求切点弦所在直线方程的多种方法

求切点弦所在直线方程的多种方法

陆珍基

在学习平面解析几何“直线与圆的方程”一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比较多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

为了解答的方便，先给出两个真命题：

命题1：已知圆O ：x y r 222+=上一点M （x y 11,），则以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

命题2：已知两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 2211112121040++++=+->()，圆O x y D x E y D E F 222222222

2040：+++=+->()，则两圆的公共弦所在的直线方程为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=

例：已知点P （x y 00,）为圆O ：x y r 222+=外一点，

过点P 作圆的切线PM PM 12、，其中M M 12、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，

所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的直径，即圆O '：

()()()x x y y x y -+-=+020*********

即x y x x y y 22000+--=

又M M 12为圆O 、圆O '的公共弦，由命题2知，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)

由命题1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222

+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r 1010220202+=+=?????, ∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程

x x y y r 002+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法3：如上图，设M x y M x y OP M M M 11122212(,),(,),?=

容易证明Rt OM P Rt OM P ??12?，从而M 为M M 12的中点。

∴⊥OP M M 12，M 坐标为(

,)x x y y 121222++ 直线M M 12的方程为y y y x y x x x -

+=--+12001222()。 即x x y y x x x y y y 0001201222

+=+++()() （*） 又由命题1得，PM 1方程为x x y y r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r

1010220202+=+=?????, ∴+++=x x x y y y r 012012222

()() 代入（*）式得，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

对同一个问题从不同的角度去摸索和思考，这对提高我们分析问题和解决问题的能力是很有好处的。

曲线的切线方程

导数的几何意义、曲线的切线方程： 一、框架 1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。 2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f . 3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度. 4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-. 5.切线方程的求解方程问题： 第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点； 第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ； 第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。 6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围） 第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点 ())(,00x f x 处切线的斜率； 第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。 7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。 二、方法诠释 类型一：在某点的切线方程 例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。 解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程 例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意， 所求直线方程的斜率k ＝x 3 0－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2 0，即x 30x 0－2 ＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。 (2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . 当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2 0－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0 ＝x 2 0－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程 222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。 22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。 【方法】1.设出直线，再求解； 2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 【问题】对于坐标平面内任一点),(00y x M ，直线L ：200r y y x x =+与圆O ：222r y x =+究竟是什么关系呢下面我们进行探究： 一、当点M 在圆O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆O 外时， 1.直线L 不是圆O 的切线，下面证明之： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ,由),(00y x M 在圆O 外,得r y x >+2 020 ∴ r d <，故直线L 与圆O 相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征： 易知：OM ⊥L 。 2 2 0r x = 2,OA ON OM ∴=?(N 为L 与OM 的交点) 从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线， 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1，设过点M 的圆O 的两条切线为L 1,L 2,切点分别为A 、B, 则直线MA:2 11r y y x x =+，直线MB:2 22r y y x x =+. ∵点M 的坐标),(00y x 满足直线MA 与MB 的方程,

∴?????=+=+2 01022 0101r y y x x r y y x x , 由此可见A 、B 的坐标均满足方程2 00r y y x x =+， 由于两点确定一条直线 ∴直线AB 的方程为2 00r y y x x =+。 所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。 【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。 三、当点M 在圆O 内时， 1.直线L 也不是圆O 的切线。下面给出证明： ∵圆心O 到L 的距离为2 22y x r d += ，由),(00y x M 在圆O 内,得r y x <+2 020 ∴ r d > 故直线L 与圆O 相离. 2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢 首先研究L 的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L ⊥OM ， 此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，AB ⊥OM ）， 从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。 事实上（另证）， ∵直线L 的斜率00y x k l -=，而直线OM 的斜率0 0x y k om =， ∴OM L ⊥ 一方面，过点M 与OM 垂直的直线0L 方程为,0)()(0000=-+-y y y x x x 即2 02 000y x y y x x +=+

