2021上海崇明区高三数学一模试卷
高三数学 共4页 第1页
崇明区2021届第一次高考模拟考试试卷
数 学
考生注意：
1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A B = ．
2．不等式
1
02
x x -<+的解集是 ． 3．已知复数z 满足(z 2)i 1-=（i 是虚数单位），则z = ． 4．设函数1
()1
f x x =
+的反函数为1()f x -，则1(2)f -= ． 5．点(0,0)到直线2x y +=的距离是 ． 6．计算：123lim
(2)
n n
n n →∞+++???+=+ ．
7．若关于x 、y 的方程组461
32x y ax y +=??-=?
无解，则实数a = ．
8．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．（结
果用数值表示）
9．若23(2)n a b +的二项展开式中有一项为412ma b ，则m = ．
10．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条渐近线分别交
于,D E 两点，若ODE △的面积为1，则双曲线C 的焦距的最小值为 ． 11．已知函数()=y f x ，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x k +?=(k 为常数)，且当[0,2]x ∈时，
2()1f x x =+，则(2021)f = ．
12．已知点D 为圆22:4O x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1,0)，且1AM AN ?=，则
OA OD ?的范围是 ．
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二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】
13．若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．
11
a b
> B ．a b ->
C ．22a b >
D ．33a b <
14．正方体上的点P 、Q 、R 、S 是其所在棱的中点，则直线PQ 与直线RS 异面的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 15．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m a a +∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．设函数()y f x =的定义域是R ，对于下列四个命题： （1）若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f f x =是奇函数； （2）若函数()y f x =是周期函数，则函数()()y f f x =是周期函数； （3）若函数()y f x =是单调减函数，则函数()()y f f x =是单调减函数；
（4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-
也有零点；
其中正确的命题共有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，直线AD 与平面BCD 所成的角为30°，且
2AB BC ==．
（1）求三棱锥A BCD -的体积；
（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角
的大小（结果用反三角函数值表示）.
S
R
P Q
Q P
R
S Q P
S R
R
P
S Q
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18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
已知函数21
()sin 23cos 2
f x x x =-．
（1）求函数()y f x =的最小正周期；
（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若锐角A 满足13
()f A -=
，6
C π=， 2c =，求ABC △的面积．
19．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示．
当[0,16]x ∈时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x ∈时，曲线是函数
0.8log ()80y x a =++图像的一部分．当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课
状态”．
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”
的时间有多长？（精确到1分钟）
y
x 12 16 40
80 84 O
· · ·
· ·
· · ·
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20．（本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小
题满分7分）
已知椭圆2
2:14
x y Γ+=的左右顶点分别为A 、B ，P 为直线4x =上的动点，直线P A 与椭圆
Γ的另一交点为C ，直线PB 与椭圆Γ的另一交点为D ．
（1）若点C 的坐标为(0,1)，求点P 的坐标；
（2）若点P 的坐标为(4,1)，求以BD 为直径的圆的方程； （3）求证：直线CD 过定点．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小
题满分8分）
对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列． （1）若数列1,2,,8x 是P 数列，求实数x 的取值范围； （2）设数列12310,,,
,a a a a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，
求d 的取值范围；
（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a
中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为1T ，2T ． 求证：当0a >且12T T =时，数列{}n a 不是P 数列．