用MATLAB计算复数的实部、虚部、模、辐角,共轭复数、简单复数方程根及复数的极限

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程 的解法 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5351,221-= =（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0．

251122=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解． 2．已知方程x 2+mx+1+2i=0（m ∈C ）有实根，求|m|的最小值． 解方程 关于x 的方程03)12(2=-+--i m x i x 有实数解，则实数m 满足的条件是( C ) A ．41-≥m B ．41-≤m C ．121=m D ．12 1-=m R k ∈，方程04)3(2=++++k x i k x 一定有实根的充要条件是(D ) A ．4≥k B ．522-≤k 或522+≥k C ．23±=k D ．4-=k 一元二次方程缺少常数项，必有零根（一个特殊的实根） 设βα与是实系数一元二次方程0m x 2=++x 两个虚根，且3=-βα，求m 。答：25=m 利用?-=?-= -i βα 已知i 2321+-是方程022=++kx x （C k ∈）的一个根，求k 的值。答：i 2323+（不能用求根公式、虚根成对定理求解，可利用根适合方程解答） 关于x 的方程02=++a x x 有两个虚根，而且2=-βα，则实数a 的值是( A ) A ．45 B ．21 C ．5 2 D ．2 若方程035)(2)1(2=-++-+i x i a x i （R a ∈）有实根，求合适的a 。答：3 7= a 或－3 关于x 的方程22210123ix ix i x a x --=--有实数根，求实数x 的值。答：571-=a 或11。 7．设关于x 的方程0)3(22=+++i tx t t x 有纯虚数根，求实数t 的值。答：3-=a 8．

2018高考共轭复数类型题全解(附答案)

共轭复数的运算专项练习(2016—2018高考)(附答案) 2018年 1、（全国卷1）设z=i i +-11+2i , 则z =（ ） A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 2、（全国卷2）=-+i i 2121（ ） A.i 5354-- B.i 5354+- C.i 5453-- D.i 5453+- 3、（全国卷3）（1+i ）（2-i ）=（ ） A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 4、（浙江卷）复数i -12（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 5、（江苏卷）若复数z 满足i ·z=1+2i,其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______ 6、（天津卷）i 是虚数单位，复数 =++i i 2176_______ 7、（北京卷）在复平面内，复数i -11的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2018答案 1、 因为,22)1)(1(211)1(2i i i i i i i i i z i =+-=+-+=++-= -所以,1=z 故选C 。 2、 i i i i i i i 5 453)21)(21()21)(21(2121+-=+-++=-+，故选D 3、 i i i i i i +=-+-=-+322)2)(1(2，选D 4、 因为i i i i i i i +=-+=+-+=-11)1(2)1)(1()1(2122，所以复数i -12的共轭复数为1-I,故选B.

5、 复数i i i i i z -=-+=+= 2))(21(21的实部是2. 6、 i i i i i i i i -=-=-+-+=++45520)21)(21()21)(76(2176 7、 i i i 21212111+=+=-，其共轭复数为i 2121-，对应的点为（21，2 1-），故选D. 2017年 1、设有下面四个命题 1P :若复数z 满足R z ∈1，则R z ∈ 2P :若复数z 满足R z ∈2 ，则R z ∈ 3P : 若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z = 4P : 若复数R z ∈，则R z ∈. 其中的真命题为 A. 1P ,3P B 1P .4P C. 2P ,3P D. 2P ,4P 2、=++i i 13 A.1+2i B.1-2i C.2+i D. 2-i 3、设复数z 满足（1+i ）z=2i,则z = A.21 B.22 C. 2 D. 2 4、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则a= A.1或-1 B. 7-7或 C. 3- D. 3 5、已知R a ∈，i 为虚数单位，若 i i +-2a 为实数，则a 的值为________. 6、已知i R b a bi a 43,,)(2+=∈+（i 是虚数单位），则=+22b a ________,

用Matlab解微分方程

用Matlab 软件求解微分方程 1．解析解 （1）一阶微分方程 求21y dx dy +=的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x') 求y x dx dy -+=21的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x') 求?????=+=1 )0(12y y dx dy 的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x') （2）高阶微分方程 求解???-='==-+'+''. 2)2(,2)2(,0)(222πππy y y n x y x y x 其中，21=n ，命令为： dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x') 求042=-+'-'''x y y y 的通解，命令为： dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x') 输出为： ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x) （3）一阶微分方程组 求???+-='+='). (3)(4)(),(4)(3)(x g x f x g x g x f x f 的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x') 输出为： f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2) g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2) 若再加上初始条件1)0(,0)0(==g f ，则求特解： [f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x') 输出为： f =exp(3*x)*sin(4*x) g =exp(3*x)*cos(4*x) 2．数值解 （1）一阶微分方程

共轭复数的多项式性质

共轭复数的多项式性质 时贞军张祖华 平阴县职业教育中心山东平阴250400 曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826 摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。 关键词：复数共轭复数多项式。 据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate). 根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.