求曲线方程的几种常用方法

求曲线方程的几种常用方法 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y ）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y 的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 例1：在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。 解法一：由于未给定坐标系，为此，首先建立直角坐标系，取AB 所在的直线为x 轴，AB 的有中点O 为坐标原点，过O 与AB 垂直的直线为y 轴(如图)．则A (,0)a -，B (,0)a 。 设动点C 为(,)x y ， ∵222||||||AC BC AB +=， ∴2 224a +=， 即222x y a +=． 由于C 点到达A 、B 位置时直角三角形ABC 不存在，轨迹中应除去A 、B 两点， 故所求方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法二：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，C (,)x y ∵1AC BC k k =-， （1） ∴1y y x a x a =-+- ， （2） 化简得：222 x y a += ， （3） 由于在x a ≠±时方程（2）与（3）不等价，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 解法三：如解法一建立直角坐标系，设A (,0)a -，B (,0)a ，且设动点C (,)x y 。 ∵1||||2 CO AB =， a =，即222x y a +=。 轨迹中应除去A 、B 两点(理由同解法一)，故所求轨迹方程为222x y a +=（x a ≠±）。 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤：

切线方程与切点弦方程

切线方程与切点弦方程 一、圆的切线方程 一、圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2 1. 已知：圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆上一点P(x0, y0)。 求过点P的切线方程 解：圆心C(a, b)；直线CP的斜率：k1 = ( y0- b) / ( x0- a) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率：k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0) 整理得：(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x02- y02= 0 (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： (x0 - a)2+ (y0 - b)2= r2 化简: x02- 2ax0 + a2+ y02- 2by0 + b2= r2 移项: - x02- y02= -2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2(2) 由(2)代入(1), 得：x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2) = 0 化简：(x0x - ax - ax0 + a2) + (y0y - yb- by0 + b2) = r2 整理：(x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 变式-1 已知:圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆外一点P(x0, y0) 二、对于圆的一般方程:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程. 2.已知:圆的方程为:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0) 解：圆心C( -D/2, -E/2 ) 直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0) 整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x02- y02= 0 (3) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程： x02+ y02+ Dx0 + Ey0 + F = 0 移项: - x02- y02= Dx0 + Ey0 + F (4)

用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．

2.2常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究 在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。 一、预备知识： 1、在标准方程 2 22)()r b y a x =-+-（下过圆上一点),00y x P （的切线方程为： 200))(())r b y b y a x a x =--+--（（ ； 在一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ） 下过圆上 一点),00y x P （的切线方程为： 02 20 000=++++++F y y E x x D yy xx 。 2、两相交圆01112 2=++++F y E x D y x （0412 12 1>-+F E D ）与 022222=++++F y E x D y x （0422 22 2>-+F E D ） 的公共弦所在的直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。 3、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，其切线长公式为：F Ey Dx y x PA ++++=112121||。 4、过圆02 2 =++++F Ey Dx y x （042 2>-+F E D ）外一点 ),11y x P （作圆的切线，切点弦AB 所在直线的方程为：211))(())r b y b y a x a x =--+--（（（在圆的标准方程下的形式）； 0221 111=++++++F y y E x x D yy xx （在圆的一般方程下的形式） 。 二、题目 已知圆04422 2=---+y x y x 外一点P （-4，-1），过点P 作圆 的切线PA 、PB ，求过切点A 、B 的直线方程。 三、解法 解法一：用判别式法求切线的斜率 如图示1，设要求的切线的斜率为k （当切线的斜率存在时），那么过点P （-4，-1）的切线方程为：)]4([)1(--=--x k y 即 014=-+-k y kx 由 ???=---+=-+-0 4420 142 2y x y x k y kx 消去y 并整 理得 0)12416()268()1(2222=+-+--++k k x k k x k ① 令 0)12416)(1(4)268(2 2 2 2 =+-+---=?k k k k k ② 解②得 0=k 或8 15= k

