MATLAB在复变函数与积分变换的应用

本科毕业论文

题目：MATLAB在复变函数与积分变换的应用学院：数学与计算机科学学院

班级：数学与应用数学2009级班

姓名：

指导教师：职称：副教授

完成日期：2013年05月10日

MATLAB在复变函数与积分变换的应用

摘要：复变函数与积分变换理论性较强,又是解决实际问题的强有力的工具.该课程已深入到数学的各个分支,如微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科.然而该课程的很多内容比较抽象,学起来比较枯燥且难学.

本文利用MATLAB讨论了复变函数与积分变换中的复数运算、泰勒级数的展开、留数、有理函数展开、Fourier变换、Laplace变换和复变函数图形绘制等几个问题.这样不仅提高和完善复变函数与积分变换方法的实用性,同时可以培养学习者运用MATLAB语言编程的能力,对学习者以后的专业课及工作中使用数学软件进行数据处理有很大帮助.

关键词：MATLAB; 复变函数; 积分变换

目录

1 引言 (1)

2 复常数的运算 (1)

2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 (1)

2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根 (2)

3 泰勒级数的展开 (3)

4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 (4)

4.1 留数计算及积分计算 (4)

4.2 有理函数的部分分式展开 (5)

5 Fourier变换及其逆变换 (6)

6 Laplace换变换及其逆变换 (8)

7 复变函数图形绘制 (9)

参考文献 (10)

1 引言

复变函数与积分变换是电力工程、控制领域和通讯等理工科必备的重要课程,同时在解决实际问题中也有十分重要的作用.但是大多数人在学习这门课程时都会感觉内容抽象,学起来感觉枯燥且难学.如何应用现代高科技信息技术,让比较难理解的理论与繁杂枯燥的内容变得生动有趣,激发学习的兴趣,以及可以提高计算能力、实践能力就相当重要.

在国际学术界,MATLAB 已经被接受为一种准确、可靠的标准计算软件.用户可以直接在Command Window 内输入执行命令，或者可以建立一个M 文件，输入较大应用程序，编译完成后一起运行.现在常用的MATLAB 语言是基于最为流行的C++语言基础之上的，因此语法与C++语言有很大的相识，而且较C++语言更加简单，更符合研究人员对数学表达式的书写格式.使之更便利与非专业人员的使用.并且这种语言可拓展性极强，具有良好的可移植性，这也是在各个领域流行MATLAB 的重要原因.

本文把复变函数与积分变换的学习过程和MATLAB 结合起来，把复杂的计算交于计算机，目的是为了提高学生学习的兴趣与爱好同时也可以减轻学习的负担，缩短学习时间，大大提高了教学效果与质量.

2 复常数的运算

2.1 求复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数 在MATLAB 中的求解格式为： real(x) %回车x 的实部 imag(x) %回车x 的虚部 abs(x) %回车x 的模 angle(x) %回车x 的幅角 conj(x) %回车x 的共轭复数

例1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角、共轭复数. (1)

i

745+ (2) 5

23i e π (3) 57

37

++i i

解：在编辑器中建立M 文件001.m 如下： format rat

X=[5/4+7i,3*exp(2i*pi/5),i^7+i^(3/7)+5]

re=real(X) im=imag(X) ab=abs(X) an=angle(X) co=conj(X) 运行结果如下：

Z = 5/4 + 7i 305/329 + 2565/899i 7765/1343 - 561/1490i re = 5/4 305/329 7765/1343 im = 7 2565/899 -561/1490 ab = 2055/289 3 4305/743 an = 283/203 142/113 -82/1261

co = 5/4-7i 305/329- 2565/899i 7765/1343+561/1490i

2.2 对于两个复常数之间进行乘法、除法运算及复方程求根

在MATLAB 中，两个复数之间的乘法、除法可以使用“*”、“/”来实现，求复方程的解使用solve(’f(x)=0’)来实现.

例2 (1) a=i 512+ b=i 53+i i

423+ 计算a*b.

(2) 3x +5=0求所有根. 解:在命令窗口中输入如下： >> a=2/(1+5i); >> b=3/5i+3i/(2+4i); >> c=a*b c=

-0.0692 - 0.2538i >> solve('x^3+5=0') ans=

-5^(1/3) 5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 + 1/2) -5^(1/3)*((3^(1/2)*i)/2 - 1/2)

3 泰勒级数的展开

定理1 （泰勒展开定理） 设)(x f 在区域D 内解析，D x ∈0,R 为0x 到D 的边界上各点的最短距离?当R x x <-0时，∑∞

=-=00)()(n n n x x c x f 为)(x f 在0x 处的泰

勒级数. 其中：n c =

!

1n ()

f n ()0

x n =0，1，2，………

用函数taylor 来实现泰勒级数的展开，taylortool 可以进行泰勒级数逼近分析.

例3 求函数x e x f -=)(在x=0的泰勒展开式的6次幂多项式和16次幂多项式，并分别进行泰勒级数逼近分析. 解：在命令窗口中输入： >> clear >> syms x >> f=exp(-x); >> T1=taylor(f,7) T1 =

x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1

>> T2=taylor(f,17) T2 =

x^16/20922789888000 - x^15/1307674368000 + x^14/87178291200 - x^13/6227020800 + x^12/479001600 - x^11/39916800 + x^10/3628800 - x^9/362880 + x^8/40320 - x^7/5040 + x^6/720 - x^5/120 + x^4/24 - x^3/6 + x^2/2 - x + 1

然后运用taylortool 命令进行泰勒级数逼近分析，图（1）为6次幂多项式泰勒级数逼近分析，图（2）为16次幂多项式泰勒级数逼近分析.

