知识点03 实数的运算(含二次根式 三角函数特殊值的运算)2018--2

一、选择题 1. 计算的结果等于（ ） A. 5 B. C. 9 D.

【答案】C

【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算． 详解：（-3）2=9， 故选C ．

点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．

2. （2018黑龙江绥化，4，3分） 下列运算正确的是（ ） A.2a +3a =5a 2

B.552

-=-)( C.a 3

·a 4

=a

12

D.(π-3)0

=1

【答案】D.

【解析】解：A 、235a a a +=，故错误； B 2

55-=()，故错误；

C 、3434

7·

a a a a +==，故错误；

D 、0

(3)1π-=，故正确.

故选：D.

【知识点】合并同类项，二次根式的性质，同底数幂的乘法，零指数幂的意义

3. （湖北省咸宁市，1，3）咸宁冬季里某一天的气温为- 3℃?2 ），则这一天的温差是( )

A ．1℃

B ．-1℃

C ．5℃

D ．-5℃ 【答案】C

【解析】解：根据“温差=最高气温-最低气温”，2℃－（－3））=2℃+3℃=5℃，故选C ． 【知识点】有理数的减法运算

4. （2018吉林省，1, 2分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ） A ．2

B ．1

C ．﹣2

D ．﹣3

【答案】A

【解析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出（﹣1）×（﹣2）=2．故选A ． 【知识点】有理数的乘法

5. （2018贵州铜仁，10，4）计算9900

1

3012011216121+

+++++Λ的值为（ ） A. 1100 B. 99100 C. 199

D. 10099

【答案】B

【解析】∵

21-121121=?=，31-2132161=?=，41-31431121=?=，5

1-41541201=?=， 61-51651301=?=，……，100

1

-90110099199001=?=， ∴990013012011216121++++++Λ=11111111111122334455699100

-+-+-+-+-+鬃?- =1991100100

-=

.

6.（2018云南省昆明市，12，4分）下列运算正确的是（ ）

A .2193-=?? ???

B . 0

20181-=- C . 32326(0)a a a a -?=≠ D =【答案】C ．

【解析】A 选项是幂的乘方，2

13-?? ???＝（13-）×（13-）＝19，故A 选项错误； B 选项0

2018-1－（－

2）＝3，故B 选项错误；3232a a -?＝3×2·32

a -＝6a ，故C 选项正确是同底数幂的乘法，其法则是底数不变，

指数相加，即32325

a a a a +?==，故C 选项正确；D ==故D 选项错误，故选C ．

【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂；负指数幂；合并同类二次根式

7. （2018湖北恩施州，16，3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图６，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．

【答案】1838．

【解析】本题为探索规律型，由题意可知，因为满六进一，从右到左依次排列的绳子分别代表绳结束乘以6的0次幂，6的1幂，6的2次幂，6的3次幂，6的4次幂．她一共采集到的野果数量为1838个．

8. （2018辽宁锦州，6，3分）下列运算正确的是

A 、7a －a=6

B 、a 2·a 3=a 5

C 、(a 3)3=a 6

D 、(ab)4=ab 4

【答案】B ，【解析】：根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行解答． 9. 10. 11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

二、填空题

1.（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，12，3分）

1

1

2()

2

-

-=．

【答案】0

【解析】直接利用二次根式的化简、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简，再计算．

2

3

2

3

)

2

1

(

2

3

3

31

=

-

-

+

=

-

-

+-

【知识点】二次根式分母有理化，绝对值，负整数指数幂

2.（湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：1111

,,,,,

261220

g g g则这个数列的前2018

个数的和为__________.

【答案】2018 2019

【解析】

11111111,,,,,21262312342045====????g g g 则第2018个数为120182019

? 则这个数列的前2018个数的和为

11111

1223344520182019

+++++?????g g g =111111111

1223344520182019-

+-+-+-++-g g g =1

12019

-

=

2018

2019

【知识点】探究规律

3. （2018年黔三州，19,3）根据下列各式的规律，在横线处填空： 1

1

+1

2

?1=1

2

，1

3

+1

4

?

1

2

=112，15+16?13=130，17+18?14=1

56，... (1)

2017

+1

2018? =1

2017×2018 . 【答案】

11009

【解析】按照等式顺序，第一个为11

+12

?1=12

，第二个为13

+14

?

1

(3?1)÷2+1

=1

3×4，

第3个式子15+16?

