数定义，先从自然数出发定义正有理数， 然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数的数学家是（） A. 魏尔斯特拉斯 B. 戴德金
数学史上的三次数学危机的成因分析
江西科技师范学院学年论文 数学史上的三次数学危机的成因分析 吕少珍（数学与应用数学 20081444）指导老师：王亚辉 摘要从哲学上来看，矛盾是无处不在的，即便是以确定无疑著称的数学也不例外。数学常常被人们认为是自然科学中发展的最完善的一门学科，它是自然中最基础的学科，是所有科学之父，没有数学，就不可能有其他科学的产生。但在数学的发展史中，却经历了三次危机，本文回顾了数学史上三次危机的产生和发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。 关键词：数学危机；无理数；微积分；无穷小量 1第一次数学危机 1.1背景 第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。 1.2 起源 1.2.1 “万物都可以归结为整数之比” 比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比 1.2.2 希帕索斯悖论 希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈
数学史上一个大恩怨的真相
数学史上一个大恩怨的真相 数学史上这个著名的大恩怨许多人在中学学习解方程 时都听老师讲过。故事说，文艺复兴时期意大利数学家塔塔利亚发现了三次方程的解法，秘而不宣。一位叫卡当的骗子把解法骗到了手，公布出来，并宣称是他自己发现的。塔塔利亚一气之下向卡当挑战比赛解方程，并大获全胜，因为塔塔利亚教他时留了一招。不过，至今这些公式还被称作卡当公式，而塔塔利亚连名字都没有留下来，塔塔利亚只是一个外号，意大利语意思是“结巴”。网上广为流传的一篇《数学和数学家的故事》一文就是这么介绍的。 然而，这个流行版本从总体到细节都是错误的。塔塔利亚不仅留下了名字（其真名叫尼科洛·方塔纳），而且也留下了有关这一争执的著作。后人对此事的看法在很大程度上就是受塔塔利亚一面之词的影响。 塔塔利亚与卡当之间并未进行过数学比赛，和塔塔利亚比赛的另有其人。在当时的意大利，两个数学家进行解题比赛成了风气，方式是两人各拿出赌金，给对方出若干道题，30天后提交答案，解出更多道题的人获胜，胜者赢得全部赌金。塔塔利亚很热衷于参加这种比赛，并多次获胜。 当时经常出现的比赛题目是三次方程，因为三次方程的解法还未被发现。意大利博洛尼亚数学家费罗发现了三次方程的一种特殊形式“三次加一次”的解法，临死前传给了学生
费奥。费奥的数学水平其实很差，得到费罗的秘传之后便吹嘘自己能够解所有的三次方程。塔塔利亚也自称能够解三次方程，于是，两人在1535年进行了比赛。塔塔利亚给费奥出了30道其他形式的三次方程，把费奥给难住了。费奥则给塔塔利亚出了30道清一色的“三次加一次”方程题，认定塔塔利亚也都解不出来。塔塔利亚在接受费奥挑战的时候，的确还不知道如何解这类方程题。据说，是在最后一天的早晨，塔塔利亚在苦思冥想了一夜之后，突然来了灵感，发现了解法，用了不到两个小时就全部解答了。塔塔利亚欣喜若狂，宽宏大量地放弃了费奥交的赌金。 当时担任米兰官方数学教师的卡当听说了此事，通过他人转告塔塔利亚，希望能够知道解法，遭到塔塔利亚的拒绝。于是卡当直接给塔塔利亚写信，暗示可以向米兰总督推荐塔塔利亚。 在威尼斯当穷教师的塔塔利亚一见有高升的机会，态度大变，于1539年3月动身前往米兰，受到卡当的热情招待。在卡当苦苦哀求，并向上帝发誓绝不泄密后，塔塔利亚终于向卡当传授了用诗歌暗语写成的解法。而卡当把“武林秘笈”拿到手，也并没有对塔塔利亚翻脸。然而，像许多泄密者一样，塔塔利亚马上就后悔了。他无心再在米兰求发展，匆忙赶回威尼斯。在那一年，卡当出版了两本数学著作，塔塔利亚都细细研读，一方面很高兴卡当没有在著作中公布三
(完整word版)大学数学史题库及答案
选择题（每题2分） 1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 2.对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于( C ) A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的( B ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 4.《九章算术》中的“壍堵”是指一种特殊的( A ) A.三棱柱 B.三棱锥 C.四棱台 D.楔形体 5.射影几何产生于文艺复兴时期的( C ) A.音乐演奏 B.服装设计 C.绘画艺术 D.雕刻艺术 6.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是( A )。 A.斐波那契 B.卡尔丹 C.塔塔利亚 D.费罗 7.被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是( B ) A.欧几里得 B.泰勒斯 C.毕达哥拉斯 D.阿波罗尼奥斯 8.被称作“非欧几何之父”的数学家是( D ) A.波利亚 B.高斯 C.魏尔斯特拉斯 D.罗巴切夫斯基 9.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是( C ) A.伽利略 B.哥白尼 C.开普勒 D.牛顿 10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C ) A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 11.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是( C ) A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( A ) A.康托尔 B.欧拉 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 13.下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？( C ) A.阿耶波多 B.马哈维拉 C.奥马.海亚姆 D.婆罗摩笈多 14.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( A )