-6

-4

-2

2

4

6

010*******

Taylor Series Approximation

T

N

(x) =

x

6/720 - x

5/120 + x 4/24 - x 3/6 + x 2/2 - x + 1

图（1）

-6

-4

-2

2

4

6

010*******

Taylor Series Approximation

T

N

(x) =x 16/20922789888000 - x 15/1307674368000 + x 14/87178291200 -...+ 1

图（2）

由上图可知，泰勒级数展开的项数越多，函数值越接近原函数，

4 留数计算及积分计算和有理函数的部分分式展开 4.1 留数计算及积分计算

定义1 设f(x)在0

i

π21?c

dx x f )(为f(x)关于点a 的留数，记作Res[f(x),a].其中c 为在0

内包含在点a 的任何一条正向简单闭曲线.

定理2 设函数f(x)在区域D 内除有限个孤立奇点z 1,z 2,z 3......,z n 处处解析，c 是D 内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，那么

?c

dx x f )(=i π2∑=n

k s 1

Re [f(x),

z k ]

在MATLAB 中可用如下方法：假设以知奇点a 和m 重数，则用下面的MATLAB 语句可求出相应的留数

Limit(f*(x-a),x,a) %返回x=a 的一级极点的留数

Limit(diff(f*(x-a)^m,x,m-1)/prod(1:m-1),z,a %返回x=a 的m 级极点的留数

例4 求积分?

-c

x

x x e

2

)1(dx,C 为正向圆周：x =4.

解：可知x=0为2)1(-x x e x 的一级极点,x=1为2

)

1(-x x e x

的二级极点 在编辑器中建立M 文件002.m 如下： syms x

f=exp(x)/x*(x-1)^2 a1=limit(f*x,x,0)

a2=limit(diff(f*(x-1)^2,x,1)/prod(1:1),x,1) 结果如下： a1 =1 a2 =0 所以?

-c

x

x x e

2

)

1(dx=2πi{Res[f(x),0]+Res[f(x),1]}=)01(2+i π=i π2

4.2 有理函数的部分分式展开

在MATLAB 的函数语言中有数值函数residue()来求取有理函数的部分分式展开表示，该函数的调用格式为：

[R,P,K]=residue(B,A): %回车R 为留数 %回车P 为极点

%回车K 为两个多项式的比值B(s)/A(s)的部分分式展开的直接项

)()

()

()2()2()1()1()()(s K n P s n R P s R P s R s A s B +-++-+-= 向量B 是分子的系数、向量A 是分母系数，向量R 是返回的留数，向量P 是返回的极点，向量K 由)(/)(s A s B 的商的多项式系数组成，若)()(A length B length <，则K 为空向量，否则，1)()()(+-=A length B length K length .

如果存在m 级极点则有)1()(-+==m j P j P ，展开式包括以下形式：

m

j P s m j R j P s j R j P s j R ))(()

1())(()1()()(2--++

+-++- 例5 试求函数2

3)(3--=

z z z

z f 的部分分式展开

解：在命令窗口中输入如下: >> B=[1,0]; >> A=[1,0,-3,-2]; >> [R,P,K]=residue(B,A); >> [B,A1]=rat(R); >> [B,A1,P] ans =

2.0000 9.0000 2.0000 -2.0000 9.0000 -1.0000

1.0000 3.0000 -1.0000 结果为:=)(x f 2

)1(31

)1(92)2(92+++--z z z

5 Fourier 变换及其逆变换

我们平常所用到的积分变换,就是把函数)(x f 乘上一个确定的二元函数

),(s x k ,然后计算积分,即

?=b

a dx s x k x f s F ),()()(

这样变成另一个函数)(s F .

定理3 若f(t)在()+∞∞-,上满足： （1）在任何的有限区间上满足Dirichlet 条件；

（2）在无限区间()+∞∞-,上绝对可积（即?+∞

∞-dt t f )(收敛）：则有

ωττωωτd d f e e x j i ??+∞∞-+∞∞??????--)(21π=[]?????-++（在间断点上）

在连续点上)0()0(2

1)

()

(x f x f x f

定义2 如果函数f(t)满足定理3，由

??+∞∞+∞∞-??????=--)(21)(ωττωωτd d f x f e e x i i π (1) 设 ?+∞

∞--=ττωωτ

d f F e

j )()( (2)

则 ?+∞∞=

-)(21)(ωωωd F t f e t

j π

(3) (2)式称为)(t f 的傅里叶变换，记为 [])()(t f F ?=ω

()ωF 称为)(t f 的象函数，并且这样的积分运算称为取)(t f 的Fourier 变换，式(3)称作)(ωF 的傅里叶逆变换式，记为 [])()(1ωF t f -?=

使用fourier 函数来实现Fourier 变换,格式为fourier(f),逆变换可用ifourier(F)来实现.

例6 求钟形脉冲函数2

24)(t e

x f -=的频谱函数,然后绘制频谱图.

解：在命令窗口中输入如下： >> syms t w >> f=4*exp(-2*t^2); >> F=fourier(f) F =

(2*2^(1/2)*pi^(1/2))/exp(w^2/8)

>> ezplot(F,[-6,6])

所得频谱图（2）所示

-6

-4

-2

02

4

6

01

2

3

4

5

w

(2 21/2 π1/2)/exp(w 2/8)

图（2）

6 Laplace 变换及其逆变换

定义3 如果函数)(t f 当0≥t 时有定义，并且广义积分 ?

+∞-0

)(dt t f e st

(4)

在s 的某一区域内收敛，则由（4）式所确定的参数为s 的函数 ?

+∞-=0

)()(dt t f s F e st

叫做函数)(t f 的Laplace 变换.

使用laplace 函数来实现Laplace 变换，使用ilaplace 函数来实现拉普拉斯逆变换.

例7 证明Laplace 变换的时移性质{}{})()()(L 000t f L e t t u t t f st -=--.其中，f 为任意的一个函数，u 是阶跃函数，L 表示的是Laplace 变换. 解：在命令窗口中输入: >> syms t s >> syms t0 positive

>> ft=heaviside(t-t0)*sym('f(t-t0)'); >> FS=laplace(ft,t,s); >> FS_t=ilaplace(FS,s,t);

>> ft ft =

f(t - t0)*heaviside(t - t0) >> FS FS =

laplace(f(t), t, s)/exp(s*t0) >> FS_t FS_t =

f(t - t0)*heaviside(t - t0)

从运算过程中可以看出，ft=)()(00t t u t t f --,FS 为ft 函数对应的Laplace 变换的结果{}{})()()(L 000t f L e t t u t t f st -=--.最后,FS_t 的结果为FS 函数的Laplace 逆变换,结果为ft=)()(00t t u t t f --.