共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）； 加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i 乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i. 除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对

用MATLAB解常微分方程

实验四 求微分方程的解 一、问题背景与实验目的 实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）． 对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍． 本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法． 二、相关函数（命令）及简介 1．dsolve ('equ1','equ2',…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推． 2．simplify(s )：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简． 例如： syms x simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) ans=1 3．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则． 例如： syms x [r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r = cos(2*x) how = combine 4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y 0) 求微分方程的数值解． 说明： (1) 其中的 solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 之一． (2) odefun 是显式常微分方程：?????==0 0)() ,(y t y y t f dt dy (3) 在积分区间 tspan =],[0f t t 上，从0t 到f t ，用初始条件0y 求解．

复数集内一元二次方程的解法

复数集内一元二次方程的解法 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n 次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）022=++x x ，0722=++x x ，0452=+-x x （2）0122=+-x x 答：4 71i x ±=，05322=+-x x ，09222=+-x x 2．若关于x 的方程x 2+5x+m=0的两个虚数根x 1，x 2满足|x 1-x 2|=3，求实数m 的值． |x 1-x 2|=3，|（x 1-x 2）2|=9；则|（x 1＋x 2）2-4x 1x 2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x 2 ＋rx ＋s=0的一个根为2i-3，求r ，s 的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x 2-2ix-5=0的解．（当b 2-4ac ≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x 2-2ix-7=0的解 解方程：x 2-4ix+5=0； 解方程：0)2(25222=--++-i x x x x 答：i x x 5 351,221-==（应用求根公式，不能用复数相等） 06)32(2=+++i x i x 答：i x x 3,221-=-=（b 2-4ac 为虚数，） 2．解方程：x 2＋（1＋i ）x ＋5i=0． 2511 22=+++x x x x 答：4151,13,21i x x ±== 2311 22=+-+x x x x 答：4151,13,21i x x ±=-= 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x 2+（m+2i ）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m 的值和这方程的解．

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲Matlab求解微分方程(组) 理论介绍:Matlab求解微分方程(组)命令 求解实例:Matlab求解微分方程(组)实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到得方程,绝大多数都就是微分方程,真正能得到代数方程得机会很少、另一方面,能够求解得微分方程也就是十分有限得,特别就是高阶方程与偏微分方程(组)、这就要求我们必须研究微分方程(组)得解法:解析解法与数值解法、 一.相关函数、命令及简介 1、在Matlab中,用大写字母D表示导数,Dy表示y关于自变量得一阶导数,D2y 表示y关于自变量得二阶导数,依此类推、函数dsolve用来解决常微分方程(组)得求解问题,调用格式为: X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组,如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解、 注意,系统缺省得自变量为t 2、函数dsolve求解得就是常微分方程得精确解法,也称为常微分方程得符号解、但就是,有大量得常微分方程虽然从理论上讲,其解就是存在得,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程得数值解,在求常微分方程数值解方 面,MATLAB具有丰富得函数,我们将其统称为solver,其一般格式为: [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明:(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一、 (2)odefun就是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解、 (3)如果要获得微分方程问题在其她指定时间点上得解,则令tspan(要求就是单调得)、 (4)因为没有一种算法可以有效得解决所有得ODE问题,为此,Matlab提供了多种求解器solver,对于不同得ODE问题,采用不同得solver、 表1 Matlab中文本文件读写函数

复数与方程

复数与方程 重点难点:一元二次方程 一、二项方程:形如(a0, a n∈C,a n≠0, n∈N)的方程 基本解法:化为的形成，利用复数开方求出它的根。 例1．在复数集中解下列方程 解1)法1、求方程的解，即求复数的4次方根， ∵ ∴其4次方根为(k=0,1,2,3) ∴原方程的解为下面4个复数: 法2、求方程的解，即求复数的4次方根。 ∵由知1-i为的一个4次方根， ∴由复数的次方根的几何意义有的其余三个4次方根分别为: ∴方程的解分别为1+i, -1+i, -1-i, 1-i。 解2) 令,∴, ∴解之有,∴原方程的根为2-i或-2+i。 注:解二项方程实质就是求一复数的次方根，所以要注意一复数Z的次方根的几种基本求法:<一>，则可用公式