盘点数学史上24道智力经典名题
盘点数学史上24道智力经典名题 同学们，你们知道数学史上有哪些经典名题吗?查字典数学网为大家推荐的数学史上24道智力经典名题，小朋友们不妨开动脑筋，动手做一做吧! 1.遗嘱传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3;生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢? 2.公主出题古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个?” 3.王子的数学题传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中25%的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中20%的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出5件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出4件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多10
件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是2∶1，请问谁能算出我 7 / 1 的金箱、银箱中原来各有多少件手饰? 4.国王的重赏传说，印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人——大臣西萨班达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧?”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。……还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子? 5.哥德巴赫猜想哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于6的偶数，都可以写成两个素数的和(简称“1+1”)。如：10=3+7，16=5+11等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所
关于高中数学教科书中的数学史呈现研究
关于高中数学教科书中的数学史呈现研究 数学史是数学教学的一部分，在教学数学知识的时候，适当地引入数学史能够帮助学生更好地了解相关的数学知识，提升学术的数学人文素养，活跃课堂气氛，这对于教学质量的提升有着极为重要的作用。那么，在当前高中数学教科书中数学史是如何呈现的呢？笔者将结合自身的调查研究对其进行详细的探讨。 标签：高中数学；教科书；数学史；呈现研究 随着素质教育和新课程教学改革的深入发展，当前各个版本的数学教科书都按照课程标准要求重视起了数学史内容的编排，但是，在具体的编排过程中仍存在有较多的问题需要改进，如在教学中如何有效的发挥数学史的作用，展现数学史的趣味性等，都是值得教师思索的问题。 一、高中数学教科书中数学史的比较分析 （一）内容类型 当前基本上所有数学教科书中的内容类型都是以重要数学内容知识或概念的发展史介绍为主体，同时还兼有数学家介绍、名人名言等，当然由于数学教科书的版本不同，各个版本也有各自重视的内容类型，如人教A版的内容知识或概念的发展使最多；而苏教版重视名人名言的使用，在人教版中则没有相关的数学史知识；北师大版重视数学应用的历史，其内容呈现多是以案例的方式出现。如北师大版必修五海伦公式与秦九韶三斜求积公式，在应用过程中既有内容历史，同时又兼具数学历史知识，如数学家的简介和名人名言等，这种综合呈现的数学史对于学生掌握和理解数学知识都有着较好的帮助。 （二）栏目分布 在数学教科书中不同版本教材的数学史栏目分布也存在有细微的差异，如北师大的数学史主要集中在阅读类栏目和正文中，其中以阅读栏目的数量居多。而人教A版的数学史栏目则比较固定，基本上所有数学史知识都集中在“阅读与思考”栏目中，北师大版本的阅读类栏目比较多，如阅读材料、阅读理解和小资料等，不同类型的的数学史分布在不同的栏目中，形式较为丰富。此外，在进行栏目分布时，人教版和北师大版的教材，为了让学生更为深入细致地了解相关教学知识，因此，在教材的正文及旁注中也有许多数学史知识的渗透，而在苏教版的正文中数学史出现的几率比较少，其名人名言的栏目比较多，相较于其他两个版本来说，特色鲜明，为了让学生进一步认识相关的知识在一些数学习题中也有相关知识的渗透。 （三）呈现方式 在几个版本的教科书中数学史的呈现形式在大体上是相同的，都是以文字呈
最新10月浙江自考数学史试卷及答案解析
浙江省2018年10月自考数学史试卷 课程代码：10028 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.古代将数学知识记载于泥版上的国家或民族是( ) A.中国 B.埃及 C.美索不达米亚 D.印度 2.下列各数中，属于毕达哥拉斯学派所说的“完全数”的是( ) A.16 B.28 C.178 D.296 3.著名的“物不知数”问题出自( ) A.《孙子算经》 B.《九章算术》 C.《海岛算经》 D.《张丘建算经》 4.首先用符号“0”表示数字零的国家或民族是( ) A.中国 B.印度 C.埃及 D.阿拉伯 5.解析几何诞生于( ) A.14世纪 B.15世纪 C.16世纪 D.17世纪 6.笛卡儿对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( ) A.求瞬时速度的方法 B.求切线的方法 C.求极值的方法 D.求体积的方法 7.大数学家欧拉是( ) A.俄国籍数学家 B.德国籍数学家 C.瑞士籍数学家 D.法国籍数学家 8.第一篇公开发表的“非欧几何”文献《论几何原理》，其作者是( ) A.黎曼 B.波约 C.高斯 D.罗巴切夫斯基 9.首先给出ε-δ语言的数学家是( ) A.高斯 B.欧拉 C.柯西 D.魏尔斯特拉斯 10.在数学基础探讨过程中所形成的三大学派之一是( )