1（5?1）÷2+1

=15×6，17+18?1(7?1)÷2+1=1

7×8，… …以此类推，

1

2017

+1

2018?1

(2017?1)÷2+1 =1

2017×2018 . 【知识点】等式规律探索

4. （2018江苏常州，9，2）计算:3-1-=_______． 【答案】2 【解析】21313=-=--

5. （2018四川巴中，21（1），6分）（1）计算：│－2│ －2cos 60°＋()－1

－(2018－

）0

【答案】原式＝2－2×＋6－1＝2﹣1＋6﹣1＝6.

【解析】依据数的绝对值意义，│－2│＝2；由特殊角的三角函数值得cos 60°＝；由负整数指数幂的意义得()－

1

＝6

11

＝6或者()－1＝（6－1）－1＝6；根据a 0

＝1（a ≠0）得(2018－）0

＝1.

6.（2018广西南宁，17，3） 观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可

得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是 ． 【答案】3，【解析】∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81

∴各位数4个数一循环， ∴(2018+1)÷4=504余3， ∴1+3+9=13

∴30+31+32+…+32018的结果的个位数字3．

7. （2018湖北十堰，14，3分） 对于实数a ，b ，定义运算“）”如下，a ）b ＝a 2－ab ，例如，5）3＝52－5*3＝10．若

（x ＋1））(x －2)＝6，则x 的值为 ． 【答案】1

【解析】由于（x ＋1））(x －2)＝6，所以（x ＋1）2－（x ＋1）（x －2）＝6，即有3x ＋3＝6，解得x ＝1，

故答案为：1．

8. （2018湖北随州11，3分）8|2－2＋2tan45°＝______．

【答案】4．

【解析】842 2根据“负数的绝对值等于它的相反数”可得|2－2|＝22－2；熟记特殊角的三角函数值可得2tan45°＝2×1＝2，所以原式＝222)＋2＝222＋2＝4． 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

三、解答题

1.（2018省市，题号，分值）计算：

1

1 22018

2

-

??--+ ?

??

【思路分析】先计算各项的值，进而求得结果，一个负数的绝对值为它的相反数，任何非零数的零次幂都为1，一个数的-1次幂相当于它的倒数

【解题过程】原式=2-1+2=3

【知识点】绝对值；零指数幂和负整指数幂；有理数加减

2.（2018省市，题号，分值）先化简，再求值：

22

2

216

44

a a

a a a

-

+-

g，其中a

=

2

【思路分析】先将分式化简，再将a值代入求值

【解题过程】

()()

()

222

2

44

2162

2

4444

a a

a a a

a

a a a a a a

+-

-

==

+-+-

g g,当a

时，原式

【知识点】分式的乘除；二次根式

3.（2018广西省桂林市，19，6分）

1

1

3)6cos45+

2

-

--?

??

?

??

．

【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．

1

1

3)6cos45+

2

-

--?

??

?

??

＝6+

12123

-=-=．

【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简

4.（2018黑龙江省龙东地区，21，5分）先化简，再求值：

2

22

1

(1)

21

a a

a a a a

-

-÷

+++

，其中a＝sin30°．【思路分析】先化简分式，再求a的值，最后把a的值代入计算即可．

【解题过程】解：原式＝

22

22

(1)

()

(1)(1)

a a a a

a a

a a a a

++

-

+-

++

g＝

22

(1)

(1)(1)(1)

a a

a a a a

+

++-

g＝

1

a

a-

．

当a ＝sin30°＝12

时，原式＝－1．

【知识点】分式的化简求值；特殊角的锐角三角函数值；平方差公式；完全平方公式

5. （2018山东省东营市，19①，4分）

计算：0

2018

112133012

)tan ()

()--?+-- 【思路分析】根据绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂的法则性质进行计算即可。

【解题过程】解：原式=21312--+-

=2112-

=2-【知识点】绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂.

6.（2018四川乐山，17，9）计算：()0

4cos 452018π?+-

【思路分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式化简等考点的运算.解题的思路是先逐个计算出零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式除法的四个值，再进行计算．在幂的运算中，非0实数的0次幂等于0，

【解题过程】解：原式=412

?

+----------------------------------------------------- 6分

1=- ------------------------------------------------------------- 8分 1= ------------------------------------------------------------------------------- 9分 【知识点】实数的运算；锐角三角函数

7. （2018四川乐山，20，10） 20.先化简，再求值：

()()()()()23

2121128m m m m m +---+÷-，其中m 是方程220x x +-=的根.