7 复变函数图形绘制

设()()(),,,,y x iv y x u z f w iy x z +==+=有所学知识可知绘制复变函数的图形，需要四维空间才能满足.为了避免这一困难，借用两张复平面：z 平面与w 平面点集间的对应关系来来描述复变函数. 例8 做圆周z =5在映射5

3z

z +

=ω下的象. 解：在编辑器中建立M 文件003.m 如下： syms x y z t t=-pi:0.001:pi x=5*cos(t) y=5*sin(t) z=x+i*y w=z+5./z subplot(2,1,1) plot(z)

title(’z=5*cos(t)+i*5*sin(t)’)

axis equal subplot(2,1,2) plot(w)

title(’w=3*z+5./z ’) axis equal

运行结果如图(3)所示：

-15

-10

-5

05

10

15

-4-2024z=5*cos(t)+i*5*sin(t)

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

-10

-50510w=3*z+5./z

图（3）

参考文献：

[1]葛美宝.利用MATLAB 促进《复变函数与积分变换》的教学改革[J].科技信息，2009，314（30）：36-40.

[2]霍新霞,张世唯.复变函数与积分变换课程教学探究[J].科教文汇(上旬刊），2012，223（11）：86-87.

[3]曹海涛,张伟杰.工科“复变函数与积分变换”教学改革[J].中国电力教育，2013，260（01）：80-89.

[4]温录亮.工科复变函数与积分变换课程的教学改革探究[J].济南职业学院学报，2011，87（04）：65-67.

[5]陈静,贠书杰.MATLAB软件在高等数学教学中的应用[J].河南机电高等专科学校学报，2008,64（5）：64-66．

[6]周德强.MATLAB在《工程数学》教学中的应用[J].现代计算机（专业版），2007，263（07）：37-39．

[7]金琦,宋明福,董玉才.军队学历教育院校《复变函数与积分变换》教学方法与手段改革的探索[C].//中国教育技术协会实践教学委员会、上海高职电子信息类职业教学指导委员会.2011年全国电子信息技术与应用学术会议论文集.上海：美国科研出版社,2011:3.

[8]孟品超,汤新昌,姜志侠.浅析《复变函数与积分变换》课程的建设[J].教育教学论坛，2012，72（31）：281-282.

[9]孙妍,刘向丽.复变函数与积分变换课程一体化改革之浅见[J].中国科教创新导刊，2011，613（29）：95.

[10]S.K.Sen,Gholam Ali Shaykhian.MatLab tutorial for scientific and engineering computations[J]. Nonlinear Analysis,2009,71(12)：46-47．

[11]V.A.Abilov,F.V.Abilova,M.K.Kerimov.Sharp estimates for the convergence rate of Fourier series of complex variable functions in L2(D, p(z))[J]. Computational Mathematics and Mathematical Physics,2010,50(6)：51-52．

[12]V.A.Abilov,F.V.Abilova,M.K.Kerimov.Sharp estimates for the convergence rate of Fourier series in terms of orthogonal polynomials in L2((a, b), p(x))[J]. Computational Mathematics and Mathematical Physics,2009,49(6):31-33.

Application of MATLAB in Complex Variable Function and

Integral Transform

Abstract:The theory of complex variable function and integral transform is strong,and it is a powerful tool in solving practical problems.The course has been deep into all branches of mathematics, such as differential equation, integral equation, probability theory and number theory.However,the course content is abstract,boring and difficult to learn.

Here MATLAB is utilized to solve several problems in complex variable function and and integral transform,such as:the plural computing,the Taylor series expansion,residue,the expansion of rational functions,Fourier transform,Laplace transform and complex function graphing.This will not only improve and perfect the practical function of complex variable and integral transform method, also can train learners use MATLAB programming language, the professional course and learners to work later in the use of mathematical software for data processing are very helpful.

Key word: matlab; complex variable function; integral transform

MATLAB编辑一维热传导方程的模拟程序

求解下列热传导问题： ()()()()?????????====-=≤≤=??-??1, 10,,1,010,001222ααL t L T t T z z T L z t T z T 程序： function heat_conduction() %一维齐次热传导方程 options={'空间杆长L','空间点数N' ,'时间点数M','扩散系数alfa','稳定条件的值lambda(取值必须小于',}; topic='seting'; lines=1; ； def={'1','100','1000','1',''}; h=inputdlg(options,topic,lines,def); L=eval(h{1}); N=eval(h{2}); M=eval(h{3}); alfa=eval(h{4}); lambda=eval(h{5});%lambda 的值必须小于 %*************************************************** ￥ h=L/N;%空间步长 z=0:h:L; z=z'; tao=lambda*h^2/alfa;%时间步长 tm=M*tao;%热传导的总时间tm t=0:tao:tm; t=t'; %计算初值和边值 @ T=zeros(N+1,M+1); Ti=init_fun(z); To=border_funo(t); Te=border_fune(t); T(:,1)=Ti; T(1,:)=To; T(N+1,:)=Te; %用差分法求出温度T 与杆长L 、时间t 的关系 ： for k=1:M m=2;

论文-Matlab在物理学中的应用

学院 专业 年级 姓名 论文题目 指导教师职称 成绩 年月日

目录 摘要 (1) Abstract (1) 1 引言 (1) 2 MATLAB功能介绍 (2) 3 MATLAB在光学中的应用 (2) 3.1单缝衍射及弗朗和费衍射 (2) 4 MATLAB在电磁学中的应用 (3) 4.1用MATLAB描绘电场线 (3) 5MATLAB在热物理学中的应用 (3) 5.1MATLAB在麦克斯韦速率分布中的应用 (3) 6 结束语 (4) 参考文献 (5)