A.形式主义学派 B.绝对主义学派 C.实用主义学派 D.结构主义学派 二、填空题(本大题共10小题，每空1分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.在代数和几何这两大传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在__________方面，美索不达米亚的 数学成就主要在__________方面。 12.在古希腊，提出“万物皆数”思想的是数学家__________所创立的学派，首先提出证明思想的是数学 家__________所创立的学派。 13.中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《__________》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是 三国时期的__________。 14.由于天文计算的需要，阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编制，特别是比鲁尼利用 __________法制定了正弦、__________函数表。 15.数学符号系统化首先归功于法国数学家__________，他在《__________》一书中第一次有意识地使用 了系统的代数字母和符号。 16.在牛顿的“流数术”中，“正流数术”是指__________，“反流数术”是指__________。 17.代数基本定理最早是由荷兰数学家吉拉尔于17世纪提出的，但其第一个实质性的证明却是__________ 国数学家__________给出的。 18.《几何基础》的作者是__________国数学家__________。 19.现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是__________国数学家__________。 20.四色问题是英国青年大学生__________于__________世纪提出的。 三、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分) 21.简述阿基米德的生活时代及在数学上的主要成就。 22.简述对数计算方法的发明过程及其意义。 23.写出开普勒“行星运动三大定律”的大致内容。 24.简述莱布尼茨生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。 25.简述柯西生活在哪个年代、所在国家及在数学上的主要成就。 四、古典算法(本大题10分) 26.刘徽在“割圆术”中，用圆内接正多边形的面积估计圆面积的上限和下限。若已求得半径为r的圆内 接正n边形的边长l n和面积Sn，试求圆内接正2n边形的边长l2n和面积S2n，及此时所估计得的圆面积上限和下限。 五、论述题(本大题15分) 27.试述“数学史”知识对改进数学教学有哪些积极意义。
(整理)数学史上的三次危机.
数学史上的三次危机 张清利 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， ,22,8,6,2等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段： 1． 数学已由经验科学变为演绎科学； 2． 把证明引入了数学； 3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有 更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。 中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。 在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。 总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。 无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他
100个历史上最有名的数学难题
100个历史上最有名的数学难题 第01题阿基米德分牛问题archimedes' problema bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？ 第02题德·梅齐里亚克的法码问题the weight problem of bachet de meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。问这4块砝码碎片各重多少？ 第03题牛顿的草地与母牛问题newton's problem of the fields and cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？
第04题贝韦克的七个7的问题berwick's problem of the seven sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 第05题柯克曼的女学生问题kirkman's schoolgirl problem 某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？ 第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题the bernoulli-euler problem of the misaddressed letters 求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。