求曲线方程的常用方法

求曲线方程的常用方法 1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表 达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。 2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。 （1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。故只须选择恰当的坐标系， 就可直接写出椭圆的方程。 （2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2 为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。当122||a F F =时，P 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。故只 须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。 3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点 P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。 4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方 法。 5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与 所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。 如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。 5．定义法—— 注意点：求动点轨迹方程在掌握一般步骤的基础上还要注意以下两点，一选建适当的坐标系，以简化运算；二是要注意曲线图形的范围，即根据条件限定方程中变量x,y 的取值范围，将方程中不适合题意的解去掉。 思路方法技巧： 1．“直接法”求动点的轨迹方程 例1． 在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三个顶点的距离分别为|PA|、|PB|、|PC| 且满足22||||||P A P B P C =+，求动点P 的轨迹方程。 222()4(0(2)x y a y +=<≤ 例2． 互相垂直的两条直线1l 、2l 的交点为P(a,b)，长为2r 的线段MN 的两端点分别在1l 、 2l 上滑动，求线段MN 的中点Q 的轨迹。 （|PQ|=1/2|MN|222()()x a y b r -+-=） 例3． 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A(0,2) 的距离减去它到x 轴的

高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用 张生 引例 给定圆2 22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明： （1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--； （2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+--。 高考链接 3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12 ）作圆22 +=1x y 的切线， 切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】22 154 x y += （2013山东）过点(3,1)作圆 22 (1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为 （ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-= 【答案】A 过点)4,3(P 作圆1:2 2 =+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b a 2 1+的最小值为 。6411+ 过椭圆14 92 2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ?的面积的最小值为 。 3 2 已知椭圆)1(12222>>=+b a b y a x ，圆2 22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P

求曲线方程的几种常见方法

求曲线方程的几种常见方法 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户

注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等

待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；

过一点求曲线的切线方程的三种类型

过一点求曲线的切线方程的三种类型 舒云水 过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒ 1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒ 这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒ 例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒ 解：由题设知点P 在曲线上， ∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒ 2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒ 这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程 )(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程

)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒ 例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒ 又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2 10-=x ﹒ 所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒ 3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒ 这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒ 例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)

圆的切点弦方程

2 圆的切点弦方程 1已知圆的方程x 2 y 2 r 2,求经过圆上一点 M （x °,y °）的切线方程。 【方法】1.设出直线，再求解; 2. 利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。 究竟是什么关系呢下面我们进行探究: ???点M 的坐标（X o , y o ）满足直线MA 与 MB 的方程, 、当点M 在圆 O 上时，直线L 是圆的切线。 二、当点M 在圆 O 外时, 1.直线 L 不是圆 O 的切线, F 面证明之: ???圆心 O 到L 的距离为d .2 2 ,由M （X o , y o ）在圆O 外，得 一 x °2 X y 2 y o r ,故直线L 与圆0相交. 2.此时直线L 与过点M 的圆的切线又是什么关系呢 首先研究L 的特征: 易知: OM L 。 r 2 2 r 2 2 y o 2 OA ON OM ,（N 为 L 与 OM 的交点） 从而OA MA MA 为圆的一条切线, 故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。 事实上（另证）， 如图1,设过点M 的圆O 的两条切线为L i ,L 2,切点分别为 A B, 则直线MA IXM y^ r 2，直线 MB:X 2X y 2y r 2 【结论1】过圆x 2 y 2 r 2上一点M （X 。，y 。）的切线方程 :XX o yy o r 。 【问题】对于坐标平面内任一点 M （x o , y o ）,直线L : X o X y o y 2 2 r 与圆O ： x

2 X i X。y』o r … 2， X2X0 y i y o r 由此可见A B的坐标均满足方程x0x y0y r2, 由于两点确定一条直线 ???直线AB的方程为X o X y o y r2。 所以此时的直线L是经过点P的切点弦AB所在直线的方程，而不是圆0的切线。 【注】上述点M直线L实质上是射影几何中的极点和极线。 特别的，当M在圆上时，极线即为切线。 三、当点M在圆0内时， 1.直线L也不是圆0的切线。下面给出证明： 2 ___________________________________________________________ ???圆心0到L的距离为d , r，由M(X o,y°)在圆0内，得Jx°2 y。2 r ..X2 y2 d r故直线L与圆0相离. 丿 2.此时直线L与圆的切线的关系又如何呢y V L o 首先研究L的特征： 由上述探讨过程易知， 直线L 0M 图2 此外，L 一定过点P ( P为两切线的交点，AB 0M, 从而L就在图2中过点P且与AB平行的位置处。 事实上(另证)， ???直线L的斜率k i 匹，而直线0M勺斜率k om 山, y o X o ? L 0M 一方面，过点M与OM垂直的直线L0方程为(x x0)x0 (y y0)y0 0, 即X0X y°y X02y。2