MATLAB在物理学中的应用 摘要：用MATLAB分析物理学，能使复杂的问题大大简化，对阐述相关原理能起到很大的作用。本文阐述了基于MATLAB的数值计算、可视化图形处理、开放式以及可扩充体系结构的特点,并介绍了高性能语言 MATLAB 在大学物理学中的一些应 用，包括在热物理学，量子力学、电磁学以及光学中的应用。 关键词：MATLAB；热物理学；电磁学；光学 Application of MATLAB in Physics Abstract：Analysis of physics with MATLAB can make the complex problem greatly simplified, which principle play an important part in physics. This paper is based on the MATLAB numerical calculation, visualization graphics processing, which open and extensible architecture, and introduces some application of high performance MATLAB language in university physics, which including the thermal physics, quantum mechanics, electromagnetism and optics. Key words：MATLAB; thermal physics; electromagnetism; optical 1引言 在物理实验中,实验数据的处理方法至关重要,而数据处理手段制约着处理方法 的应用。在手工处理数据的条件下,通常只能使用列表法、作图法、逐差法等,不仅效 率低,容易引入习惯误差,且主要只对线性关系有效;运用计算机高级语言编程或 Excel等软件工具,可以分析非线性问题,但由于编程复杂或操作不便等原因,难于在 教学中推广; MATLAB提供了大量的科学计算函数,用来处理曲线拟合、数据插值、傅 里叶变换等问题非常便捷[1]。下面我们从一些典型的实例出发, 介绍 MATLAB 在物理 学方面的具体应用。 2 MATLAB功能介绍 MATLAB是美国MATHWORKS公司开发的一套高性能的数值计算和可视化软件。它 是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，其应用范围涵盖了当今几乎所有的工业 应用与科学研究领域，集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体[2]。其丰

MatLab在中学数学教学中的应用

MatLab在中学数学教学中的应用 摘要：多媒体教学受到人们的日益重视，制作多媒体课件的能力日趋成为衡量一个教师教学能力的标准之一。MatLab功能强大且简单易用，本文首先对MatLab的发展历史和基本组成框架进行了简单介绍。在此基础上，利用MabLab函数绘制了学数学教学过程中常见的二维和三维函数。并得出结论认为，MatLab适用于中学多媒体课件的制作。 关键词：多媒体教学中学数学MatLab 1 引言 随着计算机技术的发展，多媒体教学越来越受到人们的重视。现代教育理论认为[1]：全面实施素质教育，传统教学陈旧的教学手段和简单的教学技术在当今世界的多层次教学、演示教学、实验教学等现代化课堂教学中就显得力不从心。实验心理学家赤瑞特拉通过大量的实验证实：人类获取的信息83%来自视觉，11%来自听觉，1.5%来自触觉，这三个加起来达到95.5%。可见如何充分利用这三者来提高教学质量是人类认知心理学的要求。 多媒体计算机辅助教学是指利用多媒体计算机，综合处理和控制符号、语言、文字、声音、图形、图像、影像等多种媒体信息，把多媒体的各个要素按教学要求，进行有机组合并通过屏幕或投影机投影显示出来，同时按需要加上声音的配合，以及使用者与计算机之间的人机交互操作，完成教学或训练过程。Matlab 是美国MathWorks 公司自20 世纪80 年代中期推出的数学软件，具有优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力。尽管MatLab 并不是一专门的教学软件，但其强大的绘图功能使得数学教学中的抽象概念直观易解。 2 多媒体教学特点 多媒体技术的特性主要包括信息载体的多样化、集成性和交互性三个方面[2]。信息载体的多样化指的就是信息媒体的多样化多媒体就是要把机器处理的信息多样化或多维化, 使之在信息交互的过程中, 具有更加广阔和更加自由的空间。多媒体的集成性主要表现在两个方面,即多媒体信息媒体的集成和处理这些媒体的设备的集成,。对于前者而言,各种信息媒体尽管可能会是多通道的输入或输出,但应该成为一体。对于后者而言,指的是多媒体的各种设备应该成为一体。多媒体的交互性则是指用户在使用多媒体过程中可以与之进行交互，输入目标参数，从而得到理想中的多媒体信息输出。 多媒体技术的特性决定了多媒体教学如下特点： 1）教学手段集成化 多媒体计算机集激光唱盘、录像机、电视机和计算机控制于一体, 即可以充分利用语音和电视教学的优势, 又有计算机交互式教学的特点,克服了传统教学手段三个“一”（一支粉笔、一本书、一张嘴）的单一性缺点。 2）教学方式多样化

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MATLAB在导热问题中的应用

分类号密级 U D C 编号 本科毕业论文(设计) 题目MATLAB在导热问题中的运用 所在院系数学与数量经济学院 专业名称信息与计算科学 年级 05级 学生姓名朱赤 学号 0515180004 指导教师周瑾 二00九年四月

文献综述 1、概述 MATLAB是一个为科学和工程计算而专门设计的高级交互式的软件包。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所要求解的问题，用户只需简单的列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。MATLAB中有大量的命令和事先定义的可用函数集，也可通称为MATLAB的M文件，这就使得用它来求解问题通常比传统编程快得多；另外一点，也是它最重要的特点，易于扩展。它允许用户自行建立完成指定功能的M文件。从而构成适合于其它领域的工具箱。MATLAB既是一种编程环境，又是一种程序设计语言。它与其它高级程序设计语言C、Fortran等一样，也有其内定的规则，但其规则更接近于数学表示，使用起来更为方便，避免了诸如C、Fortran语言的许多限制，比方说，变量、矩阵无须事先定义；其次，它的语句功能之强大，是其它语言所无法比拟的，再者，MATLAB提供了良好的用户界面，许多函数本身会自动绘制出图形，而且会自动选取坐标刻度。 传热学是一门研究由温差引起的热能传递规律的科学，其理论和技术在生产、科学研究等领域得到了广泛的应用。在能源动力、建筑建材及机械等传统工业部门中，传热学理论的应用解决了这些部门生产过程的热工艺技术，而在新能源利用、军事高科技等新技术领域中，它甚至对一些关键技术起到了决定性作用。传热过程是传热学研究最基本的过程之一，传统的数学分析解法只能解决相对简单的传热问题，而在解决复杂的实际传热问题时，数学描述和求解都很困难。随着计算机技术的兴起，解偏微分方程组等早期不能被很好解决或模拟的部分已逐渐被人们完成。同时，计算机技术的发展，尤其是MATLAB的出现，不但解决了很多较复杂的问题，也大大促进了传热学理论的发展。 本文就介绍目前在该领域的研究状况，以及存在的问题。 2、主题 2.1 什么是导热 两个相互接触的且温度不同的物体，或同一物体的各不同温度部分间，在不

