2017高考文科数学全国2卷试题与答案解析[]

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

注意事项：

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）已知集合{123}A =，

，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，

（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则

（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π

=-

（C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3

y x π

=

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π（B ）

32

3

π（C ）8π（D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2

=4x 的焦点，曲线y =k

x

（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）

12（B ）1 （C ）3

2

（D ）2 (6) 圆x 2

+y 2

?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a = （A ）?

43（B ）?3

4

（C ）3（D ）2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π

(8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一

名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）

710（B ）58（C ）38（D ）310

(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s =

（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34

(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x

的定义域和值域相同的是

（A）y=x（B）y=lg x（C）y=2x（D）

1 y

x

=

(11) 函数

π

()cos26cos()

2

f x x x

=+-的最大值为

（A）4（B）5 （C）6 （D）7

(12) 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），

(x2,y2)，…，（x m,y m），则

1

=

m

i

i

x

=

∑

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m

二．填空题：共4小题，每小题5分.

(13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

(14) 若x，y满足约束条件

10

30

30

x y

x y

x

-+≥

?

?

+-≥

?

?-≤

?

，则z=x-2y的最小值为__________

（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

4

cos

5

A=，

5

cos

13

C=，a=1，则b=____________. （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）(本小题满分12分)

等差数列{

n

a}中，

3457

4,6

a a a a

+=+=

（I）求{

n

a}的通项公式；

(II)设n

b

=[n

a

]，求数列{n

b

}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2 （18）(本小题满分12分)

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值； (II)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”. 求P(B)的估计值；

（III ）求续保人本年度的平均保费估计值.

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将

DEF V 沿EF 折到'D EF V 的位置.

（I ）证明：'AC HD ⊥； (II)若5

5,6,,'224

AB AC AE OD ====,求五棱锥'ABCEF D -体积.

（20）（本小题满分12分）

已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.

（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知A 是椭圆E ：22

143

x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.

（I ）当AM AN =时，求AMN V 的面积 (II)当2AM AN =时，证明：32k <<.

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .

（Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；

（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t α,y t α,

ì=??í?=??（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜

率.

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数11

()22

f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；

（Ⅱ）证明：当a ，b M ?时，1a b ab +<+.

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案

第Ⅰ卷

一. 选择题

（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A

(4) 【答案】A

(5)【答案】D

(6) 【答案】A (7) 【答案】C

(8) 【答案】B

(9)【答案】C

(10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B

二．填空题

(13)【答案】6-

(14)【答案】5-

（15）【答案】

21

13

（16）【答案】1和3 三、解答题

（17）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）23

5

n n a +=；（Ⅱ）24. 【解析】

试题分析：(Ⅰ) 根据等差数列的性质求1a ，d ，从而求得n a ；（Ⅱ）根据已知条件求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.

试题解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5

a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23

5

n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??

=????

， 当n=1,2,3时，23

12,15n n b +≤

<=； 当n=4,5时，23

23,25n n b +≤<=；

当n=6,7,8时，23

34,35

n n b +≤<=；

当n=9,10时，23

45,45

n n b +≤

<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=. 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】

（18）(本小题满分12分) 【答案】（Ⅰ）由

6050200+求P(A)的估计值；（Ⅱ）由3030

200

+求P(B)的估计值；（错误!未找到引用源。）根据平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析：

试题解析：(Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

6050

0.55200

+=， 故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为

3030

0.3200

+=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为： 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率

0.30

0.25

0.15

0.15

0.10

0.05

调查200名续保人的平均保费为

0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=，

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】

（19）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）69

4

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证//.AC EF 再证//.'AC HD （Ⅱ）证明.'⊥OD OH 再证'⊥OD 平面.ABC 最后呢五棱

锥'ABCEF D -体积.

试题解析：（I ）由已知得，,.

⊥=AC BD AD CD

又由=AE CF 得

=

AE CF

AD CD

，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得

1

.4

==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得22 4.==-=DO BO AB AO

所以1, 3.'===OH D H DH

于是22222

(22)19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH

由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=I AC BD BD HD H ， 所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD

又由,'⊥=I OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC

又由

=

EF DH AC DO 得9

.2

=EF 五边形ABCFE 的面积11969

683.2224

=??-??=S

所以五棱锥'ABCEF D -体积169232

22.342

=

??=V 考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】

（20）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）220.x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求()f x '，(1)f '，(1)f ，由直线方程得点斜式可求曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（Ⅱ）构造新函数(1)

()ln 1

-=-+a x g x x x ，对实数a 分类讨论，用导数法求解.

试题解析：（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时，

1

()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+

-f x x x x f x x x

，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=

（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)

ln 0.1

--

>+a x x x 令(1)

()ln 1

-=-

+a x g x x x ，则 222

122(1)1

(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，

（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2

2

2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ； （ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得

22121(1)1,1(1)1=----=-+--x a a x a a ，

由21>x 和121=x x 得11

（21）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）144

49

；（Ⅱ）(

)

3

2,2.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ?的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .

试题解析：（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为

4

π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.

将2x y =-代入22

143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =

，所以1127

y =. 因此AMN ?的面积11212144

227749

AMN S ?=???=

. （2）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22

143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.

由2121612(2)34k x k -?-=+得212

2(34)34k x k

-=+，故22

12121||1|2|34k AM k x k +=++=+. 由题设，直线AN 的方程为1

(2)y x k =-+，故同理可得22

121||43k k AN k +=+.

由2||||AM AN =得

22

23443k

k k

=++，即3246380k k k -+-=. 设3

2

()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，2

2

'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥， 所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又(3)153260,(2)60f f =-<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k 在(3,2)内，所以32k <<. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1

2

. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证,DGF CBF ?~?再证,,,B C G F 四点共圆；（Ⅱ）证明,Rt BCG Rt BFG ?~?四边形

BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍.

试题解析：（I ）因为DF EC ⊥,所以,DEF CDF ?~?

则有,

,DF DE DG

GDF DEF FCB CF CD CB

∠=∠=∠== 所以,DGF CBF ?~?由此可得,DGF CBF ∠=∠ 由此0

180,CGF CBF ∠+∠=所以,,,B C G F 四点共圆.

（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ， 由G 为Rt DFC ?斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ?~? 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ?面积GCB S ?的2倍，即

111

221.222

GCB S S ?==???=

考点：三角形相似、全等，四点共圆 【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】（Ⅰ）2

12cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15

3

±. 【解析】

试题分析：（I ）利用2

2

2

x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．

试题解析：（I ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程2

12cos 110.ρρθ++= （II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈ 由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得

212cos 110.ρρα++=

于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=

22121212||||()4144cos 44,AB ρρρρρρα=-=+-=-

由||10AB =得2

315cos ,tan 83

αα=

=±， 所以l 的斜率为

153或153

-. 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】

试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x <-

，11

22

x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+．

试题解析：（I ）12,,21

1()1,,2

212,.2x x f x x x x ?

-≤-??

?=-<

当1

2

x ≤-

时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当11

22

x -

<<时，()2f x <； 当1

2

x ≥

时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.

（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而

22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，

因此|||1|.a b ab +<+

考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】