【思路分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是熟练地掌握整式的乘、除法法则与乘法公式．先利用完全平方公式和平方差公式化简、合并同类项，再代入数值进行计算．整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项．对于化简求值题，常常先化简再求值． 【解题过程】解：原式=()

()2

2

3

412188m m m m m ---++÷-

222

4121m m m m =--+-- ---------------------------------------- 5分 2

222m m =+-

(

)

2

21m m =+- ---------------------------------------------------------- 7分 ∵m 是方程220x x +-=的根，

∴2

20m m +-=，

∴2

2m m +=， --------------------------------------------------------------------- 9分 ∴原式=()2212?-=. ----------------------------------------------------------- 10分

【知识点】乘法公式；整式的除法

8. (2018甘肃省兰州市,17,5分) (5分)计算:()?+++??

? ??--45tan 2-13-210

2

π.

【思路分析】根据负整数指数幂的性质,零指数幂的运算法则,绝对值的化简法则进行运算? 【解题过程】2-71)12(14=+--+=原式.

【知识点】实数的计算

9.（本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分） （1） （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号18（1），分值6）

计算：2

01

()

2

-+- 2cos60°-3-π

【思路分析】先化简每一项再计算. 【解题过程】解：（1）原式=4+1-2×

1

2

+3-π=7-π. 【知识点】 实数的运算，特殊角三角函数值.

10. （湖北省咸宁市，17(1)，4）计算：2-38-123+

；

【思路分析】分别根据二次根式的化简、开立方、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可

【解题过程】原式＝22+=【知识点】二次根式性质与化简；开立方；绝对值

11. （2018湖南省怀化市，17，8分）计算：1)2

1

(13)2(30sin 2-+-+--οοπ

【思路分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解题过程】 1)2

1

(13)2(30sin 2-+-+--οοπ

＝2×

2

1

-1+2+2 ＝2+2

【知识点】实数的运算 零指数幂

特殊角的三角函数值 负整数指数幂

12. （2018浙江嘉兴，17，6） （1）计算：0)13(3)18(2---+-；

【思路分析】

3-

，01) ，再进行运算.

【解答过程】

原式＝2＋3－1

＝

（2）化简并求值：b

a ab

a b b a +?

???

??-，其中ａ＝1，b ＝2； 【思路分析】先算括号，再算乘法．

【解答过程】（2）原式＝22a b ab

a b ab a b

-?=-+；

13. （2018贵州省毕节市，21，8分）计算：计算:

(

1

1-tan 30+13π-?--??

?

??

．

【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．

【解题过程】(

1

1-tan 30+13π-?-??

?

??

113

=＝－

5．

【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简；绝对值

14. （2018年黔三州，21,12）

（1）计算：|?2|-2cos60°+(16

)?1

-(2018-√3)0

【思路分析】先求出-2的绝对值，60°的余弦值，1

6的负整数值及（2018-√3)0的值，然后根据实数运算进行计算.

【解题过程】原式=2-2×1

2+6-1=2-1+6-1=6. 【知识点】绝对值，特殊角函数值，负指数，零指数

15. （2018湖南娄底，19，6）计算: 0

2

1( 3.14)()3

p --+

-|4cos30-+o .

【思路分析】根据运算规则计算即可 【解题过程】解：原式

10

3232-102

3412-91=+=?++=

【知识点】零指数和负指数幂、二次根式化简、特殊三角函数、绝对值

16.（2018江苏扬州，19，8）计算或化简：

（1）1

1()2tan 602

-+o ；

【思路分析】（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值； 【解题过程】解：（1）原式43322=--+=；

【知识点】负整数指数幂，实数的计算，绝对值，锐角三角函数值，

17. （2018湖南省怀化市，16，4分）根据下列材料，解答问题． 等比数列求和：

概念：对于一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…（n 为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比

为一定值，即

q a a k

k

=-1（常数）

，那么这一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…这一列数成等比数列，这一常数q 叫做该数列的公比。

例：求等比数列1，3，23，33，…，1003的和． 解：令1003233331+++++=ΛS 则101432333333+++++=ΛS 因此，1-3

-3101

=S S ，所以，2

1

3101-=S

即2

1

-33

3331101100

3

2

=+++++Λ 仿照例题，等比数列1，5，25，35，…，20185的和为________． 【答案】4

1

-52019=

S 【思路分析】仿造例题令20183255551+++++=ΛS ，找出2019432555555+++++=ΛS ，二者做差即可得出S

的值．

【解题过程】令20183255551+++++=ΛS ○

1，则 2019432555555+++++=ΛS ○

2， 由○

2-○1得，1-542019

=S ，所以4

1

-52019=S

【知识点】规律型，数字的变化类

18. （2018辽宁省沈阳市，17，6分）计算：2tan45°2-3+-21（）2

-0

（4-π）.