MATLAB在热物理学中的应用

《MATLAB》课程论文 MATLAB在热物理学中的应用 姓名：田晓霞 学号：12010245379 专业：通信工程 指导老师：汤全武 学院：物理电气信息学院 完成日期：2011.12.1

MATLAB 在热物理学中的应用 (田晓霞 12010245379 2010级通信工程) 【摘 要】 基于MATLAB 的数值计算、可视化图形处理、开放式以及可扩充体系结构的特 点,并用高性能语言 MATLAB 在大学物理热物理学中的一些应用，包括在固体热容量的三种模型、理想气体定容比热回归分析和理想气体的热力学分析中的应用等对其进行数据处理。 【关键词】 MATLAB ；顺磁性固体；负温度状态；热力学；热传导；热扩散 一. 问题的提出之固体热容量的三种模型 热容量是热力学系统的一个重要响应函数。经典理论曾用能量均分定理讨论了晶体在高温情况下的热容量，成功地解释了杜隆－珀替定律。但是，经典理论不能说明低温下热容量随温度的降低而减小，以及它是系统特征量这两个实验事实。1907年，爱因斯坦应用量子概念处理晶体振动，定性地说明了固体的热容量随温度降低而趋于零的规律。1917年，德拜修改了爱因斯坦模型，出了3T 定律，使固体热容量理论在定量上与实验结果相符合。 1.固体热容量的经典模型－杜隆-珀替定律 按照经典理论，由N 个原子或离子组成的固体可视为3N 个相互独立的经典线性谐振子的集合。由能量均分定理，每个线性简谐振子的能量为kT ，固体的内能为U =3NkT ，热容量为 3V C N k = (1) 此即杜隆-珀替定律。 问题1：应用玻尔兹曼统计求经典固体的定容热容量。 (1) 解题分析 经典固体可视为3N 个相互独立的经典线性谐振子的集合,每个经典线性谐振子的能量为 ()2222 12r p r e m w m = + (2) 其中, 2 12r p m 是两原子相对运动的动能，1212 m m m m m =+为约化质量,r 是两原子间的 距离，ω为振动的圆频率。振动配分函数为 dr d r p h p e z r v r ??+- = ) ( 21 2 22 21 ωμμ β (3) 求出配分函数后，再利用热力学公式 13ln U N Z β? =-? ， V V U C T ??? = ???? (4) 可求得经典固体的热容量。 (2) Matlab 程序: syms V h beta N k T mu omiga r p; %用syms 定义10个符号变量 d=beta/2*mu;e=beta*mu*omiga^2/2; %求符号表达式的值

导热方程求解matlab

使用差分方法求解下面的热传导方程 2 (,)4(,) 0100.2t xx T x t T x t x t =<<<< 初值条件：2(,0)44T x x x =- 边值条件：(0,)0(1,)0 T t T t == 使用差分公式 1,,1,2 2 2 (,)2(,)(,) 2(,)()i j i j i j i j i j i j xx i j T x h t T x t T x h t T T T T x t O h h h -+--++-+= +≈ ,1,(,)(,) (,)()i j i j i j i j t i j T x t k T x t T T T x t O k k k ++--= +≈ 上面两式带入原热传导方程 ,1,1,,1,2 2i j i j i j i j i j T T T T T k h +-+--+= 令2 24k r h =，化简上式的 ,1,1,1,(12)()i j i j i j i j T r T r T T +-+=-++ i x j t j

编程MA TLAB 程序，运行结果如下 1 x t T function mypdesolution c=1; xspan=[0 1]; tspan=[0 0.2]; ngrid=[100 10]; f=@(x)4*x-4*x.^2; g1=@(t)0; g2=@(t)0; [T,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T); xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') function [U,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) % 热传导方程：

MATLAB及在电子信息课程中的应用课后答案

8102569 583 24754 12743-=+-+-=-+-=++-=--+w z y x w z x w z y x w z y x 程序 A=[3,4,-7,-12;5,-7,4,2;1,0,8,-5;-6,5,-2,10]; B=[4;-3;9;-8]; X=A\B 解：X = 2. 设??????????------=81272956313841A ???? ??????-----=793183262345B 求C1=AB’;C2=A’B;C3=A.*B,并求它们的逆阵。

程序 A=[1,4,8,13;-3,6,-5,-9;2,-7,-12,-8]; B=[5,4,3,-2;6,-2,3,-8;-1,3,-9,7]; C1= A*B',C2 = A'*B, C3 = A.*B inv(C1),inv(C2),inv(C3) 3. a. 列出2×2阶的单位矩阵I, 4×4阶魔方矩阵M 和4×2阶的全幺矩阵A,全零矩阵B b. 将这些矩阵拼接为6×6阶的矩阵C: ???? ??????=M B A I C ' c. 求出C 的第2,4,6行,组成3×6阶的矩阵C1,及第2,4,6,裂,组成6×3阶的矩阵C2, d. 求D=C1C2及D1=C2C1. 程序 >>I=eye(2),A=ones(4,2), B=zeros(4,2),M=magic(4), C=[I,A';B,M]