(k=0,1,2,……,n -1) 求其n 个n 次方根。如例(1)解法1，此n 个复数的几何意义是复平面上n 个点，这n 个点均匀分布在以原点为圆心，以 为半径的圆上，组成一个正n 边形。 <二> 若能由已知中找出个Z 的n 次方根Z 0，则可由n 次方根的几何意义求其余n-1个n 个次根如下: , 。如例(1)解 法2。 <三>若Z 的辐角非特殊值，不好转化为三角形式或也不好看出Z 的n 次方根时，则可以考虑用n 次方根的定义利用代数形式及复数相等直接求。如例(2)。 二、一元二次方程 1. a,b,c ∈R 时基本解法 时，两不等实根可由求根公式 求出， 时，两相等实根。可由上面公式求出， 时，两互为其轭虚根，可由求根公式求出。另:韦达定理仍成立。 2. a,b,c ∈C 时基本解法 判别式定理不成立，所以不能由此判别根的情况。但可由求根公式, δ是b 2-4ac 的一个平方 根 另:韦达定理仍成立。 例2．在复数集中解方程 。 解:∵，∴ =， ∴ 原方程的根为。 注:∵ (x-1)(x 2+x+1)=x 3-1 ∴ x 2+x+1=0的根也是x 3=1的根，即1的两个立方虚根。 记,则，其有如下特征: ① ； ② ； ③ ；

一元三次方程与复数

浅谈解一元三次方程 江苏省泰州中学袁蕴哲 一、由几个方程引出的讨论 解下列方程： 1、x-1=0 2、x2-1=0 3、x2+1=0 4、x3-1=0 易知，方程1的解为x=1，方程2的解为x=±1，方程3无实数根，方程4的解为x=1。对于2、3两个一元二次方程，有根的判别式Δ=b2-4ac，根据Δ的正负来判断方程根的个数。那么，对于形如ax3+bx2+cx+d=0的方程，我们要判断根的个数，最好的方法就是图像法：令f(x)=ax3+bx2+cx+d，可直观地看出f(x)的零点数，就是方程的根。 如方程5x3+x2-6x+1=0（见下图），易知，该方程有三个根。 将此函数平移，可得到与x轴分别有1个、2个、3个交点，说明任意一元三次方程可能有1～3个实根。 即：一元n次方程最多有n个实根。 再来看方程3，可移项为x2=-1，两边开方，得到。负数的偶次方根是没有意义的，但为了使这个方程有解，我们规定，就有i2=-1。易知，原方程的解就为x=±i。 由于数i没有实际的意义，只在解方程时为了使方程有解才引入，故把i称为虚数

(imaginary number)，意为虚幻的、不存在的数；相对的，我们之前接触的所有数都叫实数(real number)。 规定了虚数以后，类似x2+1=0的方程也可以解了，而且有2个根。 二、解高次方程的数学史话 一元三次方程，乃至更高次方程的解法，经过了漫长的时间才得以给出，塔尔塔利亚、卡当（也译作卡尔丹）、费拉里、阿贝尔等人对这一问题的解决做出了卓越的贡献。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛·冯塔纳。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔利亚”，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔利亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，塔尔塔利亚利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是塔尔塔利亚不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡当，对塔尔塔利亚的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得塔尔塔利亚的求根公式。后来，塔尔塔利亚终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡当。卡当通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了塔尔塔利亚的秘密。 卡当把塔尔塔利亚的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到塔尔塔利亚的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法，因此后人就把这种求解方法称为“卡当公式”。 塔尔塔利亚知道卡当背信弃义的行为后非常生气，要与卡当辩论，卡当排出了他的学生费拉里应战。费拉里也是天资过人，他在老师的基础之上，进一步研究了一元四次方程的解法。由于塔尔塔利亚不会解四次方程，这场论战也就不了了之了。 后来挪威学者阿贝尔终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是阿贝尔定理。高次方程求解的工作就此告一段落。 值得注意的是，卡当在研究三次方程时，遇到了给负数开根的问题，就首次引入了复数的概念，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 三、复数与一元方程的解 将实数与虚数相加，就得到复数(complex number)，一般用z表示，可写作： z=a+bi 其中a为复数的实部，b为复数的虚部。当b=0时为实数，a=0，b≠0时为虚数，又叫纯虚数。由此，数的概念又扩展了一步：从实数集到复数集（用C表示）。表示如下： 复数实数 有理数 整数 自然数正整数 负整数 分数 无理数 虚数