【思路分析】先代入特殊三角函数值、计算绝对值、负分数的指数幂、零指数幂，再进行加减乘混合运算. 【解题过程】解：2-3+-21（）

2

-0

（4-π）

=2?1-（+4-1

【知识点】特殊三角函数值；绝对值；负分数的指数幂；零指数幂；实数的混合运算.

19.（2018青海，2，5分）计算：√3tan 30°+√83

+（?1

2

）

?1

+（?1）

2018

【思路分析】先分别计算出特殊三角函数值、立方根、负指数幂、指数幂，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

+++（-2）1=12-21=2 【知识点】实数的运算

20. （2018山西省，16题，10分）

计算 （1） （2√2）2

?|?4|+3?1×6+20 【解题过程】

解：原式= 8-4+2+1 = 7

（2）x?2

x?1?x 2?1

x 2?4x+4?1

x?2

【解题过程】

解：原式= x+1

x?2?1

x?2

= x x?2

【知识点】实数的运算、分式的化简

21. （2018广西贵港，19①，5）

（1）计算：|3－5|－（π－3.14）0＋（－2）－

1＋sin 30°；

【思路分析】分别计算|3－5|，（π－3.14）0，（－2）－

1，sin 30°，然后按实数加减运算计算即可； 【解答过程】原式＝2－1＋（－12）＋12＝1

22. （2018贵州铜仁，19①，5）（1）计算：38-4cos60°-1-0)2

1(-)14.3-(π；

【思路分析】由开方，特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂计算各部分的值，再把最后的结果相加减.

【解答过程】原式=2-4×2

1

-1-2=-3.

23. (2018湖南湘西州，19，6分)

＋(π－2018)0－2tan45°． 【解答过程】原式＝2＋1－2×1＝1．

24. （2018江苏常州，19，6）(本小题满分6分)

计算：01(14sin 30-+?． 【解答过程】原式=1－2－1+2

14? =0

25. （2018江苏苏州，19，5分）（本题5

分）计算：21(22

-

-． 【思路分析】 解答本题时要分别求出绝对值，二次根式，乘方的值，然后再做加减运算. 【解答过程】原式＝

12＋3－1

2

＝3．

26.（2018?徐州，19①，5）计算：

（1

）2011

12018()2

--+-；

【解答过程】原式＝－1＋1－2＋2＝0

27. （2018江苏镇江，18（1），4分）（1）计算：202(2018π)sin 30-+--?．

【思路分析】先将每一项化简，再利用有理数混合运算计算出结果． 【解答过程】原式＝11142+-＝3

4

．

28. (2018辽宁葫芦岛，19，10分) 先化简，再求值：(21-a a －2221--+a a a a )÷1

+a a ，其中a ＝3－

1＋2 sin 30°．

【思路分析】本题考查分式的化简求值，计算a 的值时，要注意正确运用负指数幂运算法则和特殊角的三角函数值．

【解答过程】原式＝(21-a a －2

11--（）（）a a a )÷1+a a ＝(21-a a －1-a a )÷1+a a ＝1-a a ×1+a a ＝+1

1

-a a ． 当a ＝13＋1＝43时，原式＝4+1

34-13＝7．

29.（2018内蒙古通辽，18，5分）计算：－|4－12|－(π－3.14)0＋（1－cos30°）×（12

）－

2．

【思路分析】分别计算|4－12|，(π－3.14)0，（12）－

2．然后将cos30°的值代入，最后按实数的运算法则进行计算

即可．

【解题过程】原式＝－（4－12）－1＋（1－cos30°）×4 ＝－4＋23－1＋4－4cos30° ＝23－1－4×3

2

＝－1

30. （2018云南省昆明市，16，7分）先化简，再求值：2

11

1236

a a a -+÷

--?? ???，其中tan 601a =?--． 【思路分析】按照先乘除后加减的运算顺序，利用约分法则，先算乘法，在利用同分母的分式加减法则通分，化到最简后，再求出a 的值，代入求值即可．