>> C1=C([2,4,6,],:),C2=C(:,[2,4,6,]) >> D=C1*C2, D1=C2*C1 4．设 ????? ?++=)1(sin 35.0cos 2x x x y 把x=0~2π间分为101点，画出以x 为横坐标，y 为纵坐标的曲线 解：程序 x=linspace(0,2*pi,101) y=cos(x).*+3*sin(x)./(1+x.^2)); plot(x,y),grid 5．求代数方程3x 5+4x 4+7x 3+2x 2 +9x+12=0的所有根。 程序 >>a=[3,4,7,2,9,12]; r=roots(a) 解：r = + - + -

Matlab解热传导方程代码

Sample MATLAB codes 1. %Newton Cooling Law clear; close all; clc; h = 1; T(1) = 10; %T(0) error = 1; TOL = 1e-6; k = 0; dt = 1/10; while error > TOL, k = k+1; T(k+1) = h*(1-T(k))*dt+T(k); error = abs(T(k+1)-T(k)); end t = linspace(0,dt*(k+1),k+1); plot(t,T),hold on, plot(t,1,'r-.') xlabel('Time'),ylabel('Temperature'), title(['T_0 = ',num2str(T(1)), ', T_\infty = 1']), legend('Cooling Trend','Steady State') 2. %Boltzman Cooling Law clear; close all; clc; h = 1; T(1) = 10; %T(0) error = 1; TOL = 1e-6; k = 0; dt = 1/10000; while error > TOL, k = k+1; T(k+1) = h*(1-(T(k))^4)*dt+T(k); error = abs(T(k+1)-T(k)); end t = linspace(0,dt*(k+1),k+1); plot(t,T),hold on, plot(t,1,'r-.') xlabel('Time'),ylabel('Temperature'), title(['T_0 = ',num2str(T(1)), ', T_\infty = 1']), legend('Cooling Trend','Steady State') 3. %Fourier Heat conduction clear; close all; clc; h = 1; n = 11; T = ones(n,1); Told = T; T(1) = 1; %Left boundary T(n) = 10; %Right boundary x = linspace(0,1,n); dx = x(2)-x(1);

第三章matlab在力学中的应用

3-3 机械振动 物体在平衡位置附近的往返叫做振动或机械振动。振动的传播称为波，机械振动的传播称为机械波。振动和波动是涉及物理及众多领域的一种非常普遍而重要的运动形式，研究振动和波动的意义已远远超过了力学的范围。本节利用MATLAB 来处理机械振动的一些问题。 简谐振动 质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动称为简谐远动，它是最基本的 振动。下面，我们通过两个例子来讨论简谐运动的动力学和运动学特征。 （1） 弹簧振子系统的简谐运动 ·题目（ex3311） 设弹簧阵子系统由质量为m 的滑块和劲度系数为k 的弹簧所组成已知t=0时，m 在A 处，即x 0=A ，并由静止开始释放。试研究滑块的运动规律。 ·解题分析 以x 表示质点相对原点的位移，线性回复力f=-kx 。由牛顿第二定律以及题设条件，可写出弹簧振子的振动微分防尘及初始条件为 22t 0 0(0)(0)0 d x k x dt m x A dx v dt =+==== 滑块速度分别为 22 dx v dy d x a dt = = 令2,k m ω= 用符号法求解上述微分方程，求出运动方程、速度和加速度，并绘制

出,()x t v x a x ---相轨迹和曲线。 （2） 单摆 ·题目（ex3313） 设单摆的摆长为l ，摆锤质量为，将摆锤拉开一角度θ，然后放开使其自由摆动。在不计空气阻力的情况下，分小摆角和大摆角两种情况，讨论单摆的角位移θ随时间t 的变化规律。 ·解题分析 由牛顿第二定律，有 222sin sin ,d g dt l θθωθω=-=-= 其中，g 为重力加速度。 ① 小角摆动 假定角位移很小，sin θ≈θ,上式为 220d g dt l θθ+= ② 大角摆动 222sin sin d g dt l θθωθ=-=- 上式是非线性方程。为了方便起见，将θ用y 来表示，上式又可以写为下列一阶 微分方程组 1221;sin()dy dy g y y dt dt l ==- 用MATLAB 编程解此方程组。取l=1m,g=s 2。初始条件取为 073 π π θ= 试取和，比较二者的运动规律。

【方法】Matlab中常见数学函数的使用

【关键字】方法 给自己看的----Matlab的内部常数（转） 2008/06/19 14:01 [Ctrl C/V--学校 ] MATLAB基本知识 Matlab的内部常数 pi 圆周率 exp(1) 自然对数的底数e i 或j 虚数单位 Inf或inf 无穷大 Matlab的常用内部数学函数

没有发现matlab有这一命令，不过我们可以调用maple的命令，调用方法如下： 首先加载maple中的student函数库，加载方法为：maple（’with（student）’） 然后运行maple中的配方命令，格式为： maple（’completesquare（f）’）把f配方，其中f为代数表达式或代数方程 mapl e(’completesquare（f，x）’)把f按指定的变量x配方，其中f同上 maple(’completesquare（f，{x，y，．．．}）’)把f按指定的变量x，y，．．．配方maple(’completesquare（f，[x，y，．．．]）’)把f按指定的变量x，y，．．．配方， 如何用matlab进行多项式运算 （1）合并同类项 syms 表达式中包含的变量 collect(表达式，指定的变量) （2）因式分解 syms 表达式中包含的变量factor(表达式) （3）展开 syms 表达式中包含的变量 expand(表达式) 我们也可在matlab中调用maple的命令进行多项式的运算，调用格式如下： maple（’maple中多项式的运算命令’） 如何用matlab进行分式运算 发现matlab只有一条处理分式问题的命令，其使用格式如下： [n，d]=numden（f）把符号表达式f化简为有理形式，其中分子和分母的系数为整数且分子分母不含公约项，返回结果n为分子，d为分母。注意：f必须为符号表达式 不过我们可以调用maple的命令，调用方法如下： maple（’denom（f）’）提取分式f的分母 maple(’numer（f）’)提取分式f的分子 maple(’normal（f）’ ) 把分式f的分子与分母约分成最简形式 maple(’expand（f）’) 把分式f的分子展开,分母不变且被看成单项。 maple(’factor（f）’) 把分式f的分母和分子因式分解，并进行约分。 如何用Matlab进行因式分解 syms 表达式中包含的变量factor(表达式) 如何用Matlab展开 syms 表达式中包含的变量expand(表达式) 如何用Matlab进行化简 syms 表达式中包含的变量simplify(表达式) 如何用Matlab合并同类项 syms 表达式中包含的变量collect(表达式，指定的变量) 如何用Matlab进行数学式的转换 调用Maple中数学式的转换命令，调用格式如下： maple(‘Maple的数学式转换命令’)