求曲线轨迹方程的常用方法

求曲线轨迹方程的常用 方法 Hessen was revised in January 2021

高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法 张昕 陕西省潼关县潼关高级中学 714399 求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下： （1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性质. （2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定 义法求方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.

（4） 参数法：若动点的坐标（x ，y ）中的x ，y 分别随另一变量的 变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，消去参数来求轨迹方程. （5） 几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式 求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法. （6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨 迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程. 典型例题示范讲解： 设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程. 【解】：法一：（直接法） 如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1 即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24 x y -+=（x ≠0）. 法二：（定义法） 设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点

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求曲线方程（导学案） 选编：万立勇审核：吴海燕 求曲线的方程，是学习解析几何的基础，求曲线的方程常用的方法主要有： 1．直接法：就是课本中主要介绍的方法。若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系，这时，设曲线上动点坐标为（,x y）后，就可根据命题中的已知条件，研究动点形成的几何特征，在此基础上运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有,x y的关系式。从而得到轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作直接法。 a>，求直角顶点C的轨迹方程。 例1：在直角△ABC中，斜边是定长2a(0) Array 说明：利用这种方法求曲线方程的一般方法步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(,) x y表示曲线上任意点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合{|()} =； p M p m (3)用坐标表示() p m，列出方程(,)0 f x y=； (4)化简方程(,)0 f x y=为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（此步骤经常省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点。）。 这种按照上述五个步骤来求曲线方程的方法，又称“五步法”或“条件直译 法”，这是求曲线方程的基本方程。

2．代入法（或利用相关点法）：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，就得到原动点的轨迹。 例2：已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，AM MB=，求动点M的轨迹方程。 且:1:2 3．几何法：求动点轨迹问题时，动点的几何特征与平面几何中的定理及有关平面几何知识有着直接或间接的联系，且利用平面几何的知识得到包含已知量和动点坐标的等式，化简后就可以得到动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称作几何法。 -），B（2,0），O为原点，动点P与线段AO、BO所例3：如图，已知两定点A（6,0 张的角相等，求动点P的轨迹方程。

圆锥曲线的切点弦方程

2011年江西高考一道试题解法的推广──圆锥曲线的切点弦方程 圆锥曲线问题是高考的重点，曲线的切线又是近几年的热点，这类题对学生的要求比较高，充分考查学生的逻辑思维能力，本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。 背景知识 已知圆()222:0C x y r r +=>,点()00,A x y 是圆C 上一点，求以点A 为切点的切线方程. 分析：易知以()00,A x y 为切点的直线方程为：()2000xx yy r r +=> （2011年江西高考理科第14题） 问题1：若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2?? ??? 作圆221x y +=的切线，切点分别为A B 、，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________. 解：设()()1122,,,A x y B x y ∵点A B 、在圆221x y +=上，则 过点()11,A x y 的切线方程为111:1L x x y y +=. 过点()22,B x y 的切线方程为222:1L x x y y +=. 由于12,L L 经过点11,2?? ???则1122111,122 x y x y +=+=. 故()()1122,,,x y x y 均为方程112 x y + =的解。 ∴经过A B 、两点的直线方程1:12AB x y +=. 设椭圆22 221x y a b +=的右焦点为(),0c ,上顶点为()0,b . 由于直线AB 经过椭圆右焦点和上顶点。 1,12 b c ∴==即2b = 2225a b c ∴=+= 故椭圆方程为22 154 x y +=.