48、复数中方程问题.doc

三、复数中的方程问题 【教学目标】 1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法． 2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题． 3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用． 【教学重点】 一元二次方程的根的讨论． 【教学难点】 含字母系数的方程根的情况的讨论， x 3 1 的根的应用． 【教学过程】 一．知识整理 1．实系数一元二次方程的根的情况 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c R 且 a 0 ），判别式△ b 2 4ac ． （1）当△ 0 时，方程有两个不相等的实数根： x 1 b b 2 4a c b b 2 4ac 2a ， x 2 2a ． （2）当△ 0 时，方程有两个相等的实数根： x 1 x 2 b ． （3）当△ 0 2a 时，方程有两个共轭虚根： x 1 b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i 2a ， x 2 2a ． 2．代数式 a 2 b 2 （ a ， b R ）的因式分解 利用 | z |2 z z ，有 a 2 b 2 (a bi )( a bi ) 3．复系数一元二次方程根与系数的关系 设方程 ax 2 bx c 0 （ a ， b ， c C 且 a 0 ）的两个根为 x 1 ， x 2 ，则 x 1 x 2 b x 1 x 2 a ． c a

4．方程 x 3 1 的根 方程 x 3 1 有三个根， 1 1 ， x 2 1 3 i ， x 3 1 3 i ．若记 1 3 i ， x 2 2 2 2 2 2 则 有性质： 3 1（ 3 n 1， n Z ）， 2 ， 1 2 0． 二．例题解析 【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算 【题目】 在复数范围内分解因式． （1） a 4 b 4 ； （2） 1 x 2 x 3 ． 2 【解答】 解：（ 1） a 4 b 4 ( a 2 b 2 )( a 2 b 2 ) ( )( )( a bi )( a bi ) ． a b a b （2） 1 x 2 x 3 1 ( x 2 2x 6) 1 [( x 1) 2 ( 5) 2 ] 2 2 2 1 ( x 1 5 )( x 1 5 ) ． 2 i i 【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算 【题目】 （1）若 3 2i 是实系数方程 2x 2 bx c 0 的根，求实数 b 与 c ； （2）若 3 2i 是方程 2x 2 bx c 4i 0 的根，求实数 b 与 c ． 【解答】 (3 2i ) b (3 2i ) 解；（ 1）由题意， 3 2i 是方程的另一根，则 2 ， (3 2i )(3 c 2i ) 2 所以 b 12 ， c 26 ． （2）将 3 2i 代入方程得 2(3 2i )2 b(3 2i ) c 4i 0 ，整理得，

复数集内一元二次方程的解法教学提纲

精品文档 精品文档复数集内一元二次方程的解法 实系数一元二次方程复系数一元二次方程 ?的作用可以用来判断根的情况不能用来判断根的情况 求根公式适用适用 韦达定理适用适用 一、实系数一元二次方程 只有实系数一元n次方程的虚根才成对共轭， 1．判定下列方程根的情况，并解方程 （1）0 2 2= + +x x，0 7 2 2= + +x x，0 4 5 2= + -x x （2）0 1 22= + -x x答： 4 7 1i x ± =，0 5 3 22= + -x x，0 9 2 22= + -x x 2．若关于x的方程x2+5x+m=0的两个虚数根x1，x2满足|x1-x2|=3，求实数m的值．|x1-x2|=3，|（x1-x2）2|=9；则|（x1＋x2）2-4x1x2|=9，即|25-4m|=9． 3．已知实系数一元二次方程2x2＋rx＋s=0的一个根为2i-3，求r，s的值． 二、复系数一元二次方程 虚根不一定成对，成对也不一定共轭。 1．求方程x2-2ix-5=0的解．（当b2-4ac≥0时，方程的解都是实数吗？） 求方程x2-2ix-7=0的解 解方程：x2-4ix+5=0； 解方程：0 )2 ( 2 5 22 2= - - + + -i x x x x答：i x x 5 3 5 1 ,2 2 1 - = =（应用求根公式，不能用复数相等）0 6 ) 3 2( 2= + + +i x i x答：i x x3 ,2 2 1 - = - =（b2-4ac为虚数，） 2．解方程：x2＋（1＋i）x＋5i=0． 2 5 1 1 2 2 = + + +x x x x 答： 4 15 1 ,1 3,2 1 i x x ± = = 2 3 1 1 2 2 = + - +x x x x 答： 4 15 1 ,1 3,2 1 i x x ± = - = 三、方程有实根或纯虚根的问题 1．方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一实根，求实数m的值和这方程的解．

