福建省厦门双十高三数学第一次月考理新人教A版
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高三第一次月考 数学试题（理科）
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的．
1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是 （ ） A ．→--AB ＝→
--DC
B ．→--AD ＋→--AB ＝→
--AC
C ．→
--AB －→
--AD ＝→
--BD
D ．→
--AD ＋→--CB ＝→
0 2．函数y=)23(log 2
1-x 的定义域是
（ ）
A ．［1，+∞）
B ．（3
2
,+∞）
C ．［3
2
，1］
D ．（3
2
,1］
3．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2
的正三角形,其俯
视图轮廓为正方形，则其体积是 ）
A
B
C D ．83 4．已知向量,a b
均为单位向量，若它们的夹角是60°，
则3a b
-
等于
（ ）
A B C D ．4
5．已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ??是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是
（ ）
A ．a ≥1
B ．a ≤1
C ．a ≥-3
D ．a ≤-3
6．设函数?
??<--≥+=1,22,1,
12)(2
x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围 （ ）
A ．),1()1,(+∞--∞
B ．[)+∞--∞,1)1,(
C ．),1()3,(+∞--∞
D ．[
)+∞--∞,1)3,( 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 和C 1D 所成角的正弦值为
（ ）
A ．
2
B ．
12
C ．—
2
D ．—
12
8．定义21---=?ka ab b a ，
则方程x x ?=0有唯一解时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．}5,5{- B ．]2,1[]1,2[ --
C ．]5,5[-
D ．]5,1[]1,5[ --
9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ??
?>---≤-0
),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值
为
（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有
|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是
（ ）
A ．[1，4]
B ．[2，4]
C ．[3，4]
D ．[2，3]
第Ⅱ卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置． 11．函数17
6221+-?
?
? ??=x x y 在[]1,3-∈x 上的值域为 ．
12．设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 13．已知集合{}
20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ?，
则实数a 的取值范围是 ．
14．已知函数12)2(24)(2
2
+----=p p x p x x f 在区间[-1，1]上至少存在一个实数c
使f （c ）>0，则实数p 的范围 ．
15．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中正确．．的是 ． 若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n ○
2若m ∥n =?βαα,，则m ∥n
若⊥m βα⊥m ,，则α∥β ○
4若⊥m βα?m ,，则⊥αβ
16．研究问题：“已知关于x 的不等式02
>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式
02>+-a bx cx ”，有如下解法：
解：由02
>+-c bx ax ?0)1()1(2
>+-x
c x b a ，令x y 1=，则)1,2
1
(∈y ， 所以不等式02
>+-a bx cx 的解集为)1,21
(．
参考上述解法，已知关于x 的不等式
0<++++c
x b
x a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则
关于x 的不等式
01
1
1<--+-cx bx ax kx 的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数()),0(2
R a x x
a
x x f ∈≠+
= （1）判断函数()x f 的奇偶性；
（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。
18．如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC
的中点．
（Ⅰ）证明PA//平面BDE ；
（Ⅱ）求二面角B —DE —C 的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？证明你的结论．
19．已知2(1,),(,),m x n x x x a ==+-
为实数，求关于x 的不等式：
23()2()602
a m n a m n ?-+?+>
的解集．
20．厦门某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为错误！不能通过
编辑域代码创建对象。（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为错误！不能通过编辑域代码创建对象。平方米，且高度不低于错误！不能通过编辑域代码创建对象。米．记防洪堤横断面的腰长为错误！不能通过编辑域代码创建对象。（米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．错误！不能通过编辑域代码创建对象。．．．．．．．．．．．．．．．．．与．两腰长的和．．．．．
）为错误！不能通过编辑域代码创建对象。（米）． ⑴求错误！不能通过编辑域代码创建对象。关于错误！不能通过编辑域代码创建对象。的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过错误！不能通过编辑域代码创建对象。米，则其腰长错误！不能通过编辑域代码创建对象。应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长错误！不能通过编辑域代码创建对象。为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．
21．若定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都有1
)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，1)(>x f 。 （1）求证：1)(-x f 为奇函数； （2）求证：)(x f 是R 上的增函数；
B
（3）若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f ．
22．已知二次函数2(),(1)f x ax bx f x =++为偶函数，函数()f x 的图象与直线y x =相
切．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()[()](,)g x f x k x =--∞+∞在上是单调减函数，那么：
①求k 的取值范围；
②是否存在区间[,]()m n m n <，使得()f x 在区间[,]m n 上的值域恰好为
[,]km kn ？若存在，请求出区间[m ，n]；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题答案：（每小题5分， 10道小题共50分）
4．22220
3(3)691611cos6097,a b a b a a b b -=-=-+=-???+=
3a b ∴-= 6．0()1f x >?000020001,1,1 1.21 1.22 1.