Matlab在力学中的应用

Matlab在力学中的应用 【摘要】倘若是在传统的手算方法里解超静定的结构工作是非常的繁琐麻烦，甚至是有时候是不可能的，所以我们运用结构一般的有限元编程方法，通过两个实例的对比方法，就能够直观的展示Matlab 在结构力学分析中的应用，Matlab 具有极高的性能，方法具有普遍的实用性和适用性，可以实现弯矩图自动绘制，这将大大的提高工作效率，减少工程师的负担，并且计算精准。 【关键字】Matlab ；结构有限元弯矩图；精准； 一、前言 Matlab可能很多人都会好奇，这是一个什么东西。其实它是由美国的一家公司推出的新型的计算系统，主要用于材料力学，数学等学科的科学计算，还有一些其他的高科技用途。他将许多的数学运算做了简化，特别是那些复杂的线性代数运算。有巨大的数学贡献。也给高级计算机语言的研究提供了窗口和可能。Matlab的成功运用让太多的数学计算就变得简单。但是Matlab是一个新的技术，所以我们对Matlab还是有很多的研究空间。 二、MATLAB-PDEtool介绍 MATLAB-PDEtool提供了一个功能强大的并且是使用灵活的二维有限元偏微分方程求解环境，其图形用户界面更是使用十分方便、直观一般来说，MATLAB-PDEtool包括3个步骤： 定义一个PDE的问题，它包括确定二维求解区域、边界条件和PDE系数。MATLAB-PDEtool能够求解的PDE型式有：椭圆型、抛物线型、双曲线型、特征值型。当使用GUI时，可以在画图模式下确定求解区域；在边界模式下选择方程形式和设置方程系数。数值的求解，它包括剖分、离散方程和得到一个数值解。在GUI中，在剖分模式下形成满意的网格；在求解模式下通过选择数值计算方法求解。图形化显示结果。通常用于的就是在表现有限元计算结果的图形有：比如说变形网格图、云图、等值线图、矢量图、网格图、表面图、流线图等。 三、MATLAB在麦克斯韦速率分布中的应用 而在气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中的一个难点和重点。那么这是因为公式比较复杂抽象，数学推导证明比较繁琐。如果借助Matlab 那就可以比较方便地解决这些问题。其中用到Gamma函数,传统方法是查数学用表得到结果。如果应用Matlab的符号计算功能, 只需要简单几行语句就可以解决这些问题。用到相关函数有：符号变量创建函数syms，求微分函数diff，求积分函数int，符号化简函数simple，字符串转化函数eval。 四、引入Matlab软件辅助计算

matlab求积分极限导数

一．计算下列极限： 1. x e e x x x sin lim 0-→- 解：y=sym(‘(exp(x)-exp(-x))/sin(x)’); y1=limit(y) 结果：y1=2 2. n n m m a x a x a x --→lim 解：syms x a m n y=(x^m-a^m)/(x^n-a^n); y1=limit(y,x,a) 结果：y1=n a m a n m 3. n x x x 21lim ??? ??+∞→ 解：syms x n y=((1+x)/x)^(2*n); y1=limit(y,x,inf) 结果：y1=1 4. 111lim --→x x e 解：y=exp(1/(x-1)); y1=limit(y,x,1,‘left ’) 结果：y1= 0 5. 111lim -+→x x e 解：y=exp(1/(x-1)); y1=limit(y,x,1,‘right ’) 结果：y1= ∞ 二.创建表达式 f=2x+4, g=4x^2+5x-2, 并计算 (1) f+g; (2) f-g; (3) f ×g; (4) f /g; (5) f [g(x)]; (6) 求 g 的反函数。 解：syms x f=2*x+4;

g=4*x^2+5*x-2; 结果：(1) f+g= 7*x+2+4*x^2 (2)f-g= -3*x+6-4*x^2 (3)f*g= (2*x+4)*(4*x^2+5*x-2) (4)f/g= (2*x+4)/(4*x^2+5*x-2) (5) f [g(x)]=compose(f,g)=8*x^2+10*x (6)clear syms x g=4*x^2+5*x-2; g1= finverse(g) 结果：g1= ()2116578 185x ++- 三.计算下列导数 （1）)1ln(2x x e e y ++= 解：syms x y=log(exp(x)+sqrt(1+exp(2*x))); z=diff(y,x); simple(z) 结果：z=exp(x)/(exp(2*x) + 1)^(1/2) z=()21 21+x x e e (2)x e y 1sin 2-= 解： syms x y=exp(-(sin(1/x))^2); z=diff(y,x); simple(z) 结果：z=(exp(cos(2/x)/2 - 1/2)*sin(2/x))/x^2 z=2 21)2cos()2sin(*x x e x - (3) 212arcsin t t y += 解： syms t y=asin(2*t/(1+t^2)); z=diff(y,t); simple(z) 结果：z=-(2*t^2 - 2)/((t^2 + 1)^2*((t^2 - 1)^2/(t^2 + 1)^2)^(1/2))