【解题过程】()()2

3211136111223622(1)11

13a a a a a a a a a a a a ----+÷=+?=?=----+-+-???? ? ?????，且

tan 6011a =?--=，当1a =

=

=

【知识点】分式的混合运算；分式的加减；分式约分；特殊角的三角函数值；绝对值；代数式求值

31. （2018广西南宁，19，6） 计算：|－4|+3tan60°－ 12－ (12

)－

1

【思路分析】先根据绝对值的性质、三角函数的含义、二次根式的化简和负指数幂分别求|－4|、3tan60°、12、(12

)－

1，再进行有理数的加减运算．

【解答过程】原式=4＋3×3－23－2= 2＋3

32. (2018黑龙江大庆，19，4)()

32018

8211--+-

【思路分析】运用乘方，绝对值，立方根等概念进行运算. 【解答过程】解：原式＝1＋2－1－2＝2－2

33. （2018黑龙江哈尔滨，题号，7）先化简，再求代数式(121--a )÷4

29

62-+-a a a 的值，其中a ＝4cos 30°＋3tan 45°．

【思路分析】先算括号里减法（通分后加减），再因式分解后进行约分，求出a 值，最后代入求出．

【解答过程】

解:原式＝429621222-+-÷??

? ??----a a a a a a ＝

9

642232+--?--a a a a a

＝

()()2

32223--?--a a a a ＝

3

2-a ∵a ＝4×

2

3

＋3×1 ＝32＋3

∴原式＝3

3322

-+＝33

34. (2018湖北黄石，18，7分)先化简，再求值：2311

x x x x

-+÷．其中x ＝sin 60°．

【思路分析】将分子、分母因式分解，将除法运算转化为乘法运算，约去分子、分母的公因式，计算最后的

结果，把x 的代入最简结果中计算即可.

【解答过程】原式＝()()3

11x x x +-·

1

x x + ＝

2

1

x x -.

当x ＝sin 60°时，∴21x x

-＝－1)×43.

35. (2018湖北黄石，17，7分)计算：)－2＋(π2－π)0＋cos 60°＋－2|.

【思路分析】先计算负整指数幂和零指数幂，把60°的余弦值直接代入，化简绝对值运算，最后计算上述结

果.

【解答过程】原式＝12＋1＋1

2

＋2

＝4

36.（2018湖北十堰，17，5分） 计算：|－3|－2－

1＋12．

【思路分析】先计算或化简|－3|，2－

1，12，然后做实数的加减运算即可． 【解答过程】原式＝3－12＋23＝33－1

2

．

37. （2018湖北随州23，11分）（本题满分11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事

实上，所有的有理数可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：

例：将0.7g

化为分数形式

由于0.7g

＝0.777…， 设x ＝0.777… ①

则10x ＝7.777… ②

②－①得9x ＝7，解得x ＝79，于是得0.7g ＝7

9

．

同理可得0.3g ＝39＝13，1.4g ＝1＋0.4g ＝1＋49＝13

9

．

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数．．．．

表示） 【基础训练】

（1）0.5g

＝____________，5.8g

＝____________； （2）将0.23g g 化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】