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供

二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法(2009.10.22)

二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法 王 捷 （烟台南山学院 山东烟台 265713） 摘要： 在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项的形式为 1()e ()cos x m f x P x x λω=或 2()e ()sin x m f x P x x λω=的情况占大多数，对于这类微分方程，使用复数法求特解，可使计算量减 少将近一半. 关键词：微分方程；非齐次项；特解；复数法. 中图分类号： 01—0 文献标识码：B The use of complex number methods for Second-order constant coefficient Non-homogeneous linear differential equation Wangjie (Yantai nanshan University, Yantai,Shandong, 265713) Abstract ：In the second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, it accounts for the majority shen non-homogeneous terms are 1()e ()cos x m f x P x x λω=and 2()e ()sin x m f x P x x λω=. For this type of differential equations, if methods of complex number are using special solution, the calculation of the amount reduced by nearly half. Keywords ：differential eguation ；Of non-homogeneous ；particular solution ；methods of complex number. 在高等数学（同济五版）微分方程一章中， 对于非齐次项为 ()e [()cos ()sin ]x l n f x P x x P x x λωω=+ 的二阶常系数非齐次线性微分方程，特解* y 的求法非常繁琐，即便遇到()0 l P x =或()0n P x =，即 ()e ()cos x l f x P x x λω= 或 ()e ()sin x n f x P x x λω= 的情况，也得将其视为 ()e [()cos 0sin ]x l f x P x x x λωω=+? 或 ()e [0cos ()sin ]x n f x x P x x λωω=?+ 的情况进行求解.即特解的形式都须设为 *(1)(2)e [()cos sin ]k x m m y x R x x R x λωω=+? 的形式，k 按i λω±不是特征方程的根或是特征方程的根分别取0和1.然而，在二阶常系数非齐次线性微分方程中，非齐次项形如 1()e ()cos x m f x P x x λω= 或 2()e ()sin x m f x P x x λω=

数学应用软件作业6-用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解

数学应用软件作业6-用Matlab 求解微分方程(组)的解析解和数值解

注：上机作业文件夹以自己的班级姓名学号命名，文件夹包括如下上机报告和Matlab程序。 上机报告模板如下： 佛山科学技术学院 上机报告 课程名称数学应用软件 上机项目用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解 专业班级姓名学号 一. 上机目的 1.了解求微分方程（组）的解的知识。 2.学习Matlab中求微分方程的各种解的函数，如 dsolve命令、ode45函数等等，其中注意把方程化为新的方程的形式。 3.掌握用matlab编写程序解决求解微分方程的问 题。 二. 上机内容 1、求高阶线性齐次方程：y’’’-y’’-3y’+2y=0。 2、求常微分方程组

2 210cos,2 24,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt = - = ? +-== ?? ? ?++== ?? 3、求解 分别用函数ode45和ode15s计算求解，分别画出图形，图形分别标注标题。 4、求解微分方程 ,1 )0( ,1 '= + + - =y t y y 先求解析解，在[0,1]上作图； 再用ode45求数值解(作图的图形用“o”表示)，在同一副图中作图进行比较，用不同的颜色表示。 三. 上机方法与步骤 给出相应的问题分析及求解方法，并写出Matlab 程序，并有上机程序显示截图。 题1：直接用命令dsolve求解出微分方程的通解。 Matlab程序：

dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y','x') 题2：将微分方程组改写为 5cos2exp(2) 5cos2exp(2) (0)2,(0)0 dx t t x y xt dy t t x y dt x y ? =+--- ? ? ? =-+-+- ? ? == ? ? ? ， 再用命令dsolve求解微分方程的通解。 Matlab程序： 建立timu2.m如下： [x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y','Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y ','x(0)=2,y(0)=0','t') x=simple(x) y=simple(y)