MATLAB编辑一维热传导方程的模拟程序

求解下列热传导问题: 2T 1 T 门 c , 2 0 0 z L z t T乙0 1 z2 T 0,t 1, T L,t 0 L 1, 1 程序： fun ctio n heat_c on ductio n() % 一维齐次热传导方程 options={'空间杆长L','空间点数N','时间点数M','扩散系数alfa',' 件的值 稳定条lambda(取值必须小于0.5)',}; topic='set in g'; lin es=1; def={'1','100','1000','1','0.5'}; h=in putdlg(opti on s,topic, lin es,def); L=eval(h{1}); N=eval(h{2}); M=eval(h{3}); alfa=eval(h{4}); lambda=eval(h{5});%lambda 的值必须小于0.5 o%*************************************************** h=L/N;%空间步长 z=0:h:L; z=z'; tao=lambda*h A2/alfa;% 时间步长 tm=M*tao;%热传导的总时间tm t=0:tao:tm; t=t'; %计算初值和边值 T=zeros(N+1,M+1); Ti=i nit_fu n(z); To=border_fu no (t); Te=border_fu ne(t); T(:,1)=Ti;- T(1,:)=To; T(N+1,:)=Te; %用差分法求出温度T与杆长L、时间t的关系 for k=1:M m=2; while m<=N T(m,k+1)=lambda*(T(m+1,k)+T(m-1,k))+(-2*lambda+1)*T(m,k); m=m+1; end;

MATLAB数学软件在数学课堂中的应用

论文 摘要 MATLAB数学软件是集数值计算、图形处理等功能为一体的数学应用软件．传统的数学教学比较枯燥，而MATLAB数学软件应用于数学课堂中，给教学上带来了很大的方便，本文介绍利用MATLAB软件在运算、绘图方面的优势应用于基础数学教学里的数学分析、线性代数、概率统计、数值分析、运筹学、解析几何等．从而使得学生的积极性以及主动学习的兴趣大大增加． 关键词：MATLAB；数学教学；应用

MATLAB数学软件在数学课堂中的应用 The Application Of The Matlab in Mathematic Teaching ABSTRACT MATLAB is mathematical software capable of numerical computation, graphics pr -ocessing and so on. The traditional mathematical education is very boring while the ap--plication of MATLAB mathematical software in the mathematics class has brought gre -at convenience to teaching. This paper introduces how the strengths of the software, su-ch as operation and drawing, are used in mathematics teaching of mathematical analysi -s, linear algebra, probability statistics, numerical analysis, operational research, analyti-c geometry etc. As a result, it will enormously increase students’ enthusiasm and interes -t in study. Key words：MATLAB;mathematical education; application

实验五 用matlab求二元函数的极值

实验五 用matlab 求二元函数的极值 1．计算二元函数的极值 对于二元函数的极值问题,根据二元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤1.定义二元函数),(y x f z =. 步骤2.求解方程组0),(,0),(==y x f y x f y x ,得到驻点. 步骤3.对于每一个驻点),(00y x ,求出二阶偏导数 22222,,.z z z A B C x x y y ???===???? 步骤4. 对于每一个驻点),(00y x ,计算判别式2B AC -,如果02>-B AC ,则该驻点是 极值点,当0>A 为极小值, 0>clear; syms x y; >>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3; >>diff(z,x) >>diff(z,y) 结果为 ans =4*x^3-8*y ans =-8*x+4*y

MATLAB在化学中的应用

硕士研究生课程论文 课程名称：MATLAB及其应用 题目：MATLAB在热物理学中的应用学院： 专业名称： 姓名： 学号： 任课教师： 提交时间：2013 年 11 月 21 日

MATLAB在热物理学中的应用 摘要：本文阐述了基于MATLAB的数值计算、可视化图形处理、开放式以及可扩充体系结构的特点,并介绍了高性能语言 MATLAB 在大学物理热物理学中的一些应用，包括在麦克斯韦速率分布和化工热力学中的应用。 关键词：MATLAB；麦克斯韦速率分布；热力学 Application of MATLAB in thermal physics Abstract:Based on MATLAB’s features of numerical calculation, visualization of graphics processing,opening and scalable architecture,introduced the applications of language of Matlab with high-performance in thermal physics of university physics,include in the Maxwell speed distributionand the chemical industry thermodynamics. Key Words: MATLAB; Maxwell speed distribution; thermodynamic

引言 热物理学是化工研究的一个方向, 由于热物理学处理比较复杂,恰当地使用可视化以展现数学公式的物理图像, 使其变得直观、形象。MATLAB 是一套高性能的数值计算和可视化软件,下面我们从一些典型的实例出发, 介绍 MATLAB 在热物理学方面的具体应用。 1 MATLAB-PDEtool 介绍 MATLAB-PDEtool 提供了一个功能强大使用灵活的二维有限元偏微分方程求解环境，其图形用户界面更是使用十分方便、直观一般来说，MATLAB-PDEtoo l 包括3个步骤： （1） 定义一个PDE 问题，它包括确定二维求解区域、边界条件和PDE 系数。MATLAB-PDEtool 能够求解的PDE 型式有：椭圆型、抛物线型、双曲线型、特征值型。当使用GUI 时，可以在画图模式下确定求解区域；在边界模式下选择方程形式和设置方程系数。 （2） 数值求解，它包括剖分、离散方程和得到一个数值解。在GUI 中，在剖分模式下形成满意的网格；在求解模式下通过选择数值计算方法求解。 （3） 图形化显示结果。通常用于表现有限元计算结果的图形有：变形网格图、云图、等值线图、矢量图、网格图、表面图、流线图等。 2 MATLAB 在麦克斯韦速率分布中的应用 气体动力学理论中麦克斯韦速率分布律是大学物理讲授与学习中的一个难点和重点。这是因为公式比较复杂抽象，数学推导证明比较繁琐。如果借助 Matlab 就可以比较方便地解决这些问题。首先, 推导三种速率和归一化条件。已知分布函数表达式为： KT mV v e v kT m f 222 3)()2(4-=ππ （1） 最大概然速率分布可由下式求出：