x x x x x x x <≥????≥<-?
?+>-->???或或
8．
x
x ?=0
0212=---?kx x 2
12+=-?kx x ,设
21221+=-=?kx y x y 与
方程解的问题转化为两个函数图象的交点由图可以观察出，]2,1[]1,2[ --∈k
9．2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,
(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,
(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f （x ）的值以6为周期重复
性出现．,所以f （2011）= f （1）=-1,
10．22|()()||57|57f x g x x x x x -=-+=-+．由2
571x x -+≤，得2
560x x -+≤，解得
23x ≤≤，．
11．????
??124421,21 12、 ?
????-∞-31,???
??+∞??? ??-,340,31 13、[102-,] 14．)2
3,3(- 15、○
1○3○4 16、)1,21
()31,21( -- 13．解：{}
2001A x x x x =-∈=,R [,], ≤ 11
1021122
x x B a a -∴-∈-?∈?=++[,][,][,].
1
011101022211a B A a a a a ?+≥??∴++?∴?-≤≤??+≤?
,
,[,][,],..
17．
解： （1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数．
（2）设212≥>x x ，()()22
212
121x a x x a x x f x f --+
=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212
121
， 由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ， 即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a 。
另解（导数法）：()22'x
a
x x f -
=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-
x
a
x ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立，
故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数。
18． 解：（Ⅰ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设PD=DC=2，则A （2，0，0），
P （0，0，2），E （0，1，1），B （2，2，0）， )0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA
设 1(,,)n x y z =
是平面BDE 的一个法向量，
则由 11
100
1,(1,1,1).2200n DE y z y n x y n DB ??=+=??=-=-??+=?=??? 得取得
∵
11220,,//.PA n PA n PA BDE PA BDE ?=-=∴⊥?∴ ，又平面平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-
是平面BDE 的一个法向量， 又2(2,0,0)n DA ==
是平面DEC 的一个法向量． 设二面角B —DE —C 的平面角为θ，由图可知12,n n θ=<>
∴
121212cos cos ,||||n n n n n n θ?=<>=?
故二面角B —DE —C 的余弦值为
3
3
（Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴.,0220DE PB ⊥∴=-+=?
x
y
z P
A C
假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则)22,2,2(),2,2,2(λλλλλλ-=+=-=PF DP DF PF ， 由0)22(24402
2
=--+=?λλλλ得 ∴PB
PF 3
1)1,0(31=∈=，此时λ
即在棱PB 上存在点F ，
31
=
PF PB ，使得
PB ⊥平面DEF
19． 解：22
m n x x x x ?=+-= ，23()2()602
a m n a m n ∴?-+?+>
化简得：(3)(2)0ax x -->．
（1）当a =0时，不等式的解集为｛2x x <｝． （2）当a ＞0时，不等式化为a 3()(2)0x x a -->。
①当0,
30,322,a a a
>??<??即时不等式的解集为｛32x x a <>或x ｝；
②当0,
3,3
22,a a a
>??=?=??即时不等式的解集为｛2x x R x ∈≠且｝；
③当0,
3,322,a a a
>??>?