（3）0.315g

g

＝____________，2.018g g

＝____________； （注：0.315g

g

＝0.315315…，2.018g g

＝2.01818…） 【探索发现】

（4）①试比较0.9g

与1的大小：0.9g

__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）

②若已知0.285714g

g

＝

2

7

，则3.714285g g ＝__________． （注： 0.285714g

g ＝0.285714285714…）

【思路分析】仿照题中无限小数写成分数形式的方法，设未知数，根据小数点后循环节中数字的个数扩大10倍或100倍或1000倍，再相减得一元一次方程求解即可．

【解答过程】（1）由于0.5g

＝0.555…，设x ＝0.555… ①

则10x ＝5.555… ②

②－①得9x ＝5，解得x ＝59，于是得0.5g ＝59

．

同理可得5.8g ＝5＋0.8g ＝5＋89

＝53

9．

故答案为59

，53

9．

（2）由于0.23g g

＝0.2323… 设x ＝0.2323… ①

则100x ＝23.2323… ②

②－①得99x ＝23，解得x ＝

2399，∴0.23g g ＝23

99

． （3）由于0.315g

g

＝0.315315…，设x ＝0.315315… ①

则1000x ＝315.315315… ②

②－①得999x ＝315，解得x ＝35111，于是得0.315g g ＝35

111

．

设x ＝2.018g g

， 则10x ＝20.18g g

③ 1000x ＝2018.18g g ④

④－③得990x ＝1998，解得x ＝11155，于是得2.018g g ＝111

55

． 故答案为

35111，111

55

． （4）①由于0.9g

＝0.999…， 设x ＝0.999… ）

则10x ＝9.999… ）

）－）得9x ＝9，解得x ＝1，于是得0.9g

＝1． ②3.714285g

g

＝3＋0.714285g

g

＝3＋1000×27－285＝26

7

． 故答案为①＝，②26

7

．

38. (2018湖南邵阳，19，8分)计算：(－1)2＋(π－3.14)0－│

2│．

【思路分析】先算乘方以及去掉绝对值号，再进行和差运算．

【解答过程】原式＝1＋1－(2－

＝1＋1－2＋

＝

39. （2018湖南省株洲市，19，6）计算：| －2

3|＋2－

1－3tan45°． 【思路分析】分别计算再求和． 【解题过程】解：| －

2

3|＋2－

1－3tan45° ＝

23＋2

1

－3 3分 ＝2－3

＝－1 6分 【知识点】绝对值，负整指数幂，特殊角的三角函数值

40. （2018辽宁省抚顺市，题号19，分值10）先化简，再求值：2344(1)11

x x x x x ++-+÷++，其中x=tan45°+

11

()2

-. 【思路分析】先将分式计算化简成最简分式，再求出x 的值，最后将x 值代入最简分式求值.

【解题过程】解：原式=22

13(2)11

x x x x -++÷++

=

2

(2)(2)1

1(2)x x x x x +-+?++

=

22x x -+. x=tan45°+1

1()2

-=1+2=3.

∴

22x

x -+=15

-. 【知识点】分式的混合运算，特殊角三角函数值，求指数是负整数的值.

41. （2018四川眉山，19，6分）计算：（π－2)0＋4cos30°－12－2

1

()2

-．

【思路分析】本题考查实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值、非零数的零次幂、二次根式化简、负指数幂运算等知识．①任何不为0的数的零次方都等于1；②cos30

；③12＝

21()2

-＝(－2)2＝4．

【解答过程】解：原式＝1＋4

－

4＝－3

42. （2018云南曲靖，15）计算－（－2）＋0

( 3.14)π-

1

13-??

- ???

【思路分析】

【解答过程】－（－2）＋0

( 3.14)π-

1

13-??- ???

＝2＋1＋3＋1÷13??- ???＝6＋（－3）＝3

43. （2018云南，15，6分）

101

2cos45()(π1)3

-?+--．

【思路分析】分别将算式中每一项化简，再计算出最简结果．

【解答过程】原式＝231-＝2．

44. （2018年浙江省义乌市，17（1），4）计算：0

1

12tan 602)()3

-?+

【思路分析】根据二次根式的化简、负整数指数幂、0指数次幂和特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可．

【解题过程】原式=132+=

【知识点】0指数次幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；二次根式的化简

45. （2018浙江舟山，17①，3） （1）计算：0)13(3)18(2---+-；

【思路分析】3- ，01) ，再进行运算.

【解答过程】原式＝2＋3－1＝ 46. 47. 48. 49.

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并

二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>

二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-

二次根式知识点总结复习整理

二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两

个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

二次根式知识点总结材料和习题

二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

三角函数计算公式大全

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三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③．

诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

二次根式知识点总结大全

二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子 a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1、下列各式 1）222 11,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2)-(x

九年级下册《锐角三角函数的计算》教案

九年级下册《锐角三角函数的计算》教案 九年级下册《锐角三角函数的计算》教案 一、教学目标 1．通过观察、猜想、比较、具体操作等数学活动，学会用计算器求一个锐角的三角函数值。 2．经历利用三角函数知识解决实际问题的过程，促进观察、分析、归纳、交流等能力的发展。 3．感受数学与生活的密切联系，丰富数学学习的成功体验，激发学生继续学习的好奇心，培养学生与他人合作交流的意识。 二、教材分析 在生活中，我们会经常遇到这样的问题，如测量建筑物的高度、测量江河的宽度、船舶的定位等，要解决这样的问题，往往要应用到三角函数知识。在上节中已经学习了30°，4°，60°角的三角函数值，可以进行一些特定情况下的计算，但是生活中的问题，仅仅依靠这三个特殊角度的三角函数值解决是不可能的。本节让学生使用计算器求三角函数值，让他们从繁重的计算中解脱出，体验发现并提出问题、分析问题、探究解决方法直至最终解决问题的过程。 三、学校及学生状况分析

