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试题类型:新课标Ⅲ
2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:
1.答题前,考生先将自己的、填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破,不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I 卷
一、单选题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分。) 1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,4,6,8A B ==,则A
B 中的元素的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2. 复平面表示复数()2z i i =-+的点位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是( )
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 4.已知4
sin cos 3
αα-=
,则sin 2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 79
5. 设,x y 满足约束条件3260
00x y x y +-≤??
≥??≥?
则z x y =-的取值围是( )
A. []3,0-
B. []3,2-
C. []0,2
D. []0,3
6. 函数()1sin cos 536f x x x ππ???
?=++- ? ????
?的最大值为( )
A.
65 B. 1 C. 35 D. 15
7. 函数2
sin 1x
y x x =++
的部分图像大致为( )
8.执行右面的程序框图,为使输出S 的值小于91,则输入的正整数N 的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9. 已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A. π
B.
34π C.2π D. 4
π 10. 在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点,则( )
A.11A E DC ⊥
B. 1A E BD ⊥
C. 11A E BC ⊥
D. 1A E AC ⊥
11. 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 1
,A 2
,且以线段A 1
A 2
为直径的
圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为( )
A B C D . 13
12. 已知函数()()211
2x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点,则a =( )
A . 12-
B . 13
C . 12
D . 1
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题 (本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 已知向量()2,3a =-,()3,b m =,且a b ⊥,则m =____。 14. 双曲线()22
2109
x y a a -
=>的一条渐近线方程为35y x =,则a =____。
15. ABC ?角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知60,3C b c ===,则__.A = 16. 设函数()1,02,0
x x x f x x +≤?=?>?则满足()112f x f x ?
?+-> ???的x 的取值围是_______。
三、简答题(本大题共6小题,共70分。) 17. 设数列{}n a 满足()123...212n a a n a n +++-= (1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)求数列21n a n ??
??+??
的前n 项和;
18. 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:C )有关。如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频率分布表:
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值并估计Y 大于0的概率? 19. 如图,四面体ABCD 中,ABC ?是正三角形,AD CD = (1)证明:AC BD ⊥
(2)已知ACD ?是直角三角形,AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE EC ⊥,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比
20. 在直角坐标系xOy 中,曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点,点C 的坐标为(0,1)。当m 变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC BC ⊥的情况?说明理由;
(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。
21. 设函数()()2
ln 21f x x ax a x =+++.
(1)讨论()f x 的单调性; (2)当0a <时,证明()3
24f x a
<-
-. 22. 选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
在直角坐标系xOy 中,直线1l 与参数方程为2,
,
x t y kt =+??=?(t 为参数),直线2l 的参数方程为
2x m m y k =-+??
?
=??
(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通方程;
(2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设(
)3:cos sin 0l ρθθ+-,M 为l 3
与C 的交点,求M 的极径.
23.选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集;
(2)若不等式f (x )≥x 2
–x +m 的解集非空,求m 的取值围.
参考答案
单选题
1. B
2. C
3. A
4. A
5. B
6. A
7. D
8. D
9. B 10. C 11. A 12. C
单选题 详解 1. 集合
和集合
有共同元素2,4,则
所以元素个数为2.
2. 化解得,所以复数位于第三象限。
3. 由折线图可知,每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势,故选A .
4.
由题意易知,()2
16sin cos 9αα-=,1612sin cos 9αα∴-=,
167
sin 22sin cos 199
ααα∴==-=-
5.
由题意,画出可行域,端点坐标 ,
,
.
在端点
处分别取的最小值与最大值.
所以最大值为,最小值为
.
故选
6.
()1111sin cos sin sin 536522f x x x x x x x ππ?????
?=++-=+++ ? ? ? ???????
()
333sin sin 2sin 5553x x x x x π??===?+ ??
? 故最大值为6
5
7.
注意到四个答案的差别,可以取一个较小的自变量值,比如0.01x =,
则()()
2
sin 0.01
0.0110.01 1.0100.01f =++>>,故排除,A C 注意,B D 的差别,可取特别大的自变量,此时2
sin x
x 可忽略不计 此时1y x ≈+,故排除B