或x ＜3
a
｝．
（3）当a ＜0时，不等式化为3()(2)0
x x a -
-<，由3
a
＜2，
故当a ＜0时，解集为｛x
3
a
＜x ＜2｝．
综上所述，不等式的解集为：当a ＜0时，不等式的解集为｛x 3
a
＜x ＜2｝；当a =0
时，不等式的解集为｛x
x ＜2｝；当0＜a ＜3
2
时，不等式的解集为｛2
x x <或x
＞
3a ｝；当a =32
时，不等式的解集为｛2x x R x ∈≠且｝；当a ＞32时，不等式
的解集为｛32x x x a
>或<
｝． 20． 解：⑴错误！不能通过编辑域代码创建对象。，其中错误！不能通过编辑域代码创建对
象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。， ∴ 错误！不能通过编辑域代码创建对象。，得错误！不能通过编辑域代码创建对象。， 由错误！不能通过编辑域代码创建对象。，得错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ∴错误！不能通过编辑域代码创建对象。； ⑵错误！不能通过编辑域代码创建对象。得错误！不能通过编辑域代码创建对象。∵
错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ∴腰长错误！不能通过编辑域代码创建对象。的范围是 错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ⑶错误！不能通过编辑域代码创建对象。，当并且仅当错误！不能通过编辑域代码创建
对象。， 即错误！不能通过编辑域代码创建对象。时等号成立． ∴外周长的最小值为错误！不能通过编辑域代码创建对象。米，此时腰长为错误！不
能通过编辑域代码创建对象。米。
21．解：
（1）证明：定义在R 上的函数()f x 对任意的R x x ∈21,，都1
)()()(2121-+=+x f x f x x f 成立。 令1)0(1)0()0()00(,021=?-+=+==f f f f x x 则
令1)()()(,,21--+=--==x f x f x x f x x x x 则，∴[][]
01)(1)(=--+-x f x f ，∴1)(-x f 为奇函数
（2）证明：由（1）知：1)(-x f 为奇函数， ∴[]1)(1)(--=--x f x f 任取R x x ∈21,，且21x x <，则012>-x x ∵1)()()(2121-+=+x f x f x x f ∴[]1)()(1)()(1)()()(12121212+-=--=--+=-x f x f x f x f x f x f x x f ∵当0>x 时，1)(>x f ，
∴11)()()(1212>+-=-x f x f x x f ，∴)()(21x f x f <
∴)(x f 是R 上的增函数。
（3）解：∵1)()()(2121-+=+x f x f x x f ，且5)4(=f ∴3)2(1)2()2()4(=?-+=f f f f ，由不等式3)23(2
<--m m f ，
得)2()23(2
f m m f <--
由（2）知：)(x f 是R 上的增函数∴3
4
104322322<<-?<--?<--m m m m m
∴不等式3)23(2<--m m f 的解集为：??
? ??-34,1
22．
解：（1）∵f （x+1）为偶函数，∴即),1()1(+=+-x f x f )1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立，即（2a+b ）x=0恒成立，∴2a+b=0，∴b=－2a ，∴ax ax x f 2)(2-= ∵函数f （x ）的图象与直线y=x 相切，
∴二次方程0)12(2=+-x a ax 有两相等实数根， ∴004)12(2=?-+=?a a ，
x x x f a +-=-=∴22
1
)(,21（5分）
（2）①kx x x x g -+-
=23
2
1)(， '23
()2.()(,)2
g x x x k g x ∴=-+--∞+∞ 在上是单调减函数
上恒成立，在),(0)('+∞-∞≤∴x g 3
2,0))(2
3(44≥≤---=?∴k k 得
故k 的取值范围为),3
2
[+∞
②,2121)1(21)(2≤+--=x x f 11213
[,](,],,,,22324
km kn kn k n k ∴?-∞∴≤≥∴≤≤又
[,](,1],()[,]m n f x m n ∴?-∞∴在上是单调递增函数
2
21()2(),1,
2
m m km f m km f n kn n n kn ?-+=?=??∴??
=??-+=??即 即???-==-==k n n k m m 22,022,0或或∵m ＜n ， 故当
2
1[,][0,22]3
k m n k ≤<=-时，； 当k ＞1时，];0,22[],[k n m -=当k=1时，[m ，n]不存在．