九年级的学生年龄一般在1岁左右，在这个阶段，学生以抽象逻辑思维为主要发展趋势，但在很大程度上，学生仍然要依靠具体的经验材料和操作活动理解抽象的逻辑关系。另外，计算器的使用可以极大减轻学生的负担。因此，依据教材中提供的背景材料，辅以计算器的使用，可以使学生更好地解决问题。 学生自小学起就开始使用计算器，对计算器的操作比较熟悉。同时，在前面的程中学生已经学习了锐角三角函数的定义，30°，4°，60°角的三角函数值以及与它们相关的简单计算，具备了学习本节的知识和技能。 四、教学设计 (一)复习提问 1．梯子靠在墙上，如果梯子与地面的夹角为60°，梯子的长度为3米，那么梯子底端到墙的距离有几米? 学生活动：根据题意，求出数值。 2．在生活中，梯子与地面的夹角总是60°吗? 不是，可以出现各种角度，60°只是一种特殊现象。 图1(二)创设情境引入题 如图1，当登缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200 。已知缆车的路线与平面的夹角为∠A＝16 °，那么缆车垂直上升的距离是多少? 哪条线段代表缆车上升的垂直距离? 线段B。

二次根式知识点总结大全

二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a

二次根式知识点归纳及题型知识讲解

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是

二次根式知识点归纳及题型总结精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<)0() 0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a

锐角三角函数计算

锐角三角函数 计算 1、2sin30°-2cos60°+tan45° 2、sin 272°+sin 2 18° 3、6tan45°－2cos60° 4、 12＋2sin60° 5、2cos30°－tan60° 6、sin30°·cos30°－tan30° 7、 cos 245°＋tan30°·sin60° 8、4＋??? ?12－1－2cos60°＋(2－π)0. 9、2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2 30° 45° 60° sinA cosA tanA

10、 cos45°sin45°＋2sin60°tan60°－1tan30° ＋tan45°； 11、 sin45°＋cos30°3－2cos60° －sin60°(1－sin30°)； 12、sin 260°tan45°－? ????－1tan60°－2＋(tan30°)0. 13、(－1) 2 011－? ????12－3＋? ????cos68°＋5π0＋||33－8sin60°.

14、若∠A 为锐角，且sin A ＝35 ，求cos A ，tan A . 15、若0°

18、在△ABC 中，(tan A －3)2＋?? ? ?22－cos B ＝0，则∠C 的度数 19、已知α为锐角，且tan α＝2，求sin α－22cos α＋sin α 的值． 20、已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝ 32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋? ????13－1 的值．

锐角三角函数的解题技巧

锐角三角函数的解题技巧 一、知识点回忆 (一)锐角的三角函数的意义 1、正切 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA． 2、正弦和余弦 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 3、三角函数：在直角三角形中，锐角A的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A的三角函数． (二)同角的三角函数之间的关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α=1 (2)商数关系： （三）两角的关系 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．

(四)特殊锐角的三角函数值 (五)锐角三角函数值解法 1、用计算器 求整数度数的锐角三角函数值． 在计算器的面板上涉及三角函数的键有和键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果． 例如：计算sin44°． 解： 按键，再依次按键． 则屏幕上显示结果为0.69465837． 求非整数度数的锐角三角函数值． 若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按 和三个键之一，然后再依次按度分秒键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果． 2、已知三角函数值，用计算器求角度

已知三角函数值求角度，要用到、键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和键．具体操作步骤是：先按键，再按键之一，再依次按三角函数值，最后按键，则屏幕上就会显示出结果． 值得注意的是：型号不同的计算器的用法可能不同。 （六）直角三角形的解法 解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题： 解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。 掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 二、重点难点疑点突破 1、（1）sinA和cosA都是一个整体符号，不能看成sin·A或cos·A． (2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关． (3)sinA＋sinB≠sin(A＋B)sinA·sinB≠sin(AB) (4)sin2A表示(sinA)2，cos2A=(cosA)2 (5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1 2、同名三角函数值的变化规律 当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大； 余弦三角函数值随着角度的增大而减少． 三、解题方法技巧点拨 1、求锐角三角函数的值 例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若，求cosB，tanB的值．

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

28.1.3锐角三角函数：运用计算器.doc

28.1 锐角三角函数 第四课时 教学目标： 知识与技能： 1．让学生熟识计算器一些功能键的使用． 2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角． 过程与方法： 自己熟悉计算器，在老师的指导下求一般锐角三角函数值． 情感态度与价值观： 让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣． 重难点、关键： 1．重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题． 2．难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】 通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？ 我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。 二、探索新知、分类应用 【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值 利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导） sin37°24′；sin37°23′；cos21°28′；cos38°12′； tan52°；tan36°20′；tan75°17′； 【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.