复数的模及共轭复数 答案

复数的模及共轭复数（答案） 1、有关复数的模你知道哪些？ （1） ||||||z a bi OZ =+==u u u r （2）2 2 Z Z Z Z == （注意22||z z ≠） （3）1212Z Z Z Z =? 11222 (0)Z Z Z Z Z =≠ n n Z Z = 如； 2 2(3)(1) (1) i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2| 如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] . 2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =- 如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ?=? 11222 ()(0)z z z z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=- 3、设4 112 3(12),,(3)2z i z z i i +==--则2||z = 4 4、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >?+>+ （2）20a ≥ （3）2200a b a b +=?== （4）2 2a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =?=± 22a b a b =?=± （6）1 00a a a ≠?+ ≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=- （3）200a ab a ora b -=?== （4）00a b a b +=?== 6、判断下列是非，错误举出反例。 （1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错） (2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）

利用matlab编写S函数求解微分方程

利用matlab编写S函数求解微分方程自动化专业综合设计报告 自动化专业综合设计报告

函数求解微S编写设计题目：利用 matlab 分方程 自动化系统仿真实验室所在 实验室： 郭卫平 指导教师： 律迪迪学生姓名 200990519114 班级文自0921 学号 成绩评定： 自动化专业综合设计报告

一、设计目的 了解使用simulink的扩展工具——S-函数，s函数可以利用matlab的丰富资源，而不仅仅局限于simulink提供的模块，而用c或c++等语言写的s函数还可以实现对硬件端口的操作，还可以操作windows API 等的，它的魅力在于完美结合了simulink 框图简洁明快的特点和编程灵活方便的优点，提供了增强和扩展sinulink能力的强大机制，同时也是使用RTW实现实时仿真的关键。 二、设计要求 求解解微分方程 y'=y-2x/y 自动化专业综合设计报告 y(0)=1 要求利用matlab编写S函数求解 三、设计内容（可加附页） 【步骤1】获取状态空间表达式。

在matlab中输入 dsolve(‘Dy=y-2*x/y','y(0)=1'， 'x') 得到 y=(2*x+1).^(1/2); 【步骤2】建立s函数的m文件。 利用21·用S函数模板文件。 以下是修改之后的模板文件sfuntmpl.m 的内容。 function [sys,x0,str,ts] = sfuntmpl(t,x,u,flag) %SFUNTMPL S-function M-file General template define you can With % M-file S-functions, you own ordinary differential system equations (ODEs), discrete % equations, and/or just about any type of algorithm to be used within a %

【高中数学】单元《复数》知识点归纳

【高中数学】单元《复数》知识点归纳 一、选择题 1．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++???+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】 解：设2320192342020S i i i i =+++???+, 可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++???++， 则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++???+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i --=+++++???+-+-=-， 可得：2 (1)(1)(1)20202020202112 i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++= ==---， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 2．若复数21z i i = +-（i 为虚数单位），则||z =（ ） A B C D ．5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】 22(1) 12 1(1)(1) i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题. 3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5

数学模型之微分方程及其MATLAB求解

数学模型之微分方程及其MATLAB求解 ---卫星轨迹等经典例题求解分析1. 考虑初值问题画图 y'''?3y ''?y 'y = 0 y(0) = 0 y '(0) =1 y ' '(0) = ?1 2、 3、 【实验步骤与程序】 1. M -文件建立m函数文件

function y=f(t,x) y=[x(2);x(3);9*x(3)^2+x(1)*x(2)]; 求解微分方程，命令如下： x0=[0;1;-1]; [t,y]=ode45(@mm,[0,2.5],x0); plot(y(:,1),y(:,2)); figure(2); plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))

2、M -文件建立m函数文件 function dx=appollo(t,x) mu=1/82.45; mustar=1-mu; r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2); r2=sqrt((x(1)-mustar)^2+x(3)^2); dx=[x(2) 2*x(4)+x(1)-mustar*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mustar)/r2^3 x(4) -2*x(2)+x(3)-mustar*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];

求解微分方程，命令如下： x0=[1.2;0;0;-1.04935751]; options=odeset('reltol',1e-8); [t,y]=ode45(@appollo,[0,20],x0,options); plot(y(:,1),y(:,3)) title('Appollo卫星运动轨迹') xlabel('x') ylabel('y')