例如：sinA=0.9816，∠A＝； cosA＝0.8607，∠A＝； tanA＝0.1890，∠A=； tanA＝56.78，∠A＝。 【活动三】知识提高 1．求下列各式的值： （1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′ 2．根据所给条件求锐角α． （1）已知s inα=0.4771，求α．（精确到1″） （2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″） （3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″） 3．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm） 三、总结消化、整理笔记 本节课应掌握：已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法． 四、书写作业、巩固提高 （一）巩固练习：课本68页练习 （二）提高、拓展练习：分层作业 五、教学后记

26.2锐角三角函数的计算

《锐角三角函数》（第一课时）说课稿 古马中学王玉金大家好！ 今天我说课的课题是人教版九年级数学上册26章《锐角三角函数》。对于本节课，我将从教材内容、学情、教学目标、教学方法和学法、教学环节、作业等几个方面加以说明。 一、教材内容分析 本节教材是人教版初中数学新教材九年级下第28章第一节内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了直角三角形两锐角关系、三边关系、勾股定理等知识的基础上，对直角三角形边角关系的进一步深入和拓展；另一方面，又为解直角三角形等知识奠定了基础。因此，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。 本节课重点是理解正弦函数意义，并会求锐角的正弦值。 难点是对比值不变的理解。 二、学情分析 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各边和各角的关系，能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有一定的推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要观察、思考、交流，进一步体会数学知识之间的联系，感受数形结合思想，一般到特殊思想，转化思想和建模思想，体会正弦的意义，提高解决问题的能力。 三、教学目标 根据教学内容和学情确定本节课的教学目标： 1. 知识与技能：理解锐角正弦的意义，并会求锐角的正弦值。 2. 过程与方法：经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析探究问题和自学能力。培养建模思想、数形结合思想，一般到特殊思想，转化思想 3、情感态度价值观：通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 四、教学方法和学法分析 1教法：学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的学情情况，本节课采用启发式、探究式教学法。倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和合作交流的形式发现、分析和解决问题，给学生充分思考和展示自我空间，让学生去猜想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。 2学法：本节课的学习方法采用自主探究、互助合作、讨论交流方法。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究的，也有小组合作交流的，目的让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。 五、教学过程

初中数学二次根式知识点总结附解析

一、选择题 1． 5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2． ,a ==b a 、 b 可以表示为 （ ） A ． 10 a b + B ．10 -b a C ． 10 ab D ． b a 3．下列各式成立的是（ ） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列计算结果正确的是（ ） A B ．3= C =D =5．下列各式中，运算正确的是（ ） A ．= -= ．2=D 2=- 6．m 能取的最小整数值是（ ） A ．m = 0 B ．m = 1 C ．m = 2 D ．m = 3 7． 已知 4 4 2 2 0,24,180x y x y >+=++=、.则xy=（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 8．当4x = - 的值为（ ） A ． 1 B C ．2 D ．3 9 ．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2 C ．x≥1且x ＝2 D ．.x≥-1且x ≠2 10 ．若a ，b ＝ ，则a b 的值为（ ） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 二、填空题 11．已知实数, x y 满足(2008x y =，则

2232332007x y x y -+--的值为______. 12．能力拓展： 1:2121A -= +；2:3232A -=+；3:4343 A -=+； 4:54A -=________． …n A ：________． ()1请观察1A ，2A ，3A 的规律，按照规律完成填空． ()2比较大小1A 和2A ∵32+ ________21+ ∴32+________21 + ∴32-________21- ()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小： 43-________32-； 76-________54-；1n n +-________1n n -- 13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简 () 2 22144a a ab b +--+=_____________； （2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ， 的个数是_______________； （3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．计算（π-3）02-2 11(223)-4-22 --（） 的结果为_____． 15．() 2 117932x x x y ---=-，则2x ﹣18y 2＝_____． 16．甲容器中装有浓度为a 40kg ，乙容器中装有浓度为b 90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平 方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：22164?a x a x =则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.

锐角三角函数公式大全

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。 目录 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα2sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα2cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a 2 tan(π/3+a)2 tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a

=sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a)

二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识点总结及应用 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3 ）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0) a b = ≥> (0,0) a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>

二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知： 0+ =,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-